RM2 2011 Problemas

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1 SECÇÃO DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA RESISTÊNCIA DE MATERIAIS II Problemas 1. Flexão Plástica 2. Corte 3. Torção 4. Solicitações Compostas e Verificação da Segurança 5. Encurvadura João Carlos Gomes Rocha de Almeida

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1

SECÇÃO DE ESTRUTURAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS II

Problemas

1. Flexão Plástica 2. Corte 3. Torção 4. Solicitações Compostas e Verificação da Segurança 5. Encurvadura

João Carlos Gomes Rocha de Almeida

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Capítulo 1. Flexão Plástica

2

1. Flexão Plástica

1. Uma viga de secção transversal quadrada, orientada como se representa na Figura 1-1, é submetida a uma carga vertical. Determine o momento de cedência, o momento plástico e o factor de forma respectivos.

Figura 1-1

2. Uma barra de secção circular de raio r está sujeita à flexão. Qual a razão entre o momento requerido para provocar a cedência das fibras à distância 2r da linha neutra e o momento que apenas provoca a cedência das fibras extremas?

3. Considere a secção transversal em T representada na Figura 1-2. Determine:

Figura 1-2

a. O momento resistente em regime elástico e plástico. b. O factor de forma da secção.

A

B

C

D

a

45º 2

a

2a

45º

P

[mm]

[ ]MPaσ

ε

1

1

250

210 GPa

250

300

2

50

250

50

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Resistência de Materiais II

3

4. Admitindo que o momento plástico dos elementos estruturais é MP, determine a carga de colapso, Pu, das estruturas representadas nas figuras seguintes.

Figura 1-3

Figura 1-4

Figura 1-5

Figura 1-6

P

A B C D

2P

2L 4L 4L

2L2L3L2 3L

P 2P

A B

C D

E

p

A B

L

P

A B C

D E

F

P

L 2L 2L 2L2L

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Capítulo 1. Flexão Plástica

4

Figura 1-7

Figura 1-8

A E

B C D 3P

2P

L L

L

L

A

h1

D

C B P

h2

A

L

P

L

C B

Figura 1-9

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Resistência de Materiais II

5

5. Considere a estrutura representada na Figura 1-10 e admita que o comportamento do material à flexão é elástico perfeitamente plástico, como indicado. Considere apenas a deformabilidade por flexão e despreze a influência do esforço axial e do esforço transverso no valor do momento de plastificação da secção.

Figura 1-7

a. Trace o diagrama elástico de momento flector na estrutura. b. Calcule a carga de colapso da estrutura, com base nos teoremas da

análise limite.

Figura 1-8

c. Para uma carga P de valor igual a 2,9 MP/L o diagrama de momento

flector é o indicado na Figura 1-11. Determine os momentos flectores a que a estrutura fica sujeita quando essa carga é retirada.

0,033MP

MP

0,933MP

P=2,9 MP/L

2P=5,8 MP/L

3L

2 3L

2P

P

A

B

C D

1

L

M

1/R

MP

MP

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Capítulo 1. Flexão Plástica

6

6. A viga representada na figura é constituída por um perfil IPE300, e está suspensa em três tirantes com secção transversal de 16 cm2.

Figura 1-9

a. Trace os diagramas de esforços na viga e nos tirantes em regime elástico. b. Determine o valor da carga de cedência da estrutura. c. Determine a carga de colapso da estrutura, efectuando uma análise:

c.1) elastoplástica (incremental); c.2) limite.

d. Trace os diagramas de esforços no colapso.

7. Considere a estrutura e o carregamento indicados na figura.

Figura 1-10

Determine a carga de colapso e o respectivo mecanismo associado.

p L

A

B C

D

L/2

p

L/2

L

P

A C D

E

1

4,0 3,0 1,0

2

G F

2,0

IPE300

E=210 GPa σc=235 N/mm2 I1=83,6x106 mm4 Z=6.021x105 mm3

B

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Resistência de Materiais II

7

8. A viga representada na Figura 1-14 tem secção rectangular de altura constante (h=0.2 m) e largura b variável. Determine o mecanismo de colapso e o diagrama de momento flector no colapso.

