Rms

UNIFEI–- IESTI Kazuo Nakashima

VALOR MÉDIO E EFICAZ

Kazuo Nakashima

Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologias da Informação

RESUMO

Medição de tensão (Volt) e corrente (Am-pere) é uma atividade de rotina para qual-quer eletricista. Contudo a sua indispensável ferramenta de trabalho, o MULTÍMETRO, digital ou analógico, pode realizar medições incorretas em sistemas onde a forma de on-da não é senoidal. Estas medições incorre-tas podem provocar especificações inade-quadas de cabos, fusíveis, chaves, medido-res, dispositivos eletrônicos, dissipadores de calor, etc. Qualquer multímetro mede corretamente o valor médio da tensão ou corrente de ondas não senoidais, porém o valor eficaz, relacio-nado com a dissipação de potência, poucos multímetros, geralmente digitais, medem corretamente. OBJETIVOS Ao final desta unidade você estará apto a: 1. Reconhecer a diferença entre valor médio,

eficaz ou rms, eficaz real (true rms). 2. Especificar o multímetro adequado para

medição de tensão e corrente não senoi-dal.

3. Calcular o valor médio e eficaz de tensão

e corrente, a potência dissipada, o fator de crista e o fator de forma de ondas peri-ódicas não senoidais.

1. VALOR MÉDIO (Av) O Valor Médio (Average - Av) de uma on-da periódica de TENSÃO, CORRENTE E POTÊNCIA (e outras grandezas físicas) está relacionado com a componente contínua desta onda e o interesse por este valor está relacionado com o resultado após a “filtra-gem” do sinal.

∫=T

av dttfT

F0

)(1

T

S FAV

S FAV

t

t Figura 1- Valor médio Graficamente, o valor médio pode ser re-presentado como “área sob a curva, no in-tervalo T, dividido pelo período T”. O período T é o intervalo de tempo de repetição da on-da periódica. T=1/f onde f é a freqüência.

O valor médio representa uma grandeza contínua FAv que tem a mesma área sob a curva que a onda periódica, no mesmo inter-valo T.

Valor Médio e Eficaz

UNIFEI - IESTI Kazuo Nakashima

2

2. VALOR EFICAZ (RMS) Valor eficaz ou RMS (Root Mean Square) de uma onda periódica de CORRENTE e TENSÃO está relacionado com o calor dissi-pado em uma resistência.

A clássica fórmula de potência permite ob-ter o valor médio da potência dissipada na resistência.

22

)( . RMSRMSAv IR

RVP ==

O valor eficaz de TENSÃO ou CORREN-TE alternada periódica representa o valor de uma tensão ou corrente contínua que produz a mesma dissipação de potência que a ten-são ou corrente periódica. Por exemplo, a potência instantânea dissipada em uma re-sistência é

)(.)()( 22

tiRRtvtp ==

e a potência média dissipada é

∫

∫ ∫

=

==

T

T T

dttiT

R

dttiRT

dttpT

AvP

02

0 02

).(1.

).(.1).(1)(

Igualando as duas equações de potência

média obtemos a equação abaixo, origem do termo RMS (Raiz Quadrada da Média do Quadrado)

tdtiT

I TRMS ∫=

02

)( ).(1

tdtvT

V TRMS ∫=

02

)( ).(1

A Figura 2 mostra diversas formas de on-da de corrente de 1,0A(rms). Observe os diferentes valores de pico.

-1

2

2 2

1 1

2

d=0.25d=0.5

Figura 2- Valor eficaz ou rms 3. SOMA DE CORRENTES

I 1

I 2

I 3

Is

Figura 3- Soma de correntes Para valor médio, o resultado da soma é simplesmente uma soma aritmética

...)(3)(2)(1)( +++= AvAvAvAvS IIII Para o valor eficaz o resultado não é tão simples assim; a equação abaixo além de mais complicada é valida somente se as cor-rentes forem funções ortogonais.



