MODELAGEM MATEMÁTICA: O CUSTO DO TRATAMENTO DE

ESGOTO EM SÃO JOÃO DO IVAÍ

Sotero Napoleão Souza Cassiano

Fundação Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Mandaguari

soter_o@hotmail.com

Claudia Carreira da Rosa

Fundação Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Mandaguari

claudiacarreiradarosa@gmail.com

RESUMO

Neste artigo, apresentamos uma atividade de Modelagem Matemática desenvolvida no âmbito de uma disciplina de Modelagem Matemática na graduação em Matemática. O problema diz respeito ao custo do saneamento básico (esgoto) na cidade de São João do Ivaí. Os conteúdos matemáticos envolvidos são principalmente função linear e função definida por várias sentenças. Procuramos evidenciar que algumas situações podem promover reflexões acerca do uso de funções matemáticas no contexto social, além de permitir uma análise da natureza dos modelos matemáticos e seu papel na sociedade.

Palavras-chave: Modelagem Matemática; Tarifa de Saneamento Básico; Função.

1. INTRODUÇÃO

Um dos objetivos da Matemática é desenvolver no ser humano a capacidade de

raciocínio e de tomadas de decisões do mundo real. A Matemática está constantemente

presente em nossa vivência e podemos aplicá-la para resolver questões de outras áreas

como, por exemplo, na Física e na Química.

Para Bassanezi (2002, p. 18) o termo aplicação de Matemática denota o

fato de utilizá-la para compreender fenômenos do mundo real e o objetivo de se usar de

conceitos matemáticos é para se extrair a parte fundamental de uma situação-problema

formalizando-a em um contexto abstrato onde se pode ter uma economia de linguagem.

Assim, segundo o autor “a Matemática pode ser vista como um instrumento intelectual

capaz de sintetizar idéias concebidas em situações empíricas que estão quase sempre

camufladas num emaranhado de variáveis de menor importância” (Bassanezi, 2002, p.

18).

A realidade nos faz presenciar e interpretar a Matemática de maneira mais

objetiva e compreensível. Segundo D’Ambrósio (1999, p. 2) “o ciclo de aquisição de

conhecimento é deflagrado a partir da realidade, que é plena de fatos que informam o

indivíduo”. Com esse propósito a Modelagem Matemática torna-se um meio de estudar

fenômenos do dia-a-dia, e assim adquirir e formalizar um conhecimento próprio.

De acordo com Bassanezi (2002, p. 16) a Matemática não deve ser considerada

importante apenas por obter definições que podem ser aplicadas em determinadas

situações, mas sim considerada importante por poder ser atraente e interessante. Assim

podemos articular a Modelagem Matemática como um método de tornar a Matemática

uma ciência mais prazerosa e compreensível, trabalhando a realidade e o auto-

conhecimento.

Segundo Biembengut e Hein (2002, p. 17) no dia-a-dia, o processo que envolve

Modelagem Matemática está constantemente presente, basta ter um problema exigindo

criatividade, intuição e a Matemática.

Nesse sentido, iremos usar a Modelagem Matemática para trabalhar uma

situação real que trata sobre o saneamento básico em São João do Ivaí.

Para Teixeira e Guilhermino (2003, p. 277) os serviços de saneamento, como o

tratamento de esgoto, são de vital importância para proteger e tornar a população mais

saudável, diminuindo os problemas da pobreza e protegendo o meio ambiente.

Partindo de uma situação real e vivenciada, procuramos construir um modelo

usando conteúdos matemáticos, o que coincidiu com as ideias de Bassanezi (2002, p.

24), quando este diz que ao nos conscientizarmos de que devemos trabalhar

aproximações da realidade, a Modelagem Matemática terá melhores resultados.

2

2. MODELAGEM MATEMÁTICA

Segundo Almeida (2007, p. 3) na Educação Matemática, a Modelagem

Matemática teve diversos avanços nas últimas décadas, mostrando-se um campo social

de produção de conhecimento, um espaço de relações objetivas, com lógicas e

necessidade bem definidas.

De acordo com Silveira e Ribas (2004, p. 2) “a Modelagem Matemática é acima

de tudo uma perspectiva, algo a ser explorado, o imaginável e o inimaginável”.