Figura 1-11

9. O pilar esquematizado na Figura 1-15 está submetido a uma carga excêntrica P. Na Figura 1-16a) representa-se a superfície de cedência da secção rectangular admitindo que não há interacção entre M e N, enquanto que na Figura 1-16b) tal interacção é representada por uma superfície de cedência linear.

Figura 1-15 Figura 1-16

Determine a carga de colapso associada a cada uma das superfícies de cedência consideradas.

P

A

B C

2a

P

MM

L

H a

P

NN

1

-1

-1

1

P

MM

P

NN

1

-1

-1

1

a)

b)

p

A B

3 m x

( ) 0,1 1 (m)6xb x ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

σc=235 MPa

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Capítulo 2. Corte

8

2. Corte

1. Para ligar duas barras de aço sujeitas a uma força de tracção F=200 kN, utilizam-se duas cobrejuntas cujos parafusos têm 16 mm de diâmetro e τadm=135 MPa.

Figura 2-1

Determine o número de parafusos necessário para efectuar a ligação.

2. Determine o diâmetro mínimo que o parafuso deve ter para suportar a estrutura indicada na Figura 2-2. Admita σadm=240 MPa e τadm=140 MPa.

Figura 2-2

3. Para a secção triangular equilátera representada na figura seguinte: a. Trace o diagrama de tensões 32σ e determine a sua lei de variação com a

coordenada x2. b. Calcule max

32σ e indique em que ponto se atinge esse valor.

F F

F F

1,1 kN

A

80 mm

250 mm

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Resistência de Materiais II

9

Figura 2-3

4. Considere a viga em consola constituída por uma cantoneira 200×200×20 e solicitada por uma carga concentrada P na sua extremidade.

a. Supondo que a linha de acção de P passa pelo centro de corte da secção e

é perpendicular ao eixo de simetria da secção, determine: a.1) a lei de variação das tensões tangenciais em função de s; a.2) a resultante das tensões tangenciais.

b. Determine a área de corte da secção segundo o eixo 2. c. Determine a equação da elástica considerando a deformabilidade por

esforço transverso. Calcule o deslocamento vertical na extremidade da consola (ponto B) devido à flexão e ao esforço transverso. Compare esse valor com o que obteria se tivesse desprezado a parcela relativa ao esforço transverso.

5. Considere a viga constituída por duas peças de madeira, ligadas entre si por pregos, com as dimensões indicadas na figura. A viga encontra-se encastrada numa das extremidades e na outra está aplicada uma força de 3 kN.

Figura 2-5

x2

x1

V

a G

P

x2

s

GL

P

x1

L=2m P=500 kN E=210 GPa ν=0,3

BA

L

3kN af

x1

x2

5

5 8,75

31,25

40

Figura 2-5 [cm]

Figura 2-4 I1=45,32x106 mm4

Page 10: RM2 2011 Problemas

Capítulo 2. Corte

10

a. Sabendo que a tensão normal de segurança na madeira é igual a 10 MPa, determine o vão máximo L que a viga pode ter.

b. Se cada prego pode resistir a um esforço de corte de 0,6 kN, qual o afastamento máximo entre pregos?

c. Represente o diagrama de tensões tangenciais na secção.

6. Considere a seguinte secção transversal.

Figura 2-6

a) Represente o diagrama de tensões tangenciais da secção para: a.1) um esforço transverso de 500 kN segundo o eixo x1; a.2) um esforço transverso de 500 kN segundo o eixo x2 e passando no

centro de corte da secção. b) Determine a posição do centro de corte da secção. c) Calcule a área de corte segundo a direcção 1.

20 5 1

[cm]

30

1

1

16

16

18,147 7,853

x2

x1 G

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Resistência de Materiais II

11

7. Relativamente à secção representada na figura seguinte, determine a posição do

centro de corte. Considere a espessura e constante ao longo da linha média.

Figura 2-7

10

10

12,5 7,5

12,5

7,5

e = 2cm

[cm]

x2

x1 G

e

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Capítulo 3. Torção

12

3. Torção

1. Um veio de secção circular oca com 1,5m de comprimento tem um momento torsor aplicado na sua extremidade livre.

Figura 3-1

a. Qual é o valor do momento torsor máximo que pode ser aplicado ao veio de modo a que a tensão tangencial não exceda 120 MPa?

b. Qual o valor mínimo da tensão tangencial correspondente a esse momento torsor?

c. Que ângulo de rotação no ponto B corresponde a uma tensão tangencial mínima de 70 MPa no veio? (G = 80 GPa).

d. Que momento torsor deverá ser aplicado ao veio para produzir uma rotação de 2º no ponto B?

