Revisões 12ºano

“Conhece a Matemática e dominarás o Mundo.” Galileu Galilei

_________________________________________________________________________________________________________________________________________

- PROBABILIDADES –Prop. Distributiva: )()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ ; )()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩

Leis de De Morgan: BABA ∪=∩ BABA ∩=∪ ; )(1)( APAP −= )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

Prob. Condicionada (acontecer A sabendo que B aconteceu): )(

)()/(

BP

BAPBAP

∩= Lei Laplace: possiveisacontn

favoráveisacontnAP

.º

.º)( =

Acont. Independ.: )().()( BPAPBAP =∩ ; )()/( APBAP = . BABABA ∩=−=\

Acont. Diferença( A realiza-se sem que B se realize ): )()()|( BAPAPBAP ∩−= ; )()()|( BPAPBAPAB −=⇒⊂

Permutações !nPn = Arranjos (a ordem importa) : s/ repetição )!(

!

pn

nAp

n

−= c/ repetição p

pn nA ='

Combinações (não há repetição e ordem não importa): )!(.!

!

pnp

nCp

n

−=

Binómio Newton ∑=

−=+n

p

ppnp

nn baCba0

)( 32233 33)( babbaaba +++=+ 4322344 464)( babbabaaba ++++=+

Prop. Triângulo Pascal:

111

1

11

1

+−−−

−+

++

+

−

=

=

=+

=

pnpp

np

ppnp

np

pn

pn

pn

pnn

pn

abCT

baCT

CCC

CC

Dist. Prob. : ∑=

=∧≤≤n

iii pp

1

110 valor médio ∑=

×=n

iii px

1

µ variância ∑=

×−=n

iii px

1

22 )( µσ desvio padrão 2σσ=

Coef. Binomial )!(.!

!

rnr

nCr

n

−= rnr

rn ppCrXP −−×== )1()( ( n=nº experiências e r=nº sucessos )

Estandardização da variável ),( σµσ

µN

XZ

−=

[email protected] Tm.: 919 853 327

Curva Normal :

Intervalo Probabilidade

] [σµσµ +− , 68.27%

] [σµσµ 2,2 +− 95.45%

] [σµσµ 3,3 +− 99.73%


_________________________________________________________________________________________________________________________________________

- FUNÇÕES -

n

mn m

nn

nmnm

mmm

mmm

nmnm

nmnm

aa

aa

asea

aa

baba

baba

aaa

aaa

POTENCIASPROP

=

=

≠==

÷=÷×=×

=÷=×

−

×

−

+

1

01

)(

)(

)(

:.

0 22

222

222

))((

2)(

2)(

:

bababa

bababa

bababa

NOTÁVEISCASOS

−=−+

+−=−

++=+

a

acbbxZeros

a

bc

a

bVVértice

khxay

cbxaxxf

quadraticaFunção

2

4:

4;

2:

)(

)(

:

2

2

2

2

−±−=

−−

+−=++=

xaxy ya =⇔=log xexy y =⇔=ln yxyx aaa loglog).(log +=

yxy

xaaa logloglog −=

a

bb

a log

1log = xpx a

pa log.)(log =

axx bab log.loglog = a

bba log

loglog = x

nx a

na log

1log = 1log =aa

01log =a xa xa =log xa xa =log

11

lim0

=−→ x

ex

x +∞=

+∞→ p

x

x x

elim 1lim

0=

→ x

xsenx

1)1ln(

lim0

=+→ x

xx

11

lnlim

1=

−→ x

xx

0ln

lim =+∞→ x

xx

xn

en

x =

+1lim x

u

n

eu

xn

=

+1lim

Assimpt. função racional m

mmn

nn

bxbxb

axaxa

xq

xpxf

++++++== −

−

...

...

)(

)()( 1

10

110

Assimpt. Vert. )(xqdezeros Assimpt. Horiz. )()(0)(0

0 mnseexistenãomnseymnseb

ay ><===

Assimpt. Obliq. bmxy += x

xfm

x

)(lim

+∞→= [ ]xmxfb

x−=

+∞→)(lim

Taxa variação média [ ] ab

afbfvmt ba −

−= )()(... , Definição derivada

0

00

)()(lim)('

0 xx

xfxfxf

xx −−=

→ ou

hxfhxf

xfoh

)()(lim)(' 00

0

−+=→

Regras Derivação : '')'( vuvu +=+ '.'.)'.( vuvuvu += 2

'´.´.

v

vuvu

v

u −=

´..)'( 1 uunu nn −=

aaua uu ln..´)'( =

uu eue .´)'( = u

uu

')'(ln = au

uua ln.