Entre as muitas definições de Modelagem Matemática, Bassanezi (2002) coloca

que a:

Modelagem Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas solução na linguagem do mundo real.

(BASSANEZI, 2002, p. 16)

Na literatura, encontramos diferentes caracterizações para Modelagem

Matemática no âmbito da Educação Matemática.

Bassanezi (2002, p. 181) considera a Modelagem Matemática uma atividade

humana cujo desenvolvimento está intrínseco nos problemas da vida social e seu

principal enfoque é procurar um equilíbrio harmonioso entre a teoria e a prática,

fazendo com que a Matemática se torne uma ferramenta para outras áreas do

conhecimento.

No âmbito da Educação Matemática, D’Ambrosio (1986) considera a

Modelagem Matemática como uma forma de interação do conteúdo de sala de aula com

questões reais. De acordo com o autor a

Modelagem Matemática é um processo muito rico de encarar situações reais, e culmina com a solução efetiva do problema real e não uma simples resolução formal de um problema artificial.

(D’AMBROSIO, 1986, p.121).

3

Neste trabalho consideramos a Modelagem Matemática como

apresentada por Almeida e Brito (2005, p. 487), em que os autores consideram-na como

uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática,

de um problema não essencialmente matemático. Neste contexto, os autores defendem

que a modelagem permite uma compreensão mais global acerca da situação investigada,

buscando uma resposta para um problema cuja origem não está, de modo geral, na

própria Matemática.

Levando em consideração algumas ‘definições’ sobre Modelagem Matemática,

de um ponto de vista particular entendo-a como um ato (e não o ato) de articular

problemas reais com a Matemática, resolvendo-os em linguagem formal e respondendo-

os em linguagem informal, algo presente no dia-a-dia do ser humano, que todos

possuem possibilidades de interpretar e entender, não unicamente os matemáticos.

Bassanezi (2002, p. 173), afirma que quando se procura agir e refletir sobre a realidade,

tentando explicá-la, compreendê-la e modificá-la, o processo é selecionar argumentos

essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial, chamado de Modelo.

Entre as perspectivas que envolvem a Modelagem Matemática, queremos

salientar no presente trabalho, a perspectiva pragmática e a perspectiva realística, por

serem mais chamativas e harmoniosas nessa pesquisa.

De acordo com Kaiser e Sriraman (2006, p. 302) a perspectiva pragmática é

aquela focada em objetivos utilitários, colocando a habilidade em aplicar a Matemática

em problemas práticos. A perspectiva realística tem como objetivo resolver e

compreender problemas do mundo real.

Também merece destaque a perspectiva sócio-crítico:

Esta perspectiva enfatiza o papel da Matemática na sociedade e reivindica a necessidade de suportar o pensamento crítico sobre o papel e a natureza dos modelos matemáticos e a função da Matemática e nossa sociedade.

(KAISER E SRIRAMAN, 2006, p. 309).

Dessa maneira, a utilização da Modelagem Matemática pode manifestar nos

indivíduos um aspecto sócio-cultural mais compreensível, capazes de analisar a forma

4

como a Matemática está presente na sociedade, por ser um ambiente associado

à problematização e investigação.

Em geral o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem Matemática segue

uma sequência de procedimentos: a identificação do problema, a identificação e seleção

das variáveis, a formulação de hipóteses, a dedução e a validação do modelo. Esses

procedimentos podem ser chamados de etapas ou rotas de uma atividade de Modelagem

Matemática, dependendo do autor e da abordagem com que a mesma é compreendida.

Apresentamos na figura 1 um esquema de Modelagem Matemática envolvendo

as várias etapas para o desenvolvimento de uma atividade, embora a ordem dessas

etapas possa variar, uma vez que esse processo não é linear. A ênfase no esquema reside

na transição. Dependendo do enfoque a que se pretende dar ênfase durante o

desenvolvimento da atividade, as etapas apresentadas no esquema podem ser menos

enfatizadas ou mais enfatizadas.

Figura 1: Etapas sugeridas para se realizar um processo de Modelagem Matemática

(In: Ferruzi, Almeida e Gonçalves, p. 3)

Assim, podemos ver uma atividade de Modelagem Matemática como um ciclo,

que parte da realidade, passa pelos procedimentos matemáticos, pela validação do

modelo e volta para mesma realidade inicial.

