RODRIGO ALVES DIAS - fisica.ufjf.br · I A emiss~ao e absor˘c~ao da luz revelam a natureza...

Capıtulo 33 Natureza e Propagacao da Luz

RODRIGO ALVES DIAS

Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - Eletromagnetismo

Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a

Editora: Pearson - Addisson and Wesley

21 de maio de 2013

Objetivos de Aprendizagem

Ao estudar este capıtulo voce aprendera:

I O que sao raios de luz, e como eles se relacionam com as frentes de onda.

I As leis que governam a reflexao e a refracao da luz.

I As circunstancias em que a luz e totalmente refletida em uma interface.

I Como fazer luz polarizada a partir de luz comum.

I Como o princıpio de Huygens nos ajuda analisar a reflexao e a refracao.

Introducao

I Otica e o ramo da fısica que trata do comportamento da luz e de todas asondas eletromagneticas.

I A otica desempenha um papel fundamental em muitas inovacoes modernas.

I Ex.: laser, fibra optica, os hologramas, os computadores oticos e as novastecnicas para obter imagens medicas.

Introducao

A natureza da Luz

I Isaac Newton (1642-1727): a luz era constituıda por um feixe de minusculaspartıculas (corpusculos) emitidas por fontes de luz.

I 1665: primeiras evidencias das propriedades ondulatorias da luz.

I 1873: J.C. Maxwell previu a existencia de OE e calculou a velocidade depropagacao dessas ondas.

I 1887: H. Hertz mostrou que a luz e uma onda eletromagnetica.

A natureza da Luz

Os dois aspectos da luz

I A natureza ondulatoria da luz, nao e suficiente para explicar tudo.

I A emissao e absorcao da luz revelam a natureza corpuscular da luz.

I A energia transportada pela OE e concentrada em pacotes discretosconhecidos como fotons ou quanta.

I Os aspectos ondulatorios e corpusculares da luz, foram conciliados em 1930com o desenvolvimento da eletrodinamica quantica.

I A propagacao da luz pode ser descrita melhor usando-se um modeloondulatorio.

I A emissao e a absorcao da luz, e necessario considerar sua naturezacorpuscular.

A natureza da Luz

I As fontes fundamentais de todos os tipos de ondas eletromagneticas saocargas eletricas aceleradas.

I Todos os corpos emitem OE, resultado do movimento termico de suasmoleculas.(radiacao termica).

I Qualquer forma de materia quente e uma fonte de luz.

A natureza da Luz

I O Laser e uma fonte de luz muito importante atualmente.

I Em fontes luminosas comuns, a luz e emitida independentemente por atomosdiferentes no interior da fonte.

I No laser, os atomos sao induzidos a emitir luz de modo organizado ecoerente.

I O feixe do laser pode ser muito intenso e fino, e mais monocromatico quequalquer feixe produzido por qualquer outra fonte.

A natureza da Luz

I Usado por medicos para fazer pequenascirurgias.

I Na reproducao do som de um CD e emcomputadores.

I Para cortar aco ou fundir materiais.

I Entre outras aplicacoes.

A natureza da Luz

I O Laser e uma fonte de luz muito importante atualmente.I Em fontes luminosas comuns, a luz e emitida independentemente por atomos

diferentes no interior da fonte.I No laser, os atomos sao induzidos a emitir luz de modo organizado e

coerente.I O feixe do laser pode ser muito intenso e fino, e mais monocromatico que

qualquer feixe produzido por qualquer outra fonte.

A natureza da Luz

I O Laser e uma fonte de luz muito importante atualmente.I Em fontes luminosas comuns, a luz e emitida independentemente por atomos

diferentes no interior da fonte.I No laser, os atomos sao induzidos a emitir luz de modo organizado e

coerente.I O feixe do laser pode ser muito intenso e fino, e mais monocromatico que

qualquer feixe produzido por qualquer outra fonte.

A natureza da Luz

Onda, raio e frente de onda

I Frente de onda e o lugar geometrico detodos os pontos adjacentes que possuem amesma fase da vibracao de uma grandezafısica associada com a onda.

I Quando as OE se espalham de uma fontepontual, qualquer superfıcie concentricacom a fonte e uma frente de onda.

I Escolhemos frentes de onda consecutivasque tenham a mesma fase. Umcomprimento de onda de distancia.

I Um diagrama de OE mostram somente as“cristas” nas quais o ~B e o ~E possuemvalores maximos.