')'(log = xxxsen cos'.)'( = xsenxx '.)'(cos −=

x

xxtg

2cos

')'( =

Alguns exemplos: 2

'11

xx−=

xx

2

1)'( =

xx

1)'(ln = xx ee =)'( Der. Composta: [ ] )`()(`))`(0( 000 xgxgfxgf ×=


V ( h , k ). x

y x = h

nioContradomi9º

sassimptotadasEquações8º

esconcavidaddasSentido7º

monotoniaeExtremos6º

Simetria5º

eixoscomointersecçãpontossCoordenada4º

deContinuida3º

Dominio2º

acalculadorcomgráficodoesboçoObter1º

:FUNÇÃO COMPLETO ESTUDO

−−−−−−−−−

PARIDADEFunção par: f(-x) = f(x)

Função ímpar: f(-x) = - f(x)

kTkxxf

kTkxxf

kTkxsenxf

TFUNÇÃOUMADEPERÍODO

Π==

Π==

Π==

)tan()(

2)cos()(

2)()(

)(

Propriedades Módulos :Propriedades Módulos :


_________________________________________________________________________________________________________________________________________

- TRIGONOMETRIA -

1cos22 =+ ααsen ααα

cos

sentg = αα 22

111

sentg=+

αα 2

2

cos

11 =+tg bsenasenbaba .cos.cos)(cos +=−

bsenasenbaba .cos.cos)(cos −=+ bsenabasenbasen .coscos.)( +=+

bsenabasenbasen .coscos.)( −=− asenaa 22cos)2(cos −= aasenasen cos..2)2( =

btgatg

btgatgbatg

.1)(

−+=+ btgatg

btgatgbatg

.1)(

+−=−

atg

atgatg 21

.2)2(

−=

Reduções ao 1º quadrante:

αααααα

tgtg

sensen

−=−=−

−=−

)(

cos)(cos

)(

ααπ

ααπ

sen

sen

=−

=−

)2

(cos

cos)2

(

ααπ

ααπ

sen

sen

−=+

=+

)2

(cos

cos)2

(

ααπ

ααπ

sen

sen

−=−

−=−

)2

3(cos

cos)2

3(

ααπ

ααπ

sen

sen

=+

−=+

)2

3(cos

cos)2

3(

ααπααπ

ααπ

tgtg

sensen

−=−−=−

=−

)(

cos)(cos

)(

ααπααπααπ

tgtg

sensen

=+−=+−=+

)(

cos)(cos

)(

ααπααπααπ

tgtg

sensen

−=−=−

−=−

)2(

cos)2(cos

)2(

Equações trigonométricas: Ζ∈+−=∨+=⇔= kkxkxsenxsen ,22 παππαα

Ζ∈+−=∨+=⇔= kkxkxx ,22coscos παπαα Ζ∈+=⇔= kkxx ,tantan πααCirculo trigonométrico:


Ângulo

0º ou 0 rad

30º ou 6π

rad

45º ou 4π

rad

60º ou 3π

rad

90º ou 2π

rad

180º ou πrad

270º ou 2

3π

rad

sen α 021

2

2

2

31 0 -1

cos α 12

3

2

221

0 -1 0

tg α 03

31 3 -- 0 --

-1 +1

-1

+1

sin x

cos x

tan x

eixodos

senos

eixo dos co-senos

eixodas

tangentes

0x

-1 +1

-1

+1

sin x

cos x

tan x

eixodos

senos

eixo dos co-senos

eixodas

tangentes

0x

hco

cax

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

TEOREMA PITÁGORAS

hco

cax

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

TEOREMA PITÁGORAS


_________________________________________________________________________________________________________________________________________

- NÚMEROS COMPLEXOS -

Forma algébrica nº complexo: biaz += Conjugado de z: biaz −= Módulo de z: 22 bazr +== Argumento de z:

== −

a

bz 1tanargθ

Forma trigonométrica: θcisrz .= ou ).(cos. θθ senirz +=

1−=i 12 −=i ii −=3 14 +=i 14 =ni ii n =+14 124 −=+ni ii n −=+34

realnzz º=× z

zz

2

= )( θ−= ciszz

Conjugado )( πθ+=− ciszz

Simétrico )(

111 θ−==− ciszz

z

Inverso

( ) iba

b

ba

abia 2222

1

+−

+=+ −

Operações com nº complexos (fórmulas de Moivre) :

)( 212121 θθ+×=× cisrrzz Ζ∈= nncisrz nn ,).( θ )( 212

1

2

1 θθ −= cisr

r

z

z

Ζ∈+= kn

kcisrcisr nn ,

2.

