REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES

Marina Vargas R. P. Gonçalvesa

aDepartamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com,http://www.estruturas.ufpr.br

1 REVISÃO DE DESIGUALDADE

O conjunto dos números reais será representado pela simbologia IR. Em IR estão definidas duasoperações, adição (+) e multiplicação (·) e uma relação (≤). A adição associa a cada par (x, y) denúmeros reais um único número real, representado por x + y, a multiplicação, um único real, indicadopor x · y. Admitiremos que a quádrupla (IR,+, ·,≤) é um corpo ordenado, ou seja, satisfazem:

i) (x+ y) + z = x+ (y + z)

ii) y + x = x+ y

iii) x+ 0 = x

iv) Para todo x ∈ IR existe um único y ∈ IR tal que x + y = 0, ou seja x = −y. Denominamos esse yde oposto de x, e o denotamos por −x. Assim x+ (−x) = 0.

v) x(yz) = (xy)z

vi) xy = yx

vii) x · 1 = x

viii) Para todo x ∈ IR com x 6= 0existe um único y ∈ IR tal que x · y = 1. Tal y é denominado de

inverso de x e indicado por x−1 ou1

x. Assim x · x−1 = 1.

ix) x(y + z) = xy + xz

x) x ≤ x

xi) x ≤ y e y ≤ x⇒ x = y

xii) x ≤ y e y ≤ z⇒ x ≤ z

xiii) Quaisquer que sejam os reais x e y, tem-se que x ≤ y ou y ≤ x.

xiv) Quaisquer que sejam os números reais x, y, z, w e

x ≤ yz ≤ w

}⇒ x+ z ≤ y + w

somando-se, membro a membro, desigualdades de mesmo sentido, obtém-se outra de mesmo sen-tido.

1

xv) Quaisquer que sejam os números reais x, y, z e

x ≤ y0 ≤ z

}⇒ xz ≤ yz

multiplicando-se ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo, osentido da desigualdade se mantém.

Desta forma é possível resolver a inequação a seguir

Exemplo 1.15x+ 3 < 2x+ 7

Solução:5x+ 3 < 2x+ 7 ⇔ 5x < 2x+ 4

⇔ 3x < 4

⇔ x <4

3

Assim, {x ∈ IR|x < 4

3}.

Graficamente:

Figure 1

Exemplo 1.2 Estude o sinal da expressão x− 3Solução:

• Se x− 3 = 0⇒ x = 3

• Se x− 3 < 0⇒ x < 3

• Se x− 3 > 0⇒ x > 3

Assim,

Figure 2

Exemplo 1.3 Determine o conjunto de valores de x ∈ IR para os quais2x− 6

x− 1< 1.

Solução:

2x− 6

x− 1− 1 < 0

2x− 6− x+ 1

x− 1< 0

x− 5

x− 1< 0

• x− 5

• x− 1

Figure 3

Assim, {x ∈ IR|1 < x < 5}.

Ver Exemplos 07, 08 e 09 das páginas 07, 08 e 09 - livro do Guidorizzi (1995).Ver Exemplo 08 da página 10 - livro do Leithold (1994).

2 REVISÃO DE MÓDULO

Seja x um número real; definimos o módulo (ou valor absoluto) de x por:

Definição 2.1

|x| ={

x se x ≥ 0−x se x < 0

(1)

Da definição (2.1), o valor absoluto de um número é um número positivo ou zero; ou seja, nãonegativo.

Em termos geométricos, o valor absoluto de um número real x é sua distância em relação ao valorzero.

Figure 4

Exemplo 2.1 • |13| = 13

• | − 4| = 4

• |0| = 0

• |x2| = x2

• |x− 1| ={

x− 1, se x ≥ 1−x+ 1 se x < 1

A desigualdade |x| < a, onde a > 0, estabelece que na reta numérica real a distância da origem até oponto x é menor que a unidades; ou seja, −a < x < a. Portanto, x está no intervalo aberto (−a, a), verFig.(5).