A natureza da Luz

I Longe da fonte, os raios das esferas saograndes, e aproximamos as superfıciesesfericas por planos.

I As direcoes da propagacao da luz, saorepresentadas por um raio.

I Descricao corpuscular: os raios sao astrajetorias das partıculas.

I Descricao ondulatoria: os raios sao adirecao de propagacao da onda.

I Materiais homogeneos e isotropicos: osraios sao linhas retas ⊥ as frentes de onda.

I Na superfıcie entre dois meios, a velocidadeda onda e a direcao dos raios pode variar.

A natureza da Luz

I O ramo da otica em que aabordagem e por meio de raios echamada otica geometrica.

I O ramo que trata das propriedadesondulatorias e chamada oticaondulatoria.

A natureza da Luz

I O ramo da otica em que aabordagem e por meio de raios echamada otica geometrica.

I O ramo que trata das propriedadesondulatorias e chamada oticaondulatoria.

Reflexao e Refracao

Leis da Reflexao e Refracao

I Reflexao especular: superfıcie lisa, existeum unico angulo de reflexao.

I Reflexao difusa: superfıcie rugosa, raiosrefletidos em diversas direcoes.

I O raio incidente, o raio refletido, o raiorefratado e a normal a superfıcie estaotodos sobre o mesmo plano.

I O angulo de reflexao θr , e igual ao angulode incidencia θa para todo λ e para qualquerpar de materiais.

I θr = θa(Lei da reflexao)

I Quando a luz monocromatica atravessa umpar de materiais a e b, a razao sin θa/ sin θb,e igual ao inverso da razao entre os doisındices de refracao nb/na.

I na sin θa = nb sin θb(Lei da refracao)

Reflexao e Refracao

Reflexao Interna Total

I Reflexao interna total, ocorre somentequando um raio passa de um material(a)para outro(b) com na < nb.

I O angulo crıtico para dois materiais eencontrado fazendo θb = 90o(sin θb = 1) nalei de Snell.

na sin θa = nb sin θb

na sin θc = nb sin 90o

sin θc =nb

I ar-vidro: nbna

= 11.52→ θc = 41.1o .

I agua-vidro: nbna

= 1.331.52→ θc = 61.0o .

sin θc =nb

I ar-vidro: nbna

= 11.52→ θc = 41.1o .

I agua-vidro: nbna

= 1.331.52→ θc = 61.0o .

sin θc =nb

I ar-vidro: nbna

= 11.52→ θc = 41.1o .

I agua-vidro: nbna

= 1.331.52→ θc = 61.0o .

Indice de refracao e aspectos ondulatorios da luz

I A direcao de um raio de luz varia quando ele passa de um material para outrocom ındice de refracao diferente.

I 1) f da OE nao varia quando passa de um meio material para outro.

I O numero de ciclos que chega por unidade de tempo deve ser igual ao que saipor unidade de tempo.

I Uma superfıcie de contorno nao pode criar nem destruir uma onda.

I 2) λ da OE geralmente muda quando a onda passa de um meio material paraoutro.

I Como f = v1/λ1 = v2/λ2 e v = c/n entao, c/(n1λ1) = c/(n2λ2)

I λ2 = (n1/n2)λ1

I Quando a luz passa de um meio material(1) para outro(2) com, n2 > n1, avelocidade e o comprimento de onda diminuem.

I λ2 = (n1/n2)λ1

Dispersao

I A luz branca comum e uma superposicao de cores cujos comprimentos deonda abrangem todo o espectro visıvel.

I No vacuo v = c e constante, ou seja, a mesma para todo λ.

I No interior de um material, v = v(λ) = cn(λ)

I O ındice de refracao de um material depende do comprimento de onda.

I A dispersao indica como a velocidade da onda e o ındice de refracaodependem do comprimento de onda.

Dispersao

I O eixo horizontal e o comprimento de ondaλ0 da luz no vacuo.

I λ de um material pode ser obtido porλ = λ0/n.

I Em quase todos os materiais, n ↑ quandoλ ↓.

I O desvio (mudanca de direcao) produzidopelo prisma cresce com o aumento do ındicede refracao e da frequencia.

Dispersao

I No vacuo v = c e constante, ou seja, a mesma para todo λ.I No interior de um material, v = v(λ) = c

n(λ).

I O ındice de refracao de um material depende do comprimento de onda.I A dispersao indica como a velocidade da onda e o ındice de refracao

dependem do comprimento de onda.

