MMC- Mnimo Mltiplo Comum MDC- Mximo Divisor Comum

Reviso de Matemtica FinanceiraProfessor- Danilo PiresContedo ProgramticoMMC e MDCRazo e ProporoRegra de Trs Simples e CompostaPorcentagemJuros SimplesJuros Composto

MMC- Mnimo Mltiplo ComumMDC- Mximo Divisor ComumDados dois ou mais nmeros o Mnimo Mltiplo Comum, MMC o menor nmero que mltiplo dos outros dois ( ou mais nmeros).

Dado dois ou mais nmeros, denomina-se Mximo Divisor Comum ( M.D.C) desses nmeros o maior desses divisores

Vamos encontrar o M.M.C.( 12, 36, 18)

Primeiro encontramos:

Mltiplos de 12: 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72,...

Mltiplos de 36: 0 , 36, 72, 108, 144, 180,...

Mltiplos de 18: 0, 18 36, 54, 72, 90, 108,...

Os mltiplos comuns so: 0, 36, 72,....

Sem contar o zero.

m.m.c ( 12, 36, 18) = 36Vamos encontrar o MDC ( 12, 36, 18)

Primeiro Encontramos:

D(12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(36)= {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }

D(18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Divisores comuns= 1, 2, 3, 6

Maior divisor comum 12, 36 e 18

MDC(12, 36, 18) = 6

Vamos agora encontrar o MMC e o MDC por um mtodo muito prtico!

Usaremos o mtodo da Fatorao Simultnea

Fatorao Simultnea

Dividimos todos os nmeros por um primo divisor de todos.

12, 36,1826,18,932,6,332,2,121,1,1Dividimos novamente por um primo divisor de todos.Como no temos um primo divisor de todos, J temos o MDC, basta fazer 2x3=6Continuamos a fatoraoAgora fazendo 2x3x3x2 temos o MMC, que 36Ento MMC(12, 36, 18)=36 e MDC(12,36,18)= 6Observe agora o que acontece com o MMC e com o MDC dos nmeros 10 e 11

Nmeros que tenham como MDC= 1, so chamados de nmeros primos entre si!

No h primo divisor comum!Ento o MDC(10, 11) = 1O MMC(10,11)= 2x5x11= 10x11=11010,1125,1151,11111,1

Razo e ProporoA palavra razo vem do latim ratio e significa diviso.

A razo representa-se por uma fraco:abRazo e ProporoDefinio:

Dados dois nmeros a e b, com b diferente de zero, a razo entre a e b representa-se por:

ab:a boue l-se razo de a para b.Razo e Proporoab:a bTermos Termos Razo e ProporoabTermos AntecedenteConsequenteTermos AntecedenteConsequente:a bExemploUma orquestra formada por 40 homens e 30 mulheres. Qual a razo entre o nmero de homens e o nmero de mulheres?

Qual a razo entre o nmero de mulheres e o nmero de homens?

Numa razo muito importante verificar a ordem pela qual esto referidas as duas grandezas

Grandezas directamente proporcionaisN de galinhas24364860Alimentao ()24364860O Sr. Ramalho faz criao de galinhas. Observa a tabela.

Nota que

A relao nmero de galinhas/gastos com alimentao igual em todos os quocientes.Dizemos, ento, que o nmero de galinhas e os gastos em com alimentao so directamente proporcionais.Duas grandezas so directamente proporcionais quando constante o quociente entre os valores correspondentes de ambas as grandezas.A esse quociente chamamos constante de proporcionalidade.Nota queRazo Proporol-sea est para b assim como c est para d onde a, b, c e d so os termos da proporo: a e d so extremos e b e c so os meios.Definio:abcd= Uma proporo uma igualdade entre duas razes.

Razo e ProporoMeioExtremoabcd= ExtremoMeio:a b:c d=ExtremoExtremoMeioMeioRazo e ProporoPropriedade fundamental das propores:Numa proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

abcd= b c

a d

=MeioMeioRazo e ProporoPropriedade fundamental das propores:Numa proporo, o produto dos meios igual ao produto dos extremos.

abcd= b c

a d

=MeioExtremoExtremoMeioRazo e ProporoExemplos:

proporoNo proporoExerccios de aplicao

1. Descobre o termo que falta em cada uma das propores:

5 x 20 = ? x 25 100 = ? X 25 ? = 100 : 25 ? = 4

2 x ? = 9 x 12 2 x ? = 108 ? = 108 : 2 ? = 54 2 x ? = 3 x 6 2 x ? = 18 ? = 18 : 2 ? = 9

Regra de TrsA regra de trs simplesmente um mtodo para resolver as propores sem precisar de arm-las. A regra de trs ganha seu nome do seu uso, pois usada para determinar um quarto valor de um proporo quando so conhecidos trs deles.

Tabela de Valores

A regra de trs se vale muito de tabelas para a fcil visualizao do problema.

Regra de TrsPedro decide fazer um tnel de1Km de extenso.

Como o tnel em questo estreito, somente um mximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na escavao ao mesmo tempo.

Como dispunha de 30 trabalhadores, Pedro resolveu dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim de aumentar produtividade.