5

Modelo não válido

1 - Definição do problema2 - Simplificação e

formulação de hipóteses

6 - Aplicação do

modelo5 - Validação

4 - Resolução

do problema

3 - Dedução do

modelo

Modelo

válido

Interpretação da

solução

3. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

De acordo com Zoratto (2003, p. 3) as transformações desenvolvidas pela

evolução da humanidade, principalmente no século XX, mudaram a vida do ser

humano, como a saúde e a expectativa média de vida terem aumentado para 65 anos.

Saneamento Básico não é um problema novo, e sua importância é conhecida

desde as culturas antigas, como podemos ver de acordo com Heller (1997):

O RECONHECIMENTO da importância do saneamento e de sua associação com a saúde do homem remonta às mais antigas culturas. Ruínas de uma grande civilização, que se desenvolveu ao norte da índia há cerca de 4.000 anos atrás, indicam evidências de hábitos sanitários, incluindo a presença de banheiros e de esgotos nas construções, além de drenagem nas ruas.

(Heller, 1997, p. 17)

No entanto, a falta de saneamento básico ainda é um sério e praticamente um

problema desprezado pelos cidadãos.

Segundo com Teixeira e Guilhermino (2003, p. 278) essa falta pode gerar várias

doenças como hepatite, cólera, parasitoses intestinais, febre tifóide, entre outras e a

intervenção no tratamento pode diminuir a morbidade ocasionada por estas.

Para Heller (1997, p. 11) a diarréia é a doença que mais aflige a humanidade,

ocasionando mais de quatro bilhões de casos por ano. Sendo que para Oliveira e

Fernandez (2004, p. 7) essas doenças são provocadas, pois três quartos de todo o esgoto

produzido pelos brasileiros vão parar diretamente na própria água que consumimos.

Percebemos que muitas doenças podem ser evitadas unicamente com o devido

tratamento da rede de esgoto, que infelizmente não está presente em nossa vivência.

Segundo Zoratto (2006, p. 2) uma pesquisa realizada pelo IBGE (Instituto Brasileiro de

Geografia e Estatística), 52% dos municípios brasileiros não possui esse tipo de

tratamento.

A falta de interesse objetivando aliviar a falta de tratamento de esgoto é absurda

e praticamente imutável, já que “em 1992, 36,02% da população tinha acesso ao

6

esgoto tratado. Esse índice passou para 46,77% em 2006”, (Folha Online,

2007), o que foi praticamente uma mudança insignificante.

Segundo Cid (2007) se o ritmo lento dos investimentos continuarem, os

brasileiros terão que esperar até 2122 para ter acesso a um serviço básico, como a rede

de esgoto.

Quem mais sofre com o desprezo do saneamento básico é as crianças, o que é

um equívoco, “pois gasta-se muito mais para remediar do que prevenir. É claro que

não podemos esperar que o governo público faça tudo. Temos que mobilizar a

sociedade civil para conhecer a situação e fazer pressão” (Cid, 2007).

O tratamento de esgoto é importante, mas não é um tema discutido. Esse tipo de

saneamento é algo invisível para os olhos, pois é um serviço que permanece enterrado e

não causa peso político, já que ninguém discute algo que nem sabe a importância. O que

podemos fazer como cidadãos é conscientizar-nos da imensa importância de ter acesso

ao tratamento de esgoto e reivindicar nossos direitos, “a implantação de medidas de

saneamento dependem de decisão política neste mundo de jogo de interesses e a

decisão política ou políticas dependem da força popular (Cynamon, 1997, p. 352)”.

Na cidade de São João do Ivaí - PR, está ocorrendo à construção da estação de

tratamento de esgoto sanitário, organizada pela Sanepar - Companhia de Saneamento e

Esgoto do Paraná - e contando com recursos do Governo Federal.