I A luz violeta sofre o maior desvio e a luz vermelha e a que se desvia menos.

I A dispersao total depende da diferenca entre o ındice de refracao da luzvioleta e o da luz vermelha.

Dispersao

I No vacuo v = c e constante, ou seja, a mesma para todo λ.I No interior de um material, v = v(λ) = c

n(λ).

I O ındice de refracao de um material depende do comprimento de onda.I A dispersao indica como a velocidade da onda e o ındice de refracao

dependem do comprimento de onda.

I A luz violeta sofre o maior desvio e a luz vermelha e a que se desvia menos.I A dispersao total depende da diferenca entre o ındice de refracao da luz

violeta e o da luz vermelha.

Dispersao

Arco-iris

I Em um arco-iris, voce ve efeitos combinados de dispersao, refracao e reflexao.

Dispersao

Arco-iris

I O sol esta atras do observador e a luz se refrata para o interior de umagotıcula de agua, a seguir ela e (parcialmente) refletida na parte internaposterior da gotıcula e finalmente refratada, saindo da gotıcula.

Dispersao

Arco-iris

I O sol esta atras do observador e a luz se refrata para o interior de umagotıcula de agua, a seguir ela e (parcialmente) refletida na parte internaposterior da gotıcula e finalmente refratada, saindo da gotıcula.

Polarizacao

Filtros polarizadores

I As ondas produzidas por uma emissora deradio sao, em geral, linearmente polarizadas.

I Se uma antena possui um elemento nahorizontal/vertical, ela capta ondaspolarizadas na horizontal/vertical.

I Fontes comuns(Lampadas), emitem luz quenao polarizada, chamada de luz natural ouluz nao-polarizada.

I Filtros usados para polarizar luz dependemdo comprimento de onda.

I Para microondas(λ ∼ 1, 0cm) um bom filtropolarizador e uma grade de fios condutoresproximos e paralelos, isolados entre si eigualmente espacados.

Polarizacao

I No caso da luz visıvel, o filtro polarizadomais comum e conhecido como polaroide.

I Esse material apresentam, dicroısmo, umaabsorcao seletiva de uma componentes daonda mais do que o outra.

I Um filtro polaroide, possui longas cadeiasde moleculas(polımeros) em uma direcao ‖ao eixo de polarizacao.

I Elas oscilam e emitem preferencialmente aluz polarizada com direcao paralela aocomprimento dessas moleculas.

Polarizacao

Usando filtros polarizadores

I Filtro polarizador ideal deixa passar 100% da luz polarizada na mesma direcaodo eixo de polarizacao.

I Bloqueia completamente a luz polarizada na direcao perpendicular a esse eixo.

I O vetor ~E do feixe incidente pode ser decomposta nas componentes paralelae perpendicular ao eixo de polarizacao.

I Somente a componente paralela ao eixo do polarizador e transmitido.

I A intensidade da luz transmitida e exatamente a metade da intensidade daluz nao-polarizada incidente.

Polarizacao

I Bloqueia completamente a luz polarizada na direcao perpendicular a esse eixo.

I O vetor ~E do feixe incidente pode ser decomposta nas componentes paralelae perpendicular ao eixo de polarizacao.

I Somente a componente paralela ao eixo do polarizador e transmitido.

Polarizacao

I Bloqueia completamente a luz polarizada na direcao perpendicular a esse eixo.I O vetor ~E do feixe incidente pode ser decomposta nas componentes paralela

e perpendicular ao eixo de polarizacao.

I Somente a componente paralela ao eixo do polarizador e transmitido.I A intensidade da luz transmitida e exatamente a metade da intensidade da

luz nao-polarizada incidente.

Polarizacao

e perpendicular ao eixo de polarizacao.I Somente a componente paralela ao eixo do polarizador e transmitido.

Polarizacao

e perpendicular ao eixo de polarizacao.I Somente a componente paralela ao eixo do polarizador e transmitido.I A intensidade da luz transmitida e exatamente a metade da intensidade da

luz nao-polarizada incidente.

Polarizacao

I O que acontece quando a luz linearmente polarizada que emerge de umpolarizador incide sobre um segundo polarizador?

I No caso geral no qual o eixo do analisador, faz um angulo φ com o eixo depolarizacao do primeiro polarizador.