2. Considere uma barra de secção circular com 10 cm de diâmetro, constituída por dois materiais, alumínio e cobre, tal como representado na figura seguinte. Determine o momento torsor máximo que pode ser aplicado à barra de modo a que não sejam excedidas as tensões admissíveis dos materiais e que a rotação na extremidade livre não ultrapasse 5º.

Figura 3-2

1,5m [mm]

40

60

T

BA

2m

2m

T

alumínio

cobre (τadm)cobre = 60MPa

(τadm)alumínio = 65MPa

Gcobre = 38GPa

Galumínio = 24GPa

A

B

C

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Resistência de Materiais II

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3. Um veio de aço e um tubo de alumínio estão ligados a um apoio fixo e a um disco rígido, tal como representado na figura seguinte. Sabendo que as tensões iniciais são nulas, calcular o momento torsor máximo que pode ser aplicado ao disco para que não sejam excedidas as tensões admissíveis em ambos os materiais.

Figura 3-3

Aço Alumínio

τadm [MPa] 120 70

G [GPa] 80 27

4. Uma barra de secção circular está encastrada nas suas extremidades e sujeita aos momentos torsores T1 e T2. Determinar a distribuição de tensões tangenciais na(s) secção(ões) de momento torsor máximo. Calcular a rotação de torção máxima.

Figura 3-4

L1L2 D

T1 T2 L1 = 1 m L2 = 2 m D = 50 mm T1 = 6 kNm T2 = 3 kNm

L1

A B C D

0,5m

aço alumínio

8

76

[mm]

T

50 A B

Page 14: RM2 2011 Problemas

Capítulo 3. Torção

14

5. Considere a viga biencastrada de aço (G=80 GPa) representada na figura.

Figura 3-5

a. Trace o diagrama de momentos torsores. b. Diga em que secção se verifica a rotação de torção máxima e calcule essa

rotação. c. Calcule a tensão tangencial máxima na viga.

6. Uma viga de 1,5 m de comprimento e com a secção transversal em caixão representada na figura está solicitada por um momento torsor. A tensão de corte admissível é igual a 84 MPa e o módulo de distorção é igual a 80 GPa.

Figura 3-6

a. Calcule o momento torsor máximo que pode actuar na secção. b. Determine o correspondente ângulo de torção (em graus) entre as secções

extremas da viga.

90

9

140

80

108

10

10

8

[mm]

1,5m 1,5m

150

150

100 100 [mm]

12

10

p = 10kN/m p p

A B C

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Resistência de Materiais II

15

7. Calcule a distribuição de tensões tangenciais e a rotação por unidade de comprimento, provocadas por um momento torsor T actuante na secção representada na figura seguinte.

Figura 3-7

8. A figura seguinte representa a secção transversal de uma peça constituída por dois materiais de comportamento elástico linear, cujos módulos de distorção são, respectivamente, GA=2G e GB=3G. A peça está sujeita a torção pura.

a. Determine a tensão instalada em cada um dos materiais. b. Calcule a rotação relativa das secções por unidade de comprimento.

15a

15,5a 18,5a

3a 2a

3a

a

a

a 3a

60a

33a

6a

3a

3a

3a

A

B

Figura 3-8

Page 16: RM2 2011 Problemas

Capítulo 3. Torção

16

9. Considere uma barra de secção transversal circular cheia sujeita a um momento torsor T. Admita que o material é elástico perfeitamente plástico, pelo que o diagrama tensão tangencial-distorção tem a forma indicada na figura. Determine, em função de T, a distância ao centro O a partir da qual as fibras atingem a cedência. Determine também o momento torsor plástico da secção transversal.

Figura 3-8

10. Considere um veio de secção transversal em forma de coroa circular. Determine o momento torsor máximo que a secção pode suportar em regime plástico.

