Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 4 – Movimento Bi e Tridimensional

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 1

CAPÍTULO 4 – MOVIMENTO BI E TRIDIMENSIONAL

48. Um foguete é lançado do repouso e se move em uma linha reta inclinada de 70,0o acima da

horizontal, com aceleração de 46,0 m/s2. Depois de 30,0 s de vôo com o empuxo máximo, os motores são desligados e o foguete segue uma trajetória parabólica de volta à Terra; veja a Fig. 36. (a) Ache o tempo de vôo desde o lançamento ao impacto. (b) Qual é a altitude máxima alcançada? (c) Qual é a distância da plataforma de lançamento ao ponto de impacto? (Ignore as variações de g com a altitude.)

(Pág. 68)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

(a) O cálculo do tempo total de vôo, ∆t03, é a soma do tempo de aceleração em linha reta com os foguetes, ∆t01 = 30,0 s, e o tempo de queda livre, ∆t13, que precisa ser calculado. 03 01 13t t t∆ = ∆ + ∆ (1)

y1

v0 = 0

y

y2 = H

a j = g−

H

x0 = 0

v1

v2

v3

θ0

xx1

R

θ0

x2 x3

y0 = = 0y3

a0

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Para o cálculo de ∆t13, precisamos de y1 e v1. Cálculo de y1:

20 0

12y yy y v t a t− = +

21 0 0 01 0 01

12y yy y v t a t− = ∆ + ∆

21 0 0 01

10 0 sen2

y a tθ− = + ∆

( ) ( )( )22 2 o1 0 0 01

1 1sen 46,0 m/s sen 70,0 30,0 s2 2

y a tθ= ∆ =

1 19.451,63 my = (2)

Cálculo de v1: 0y y yv v a t= +

1 0 0 01y y yv v a t= + ∆

1 0 0 0 01sen 0 senv a tθ θ= + ∆

( )( )21 0 01 46,0 m/s 30,0 sv a t= ∆ =

1 1.380 m/sv = (3)

Agora podemos determinar ∆t13, com a ajuda dos valores obtidos em (2) e (3):

20 0

12y yy y v t a t− = +

( ) 23 1 1 13 13

12yy y v t g t− = ∆ + − ∆

21 1 0 13 13

1 20 sen 2

y v t g tg

θ

− = ∆ − ∆ ×

2 1 0 113 13

2 sen 2 0v yt tg g

θ∆ − ∆ − =

( ) ( )

( )( )( )

o213 132 2

2 1.380 m/s sen 70,0 2 19.451,63 m0

9,81 m/s 9,81 m/st t∆ − ∆ − =

( ) ( )2 213 13264,3783 s 3.965,6752 s 0t t∆ − ∆ − =

As raízes da equação acima são:

'13''13

278,6120 s

14,2336 s

tt

∆ =

∆ = −

Logo: 13 278,6120 st∆ = (4)

Substituindo-se (4) em (1): ( ) ( )03 30,0 s 278,6120 s 308,6120 st∆ = + =

03 309 st∆ ≈

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(b) A altitude máxima de vôo do foguete pode ser obtida pela análise do movimento na coordenada y do ponto 1, o início da queda livre, ao ponto 2, que corresponde ao topo da trajetória. ( )2 2

0 02y y yv v a y y= + −

( )( )2 22 1 2 12y yv v g y y= + − −

( )2 21 0 10 sen 2v g H yθ= − −

( ) ( )

( ) ( )2 2 o2 2

1 01 2

1.380 m/s sen 70,0sen 19.451,63 m 105.161,50 m2 2 9,81 m/s

vH ygθ

= + = + =

105 kmH ≈ (c) Para determinarmos a distância pedida, precisamos apenas analisar o movimento horizontal entre os pontos 1 e 3, que ocorre com velocidade horizontal constante. 0 xx x v t= +

3 1 1 13xx x v t= + ∆

1 1 0 13cosR x v tθ= + ∆

Lembremos que x1 pode ser obtido pela relação:

10

1

tan yx

θ =

Logo:

( )( ) ( ) ( )( )o1

1 0 13 o0

19.451,63 mcos 1.380 m/s cos 70,0 278,6120 s

tan tan 70,0yR v tθθ

= + ∆ = +

138.581,29 mR =

139 kmR ≈