I A luz linearmente polarizada transmitida pelo primeiro polarizador pode serdecomposta em duas componentes, uma paralela e outra perpendicular aoeixo do analisador.

Polarizacao

I Somente a componente paralelo, com amplitude E‖ = E cosφ, seratransmitido pelo analisador.

I Como a razaoE‖E

= cosφ e a intensidade de uma onda e proporcional aoquadrado da amplitude.

I A intensidade da luz que emerge do analisador sera: I = Imax cos2 φ (Lei deMalus).

I Imax e a intensidade maxima da luz transmitida (para φ = 0)

Polarizacao

I Como a razaoE‖E

Polarizacao

I Como a razaoE‖E

Polarizacao

I Como a razaoE‖E

Polarizacao

Polarizacao por reflexao

I A luz nao-polarizada pode ser parcial ou totalmente polarizada por meio dareflexao.

I No angulo de polarizacao θp(incidencia), ~E‖ ao plano de incidencia e

totalmente refratados e ~E⊥ e parcialmente refletido e refratado.

I A luz refletida e totalmente polarizada em um plano perpendicular ao planode incidencia.

Polarizacao

totalmente refratados e ~E⊥ e parcialmente refletido e refratado.

I A luz refletida e totalmente polarizada em um plano perpendicular ao planode incidencia.

Polarizacao

totalmente refratados e ~E⊥ e parcialmente refletido e refratado.I A luz refletida e totalmente polarizada em um plano perpendicular ao plano

de incidencia.

Polarizacao

de incidencia.

Polarizacao

de incidencia.

Polarizacao

I sir David Brewster descobriu que: quando θi = θp o raio refletido eperpendicular ao raio refratado.

I O angulo de refracao θb torna-se igual ao complemento de θp . θb = 90o − θpI Da lei da Snell, na sin θp = nb sin θb = nb sin(90o − θp) = nb cos θp

I tan θp = nbna

.(Lei de Brewster)

Polarizacao

I O angulo de refracao θb torna-se igual ao complemento de θp . θb = 90o − θp

I Da lei da Snell, na sin θp = nb sin θb = nb sin(90o − θp) = nb cos θp

I tan θp = nbna

.(Lei de Brewster)

Polarizacao

I tan θp = nbna

.(Lei de Brewster)

Polarizacao

I tan θp = nbna

.(Lei de Brewster)

Princıpio de Huygens

I A lei de Snell foi descoberta experimentalmente, muito tempo antes danatureza ondulatoria da luz ser comprovada.

I O princıpio de Huygens e um metodo geometrico para determinar, a partir deuma forma conhecida de uma frente de onda em t, a forma da frente de ondaem t + ∆t.

I Todos os pontos de uma frente de onda podem ser considerados fontes deondas secundarias que se espalham em todas as direcoes com uma velocidadeigual a velocidade de propagacao da onda.

I A nova frente de onda em t + ∆t e obtidatracando a envoltoria das ondas secundarias.

I Consideramos que a velocidade v seja amesma em todos os pontos e em todas asdirecoes.

I A nova frente de onda em t + ∆t e obtidatracando a envoltoria das ondas secundarias.

I Consideramos que a velocidade v seja amesma em todos os pontos e em todas asdirecoes.

A reflexao e o princıpio de Huygens

I Considere uma onda plana aproximando-sede uma superfıcie refletora plana.

I As linhas AA′, OB

′e NC

′: posicoes

sucessivas da onda que se aproximam da

superfıcie MM′.

I As onda secundarias que se originam na

extremidade superior de AA′

espalham-seate encontrar o obstaculo, e a envoltoriadessas ondas fornece o segmento OB

nova frente de onda.

I Em vez disso, essas ondas secundariasatingem a superfıcie refletora.

′e NC

′: posicoes

superfıcie MM′.

′e NC

′: posicoes

superfıcie MM′.

′e NC

′: posicoes

superfıcie MM′.

′e NC

′: posicoes

superfıcie MM′.

′e NC

′: posicoes

superfıcie MM′.

I A primeira dessas ondas secundarias estacentralizada no ponto A a envoltoria dasondas secundarias que retornam e osegmento OB da frente de onda.

I De O desenhamos OP = vt, perpendicular a

AA′. O segmento OB, e tangente ao

circulo vt com centro em A.

I Os triangulos APO e OQA sao congruentesporque sao triangulos retangulos.

I Concluımos que θa = θr , (lei da reflexao).