Figura 3-9

Ri R0

a r

τced

O τced

τ

γ

Page 17: RM2 2011 Problemas

Resistência de Materiais II

17

4. Solicitações Compostas e Verificação da Segurança

1. Considere a viga representada na figura seguinte, encastrada nas duas extremidades e solicitada por uma carga uniformemente distribuída ao longo de todo o vão.

Figura 4-1

a. Trace os diagramas de todos os esforços na viga. b. Calcule o deslocamento vertical do centro de gravidade da secção de

meio vão. c. Calcule a rotação máxima em torno do eixo da viga, indicando a secção

em que se verifica. d. Com base nos resultados das alíneas b) e c), determine o deslocamento

vertical do ponto X da secção de meio vão. e. Trace os diagramas de tensões normais e tangenciais na secção de

encastramento. f. Verifique a segurança do ponto W da secção A segundo o critério de

Von Mises. Considere σseg = 160 MPa.

Nota: Despreze a deformabilidade por esforço transverso na resolução das alíneas anteriores.

2. Sabendo que a viga representada na figura seguinte é constituída por metade de

um perfil HEB240, determine:

Figura 4-2

a. A tensão tangencial máxima no perfil. b. A tensão de comparação máxima, segundo o critério de Von Mises.

p = 5 kN/m p

W X

15 m

100mm

HEB300

E = 210 GPa G = 81 GPa

x2

x1 BA

I1=251,7x106 mm4 tf=19 mm tw=11 mm

p = 20kN/m p

2m x2

x1 G

I1=19,61x106 mm4

99,4

240

(mm)

120

17

10

Page 18: RM2 2011 Problemas

Capítulo 4. Solicitações Compostas e Verificação da Segurança

18

3. Sabendo que a viga representada na figura seguinte é constituída por um perfil

HEB500, determine:

Figura 4-3

a. As reacções nos apoios e os diagramas de todos os esforços. b. A tensão tangencial máxima e a tensão de comparação máxima no perfil,

segundo o critério de Von Mises. c. As rotações da secção sobre o apoio B.

4. Considere a viga representada na figura seguinte.

Figura 4-4

a. Determine a posição da linha neutra. b. Determine o valor da tensão de comparação, segundo von Mises, do

ponto P da secção do apoio A. c. Calcule o deslocamento horizontal do ponto P situado na secção do apoio

B.

Nota: Resolva as alíneas anteriores recorrendo à formulação nos eixos centrais de inércia. Despreze a deformabilidade por esforço transverso.

p = 5kN/m

5m

A B

48

75

75

23,4

50 50 [mm]

Pp

x2

x1 G

L 150×100×10

38BV pL= I1=5,52x106 mm4

I2=1,98x106 mm4

I12=−1,92x106 mm4

p = 10 kN/m

10 m

B

E = 210 GPa G = 81 GPa

A x2

x1

HEB500 I1=1072x106 mm4

28

28

444

300

p

14,5

(mm)

Page 19: RM2 2011 Problemas

Resistência de Materiais II

19

5. Na figura seguinte apresenta-se uma estrutura localizada no plano xz, com um carregamento segundo o eixo y. O carregamento passa pelo centro de gravidade da secção transversal, cuja espessura é constante e igual a 5 mm.

Figura 4-5 a. Trace os diagramas de tensões na secção A. b. Calcule a carga máxima P de modo a que a não seja excedida a tensão de

cedência do material (235 MPa). Utilize os critérios de: b.1) von Mises; b.2) Tresca.

c. Calcule a rotação de torção relativa entre as secções B e C.

6. A estrutura (E = 210 GPa, G = 84 GPa, σced = 235 MPa) representada na figura encontra-se localizada no plano 1-2 e está solicitada por uma força vertical P.

a. Determine o valor máximo da força P que pode ser aplicada à estrutura. Utilize o critério de von Mises.

b. Calcule a rotação da secção B.

2,0 m

2,0 m

encastramento

A

B

C

P

P

10

302

[cm]

Secção transversal

1

2

3

y

x

z 1.00 1.00

1.00

1.00

[m]

2P

P

100 100100

350

5

[mm]x2

x1 G

A B C

E = 210 GPa G = 84 GPa

Figura 4-6

Page 20: RM2 2011 Problemas

Capítulo 5. Encurvadura

20

5. Encurvadura

1. Um pilar de aço (E=210 GPa) com 6 m de comprimento tem a secção transversal indicada na figura. Admitindo que as condições de apoio são encastrado na base e simplesmente apoiado no topo, determine a carga crítica ideal do pilar. Esboce o modo de encurvadura associado a esta carga.