3

...2)(3

2)(2

2)(1)( +++= rmsrmsrmsrmsS IIII

duas funções são ortogonais se

0.)().(10 21 =∫ dttftf

TT

Um exemplo muito interessante é a cor-rente no neutro de um sistema trifásico equi-librado: a corrente no neutro é zero apesar de existir corrente (não ortogonais) nas três fases. Esta propriedade será utilizada para cal-cular o valor médio e eficaz de ondas perió-dicas complexas. Neste processo de cálculo dividiremos esta onda complexa em vários intervalos de tempo e calcularemos o valor médio e eficaz de cada intervalo. 4. FATOR DE FORMA (Kf)

Av

RMSf IIK =

Este fator está relacionado com o fator de utilização ou de aproveitamento de um com-ponente ou equipamento eletro-eletrônico. Se este fator for mínimo (1 em corrente con-tínua constante) significa que a potência útil (trabalho realizado) do equipamento será realizado com a menor corrente possível. Sua aplicação está mais relacionada com conversores ac/dc e com medidores average sensing. 5. FATOR DE CRISTA (KP)

Av

Picop IIK =

Este fator também pode nos informar so-bre o fator de utilização. Uma corrente com fator de crista muito alto significa que o com-ponente deve ser especificado com potência

muito alta pelo trabalho realizado. Este fator é muito importante para especificar medido-res TRUE RMS.

T

D=0,8KF=1.118KP=1.118

D=0,2KF=2,236KP=2,236

D=0,2KF=2,582KP=3,873

Figura 4- Fator de forma e de crista 6. ONDA RETANGULAR Calcular o valor médio e eficaz de uma onda retangular é relativamente fácil pois depende apenas do valor de pico Vp e da relação entre a largura do pulso tp e o perío-do T. A relação tp/T é denominado ciclo de trabalho ou relação marca/espaço (duty cy-cle) d, ou δ. Ondas retangulares de correntes são co-muns em conversores tiristorizados ac/dc e dc/dc. Tensões retangulares são encontra-dos em conversores dc/dc (chopper) e dc/ac (inversores).

Tt

d p=

PAv IdI ⋅=)(

PRMS IdI ⋅=)(



4

S

FP

FAv

S

S1

S2

tp

T

FAv

S1 = S2

Figura 5- Onda retangular

d d 0,01 0,1000 0,05 0,2236 0,1 0,3162 0,2 0,4472 0,3 0,5477 0,4 0,6325 0,5 0,7071 0,6 0,7746 0,7 0,8367 0,8 0,8944 0,9 0,9487 0,95 0,9747 1,0 1,0000

7. ONDA SENOIDAL Ondas parcialmente senoidais são encon-trados em conversores ac/dc tiristorizados, nos reguladores ac/ac tiristorizados e em circuitos ressonantes.

O cálculo do valor médio e eficaz de uma onda parcialmente senoidal é mais compli-cado pois envolve cálculo de seno e coseno e requer o cuidado de converter os ângulos geralmente em GRAUS para RADIANOS.

Figura 6- Onda senoidal

−

=TI

I

P

Av βα coscos

( )TI

I

P

RMS )2sen()2sen()(221 βααβ −+−

=

α, β e Τ em radianos [rad] O período T é o intervalo de repetição da onda parcialmente senoidal e pode ser mai-or, igual ou menor que 2π. T=π ou 2π são observados em sistemas monofásicos. T=π/3 ou π/6 são observados em sistemas trifási-cos. T>π são observados em circuitos resso-nantes (pulsos senoidais). Os ângulos α e β estão relacionados com o início (cruzamento de zero) da senoidal plena correspondente. Nos conversores tiristorizados monofási-cos o ângulo α coincide com o ângulo de disparo, também denominado α. Nos con-versores trifásicos, por outro lado, o valor destes dois ângulos são diferentes, motivo de muita atenção.

IP

π

2π

β

α



5

−

=TI

I

P

Av βα coscos ( )

TII

P

RMS )2sen()2sen()(221 βααβ −+−

=

α

β = π

GRAU RADIANO RADIANO COS SEN Iav/Ip Irms/Ip

0o 0 0.000 1.000 0.000 0.3183 0.5000 15 30 45

π/12 π/6 π/4

0.262 0.524 0.785

0.966 0.866 0.707

0.258 0.500 0.707

0.3129 0.2970 0.2717

0.4991 0.4927 0.4767

60 75 90

π/3 5π/12 π/2

1.047 1.309 1.571

0.500 0.259 0.000

0.866 0.966 1.000

0.2387 0.2003 0.1592

0.4485 0.4071 0.3536

105 120 135

7π/12 2π/3 3π/4

1.833 2.094 2.356

-0.259 -0.500 -0.707

0.966 0.866 0.707

0.1180 0.0796 0.0466

0.2903 0.2211 0.1507

150 165 180

5π/6 11π/12

π

2.618 2.680 3.142

-0.866 -0.966 -1.000

0.500 0.259 0.000

0.0213 0.0054 0.0000

0.0849 0.0306 0.0000

)()( 180 grausrad απα = )()(180

radgraus απ

α =

4142.12= 7321.13= 4495.26= 4641.312=

7071.02/1 = 5774.03/1 = 4082.06/1 = 2887.012/1 = * Tabela para ser utilizada quando não temos uma calculadora científica disponível, lembrando apenas que β=π.