A refracao e o principio de Huygens

I Considere uma frente de onda plana,

representada pela linha reta AA′, na qual o

ponto A acaba de incidir sobre a interface

entre os dois materiais a e b.

I Estes possuem ındices de refracao na e nb evelocidades das ondas sao va e vb.

I Usando os pontos da reta AA′

comocentros, desenhamos diversas ondassecundarias.

I Observando os triangulos AOQ e AOB,temos:

sin θa =vat

AO; sin θb =

sin θa =vat

AO; sin θb =

sin θa

sin θb=

sin θa =vat

AO; sin θb =

sin θa

sin θb=

Miragens

I A miragem e um interessante exemplo do emprego do princıpio de Huygens.

I Quando os raios solares aquecem uma superfıcie, forma-se nos arredoresdesta uma camada quente, menos densa, com ındice de refracao n menor doque o ındice de refracao da camada superior.

I A velocidade da luz nessas areas da superfıcie e ligeiramente maior do quenas vizinhancas da camada superior, e as ondas secundarias de Huygenspossuem raios um pouco maiores, de modo que as frentes de onda seinclinam levemente e os raios que se aproximam da superfıcie com angulos deincidencia elevados (proximos de 90o) curvam-se para cima.

Miragens

Ondas eletromagneticas em interfaces

Condicoes de Contorno na Interface entre dois meios

Lei de Gauss do Magnetismo

∮~B · d~A = 0

Lei de Gauss do Magnetismo

∮~B · d~A = 0∫

~B · n1da +

∫~B · n2da +

∫~B · n3da = 0

∮~B · d~A = 0∫

~B · n1da +

∫~B · n2da +

∫~B · n3da = 0

(~B · n1 − ~B · n2)πR2 + ~B · n32πRh = 0

∮~B · d~A = 0∫

~B · n1da +

∫~B · n2da +

∫~B · n3da = 0

(~B · n1 − ~B · n2)πR2 + ~B · n32πRh = 0

limh→0

[(~B · n1 − ~B · n1)πR2 + ~B · n32πRh = 0]

∮~B · d~A = 0∫

~B · n1da +

∫~B · n2da +

∫~B · n3da = 0

(~B · n1 − ~B · n2)πR2 + ~B · n32πRh = 0

limh→0

[(~B · n1 − ~B · n1)πR2 + ~B · n32πRh = 0]

Bn1 = Bn2

B1n = B2n

Lei de Gauss do Eletricidade

∮ε~E · d~A = Qliq

B1n = B2n

Lei de Gauss do Eletricidade

(ε1~E · n1 − ε2

~E · n2)πR2 + ε1~E · n32πRh/2 + ε2

~E · n32πRh/2 = ρ ∗ πR2h

B1n = B2n

(ε1~E · n1 − ε2

~E · n2)πR2 + ε1~E · n32πRh/2 + ε2

~E · n32πRh/2 = ρ ∗ πR2h

limh→0

[(ε1~E · n1 − ε2

~E · n2)πR2 + ε1~E · n32πRh/2 + ε2

~E · n32πRh/2 = ρ ∗ πR2h]

B1n = B2n

(ε1~E · n1 − ε2

~E · n2)πR2 + ε1~E · n32πRh/2 + ε2

~E · n32πRh/2 = ρ ∗ πR2h

limh→0

[(ε1~E · n1 − ε2

~E · n2)πR2 + ε1~E · n32πRh/2 + ε2

~E · n32πRh/2 = ρ ∗ πR2h]

ε1En1 = ε2En2

B1n = B2n

ε1E1n = ε2E2n

Lei de Faraday

∮~E · d~l = −

B1n = B2n

ε1E1n = ε2E2n

Lei de Faraday

∮~E · d~l = −

lE1t − lE2t + h1E1n + h2E2n − h1E′1n − h2E

′2n = −

d(lh1B1⊥ + lh2B2⊥)

B1n = B2n

ε1E1n = ε2E2n

∮~E · d~l = −

′2n = −

d(lh1B1⊥ + lh2B2⊥)

limh1,h2→0

[lE1t − lE2t + h1E1n + h2E2n − h1E

′1n − h2E

′2n = −

d(lh1B1⊥ + lh2B2⊥)

B1n = B2n

ε1E1n = ε2E2n

∮~E · d~l = −

′2n = −

d(lh1B1⊥ + lh2B2⊥)

limh1,h2→0

[lE1t − lE2t + h1E1n + h2E2n − h1E

′1n − h2E

′2n = −

d(lh1B1⊥ + lh2B2⊥)