Segundo o gerente regional da Sanepar, Antonio Mauro, o objetivo dessa obra é

melhorar a qualidade de vida da população, que é um dos focos do governo estadual. A

obra está sendo realizada pela Gennan Construtora de Obras da cidade de Curitiba,

sendo utilizado o PVC ocre para a construção. A ligação dos tubos PVC e a

reconstrução da calçada terão um custo de R$ 90,00 por metro, assim, a obra tem como

orçamento total aproximadamente 2,350 milhões de reais. O esgoto está contando com

586 ligações residenciais e comerciais, a rede de esgoto terá 12.500 m, atendendo 30%

da população da área urbana. Lembrando que a obra está apenas em desenvolvimento,

quando finalizada à capacidade de tratamento que será de 10 litros de esgoto por

segundo. Além disso, está garantindo 260 empregos novos, diretos e indiretos. A obra

terá duração média de 18 meses (Paraná Centro, 2009).

7

No site da Sanepar estão presentes todas as tarifas que são cobradas pelo

saneamento. Estão presentes as tarifas cobradas em Maringá e Curitiba, e nas demais

localidades. Segundo o site da Sanepar, as tarifas são divididas em: tarifa normal

(residencial), tarifa normal (micro e pequeno comércio) e tarifa normal

(comercial/industrial e utilidade pública). A tabela 1 mostra as tarifas cobradas pela

Sanepar .

Tabela 1: Tabela de tarifa de Saneamento Básico

CATEGORIAS ATÉ 10 m³ R$ + R$/m³Excedente a 10m³

R$ + R$/m³Excedente a 30m³

Esgoto residencial 13,08 13,08 + 1,96/m³ 52,28 + 3,34/m³

Esgoto micro e pequeno comércio 13,08 13,08 + 2,65/m³ X

Esgoto comercial / industrial /

utilidade pública23,52 23,52 + 2,65/m³ X

FONTE: Sanepar

3.1 Descrição do problema investigado

De acordo com as informações obtidas e levando em consideração a tarifa

residencial e a tarifa micro e pequeno comércio, pretendemos verificar a partir de

quantos m³ de esgoto utilizado compensaria financeiramente para o consumidor

residencial pagar a tarifa micro e pequeno comércio.

3.2 Dedução do modelo matemático

Com o objetivo de obter uma resposta para o problema, foram definidas as

seguintes variáveis:

8

(e) → Esgoto residencial - (utilizado em m³)

( 1T ) → Tarifa residencial - (cobrada em reais)

( 2T ) → Tarifa micro e pequeno comércio - (cobrada em reais)

( 3T ) → Tarifa comercial, industrial e utilidade pública - (cobrada em

reais)

Em seguida, construímos uma tabela para verificar o comportamento dos dados.

Tabela 2: Valor das tarifas de esgoto (R$)

(e) - Esgoto gasto (m³)

( 1T ) - Tarifa residencial

(R$)

( 2T ) - Tarifa micro e pequeno comércio

(R$)

( 3T ) - Tarifa

comercial, industrial e utilidade pública

(R$)

1 13,08 13,08 23,52

5 13,08 13,08 23,52

10 13,08 13,08 23,52

15 13,08 + )5(96,1 ⋅ 13,08 + )5(65,2 ⋅ 23,52 + )5(65,2 ⋅

20 13,08 + )10(96,1 ⋅ 13,08 + )10(65,2 ⋅ 23,52 + )10(65,2 ⋅

25 13,08 + )15(96,1 ⋅ 13,08 + )15(65,2 ⋅ 23,52 + )15(65,2 ⋅

30 13,08 + )20(96,1 ⋅ 13,08 + )20(65,2 ⋅ 23,52 + )20(65,2 ⋅

35 55,28 + )5(34,3 ⋅ 13,08 + )25(65,2 ⋅ 23,52 + )25(65,2 ⋅

40 55,28 + )10(34,3 ⋅ 13,08 + )30(65,2 ⋅ 23,52 + )30(65,2 ⋅

45 55,28 + )15(34,3 ⋅ 13,08 + )35(65,2 ⋅ 23,52 + )35(65,2 ⋅

Portanto, podemos escrever:

*1 ,

3092,4434,3

301052,696,1

10008,13

+∈

>−≤<−

≤<= IReonde

esee

esee

ese

T

>−≤<

=1042,1365,2

10008,132 esee

eseT *, +∈ IReonde

9

X Axis (units)