IP

T = 2 π

α

β = π



6

8. PULSOS Pulsos senoidais, triangulares, trapezoi-dais e retangulares. são encontrados em circuitos de comutação como fontes chavea-das, chopper, inversores, etc. Para pulsos senoidais podemos utilizar as equações anteriores apresentados no item 7.

Pulsos retangulares e triangulares são ca-sos particulares da onda trapezoidal.

PULSO TRAPEZOIDAL

T tP

IA

IB

Tt

d p=

2

)( BAAv

IIdI +=

3

).( 22BBAA

RMSIIIIdI ++

=

PULSO TRIANGULAR

T tP

Ip

2dII PAv =

3dII PRMS =

PULSO SENOIDAL RECORTADO

tS

T

Ip

tpα

πλ ==

=

Ss

p

s

tTtTt

d

[ ]))1cos((1 πλπ

−+=d

II

P

Av

−

+=π

πλλ )2)1sen((2.21 d

II

P

RMS

PULSO SENOIDAL

tpT

Ip

Tt

d p=

πdII PAv.2

=

2dII PRMS =

• A onda retangular é um caso particular da

onda trapezoidal onde IA=IB=IP • A onda triangular é um caso particular da

onda trapezoidal para IA=0



7

9. MEDIDORES AVERAGE SENSING ou AVERAGE RESPONDING

Estes medidores medem corretamente o valor médio de qualquer forma de onda (es-cala DCV ou DCA). Porém o valor eficaz é medido corretamente somente para onda SENOIDAL. O sensor ou transdutor destes multíme-tros respondem somente ao valor médio do sinal. Para medir o valor eficaz de um sinal alternado senoidal, este sinal é retificado em onda completa e amplificado por um fator de conversão 11.122/ =π e então medido pelo sensor “average sensing”. A relação entre o valor eficaz e o valor médio de uma onda senoidal retificada em onda completa é

22 VavVpV

V pav

ππ

=∴=

avavp

rms VVVV .11.1

222===

π

Este fator de conversão 1.11 é válido so-mente para onda senoidal. Isto significa que qualquer onda não senoidal será medido (ou convertido) incorretamente. Para uma onda quadrada este tipo de multímetro apresentará uma leitura 11% a-cima do valor correto. 10. MEDIDORES True rms Estes multímetros “ Eficaz Verdadeiro”, obviamente muito mais caros, medem corre-tamente o valor EFICAZ de qualquer forma de onda desde que o fator de crista Kp e a freqüência seja menor que o especificado pelo fabricante. Menos que 10% dos medidores disponí-veis comercialmente são True rms e custam de 5 a 10 vezes mais em relação aos medi-dores average sensing. Os multímetros true rms mais populares são BECKMAN: RMS3030; FLUKE: 8026B, 8060A, 8026A, 87. (Obs. Alguns osciloscópios digitais e sistemas de aquisição de dados medem cor-retamente o valor eficaz de ondas não se-noidais).

Medidores True RMS

TÉCNICA DE CONVERSÃO

TÉRMICO CÁLCULO DIGITAL

CÁLCULO ANALÓGICO

Kp ≤ 100:1 20:1 5:1 PRECISÃO 0,01% 0,1% 0,1%

TEMPO DE RESPOSTA >10 seg. 1-10 seg. <1 seg. FREQUÊNCIA ALTA MHz BAIXA MÉDIA 40 KHz

CUSTO MUITO ALTO ALTO BAIXO APLICAÇÃO CALIBRAÇÃO BANCADA PORTÁTIL

Observação: O multímetro RMS-3030 da Beckman mede o valor eficaz real total, isto é, da componente contínua mais componente alternada (AC+DC). Os multímetros da Fluke, por outro lado, medem o valor eficaz somente da componente alternada uma vez que nas escalas ACV ou ACA a componente contínua é filtrada. Para determinar o va-lor eficaz total ou o valor eficaz da componente alternada devemos medir VAC e VDC e utilizar a seguinte equação:

22)( DCacACtotalRMS VVV += −

22)()( DCtotalRMSACrms VVV −=



8

Exemplo 1: Potência Média A chave eletrônica opera na freqüência de 100[Hz] com ciclo de trabalho d=0,5.