πθθ

Nota: todas as raízes de índice n têm o mesmo módulo e os argumentos (não negativos mínimos) estão em progressão aritmética de razão n

Π2.

Nota: as n raízes de índice n têm por imagem os vértices de um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio n z .

Domínios planos e condições de variável complexa:

Circunf. de centro z1 e raio r : rzz =−1

Mediatriz do segm. reta entre z1 e z2 : 21 zzzz −=−

Semiplano limitado por mediatriz segm rect entre z1 e z2 , ao qual pertence z1 : 21 zzzz −≤−

Reta vertical x=a+r : rzz =− )(Re 1

Exemplo: ( ) az ≥Re representa o semiplano fechado definido pela reta x=a , que fica à direita da reta.

Reta horizontal y=b+r : rzz =− )(Im 1

Semirreta origem afixo z1 q forma com Ox um ang α : α=− )(arg 1zz

- SUCESSÕES –

crescenteuu nn ⇒≥−+ 01 edecrescentuu nn ⇒≤−+ 01

Progressão Aritmética : ruu nn =−+1 rnuun .)1(1 −+= nuu

S nn ×+=

21

ab

uur ab

−−=


Diagrama Argand

a

b

Re

Im

a

b

Re

Im

27 4

6327 4

6327 4

63


_________________________________________________________________________________________________________________________________________

Progressão Geométrica : ru

u

n

n =+1 1

1 . −= nn ruu

r

ruS

n

n −−=

1

1.1

- GEOMETRIA –Distância entre 2 pontos )2,2()1,1(

212

212 )()( yxQeyxPsendoyyxxPQd −+−==

Mediatriz de [AB] : )2,2()1,1(2

22

22

12

1 )()()()( yxBeyxAsendoyyxxyyxx −+−=−+−

Eq. Circunf. centro (x1,y1) raio r : 221

21 )()( ryyxx =−+− Eq. Elipse

>=+−=

±±±

222:2:

),0()0,()0,(cos

2

2

2

2

)(1

bac

bmenoreixoamaioreixo

bavérticescfo

sendobaeb

y

a

x

Vetores

)2,2()1,1(1212 ),( yxBeyxAsendoyyxxABAB −−=−=

Soma de vetores )2,2()1,1(2121 ),( yxveyxusendoyyxxvu ++=+ Norma vetor: )1,1(2

12

1 yxuseyxu +=

Ponto médio [AB] )2,2()1,1(2121

2,

2yxBeyxAse

yyxxM ==

++

Eq. Vetorial reta )2

,1

()0

,0

(),(),(),( 2100 uuuyxAkuukyxyx dedirecçãotemeptoocontémℜ∈+=

Eq. Paramétricas reta

+=+=

20

10

ukyy

ukxx Eq. Cartezianas reta

2

0

1

0

u

yy

u

xx −=−

Declive reta 12

12tanxx

yym

−−== α Equação reta q contém P(x1,y1) e declive m: )(. 11 xxmyy −=− Eq. Reduzida: bmxy +=

Relação entre declives de duas retas:

⊥⇒−=

⇒=

+=+=

srm

m

srmm

bxmys

bmxyr1

'

//'

'':

: Produto escalar: ),(),(. dcvebausebdacvu ==+=

Produto vetorial: ),(cos... vuvuvu = ou θcos... baba = Âng. entre 2 vetores: ba

ba

.

.cos =θ Projeção:

θcos.bbproja= a

abbproj

a

.= Teorema cossenos Âbccba cos.2222 −+=


x

y

a

c +a-a

b ..Elipse


_________________________________________________________________________________________________________________________________________

Eq. plano ),,()1,1,1(111 0)()()( cbauéezyxptoocontémzzcyybxxa ⊥=−+−+−

Eq. geral do plano ),,(0 cbauaplanodczbyax ⊥=+++

Áreas e Volumes:

3

3..4:

3:

:2

:

2...2:

2:

rVESFERA

hbaseAVCONEePIRÂMIDE

hbaseAVCILINDROePRISMA

hbB

ATRAPÉZIO

rArPCIRCULO

hbATRIÂNGULO

π

ππ

=

×=

×=

×+

=

==

×=


Revisões 12ºano

Documents

Transcript of Revisões 12ºano