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Revisão de alguns conceitos de Estática - Prof. Lyvio [email protected] 1) SISTEMA EQUIVALENTE: Uma força aplicada sobre um corpo tem a capacidade de provocar tanto sua translação quanto sua rotação, com intensidade que depende do ponto de aplicação e de como essa força é aplicada. Quando um corpo rígido está sujeito a um sistema de forças e momentos de binários, com frequência é mais simples estudar os efeitos externos sobre ele substituindo o sistema por uma única força resultante equivalente, atuando em um ponto especifico O, e um momento resultante. Em resumo: UM SISTEMA EQUIVALENTE REPRESENTA UM SISTEMA NO QUAL A FORÇA E O MOMENTO RESULTANTE PRODUZAM NA ESTRUTURA O MESMO EFEITO QUE O CARREGAMENTO ORIGINAL APLICADO. Esse procedimento de simplificação de qualquer sistema de forças e momentos de binários em uma força resultante atuando no ponto O e um momento resultante pode ser generalizado e representado pela aplicação das seguintes equações: O R R C O F F M M M Se duas forças atuam em um bastão e são substituídas por uma força resultante e um momento de binário equivalentes, no ponto A, ou pela sua força resultante e momento de binário equivalentes, no ponto B, então, em cada caso, a mão pode fornecer a mesma resistência à translação e rotação para manter o bastão na posição horizontal. Em outras palavras, os efeitos externos sobre o bastão são os mesmos em cada caso.
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Revisão de alguns conceitos de Estática - Prof. Lyvio
1) SISTEMA EQUIVALENTE:
Uma força aplicada sobre um corpo tem a capacidade de provocar tanto sua translação quanto sua
rotação, com intensidade que depende do ponto de aplicação e de como essa força é aplicada.
Quando um corpo rígido está sujeito a um sistema de forças e momentos de binários, com frequência é
mais simples estudar os efeitos externos sobre ele substituindo o sistema por uma única força resultante
equivalente, atuando em um ponto especifico O, e um momento resultante.
Em resumo:
UM SISTEMA EQUIVALENTE REPRESENTA UM SISTEMA NO QUAL A FORÇA E O
MOMENTO RESULTANTE PRODUZAM NA ESTRUTURA O MESMO EFEITO QUE O
CARREGAMENTO ORIGINAL APLICADO.
Esse procedimento de simplificação de qualquer sistema de forças e momentos de binários em uma força
resultante atuando no ponto O e um momento resultante pode ser generalizado e representado pela
aplicação das seguintes equações:
O
R
R C O
F F
M M M
Se duas forças atuam em um bastão e são substituídas por uma força resultante e um momento de binário
equivalentes, no ponto A, ou pela sua força resultante e momento de binário equivalentes, no ponto B,
então, em cada caso, a mão pode fornecer a mesma resistência à translação e rotação para manter o
bastão na posição horizontal. Em outras palavras, os efeitos externos sobre o bastão são os mesmos em
cada caso.
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2) REDUÇÃO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUIDO:
Em algumas situações um corpo pode estar sujeito a um carregamento que está distribuído sobre uma
superfície. Por exemplo, a pressão do vento sobre a superfície de um cartaz de propaganda (outdoor), a
pressão da água dentro de um tanque ou o peso da areia sobe o piso de uma caixa de armazenamento são
cargas distribuídas.
A pressão exercida em cada ponto da superfície indica a intensidade da carga. Ela é medida usando
pascals Pa (ou N/m2) em unidades do SI.
Carregamento uniforme ao longo de um único eixo
O tipo mais comum de carga distribuída encontrado na prática de engenharia é geralmente uniforme ao
longo de um único eixo.
Por exemplo, considere a viga da Figura 1 que possui uma largura constante e está sujeita a um
carregamento de pressão que varia apenas ao longo do eixo x.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Esse carregamento pode ser descrito pela função 2N mp p x . Ele contém somente uma variável x e,
por isso, também podemos representá-lo como um carregamento distribuído coplanar. Para isso,
multiplicamos a função de carregamento pela largura b da viga, tal que N mw x p x b (Figura 2). O
próximo passo é substituir esse sistema de forças paralelas coplanares por uma única força resultante
equivalente RF que age em uma posição especifica sobre a viga (Figura 3).
A intensidade de RF é equivalente à soma de todas as forças do sistema. Nesse caso, precisamos usar
integração porque existe um número infinito de forças paralelas Fd agindo sobre a viga (Figura 2). Como
Fd está agindo sobre um elemento do comprimento dx , e w x é uma força por unidade de
comprimento, então, dF w x dx dA . Em outras palavras, a intensidade de Fd é determinada pela
área diferencial em cinza dA abaixo da curva de carregamento. Para o comprimento inteiro L,
RL A
F w x dx dA A
Portanto, a intensidade a força resultante é igual à área total A sob o diagrama de carregamento
(Figura 3)
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Localização da força resultante
Aplicando-se a equação OR OM M , a posição da linha de ação de RF pode ser determinada
igualando-se os momentos da força resultante aos da distribuição das forças paralelas em relação ao ponto
O (eixo y).