VsR

Vz

Vs=15[V], Vz=10[V], R=10[ Ω ]

5ms

Io

10ms

PR

PZ

Po

15V

0,5A

5W

Vo

7,5W

2,5W

5ms

f = 100Hz T = 10ms tp = 5ms d = 0,5

A potência média fornecida por uma fonte de tensão contínua ou dissipada no diodo zener é proporcional ao Valor Médio da cor-rente.

)(. AvSSS IVP =

Para o resistor a potência média é pro-porcional ao quadrado do Valor Eficaz da corrente.

2. RMSR IRP =

Portanto a potência (média) dissipada na carga (R+Vz) é:

AvZRMSAv IVIRP .. 2 +=

Quando a chave está fechada circulará uma corrente instantânea de:

( ) ( )pico

zsp A

RVVI ][5.0

101015

=−

=−

=

dissipando uma potência instantânea de:

picopicopicoR WIRP ][5,25,0.10. 22 ===

P V I WZ pico z p pico= ⋅ = ⋅ =10 0 5 5, [ ] P P P WTotal p R Z p= + = + =2 5 5 0 7 5, , , [ ]

][5,75,0.15. WIVP picoSSpicoS ===

Quando a chave estiver aberta, a potência dissipada é zero.

Portanto, a potência média fornecida pela fonte de tensão Vs, que é igual à potência média dissipada na carga (R+Vz), será:

av

picoTotalavTotal

W

PdP

][75,35,75,0

)()(

=⋅=

⋅=

De outra forma, utilizando os valores mé-dio e eficaz da corrente:

25,05,0.5,0 ==AvI

3536,05,0.5,0 ==RMSI

Av

AvRMSAv

WVP

][75,325,0103536,010 2

=⋅+⋅Ω=

][75,325,0.15

. )()(

W

IVP AvSSAvS

==

=

Este é o processo para calcular a potência dissipada no diodo e no tiristor. Os valores da resistência (Rt) e da barreira de potencial (Vt) são fornecidos pelos fabricantes.



9

Exemplo 2: Ortogonalidade

10

5A )

0

5

5

5

10

B )

C )

D )

E )

A forma de onda (a) pode ser decomposta

em dois modos.

No primeiro modo decompomos a forma de onda no tempo A(t)=B(t)+C(t). Como B(t) e C(t) são funções ortogonais, uma vez que

∫ =T

dttCtBT 0

0).(*)(1 , porque 0C(t)*B(t) =

905,7

535,3071,7

22 =+=

=

=

rmsrmsrms

rms

rms

CBA

CB

No segundo modo a forma de onda é de-

composta na amplitude A(t)=D(t)+E(t). D(t) e E(t) não são funções ortogonais

(??)123,6

535,35

22 =+

==

rmsrms

rms

rms

ED

ED

6,123 não é o valor eficaz de A(t) Portanto, toda vez que depararmos com uma forma de onda complexa, devemos analisar por partes, divididas ao longo do eixo do tempo.

Para o valor médio, no entanto, encontra-remos o valor corretamente em ambos os casos.

5,75,255,75,25

=+=+=

=+=+=

avavav

avavavEDACBA

Na escala ACV o multímetro True RMS (AC+DC) indicaria 7,905[V], o multímetro True RMS (AC) indicaria 2,5[V] e o multíme-tro Average Sensing – AC indicaria 2,775[V].

10

5A )

107 ,5

F )

-2 ,5

G )

+ 2 ,5

acrmsV

V totalRMS

−≅−

=+ −

][5,25,7905,7

][905,75,75,222

22

A onda f(t) é a componente contínua e a onda g(t) a componente alternada. f(t) e g(t) são funções ortogonais. Nos multímetros Average Sensing - AC a onda g(t) é retificada em onda completa tor-nando-se uma onda contínua de 2,5[V] e então multiplicada pelo fator 1,11. O valor indicado por este tipo de multímetro na esca-la ACV será 2,775[V].



10

Exemplo 3: Senoidal Trifásico A tensão retificada de uma ponte tiristori-zada trifásica ideal com ângulo de disparo de 30o é apresentada na figura abaixo. Este ângulo de disparo é (também) de-nominado α (alfa) e não deve ser confundido com o ângulo α da fórmula para o cálculo do valor médio e valor eficaz. Existe uma dife-rença de 60o entre estes dois ângulos (para ponte tiristorizada trifásica em particular). Observe que temos 6 pulsos no intervalo correspondente ao período de uma onda senoidal plena. Consequentemente a fre-qüência destes pulsos, parcialmente senoi-dal, é 6 vezes maior que a freqüência da rede de alimentação. Por este motivo o perí-odo utilizado na fórmula é T=π/3.