Figura 5-1

2. Uma coluna de aço S275 constituída por um perfil INP200 está fixada através de duas barras a meio do seu comprimento, como mostra a figura. Determine:

a. a carga crítica ideal; b. a carga máxima que pode ser aplicada de acordo com o Eurocódigo 3.

Figura 5-2

x2

x1 100

50

[mm] 15,5

x2

x1

1,5

9,2

4,2

[cm]

1,5

UNP100 I1=206 cm4 I2=29,3 cm4

A=13,5 cm2

x2

2,0

x1

[m]

INP200 I1=2140 cm4 I2=117 cm4

A=33,5 cm2

2,0

P

90,0

[mm]

200,0

11,3

Page 21: RM2 2011 Problemas

Resistência de Materiais II

21

3. Considere a treliça em aço S355 representada na figura seguinte, com rótulas esféricas em todos os nós e barras constituídas por pares de cantoneiras 120×80×10.

Figura 5-3

Determine a carga máxima P que pode ser aplicada à estrutura: a. de modo a que não ocorra instabilidade elástica em qualquer das barras; b. de acordo com o Eurocódigo 3.

4. Na estrutura de aço (E=210 GPa e G=84 GPa) da figura, os apoios A e C impedem a torção, D é uma rótula esférica e o nó B está impedido de se deslocar na direcção perpendicular ao plano da estrutura.

Figura 5-4

a. Determine a carga crítica ideal. b. Admita agora que os apoios A e C permitem deslocamentos horizontais

no plano da estrutura. Para esta situação determine a carga crítica ideal.

x2

2,5

x1

[m]

120×80×10 I1=276 cm4 I2=98,1 cm4

A=19,1 cm2

1,0

P

2,5 [cm]

30º

12 1

8 1,95

3,92

x1 x2

B

A D C

2,5 [m] 2,5

B A

D

C

3,5

0,04

P

Page 22: RM2 2011 Problemas

Capítulo 5. Encurvadura

22

5. Na estrutura esquematizada admita que o ponto B está impedido de se deslocar.

Figura 5-5

a. Calcule a inércia da viga BC de modo a que a encurvadura no plano 1-3

se verifique para a carga P=1500 kN. b. Para a situação da alínea a), calcule a carga crítica da coluna.

6. Considere a estrutura em aço S235 e o carregamento representados na figura

seguinte. Os nós B e C estão impedidos de se deslocarem perpendicularmente ao plano da figura e o nó C está impedido de se deslocar segundo a horizontal.

Figura 5-6

a. Determine a carga crítica da estrutura e represente o respectivo modo de instabilidade.

b. Calcule a carga máxima que pode ser aplicada segundo o Eurocódigo 3.

Barra rígida à flexão, corte e deformação axial (I1=I2=Ω’1=Ω’2=Ω=∞)

[m]

1,5

B

Ax1

C

3,0

P

x2

x3

x1

x2

Coluna AB: I1=449,33 cm4 I2=348,0 cm4

A=28,0 cm2

E=210 GPa

rótula esférica

rótula cilíndrica (eixo x2)

x2

x1

HEB 220 I1=8091 cm4 I2=2843 cm4

A=91 cm2

P

[mm]

6,0

220

220

P

[m]

3,0 x1 x1

x2 x2

A D

C B

Page 23: RM2 2011 Problemas

Resistência de Materiais II

23

7. Considere a estrutura e o carregamento representados na figura seguinte. Todos

os nós estão impedidos de se deslocarem perpendicularmente ao plano da figura. Todos os apoios possuem articulações esféricas.

Figura 5-7

a. Determine a carga crítica da estrutura e represente o respectivo modo de

instabilidade associado. b. Calcule a carga máxima P que pode ser aplicada de acordo com o

Eurocódigo 3.

I=5000 cm4

A=100 cm2

P

[m]

5,0

6,0

A

D C

B

I=5000 cm4

A=100 cm2

I=2000 cm4

A=50 cm2

S235