Como Fd produz um momento de x dF x w x dx em relação a O (Figura 2), então, para o
comprimento inteiro RL
x F x w x dx
L A
L A
x w x dx x dA
x
w x dx dA
Essa coordenada x , localiza o centro geométrico ou centróide da área sob o carregamento distribuído. Em
outras palavras, a força resultante tem uma linha de ação que passa pelo centróide C (centro geométrico)
da área sob o diagrama de carregamento.
Uma vez que x é determinado, RF , por simetria, passa pelo ponto ,0x na superfície da viga.
Portanto, nesse caso, a força resultante possui uma intensidade igual a área sob a
curva de carregamento p p x e uma linha de ação que passa pelo centróide dessa
área.
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3) EQUILIBRIO DE UM CORPO RIGÍDO
Matematicamente, o equilíbrio de um corpo é expresso como:
0F FR e 0M MR OO
Equilíbrio em duas dimensões:
Inicialmente consideraremos o caso em que o sistema de forças que age sobre um corpo rígido se situa em
um único plano (sistema de forças bidimensional ou coplanar).
Diagramas de corpo livre:
A aplicação bem sucedida das equações de equilíbrio requer uma especificação completa de todas as
forças externas conhecidas e desconhecidas que atuam sobre o corpo. A melhor maneira de considerar
essas forças é desenhar o diagrama de corpo livre.
Reações de apoio:
Se um apoio impede a translação de um corpo em uma determinada direção, então, uma força é
desenvolvida no corpo nessa direção;
Se a rotação é impedida, um momento de binário é exercido sobre o corpo;
Rolete ou apoio móvel:
Esse tipo de apoio apenas impede que a viga translade na
direção vertical, o rolete só exercerá uma força sobre a
viga nessa direção (possui apenas uma incógnita, a
reação é uma força que atua perpendicularmente à
superfície do ponto de contato).
Articulação ou pino:
O pino passa por um furo na viga e duas folhas que são
fixas no solo. Neste caso, o pino pode impedir a
translação da viga em qualquer direção , e portanto o
pino deve exercer uma força F sobre a viga nessa direção
(possui duas incógnitas, as reações são os dois
componentes da força resultante e atuam paralela e
perpendicularmente à superfície do ponto de contato).
Apoio fixo ou engastamento:
Esse apoio impedirá tanto a translação quanto a rotação
da viga. Para isso, uma força e um momento devem ser
desenvolvidos sobre a viga em seu ponto de conexão
(possui três incógnitas, as reações são os dois
componentes da força resultante que atuam paralela e
perpendicularmente à superfície do ponto de contato e
um momento).
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Na tabela 1.1, apresentamos os apoios mais comuns.
Exercícios: Nos exercícios de 1 a 7, determine as reações nos apoios em cada caso
1)
2)
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6)
7)
8) Determine as componentes horizontal e vertical da reação no pino A e a tração desenvolvida no cabo
BC usado para sustentar a estrutura de aço da figura. R.: 34,62 , 20,8 , 87,7 x yT kN A kN A kN
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9) Determine as reações nos apoios A e B para o equilíbrio da viga.
10) Determine a força no cabo e os componentes horizontal e vertical da reação do pino em A. A polia em
D é sem atrito e o cilindro pesa 80 libras.
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Exercícios Complementares – Reação de Apoio
1) A haste mostrada na figura é conectada por um pino em A e sua extremidade B tem o movimento limitado pelo
apoio liso em B. Calcule os componentes horizontal e vertical da reação no pino A. R.: 100 , 233 x yA N A N
2) Para a estrutura mostrada na figura determine as
reações nos apoios em A e C.
4) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações
nos apoios em A e B.
3) Para a estrutura mostrada na figura determine as
reações nos apoios em A e B.
5) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações
nos apoios em A e B.
6) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios em A e C.
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7) Determine a reação no rolete A e os componentes
horizontal e vertical no pino B para o equilíbrio do
elemento. R.: 8 , 5,20 , 5 A x yN kN B kN B kN
8) Determine os componentes horizontal e vertical da
reação no pino A e a reação no rolete B, necessárias
para apoiar a treliça. Considere 600F N
9) Determine as componentes horizontal e vertical da
reação nos apoios. Despreze a espessura da viga. Resp.:
1500 , 1300 , 700x y yA N B N A N
10) Determine as componentes horizontal e vertical
da reação no pino A e a reação na viga em C. Resp.:
11,3 , 8 , 4CD x yF kN A kN A kN
11) A treliça é suportada por um pino em A e um rolete
em B. Determine as reações de apoio. Resp.:
8,05 , 3,54 , 5,49B x yN kN A kN A kN
12) Determine a tração na corda e as componentes
horizontal e vertical da reação no apoio A da viga
abaixo.
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13) Determine as componentes de reação no apoio fixo
A. Despreze a espessura da viva. Resp.:
346 , 800 , 3,90 .x y AA N A N M kN m
14) Determine as reações nos apoios em A e B.
Fonte: Hibbeler – Estática
