R E V I S Ã O S E M A N A

4M O N I T O R I A E S T Á T I C A

2 0 2 0

D I A G R A M A D E

M O M E N T O S F L E T O R E S

O Q U E É ?

É uma ferramenta de análise que, em conjuntocom o estudo estrutural, determina o momentofletor (força que tende a curvar o eixolongitudinal) em um certo ponto de um elementoestrutural como uma viga.

R E L A Ç Ã O :

Para cada modelo de sistema viga + apoios +carregamentos, é possível encontrar umaequação específica; esta SEMPRE será a integralda equação obtida para os esforços cortantes domesmo sistema.

Integral: correspondente elevada em um grauDerivada: correspondente reduzida em um grau

EquaçãoMomentosFletores

EquaçãoEsforçosCortantes

integral derivada

parábola reta

C O M O É C A L C U L A D O ?

Determinando o momento em cada um dospontos de interesse separadamente. Para isso,imaginamos uma seção αβ que passe por cadaum individualmente e olhamos para ascomponentes à esquerda ou à direita para fazer ocálculo. α

à esquerda à direita

β

A T E N Ç Ã O :

Nos pontos das extremidades não engastadas,esse valor será 0, já que, escolhendo a direçãoextrema, nenhuma das forças entra na conta -sistema equilibrado (ΣM=0).

α

β

α

β

Não entra na conta pois não gera momento

C D E

Reações de apoio:

C D E

VbVa

Ha

ΣFx=0 Ha = 0

ΣFy=0 Va + Vb – 18 – 18 - 36 = 0Va + Vb = 72 kN

ΣMa=0 4Rb – 18.1 – 36.2 – 18.3 = 04Rb = 144 Rb = 36 kN

Va + Vb = 72 kN Va = 72 – 36Va = 36 kN

+

+

+

Para o ponto C:

C D E

VbVa

Ha

α

β

Mc = + 36. 1 = +36 kNm

α

à esquerda

β

Para o ponto D:

C D E

VbVa

Ha

α

β

Md = + 36. 2 – 18.1 = +54 kNm

α

à esquerda

β

Para o ponto E:

C D E

VbVa

Ha

α

β

Me = + 36. 1 = +36 kNm

α

à direita

β

Depois, traçam-se os valores encontrados paracada ponto respeitando a convenção de positivopara BAIXO e negativo para CIMA.

0 0

+36 kNm +36 kNm

+54 kNm

C O M O U N I R O SP O N T O S ?

De acordo com a equação de dedução domomento fletor, chegamos ao formato dodiagrama:

Para cargas concentradas: o diagrama deve sercomposto por retas (equação do 1º grau); ou seja,basta apenas ligar os valores encontrados paracada ponto.

Para cargas distribuídas: o diagrama deve sercomposto por uma parábola (equação do 2ºgrau); para isso, deve ter um momento demáximo/mínimo.

Esse momento máximo acontece onde osesforços cortantes são nulos (V=0) – ou seja, aoigualar a equação derivada a 0.

Nesse caso, como todas as forças sãoconcentradas:

0 0

+36 kNm +36 kNm

+54 kNm

D I A G R A M A D E

E S F O R Ç O S C O R T A N T E S

O Q U E É ?

É uma ferramenta de análise que, em conjuntocom o estudo estrutural, determina o esforçocortante (força que tende a cisalhar o objeto, semgirar o eixo longitudinal) em um certo ponto deum elemento estrutural como uma viga.

C O M O É C A L C U L A D O ?

Determinando o valor das componentes no eixo ypara dois pontos infinitamente próximos de cadaponto: um à esquerda e outro à direita, sempreolhando para o mesmo lado das seções αβ.

α

à esquerda à direita

β

C D E

VbVa

Ha

α

βVA com αβ à esquerda = 0

C D E

Va

Ha

α

β

VA com αβ à direita = + 36 kN

α

à esquerda

β

Vb

C D E

VbVa

Ha

α

βVC com αβ à esquerda = +36 kN

C D E

Va

Ha

α

β

VC com αβ à direita = + 36 – 18VC com αβ à direita = + 18 kN

α

à esquerda

β

Vb

C D E

VbVa

Ha

α

βVD com αβ à esquerda = +18 kN

C D E

Va

Ha

α

β

VD com αβ à direita = + 36 – 18 - 36VD com αβ à direita = - 18 kN

α

à esquerda

β

Vb

C D E

VbVa

Ha

α

βVE com αβ à esquerda = -18 kN

C D E

Va

Ha

α

β

VE com αβ à direita = + 36 – 18 – 36 - 18VE com αβ à direita = - 36 kN

α

à esquerda

β

Vb

C D E

VbVa

Ha

α

βVD com αβ à esquerda = -36 kN

C D E

Va

Ha

α

β

Todas as forças = sistema equilibrado = ΣFy é 0

α

à esquerda

β

Vb

VD com αβ à direita = + 36 – 18 – 36 – 18 + 36

VD com αβ à direita = 0

Depois, traçam-se os valores encontrados paracada ponto respeitando a convenção de positivopara CIMA e negativo para BAIXO.