Recomendamos a utilização das equa-ções com uma calculadora científica e com os ângulos em radianos.

Utilizando as equações diretamente: α πβ π

π

= °== °== °=

90 2150 5 660 3

/ [ ],/ [ ]

/ [ ]

radrad

T rad

V Vav p/ .=0 8270

V Vrms p/ .=0 8407

Se, eventualmente, não dispormos de uma calculadora científica, podemos utilizar a tabela da página 5.

Como os valores de Iav/Ip e Irms/Ip desta

tabela são válidos para β=π, devemos calcu-lar por partes.

V1 é a parte achureada (parte da onda

senoidal plena tracejada), V11 é a parte que vai de α até π e V12 é a parte que vai de β até π.

°=°=== 150,90,2, 1211 ααππβ T

1592.0/)(11 =pav VV

3536.0/)(11 =prms VV

0213.0/)(12 =pav VV

0849.0/)(12 =prms VV

)(12)(11)(1 avVavVavV −=

1379.0/)(1 =pav VV

2

)(122

)(11)(1 rmsrms VVrmsV −=

3433.0/)(1 =prms VV

Como são 6 pulsos iguais no intervalo 2π: V Vav av= = =6 6 0 1379 0 82741. . , ,( ) V Vrms rms= = =6 2 4495 0 3433 0 84091( ) . . . . As diferenças nos resultados (0.05%) se devem ao número de casas decimais utiliza-dos na tabela.



11

Exemplo 4: Pulso 20[V]pp d=0.2 A onda retangular abaixo apresenta sime-tria na amplitude (+10; -10) mas não no tem-po (d=0.2). O valor médio desta onda é -6[V]. A área positiva é 0,2x(+10)=+2 enquanto que a área negativa é 0.8x(-10)=-8. O valor eficaz desta onda de tensão é 10[V]. Uma tensão de –10[V] produz a mes-ma potência que uma tensão de +10[V].

a) +10V

-10V

- 6V

10[V]RMS

-6 [V]AV

+16V

8,0[V]RMS

0,0[V]AV

+4V

6,4[V]AV

0,2 0,8

b)

c)

- 4V

+16V

8,0[V]RMS

Como a maioria dos multímetros utiliza

acoplamento AC, ou seja, a componente contínua é bloqueada, a onda realmente medida é aquela apresentada na Figura b). Esta onda, obviamente com valor médio igual a zero, apresenta outro valor eficaz. Basta lembrar a equação

22)()( DCtotalrmsACrms VVV −=

826210)( =−=ACrmsV

Este será o valor indicado pelo multímetro True RMS – AC. No multímetro Average Sensing com aco-plamento AC, esta componente AC é retifi-cada em onda completa, como mostra a Fi-gura c), e o valor médio é multiplicado pelo fator 1.11, resultando 7,104[V]. Para calcular o valor médio e o valor efi-caz desta onda é necessário analisar a onda por partes. No intervalo entre 0 e dT v(t)=+10[V] e no intervalo entre dT e T v(t)=-10[V]. Uma outra forma para calcular estes valo-res é dividir esta onda em duas partes como mostram as Figuras (a1) e (a2) onde (a1) ⇒ Vp=+10[V] e d=0,2 (a2) ⇒ Vp=-10[V] e d=0,8

a) +10V

-10V

- 6V

10[V]RMS

-6[V]AV

+10V4,472[V]RMS

+2,000[V]AV

-10V8,944[V]RMS

-8,000[V]AV

0,2 0,8

a1)

a2)

av av av

2 2RMS RMS RMS

2 2

(a) = (a1) +(a2)+2 + (-8) = -6

(a) = (a1) +(a2)

= 4,472 8,944 10

=

+ =



12

(b1) ⇒ Vp=+16[V] e d=0,2 (b2) ⇒ Vp= -4[V] e d=0,8

b)

+16V

-4V

8,0[V]RMS

0,0[V]AV

7,155[V]RMS

+3,200[V]AV

3,577[V]RMS

0,2 0,8

b1)

b2)

+16V

-3,200[V]AV

-4V

av av av

2 2RMS RMS RMS

2 2

(b) = (b1) +(b2)+3,2 + (-3,2) = 0

(b) = (b1) +(b2)

= 7,1552 3,5776 8

=

+ =

Itajubá, MG

Abril de 1999 junho de 2000 Abril de 2005 Abril de 2007

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