]E1t = E2t

B1n = B2n

ε1E1n = ε2E2n

E1t = E2t

Lei de Ampere-Maxwell

∮ ~B

µ· d~l =

dΦεE

B1n = B2n

ε1E1n = ε2E2n

E1t = E2t

Lei de Ampere-Maxwell

∮ ~B

µ· d~l =

dΦεE

µ1− l

µ2+ h1

µ1+ h2

µ2− h1

B′1n

µ1− h2

B′2n

µ2= −

d(lh1ε1E1⊥ + lh2ε2E2⊥)

B1n = B2n

ε1E1n = ε2E2n

E1t = E2t

∮ ~B

µ· d~l =

dΦεE

µ1− l

µ2+ h1

µ1+ h2

µ2− h1

B′1n

µ1− h2

B′2n

µ2= −

limh1,h2→0

µ1− l

µ2+ h1

µ1+ h2

µ2− h1

B′1n

µ1− h2

B′2n

µ2= −

B1n = B2n

ε1E1n = ε2E2n

E1t = E2t

∮ ~B

µ· d~l =

dΦεE

µ1− l

µ2+ h1

µ1+ h2

µ2− h1

B′1n

µ1− h2

B′2n

µ2= −

limh1,h2→0

µ1− l

µ2+ h1

µ1+ h2

µ2− h1

B′1n

µ1− h2

B′2n

µ2= −

B1n = B2n

ε1E1n = ε2E2n

E1t = E2t

Reflexao e Refracao na interface entre dois meios nao-condutores

ε1E1n = ε2E2n

~E1(~r , t) = ~E01e−i(ω1t+~κ1·~r)

~E′1 (~r , t) = ~E

′01e−i(ω

′1 t+~κ

′1·~r)

~E2(~r , t) = ~E02e−i(ω2t+~κ2·~r)

ε1E1n = ε2E2n

~E1(~r , t) = ~E01e−i(ω1t+~κ1·~r)

~E′1 (~r , t) = ~E

′01e−i(ω

′1 t+~κ

′1·~r)

~E2(~r , t) = ~E02e−i(ω2t+~κ2·~r)

ε1E1n = ε2E2n

ε1(~E01e−i(ω1t+~κ1·~r) + ~E

′01e−i(ω

′1 t+~κ

′1·~r)) · j = ε2(~E02e

−i(ω2t+~κ2·~r)) · j

~E1(~r , t) = ~E01e−i(ω1t+~κ1·~r)

~E′1 (~r , t) = ~E

′01e−i(ω

′1 t+~κ

′1·~r)

~E2(~r , t) = ~E02e−i(ω2t+~κ2·~r)

ε1(~E01 + ~E′01) · j = ε2(~E02) · j

(ω1t + ~κ1 ·~r)x=0 = (ω′1t + ~κ

′1 ·~r)x=0

= (ω2t + ~κ2 ·~r)x=0

ε1E1n = ε2E2n

~E1(~r , t) = ~E01e−i(ω1t+~κ1·~r)

~E′1 (~r , t) = ~E

′01e−i(ω

′1 t+~κ

′1·~r)

~E2(~r , t) = ~E02e−i(ω2t+~κ2·~r)

ε1(~E01 + ~E′01) · j = ε2(~E02) · j

(ω1t + ~κ1 ·~r)x=0 = (ω′1t + ~κ

′1 ·~r)x=0

= (ω2t + ~κ2 ·~r)x=0

ω1 = ω′1 = ω2

(~κ1 ·~r)x=0 = (~κ′1 ·~r)x=0 = (~κ2 ·~r)x=0

ε1E1n = ε2E2n

~E1(~r , t) = ~E01e−i(ω1t+~κ1·~r)

~E′1 (~r , t) = ~E

′01e−i(ω

′1 t+~κ

′1·~r)

~E2(~r , t) = ~E02e−i(ω2t+~κ2·~r)

ε1(~E01 + ~E′01) · j = ε2(~E02) · j~E01 = a1k + b1 cos θ1 i + b1 sin θ1 j

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

~E02 = a2k + b2 cos θ2 i + b2 sin θ2 j

(~κ1 ·~r)x=0 = (~κ′1 ·~r)x=0 = (~κ2 ·~r)x=0

~r = xi + zk

~κ1 = κ1(sin θ1 i − cos θ1 j)