0 0

+36 kN

-36 kN

+18 kN+36 kN

+18 kN

-18 kN -18 kN

-36 kN

C O M O U N I R O SP O N T O S ?

De acordo com a redução em um grau dodiagrama de momentos fletores, chegamos aoformato do diagrama:

Para cargas concentradas: o diagrama deve sercomposto por constantes; ou seja, basta apenasligar os valores encontrados (na ordem que foramdescobertos) para cada ponto.

Para cargas distribuídas: o diagrama deve sercomposto por uma reta (equação do 1º grau);deve-se unir os pontos na ordem que foramencontrados.

Nesse caso, como todas as forças sãoconcentradas:

0 0

+36 kN

-36 kN

+18 kN+36 kN

+18 kN

-18 kN -18 kN

-36 kN

C Á L C U L O M O M E N T O M Á X I M O /M Í N I M O

Para encontrar o local que momento máximo daparábola (gráfico momentos fletores para cargadistribuída), devemos encontrar o local onde osesforços cortantes são zero, ou seja, Fy = 0.

Isso porque os momentos de máximo (se +) ou demínimo (se -) são encontrados igualando aderivada da equação a 0: lembre que a equaçãode V é derivada da equação de M.

L O C A L D E A P L I C A Ç Ã O

A partir da esquerda, é possível encontrar adistância em que a carga distribuída anula a forçade 66 kN (resultante em y no ponto do apoio),satisfazendo, assim, Fy = 0.

Q = q. L Q = 66 kN q = 24 kN/m66 = 24. x x= 66/24 x = 2,75m

66 kN x-18 + 84

66 kN

Para encontrar o valor do momento máximo,basta calcular o momento fletor em relação aoponto x encontrado.

Neste caso:

V A L O R

α

β

α

β

2,75 m

Mx = - 18. 4,75 + 84. 2,75 – (2,75. 24). (2,75/ 2)Mx = 54,75 kNm

Com isso, é só traçar a parábola.

Q = q1. L

Q = 30. 10Q = 300 kN

ΣFx=0Ha = 0

ΣFy=0Ra + Rb – 150 – 300 – 80 = 0Ra + Rb = 530 kN

+

+

-150.3 + 80.5 +300.5 – Rb. 10Rb = 145kN

Ra + Rb = 530 kNRa + 145 = 530Ra = 385 kN

ΣMa = 0+

• Cálculo dos momentos fletores

Mc = 0

Ma = -150.3 = -450kNm

Md = -150.8 + 385.5 – 150.2,5 = +350kNm

Mb = -150.13 + 385.10 – 300. 5 – 80.5= 0

• Diagrama dos momentos fletores

Mc = 0

Ma = -450kNm

Md = +350kNm

Mb = 0

• Cálculo dos esforços cortantes

Vc (esq) = 0

Vc (dir) = -150 kN

Va (esq) = -150 kN

Va (dir) = -150 +385 = + 235 kN

Vd (esq) = -150 + 385 - 150 = +85 kN

Vd (dir) = -150 + 385 - 150 - 80= +5 kN

Vb (esq) = -150 + 385 - 300 – 80 = -145 kN

Vb (dir) = -150 + 385 - 300 – 80 + 145 = 0

• Diagrama dos esforços cortantes

Vc (esq) = 0 Vc (dir) = -150 kN

Va (esq) = -150 kN Va (dir) = + 235 kN

Vd (esq) = +85 kN Vd (dir) = +5 kN

Vb (esq) = -145 kN Vb (dir) = 0

• Cálculo do momento fletor máximo

Q = q. L

145 = 30. x

x = 4,833m

Mx = +145.4,833 – 30.4,833.2,416Mx= 350,4165 kNm

D Ú V I D A S

O B R I G A D A

• E S T A M O S S E M P R E D I S P O N Í V E I S P A R A T I R A R D Ú V I D A S : )

• A N A L U Í S A B A R B O S A E G A B R I E L A S T A N G A