Figure 5

O que nos leva ao Teorema (2.1)

Teorema 2.1 Seja x ∈ IR e a > 0. Então|x| < a

se e somente se−a < x < a

Demonstração: Como |x| = x se x ≥ 0 e |x| = −x se x < 0, segue que o conjunto solução dadesigualdade |x| ≤ a é a união dos conjuntos

{x | x < a e x ≥ 0} e {x | − x < a e x < 0}

Observe que o primeiro desses conjuntos é equivalente a {x | 0 ≤ x < a}, e o segundo é equivalente a{x | − a < x < 0} pois −x < a é equivalente a x > −a. Assim o conjunto solução de |x| < a é

{x | 0 ≤ x < a} ∪ {x | − a < x < 0} ⇔ {x |a < x < a}

Comparando a desigualdade dada e o seu conjunto-solução, concluímos que

|x| < a⇔ −a < x < a �

Exemplo 2.2 Resolva cada uma das equações para x.

a) |3x+ 2| = 5

b) |2x− 1| = |4x+ 3|

c) |5x+ 4| = −3

Solução:

a) Essa equação estará satisfeita se

• 3x+ 2 = 5 ou −3x− 2 = 5

Portanto x = 1 ou −7

3

b) Essa equação estará satisfeita se

• 2x− 1 = 4x+ 3 ou 2x− 1 = −(4x+ 3)

Portanto x = −2 ou −1

3

c) Como o valor absoluto de um número não pode ser negativo, logo essa equação não tem solução.

Teorema 2.2 Se a, b ∈ IR, então|ab| = |a| · |b| (2)

Teorema 2.3 Se a, b ∈ IR e b 6= 0, ∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

(3)

Teorema 2.4 (Desigualdade Triangular)Se a, b ∈ IR, então

|a+ b| ≤ |a|+ |b| (4)

Corolário 2.1 Se a, b ∈ IR, então|a− b| ≤ |a|+ |b|

Corolário 2.2 Se a, b ∈ IR, então|a| − |b| ≤ |a− b|

Ver Leithold (1994).

3 REVISÃO DE FUNÇÕES

Definição 3.1 Entendemos por uma função f uma terna

(A,B, a 7→ b),

que também pode ser representada por

f : A → Ba 7→ b

onde A e B são dois conjuntos e a 7→ b, uma regra que nos permite associar a cada elemento a de Aum único b de B. O conjunto A é o domínio de f e indica-se por Df , assim A = Df . O conjunto B é ocontradomínio de f , então B = CDf .

Definição 3.2 Quando x percorre o domínio de f , f(x) descreve um conjunto denominado imagem def . Este é indicado por Imf onde,

Imf = {f(x)|x ∈ Df}ou

Imf = {y ∈ CDf | ∃x ∈ Df com f(x) = y}

Uma função de f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicado por

f : A→ B.

Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f : A → B, onde A e B são subcon-juntos de IR1.

Exemplo 3.1 Sejaf : IR → IR

x 7→ x3.

Têm-se:

a) Df = IR;

b) Imf = {y = x3|y ∈ IR}, pois para todo y em IR existe x real tal que x3 = y.

c) O valor que f assume em x é f(x) = x3. Esta função associa a cada real x o número real f(x) = x3.

Definição 3.3 O gráfico de uma função real f : A→ B é o subconjunto de pontos (x, y) ∈ IR2 tais quex ∈ Df e y = f(x):

Gf = {(x, y) ∈ IR2|x ∈ Df e y = f(x)}.

Exemplo 3.2 Seja f a função dada por f(x) =√x. Tem-se:

a) Df = {x ∈ IR|x ≥ 0};

b) Imf = {y ∈ IR|y ≥ 0}, pois para todo y em IR existe x real tal que√x = y.

c) Gráfico de f . A função f é dada pela regra x 7→ y, y =√x. Quando x cresce, y também

cresce, sendo o crescimento de y mais lento que o de x; quando x aproxima-se de zero, y tambémaproxima-se de zero, só que mais lentamente que x.

Figure 6

Exemplo 3.3 Considere a função g dada por g(x) = y =1

x. Tem-se:

1Até menção em contrário, só trataremos com funções de uma variável real a valores reais.

a) Dg = {x ∈ IR|x 6= 0};

b) Img = {y ∈ IR|y 6= 0}. Essa função associa a cada x 6= 0 o real g(x) =1

x.

c) g(x+ h) =1

x+ honde x 6= −h.

d) Gráfico de g.

Figure 7: software Maple 13.

3.1 Conceitos Fundamentais

1. Função Par:f(−x) = f(x).

Exemplo: f(x) = x2.

2. Função Ímpar:f(−x) = −f(x).

Exemplo: f(x) = x3.

