Revisão Vetores e Matrizes

2

Vetores

Vetores no ℜn

ℜn = {(x1, ..., xn) tal que x1, ..., xn ∈ ℜ} com as definições usuais de adição e multiplicação

Adição(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1+ y1, ..., xn+ yn)

3

Vetores

MultiplicaçãoSe c ∈ ℜ, um escalar, então

c(x1, ..., xn) = (cx1, ..., cxn)Seja x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) dois vetores 1xn, temos

w = x.yT = x1.y1 + ... + xn.yn (w é um escalar)

Combinação LinearDados u1, ..., uk vetores do ℜn, uma combinação linear de u1, ..., uk é uma expressão do tipo

α1u1 + ... + αkuk, onde α1, ..., αk são coef. reais

4

Vetores

Independência LinearDizemos que os vetores u1, ..., uk são linearmente independentes quando

α1u1 + ... + αkuk = 0

implica em α1= ...= αk = 0.Caso contrário dizemos que u1, ..., uk são linearmente dependentes.

5

Matriz

Def.: uma matriz “nxp” de elementos reais éum arranjo de “n.p” números reais, numa estrutura retangular de “n” linhas e “p”colunas.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

npn

p

p

aa

aaaa

A

L

MOM

L

L

1

221

111

6

Matrizes – Soma e Subtração

A operação de soma/subtração é definida apenas entre matrizes que têm a mesma dimensão, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

npn

p

p

aa

aaaa

A

L

MOM

L

L

1

221

111

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

npn

p

p

bb

bbbb

B

L

MOM

L

L

1

221

111

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++++

=+=

npnpnn

pp

pp

baba

babababa

BAC

L

MOM

L

L

11

222121

111111

7

Soma e SubtraçãoPropriedades

Associativa(A + B) + C = A + (B + C)

ComutativaA + B = B + A

Elemento Neutro0 + A = A

Elemento OpostoA +(-A) = 0

8

Matrizes – Multiplicação

A operação de multiplicação de uma matriz A por uma matriz B é definida apenas se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

npn

p

p

aa

aaaa

A

L

MOM

L

L

1

221

111

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

pkp

k

k

bb

bbbb

B

L

MOM

L

L

1

221

111

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

++++++++

=

)()(

)()()()(

.

111111

2121121121

1111111111

pknpknpnpn

pkpkpp

pkpkpp

babababa

babababababababa

BA

KLK

MOM

KLK

KLK

9

Matrizes – Multiplicação

Multiplicação de uma matriz por um escalar

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

npn

p

p

acac

acacacac

Ac

..

..

..

.

1

221

111

L

MOM

L

L

10

MultiplicaçãoPropriedades

Distributiva com escalarq(A + B) = qA + qB

Distributiva entre matrizesA(B + C) = AB + AC

ComutativaAB ≠ BA

Elemento Neutro0.A = 0

onde 0 é uma matriz Nula.

11

Matrizes Especiais

Matriz QuadradaPossuem o mesmo número de linhas e colunas

Matriz DiagonalUma matriz quadrada A é dita matriz diagonalquando todos os elementos não pertencentes a diagonal são diferentes de zero.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ppp

p

aa

aaA

L

MOM

L

1

111

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

aa

L

L

0000

22

11

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

ppa

A

L

MOMM

00

12

Matrizes Especiais

Matriz TriangularUma matriz quadrada A é dita ser triangular: (i) se e somente se todo elemento aij ∈ A, tal que i < j, é igual a zero; (ii) todo elemento aij ∈ A, tal que i > j, é igual a zero;

Matriz SimétricaUma matriz quadrada A é simétrica, se e somente se,

aij = aji para todo i ≠ j ∈ {1, 2, ..., n}

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

pp

p

p

a

aaaaa

A

L

MOMM

L

L

00

0 222

11211

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

zaxyxa

L

L

22

11

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=

ppazy

A

L

MOMM

13

Matrizes Especiais

Matriz IdentidadeUma matriz quadrada A é uma matriz identidade, se e somente se, todo elemento aij ∈A, tal que i ≠ j, é igual a zero e todo elemento aij ∈A, tal que i = j, é igual a 1;