Y A

xis

(u

nit

s)

0.1 8.3 16.5 24.7 33.0 41.2 49.414.24

32.79

51.34

69.89

88.44

106.99

125.54

X Axis (units)

Y A

xis

(u

nit

s)

0.0 8.3 16.5 24.8 33.0 41.3 49.50.00

19.40

38.80

58.21

77.61

97.01

116.41

>−≤<

=1098,265,2

10052,233 esee

eseT *, +∈ IReonde

As funções são representadas graficamente nas figuras 2, 3 e 4, respectivamente:

Figura 2: Esboço do gráfico da função

Tarifa residencial ( 1T )

Figura 3: Esboço do gráfico da função

Tarifa micro e pequeno comércio ( 2T )

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Figura 4: Esboço do gráfico da função

Tarifa comercial, industrial e utilidade pública ( 3T )

A validação dos modelos encontrados é mostrada na tabela 3.

Tabela 3: Validação do modelo matemático encontrado

(e)

Esgoto gasto (m³)

( 1T )

Tarifa residencial

(R$)

( 1T )

Tarifa residencial

(R$)

MODELO

( 2T )

Tarifa micro e pequeno comércio

(R$)

( 2T )

Tarifa micro e pequeno comércio

(R$)

MODELO

( 3T )

Tarifa comercial, industrial e

utilidade pública

(R$)

( 3T )

Tarifa comercial, industrial e

utilidade pública

(R$)

MODELO

1 13,08 13,08 13,08 13,08 23,52 23,52

5 13,08 13,08 13,08 13,08 23,52 23,52

10 13,08 13,08 13,08 13,08 23,52 23,52

15 22,88 22,88 26,33 26,33 36,77 36,77

20 32,68 32,68 39,58 39,58 50,02 50,02

25 42,48 42,48 52,83 52,83 63,27 63,27

30 52.28 52.28 66.08 66.08 76,52 76,52

35 71,98 71,98 79.33 79.33 89.77 89.77

40 88.68 88.68 92.58 92.58 103,02 103,02

45 105,38 105,38 105,83 105,83 116,27 116,27

Como podemos concluir pela validação, o modelo encontrado realmente

representa a tarifa de esgoto cobrada pela Sanepar.

11

Para responder a questão do problema investigado basta fazer 1T = 2T

e encontramos o valor: e = 45,65 m³, que acarretaria para o consumidor um valor de R$

107,55 em sua conta. A partir de uma quantidade maior de 45,65 m³ de esgoto utilizado,

o consumidor residencial teria uma economia maior se utilizasse a tarifa micro e

pequeno comércio.

4. Considerações finais

Ao construir um modelo que represente uma situação real, muitos aspectos são

abordados, muito se discute e se reflete sobre os conteúdos matemáticos e o próprio

contexto que originou a investigação.

A elaboração de um modelo matemático depende do conhecimento de

Matemática que se tem, o modelador precisa ter criatividade, saber interpretar o

contexto da situação, saber discernir qual conteúdo matemático que melhor se adapta e

ser capaz de definir as variáveis envolvidas.

Consideramos a construção de um modelo matemático essencial na atividade de

Modelagem Matemática, embora não o consideramos o ‘mais importante’, mas sim, o

consideramos como uma alternativa capaz de permitir uma compreensão mais global na

busca de uma resposta para a situação estudada.

Nesse estudo, particularmente usamos de conceitos básicos de funções. Nesse

percurso foram utilizados vários registros de representação, dentre eles, o algébrico,

tabular, o gráfico, possibilitando o contato do modelador com diferentes características

do objeto matemático em estudo.

Consideramos que ao usarmos a Modelagem Matemática como estratégia de

ensino e de aprendizagem, possibilitamos aos estudantes usar de conhecimentos que já

se tem e também de buscar outros conhecimentos necessários para a resolução do

problema proposto. Isso pode influenciar na relação do estudante com o objeto de

estudo, possibilitando uma aprendizagem mais satisfatória.

12

Esta atividade poderia ser utilizada para trabalhar o conteúdo função

no primeiro ano do Ensino Médio, tanto para introduzir o conceito de função linear ou

ainda como uma forma de motivar a elaboração de funções definidas por sentenças.

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