3. Funções por partes:

f(x) =

−x, x < 0x2, 0 ≤ x ≤ 11, x > 1

4. Função com valor absoluto:f(x) = |x|,

ou ainda,

f(x) =

{−x, x < 0x, x ≥ 0

5. Função Composta:f ◦ g(x) = f(g(x)).

Exemplo: f (x2 + 1) =√x2 + 1, sendo f(x) =

√x e g(x) = x2 + 1.

6. Translação de Gráfico - Verticaly = f(x) + k

• Translada o gráfico k unidade para cima se k > 0.

• Translada o gráfico |k| unidade para baixo se k < 0

Figure 8: Para transladar o gráfico f(x) = x2 para cima (ou para baixo), adicionamos constantes positi-vas (ou negativas) à fórmula de f .

7. Translação de Gráfico - Horizontaly = f(x+ h)

• Translada o gráfico h unidade para a esquerda se h > 0.

• Translada o gráfico |h| unidade para a direita se h < 0

Figure 9: Para transladar o gráfico f(x) = x2 para a esquerda, adicionamos uma constante positiva a x.Para transladar o gráfico para a direita, adicionamos uma constante negativa a x.

8. Função Injetora:

∀x1, x2{x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)x1 = x2 ⇒ f(x1) = f(x2)

9. Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora (ou sobrejetiva) quando o conjunto imagem coin-cide com o contradomínio da função.

10. Função Bijetora: Uma função bijetiva (função bijetora, correspondência biunívoca ou bijecção), éuma função injetiva e sobrejetiva (injetora e sobrejetora).

11. Função Inversa: f(x) tem que ser bijetora.

Observação 3.1f−1(x) 6= 1

f(x)

e1

f(x)= [f(x)]−1

Se f é injetora ela pode ser invertida de modo que mande de volta cada valor assumido ao pontodo qual ele veio.

12. Função Exponencial:f(x) = ax, para a > 1

Exemplo: f(x) = 2x.

13. Função Logarítmica:y = loga x⇔ x = ay

Propriedades:

• aloga x = x

• loga ax = x, (a > 0, a 6= 1, x > 0)

• Mudança de base: loga x =log x

log a

14. Funções Trigonométricas:f(x+ p) = f(x)

para qualquer valor de x e p é o período da função.

Exemplo: cos(θ + 2π) = cos(θ) e p = 2π.

3.1.1 Coeficiente Angular

Definição 3.4 Seja a equação da reta y = mx + b, onde y para pelos pontos (x1, y1) e (x2, y2), entãopodemos dizer que m é o coeficiente angular da reta y com

m =∆y

∆x=y2 − y1x2 − x1

e a equação da reta y pode ser reescrita como

y − y1 = m(x− x1) ou y − y2 = m(x− x2)

4 LISTA DE EXERCÍCIOS

1. Resolva as inequações:

a)x− 3 > 0

b)x+ 3 ≤ 6x− 2

c)2x+ 1 ≥ 3x

d)2x− 1

x+ 1< 0

e)x− 3

x2 − 1< 0

f) x(2x− 1) ≤ 0

g) (2x− 3)(x2 + 1) < 0

2. Faça a análise de sinal das expressões

a) 5x− 4

b) 7− x

c)x− 6

x− 3

d)(x− 1)

(x− 1)2

e)2− 3x

x+ 2

f) (x− 2)(x+ 2)

g) (2x− 1)(x2 + 1)

3. Ache o conjunto solução das inequações:

a)|3x+ 4| > 7

b) |x2 + 4x+ 7| > 3

4. Provar o Teorema (2.2) e os Corolários (2.1) e (2.2).

5. Calcule:

a) h(−1) e h(

1

2

), sendo h(x) = −x3 + x2 − 3

b) g(0), g(2) e g(√

2), sendo g(x) =x

x2 − 1

6. Calcule o domínio de f(x) =1√|x| − x

.

7. Escreva se as funções abaixo são funções pares, ímpares ou nenhuma delas e faça o gráfico de cadauma delas.

a) f : IR→ IR, tal que x 7→ f(x) = 1− x4

b) f : IR→ IR, tal que x 7→ f(x) = x5 + x

c) f : IR→ IR, tal que x 7→ f(x) = 2− x3

8. Existe uma função que seja par e ímpar ao mesmo tempo? Se existir, dê um exemplo.

REFERENCES

Guidorizzi H.L. Um Curso de Cálculo, volume I. LTC, 1995.Leithold L. O Cálculo com Geometria Analítica, volume I. Harbra, 1994.