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

ε1E1n = ε2E2n

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

(~κ1 ·~r)x=0 = (~κ′1 ·~r)x=0 = (~κ2 ·~r)x=0

~r = xi + zk

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

κ1 sin θ1 = κ′1 sin θ

′1 = κ2 sin θ2

ε1E1n = ε2E2n

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

(~κ1 ·~r)x=0 = (~κ′1 ·~r)x=0 = (~κ2 ·~r)x=0

~r = xi + zk

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

κ1 sin θ1 = κ′1 sin θ

′1 = κ2 sin θ2

n1 sin θ1 = n1 sin θ′1 = n2 sin θ2

ε1E1n = ε2E2n

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

ε1E1n = ε2E2n

θ1 = θ′1

n1 sin θ1 = n2 sin θ2

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

ε1(b1 + b′1) sin θ1 = ε2b2 cos θ2

ε1E1n = ε2E2n

θ1 = θ′1

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

ε1(b1 + b′1) sin θ1 = ε2b2 cos θ2

E1t = E2t

θ1 = θ′1

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

ck × ~E

~B01 =n1

c[b1k − a1 cos θ1 i − a1 sin θ1 j]

~B′01 =

′1k + a

′1 cos θ

′1 i − a

′1 sin θ

′1 j]

~B02 =n2

ε1(b1 + b′1) sin θ1 = ε2b2 cos θ2

(b1 − b′1) sin θ1 = b2 cos θ2

θ1 = θ′1

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

ck × ~E

~B01 =n1

~B′01 =

′1k + a

′1 cos θ

′1 i − a

′1 sin θ

′1 j]

~B02 =n2

ε1(b1 + b′1) sin θ1 = ε2b2 cos θ2

(b1 − b′1) sin θ1 = b2 cos θ2

B1n = B2n

θ1 = θ′1

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

ck × ~E

~B01 =n1

~B′01 =

′1k + a

′1 cos θ

′1 i − a

′1 sin θ

′1 j]

~B02 =n2

ε1(b1 + b′1) sin θ1 = ε2b2 cos θ2

(b1 − b′1) sin θ1 = b2 cos θ2

n1(a1 + a′1) sin θ1 = n2a2 sin θ2

θ1 = θ′1

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

ck × ~E

~B01 =n1

~B′01 =

′1k + a

′1 cos θ

′1 i − a

′1 sin θ

′1 j]

~B02 =n2

ε1(b1 + b′1) sin θ1 = ε2b2 cos θ2

(b1 − b′1) sin θ1 = b2 cos θ2

n1(a1 + a′1) sin θ1 = n2a2 sin θ2

B1t = B2t

θ1 = θ′1

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

ck × ~E

~B01 =n1

~B′01 =

′1k + a

′1 cos θ

′1 i − a

′1 sin θ

′1 j]

~B02 =n2

ε1(b1 + b′1) sin θ1 = ε2b2 cos θ2

(b1 − b′1) sin θ1 = b2 cos θ2

n1(a1 + a′1) sin θ1 = n2a2 sin θ2

n1(−a1 + a′1) cos θ1 = −n2a2 cos θ2

θ1 = θ′1

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

ck × ~E

~B01 =n1

~B′01 =

′1k + a

′1 cos θ

′1 i − a

′1 sin θ

′1 j]

~B02 =n2

ε1(b1 + b′1) sin θ1 = ε2b2 cos θ2

(b1 − b′1) sin θ1 = b2 cos θ2

n1(a1 + a′1) sin θ1 = n2a2 sin θ2

n1(−a1 + a′1) cos θ1 = −n2a2 cos θ2

b2/b1 =2n1 cos θ1

n1 cos θ2 + n2 cos θ1

b′1/b1 =

n2 cos θ1 − n1 cos θ2

a2/a1 =2n1 cos θ1

a′1/a1 =

n1 cos θ1 − n2 cos θ2

θ1 = θ′1

~κ′1 = κ

′1(sin θ

′1 i + cos θ

′1 j)

~E′01 = a

′1k − b

′1 cos θ

′1 i + b

′1 sin θ

′1 j

ck × ~E

~B01 =n1

~B′01 =

′1k + a

′1 cos θ

′1 i − a

′1 sin θ

′1 j]

~B02 =n2

RODRIGO ALVES DIAS - fisica.ufjf.br · I A emiss~ao e absor˘c~ao da luz revelam a natureza...

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