Matriz IdempotenteUma matriz quadrada A é idempotente, se e somente se,

A.A = A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100

010001

L

MOMM

L

L

I

14

Matrizes Especiais

Matriz TranspostaDada uma matriz A de qualquer dimensão “nxp”, chamamos de matriz transposta de A, representada por A’ ou AT, a matriz “pxn” tal que a’ji = aij, ou seja, as linhas de A’ são as colunas de A, na mesma ordem.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

npnn

p

p

p

aaa

aaaaaaaaa

A

L

MOMM

L

L

L

21

33231

22221

11211

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

npppp

n

n

T

aaaa

aaaaaaaa

A

L

MOMMM

L

L

321

2322212

1312111

15

Matrizes Especiais

Matriz InversaDada uma matriz quadrada A de dimensão “nxn”, chamamos de matriz inversa de A, denotada por A-1, a matriz de dimensão “nxn” que atende a seguinte propriedade:

Regra do Cofator

nIAAAA == −− .. 11

16

Transposta e InversaPropriedades

Matriz Transposta

(AT)T = A(A + B)T = AT + BT

(A . B)T = BT . AT

Matriz Inversa

(A-1)-1 = A(A . B)-1 = B-1 . A-1

(AT)-1 = (A-1)T

17

Matrizes Especiais

Matriz de ProjeçãoUma matriz simétrica e Idempotente échamada matriz de projeção.

Exemplo

Repare que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0001

P

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0

.0001 x

yx

(x,y)

(x,0)

18

Matrizes Especiais

Matriz SingularSeja A uma matriz quadrada, dizemos que A é uma matriz singular quando seu determinante é igual a zero.

Matriz Não-SingularSeja A uma matriz quadrada, dizemos que A é não-singular quando seu determinante é diferente de zero.

OBS: Uma matriz nãoOBS: Uma matriz não--singular tambsingular tambéém m ééinversinversíívelvel

19

Matrizes Especiais

Matriz Positiva DefinidaUma matriz simétrica A, “nxn”, é positiva-definida quando x’Ax > 0, p/ todo vetor x, “nx1”.

OBS 1OBS 1: Toda matriz simétrica positiva-definida énão-singular, logo também é inversível.

OBS 2OBS 2: Se A é positiva-definida, então A-1 épositiva-definida.

OBS 3OBS 3: Se X é “nxp” (n >> p), com posto ρ(X) = p, então X’X é positiva-definida.

20

Matrizes Especiais

Posto de uma MatrizSeja A uma matriz qualquer, o posto de A representado por ρ(A), corresponde ao número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independente de A.

Traço de uma MatrizSeja A uma matriz quadrada “nxn”, definimos o traço de A como

∑=

=n

iiiaAtr

1)( (Soma dos elementos

da diagonal)

21

Matrizes Especiais

Traço de uma Matriz (Propriedades)

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)tr(λA) = λtr(A), onde λ é um escalartr(AB) = tr(BA)

22

Matrizes Especiais

DeterminantesA toda matriz quadrada A, tem-se um número (escalar) conhecido como determinante da matriz, que é indicado por det A ou pelo símbolo | A |. Note que uma matriz por si não tem valor numérico algum, mas o determinante de uma matriz é um número inteiro.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

987654321

A987654321

=A

23

Matrizes Especiais

Cálculo de um DeterminanteMatriz 2x2

Det A = a11a22 – a12a21

Matriz 3x3 (Regra de Sarrus)

Det A = a11(a22a33 – a23a32) - a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 –a22a31)

2221

1211||aaaa

A =

333231

232221

131211

||aaaaaaaaa

A =

24

Matrizes Especiais

Cálculo de um DeterminanteMatriz nxn

Det A = a11C11 – a12C12 + a13C13 – ... – (ou +) a1nC1n, onde C11, C12, C13, ..., C1n são os complementares dos elementos a11, a12, a13, ..., a1n.

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

|| =

25

Matrizes Especiais

Cálculo de um Determinante

Para calcular os complementares devemos eliminar a linha e a coluna a que o número em questão pertence.Deste modo, para calcular o complementar de a11, devemos eliminar a 1a linha e a 1a coluna da matriz A. Já para encontrar o complementar de a13, devemos eliminar a 1a linha e a 3a coluna da matriz A Caso Cij tenha dimensão superior a 3, devemos reduzi-lá sucessivamente até que ela atinja a ordem 3, quando então aplicamos a regra de Sarrus.

26

Matrizes Especiais

Matriz ParticionadaMuitas vezes é comum trabalhar com matrizes na forma de blocos, por exemplo

onde A, B, C e D são matrizes

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

DCBA

X

27

Matrizes Especiais

Produto de Matrizes ParticionadasMuitas vezes é comum trabalhar com matrizes na forma de blocos, por exemplo

desde que todos os produtos e somas acima estejam bem definidos.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛DHCFDGCEBHAFBGAE

HGFE

DCBA

.

28

Matrizes Especiais

ExercícioEscrever um ensaio de até 5 páginas sobre Matrizes Particionadas