Originalmente, a escavao gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminar a escavao com o novo arranjo?

Regra de TrsPrimeiro colocamos o problema em uma tabela:

Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por que o nmero de trabalhadores aumentou.

Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas so diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos, so inversamente proporcionais.

Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.

No caso de proporo inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha reta e igualando, obtendo:

Que a prpria proporo inversa em forma de produto, previamente mostrada.

O tnel em questo media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa distncia em 2 meses, qual distncia cada grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de tempo?

Proporo direta, multiplica-se cruzado e igual a:

Observamos que a relao obtida uma forma da proporo:

Regra de Trs CompostaPodemos interpretar de outra maneira o problema anterior:Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?

Devemos agora, assumir um sentido arbitrrio para o tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relao aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores so necessrios. Em relao a distncia, menos tempo faz com que a distncia diminua.

Regra de Trs CompostaSeparamos a incgnita de um lado da tabela e comeamos um processo de multiplicaes sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de trs simples, e neste caso ser cruzada.Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais (setas na mesma direo), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posio invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.Obtemos ento a soluo:

2 meses PorcentagemA porcentagem uma forma usada para indicar uma frao de denominador 100 ou qualquer representao equivalente a ela. Exemplos:

Porcentagem100% representa o valor total de uma quantidade.25% do total representa uma parte da quantidade.Sendo assim, com 25% de 300 alunos, teremos:

Se o nmero de alunos aumentou em 25%, teremos a nova quantidade de alunos igual a 300 + 75 = 375 alunos.Caso tenha diminudo de 25%, ser igual a 300 75 = 225 alunos.PorcentagemPara achar o valor total: 60% de quanto d R$ 156,00?

Sendo assim, 60% de R$ 260,00 igual a R$ 156,00. A quantia de 126 corresponde a quantos por cento de 420?

Sendo assim, 30% de 420 igual a 126. Termos Importantes da Matemtica FinanceiraCapital (C) ou valor principal a quantia que ser emprestada ou aplicada e sofrer o aumento dos juros.

Juros (j) o valor em dinheiro acrescido aps um perodo ou tempo de aplicao.

Montante (M) o valor do capital acrescido de juros.

Taxa (i) de juros a porcentagem que ir incidir sobre o capital.

Perodo (t) ou tempo que o dinheiro ficar aplicado.

Juros Simples o clculo do rendimento do capital por meio de uma taxa de juros estabelecida num perodo de tempo considerado. Este regime era mais utilizado nas situaes de curto prazo, hoje os juros compostos so os mais presentes.

Os clculos so baseados na utilizao da frmula extrada do conceito, no se esquea das letrinhas do slide anterior, certo?

MontanteMontante o valor acumulado aps um determinado perodo, referente a uma operao financeira, tambm conhecido como Valor Futuro (VF); justamente a soma do Capital (C) e dos Juros (J).

Juros Simples

Quanto rendeu um capital de R$4000,00 aplicado a juros simples, com taxa de 2% ao ms ao final de 1 ano e meio?

Qual o montante que terei?

Um capital de R$ 5000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 1,5% ao ms, resultou em um montante de R$ 5750,00 aps um perodo de aplicao. Qual foi este perodo?

Juros CompostoO capital aplicado, como j sabemos, remunerado, a partir dos juros que vo se acumulado, ao longo perodo considerado. J trabalhamos com os juros simples, no qual somente o principal rende juros. Vamos observar, agora, o que muda:

Juros CompostoPara facilitar as construes, vamos ilustrar a diferena entre o crescimento de um capital atravs de juros simples e de juros compostos. Que tal? Lembre-se de que: M = C *(1 + i*n), assim na tabela simularemos cada perodo, ficando n=1, teremos: M = C* (1 + i), ou seja, C + C*i. Suponha que R$1.000,00 so empregados a uma taxa de 10% a.m, assim, teremos:

CAPITAL (R$1000,00) JUROS SIMPLES JUROS COMPOSTO MS MONTANTE SIMPLES MONTANTE COMPOSTO 1 1000 + 0,1*1000 = 1.100,00 1000 + 0,1*1000 = 1.100,00 2 1100 + 0,1*1000 = 1.200,00 1100+0,1*1100=1.210,00 3 1200 + 0,1*1000 = 1.300,00 1210+0,1*1210=1.331.00

Juros CompostoPodemos observar que nas letras em vermelho, que o crescimento do capital, segundo juros simples, simplesmente linear, enquanto que o crescimento, segundo juros compostos, exponencial, o que implica em ganhos maiores. Por esse motivo, as empresas e os indivduos da sociedade preferem investir seu capital em aplicaes financeiras, que praticam os juros compostos. Exemplo:

Juros Composto

Quanto rendeu um capital de R$4000,00 aplicado a juros compostos, com taxa de 2% ao ms ao final de 1 ano e meio?

Um capital de R$ 5000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 1,5% ao ms, resultou em um montante de R$ 5750,00 aps um perodo de aplicao. Qual foi este perodo?

Professor Danilo Piresslideshare.net/danilospiresdanilospires@gmail.com