CÁLCULO IRESUMO LIMITES

Operações Aritméticas

a bc =abbc abc

= ac bc

ab cd= adbc

bd

abcd

=ab x

dc =

adbd

Fatoração de Polinômiosx² – y² = (x + y)(x – y) x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

Teorema do Binômio(x + y)² = (x² + 2xy + y²) (x - y)² = (x² - 2xy + y²)(x + y)³ = (x³ + 3x²y + 3xy² + y³) (x - y)³ = (x³ - 3x²y + 3xy² – y³)

Fundamento para Limites- Reduzir a expressão até o máximo possível e depois substituir os valores de x pelo limite dado:

limx ->1

= x3−1x2−1

Fatorando temos: limx ->1

= x−1x2−x1 x−1 x1

limx ->1

= x2−x1x1

12−1111

12

- Sempre que trabalharmos com raízes, devemos multiplicar pelo conjugado:limx ->3

=1x −2x−3 Multipl.pelo Conjugado: lim

x ->3=1x −21x 2

x−31x 2limx ->3

=1x −4

x−31 x2limx ->3

= x−3

x−31 x2limx ->3

= 11x 2

1132

14 2

14

Limites LateraisLimite tem à ver com continuidade em um determinado ponto. Chamamos limite pela direita, quando o valor aproxima-se pelo lado positivo (lim x->1+) e limite pela esquerda, quando o valor aproxima-se pelo lado negativo (lim x->1-)

f x ={3−2x se x−12 x=1

4x1 se x−1} limx ->1+

=3x−2=31−2=1 limx ->1-

=4x1=4 11=5

Logo como: limx ->1+

=1 ≠ limx ->1-

=5 não existe o limite limx ->1

Só existe o limite se o limite pela direita for igual ao limite pela esquerda.

Limites tendendo a 0 ou ao infinito ∞ Devemos tentar reduzir a expressão de modo a termos uma destas relações, que nos darão um valor:

limx ->∞

= 1xn=0 lim

x ->0= 1xn=∞

Ex: limx -> -∞

=5x3−4x2−3x2 limx -> -∞

= x35−4x− 3x2

2x3

limx -> -∞

=5x3=−∞

Obs: Observe que se fosse limx -> -∞

=5x2o resultado seria +∞ (regra de sinais). −∞2=∞

Eduardo Ferreira Moraes – Licenciatura em Matemática - IFES

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limx -> -∞

=x2x−1x1

limx -> -∞

= x211x 1x2

x 11x

limx -> -∞

= x2

xlimx -> -∞

= ∞−∞

=−1

Observar que quando for tirar x² da raiz, o valor será | x |, logo | - ∞ | = +∞

Funções ModularesQuando tiver | f(x) | quando a função f(x) for positiva, esquece o módulo e trabalha com a função, quando for negativa, trabalha com módulo de - f(x)

Teorema do Confronto

Se limx -> a

= f x =L e limx -> a

=h x =L e f x ≤g x≤hx , então limx -> a

=g x=L

Limite Trigonométrico Fundamental

Para todo limite trigonométrico, temos que chegar ao limite fundamental: limx -> 0

= sen xx

=1

Ex1: limx -> 0

= sen 2xx

limx -> 0

= sen 2xx

. 22

limx -> 0

= 2 ∗ limx -> 0

= sen2x2x 2 1 = 2

Ex2: limx -> 0

= sen3xsen5x

limx -> 0

= sen3xsen5x

∗3x3x

∗5x5x

limx -> 0

= sen3x3x

∗ 5xsen5x

∗3x5x

limx -> 0

=1∗ 5xsen5x

−1

∗35

limx -> 0

=1∗ sen5x5x

∗35

limx -> 0

=35

Razões Trigonométricas Fundamentais

sen= cat.opostohipotenusa

sen = cat.adjacentehipotenusa

tg= cat.opostocat.adjacente

Relações Trigonométricas Auxiliares

Secante sec= 1cos

Cossecantecossec = 1sen

Cotangente cotg = 1tg

secante sec= 1cos

Cotangente cotg = 1sencos

= cossen

Identidade Trigonométrica Fundamentalsen2cos2=1 sen2=1−cos2 cos2=1−sen2

Conseqüências da Identidade Trigonométrica Fundamental1cotg2 =cossec2 tg 2 1=sec 2

Transformações TrigonométricasTransformação de SenoSeno da Soma sen ab=sen a . cosbsenb . cosaSeno da Diferença sen a−b=sen a . cosb−senb . cosaTransformação de CossenoCosseno da Soma cos ab =cosa .cos b−sen a . senbCosseno da Diferença cos a−b =cosa.cos bsen a . senbTransformação de Tangente

Tangente da Soma tg ab= tg atg b1−tg a .tg b

Tangente da Diferença tg a−b= tg a−tg b1−tg a .tg b

Eduardo Ferreira Moraes – Licenciatura em Matemática - IFES

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Relações de Prostaferese

ab= pa−b=q { p=abq=a−b

pq=2a } pq2

=a p−q2

=b

Soma de Senos

sen absen a−b =2 sena .cos b sen psen q=2 sen pq2 . cos p−q2 Diferença de Senos

sen ab−sen a−b =2 senb . cosa sen p−sen q=2 sen p−q2 . cos pq2 Soma de Cossenos

cos ab cos a−b=2cosa . cos b cos pcosq=2cos pq2 . cos p−q2 Diferença de Cossenos

cos ab −cos a−b=−2 sen a . sen b cos p−cosq=−2 sen pq2 . sen p−q2 Soma de Tangentes

tg atg b= sen acos a

sen bcosb

tg atg b= sen a . cosbsenb . cos acosa . cosb

Diferença de Tangentes

tg a−tg b= sen acos a

− sen bcosb

tg a−tg b= sen a . cosb−senb . cos acosa . cosb

Eduardo Ferreira Moraes – Licenciatura em Matemática - IFES