Resumo1

MA12 - Unidade 1Numeros Naturais

Paulo Cezar Pinto Carvalho

PROFMAT - SBM

February 25, 2013

Os Numeros Naturais

Numeros Naturais: modelo abstrato para contagem.N = {1, 2, 3, ...}Uma descricao precisa e concisa de N e dada pelos Axiomasde Peano.

Nocao fundamental: a de sucessor de um numero natural (ouseja, o numero que, intuitivamente, vem logo depois dele).

PROFMAT - SBM MA12 - Unidade 1 , Numeros Naturais slide 2/9

Os Axiomas de Peano

a) Todo numero natural tem um unico sucessor;

b) Numeros naturais diferentes tem sucessores diferentes;

c) Existe um unico numero natural, chamado um e representadopelo sımbolo 1, que nao e sucessor de nenhum outro;

d) Seja X um conjunto de numeros naturais (isto e, X ⊂ N). Se1 ∈ X e se, alem disso, o sucessor de todo elemento de Xainda pertence a X , entao X = N.


O Axioma da Inducao

O ultimo dos axiomas de Peano e conhecido como Axioma daInducao e e a base para um metodo de demonstracao parapropriedades relativas aos numeros naturais (demonstracoespor inducao).

Seja P(n) uma propriedade relativa ao numero natural n.Suponhamos que:

i) P(1) e valida;ii) Para todo n ∈ N, a validez de P(n) implica a validez de P(n′),

onde n′ e o sucessor de n.

Entao P(n) e valida qualquer que seja o numero natural n.


As Duas Operacoes: Adicao e Multiplicacao

A soma n + p e o numero natural que se obtem a partir de naplicando-se p vezes seguidas a operacao de tomar o sucessor.Em particular, n + 1 e o sucessor de n, n + 2 e o sucessor dosucessor de n, etc.

Quanto ao produto, poe-se n · 1 = n por definicao e, quandop 6= 1, np e a soma de p parcelas iguais a n.

Entretanto, ate que saibamos utilizar os numeros naturaispara efetuar contagens, nao tem sentido falar em “p vezes” e“p parcelas”.

Por esta razao, e preciso definir estas operacoes por inducao.


Usando inducao para definir as operacoes

Adicao:

n + 1 = sucessor de nn + (p + 1) = (n + p) + 1 .

Multiplicacao:

n · 1 = nn(p + 1) = np + n.

As propriedades destas operacoes (comutativa, associativa,etc) podem ser demonstradas por inducao.


A Ordenacao nos Numeros Naturais

Dados m, n ∈ N, diz-se que m e menor do que n, e escreve-sem < n, para significar que existe algum p ∈ N tal quen = m + p.

Propriedades:

Transitividade: Se m < n e n < p entao m < p.Tricotomia: Dados m, n ∈ N, vale uma, e somente uma, dasalternativas: m = n, m < n ou n < m.Monotonicidade: Se m < n entao, para qualquer p ∈ N,tem-se m + p < n + p e mp < np.Boa-ordenacao: Todo subconjunto nao-vazio X ⊂ N possuium menor elemento.

A boa-ordenacao pode muitas vezes substituir com vantagema inducao como metodo de prova de resultados referentes anumeros naturais.


Exemplo: uma demonstracao por inducao

Provar a validez, para todo numero natural n, da igualdadeP(n) : 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2

Para n = 1, P(1) se resume a afirmar que 1 = 1. SupondoP(n) verdadeira para um certo valor de n, somamos 2n + 1 aambos os membros da igualdade acima, obtendo

1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + 2n + 1,

ou seja:

1 + 3 + 5 + . . . + [2(n + 1)− 1] = (n + 1)2.

Mas esta ultima igualdade e P(n + 1). LogoP(n) ⇒ P(n + 1). Assim, P(n) vale para todo n ∈ N.


Exemplo: uma demonstracao por boa ordenacao

Provar que todo numero natural e primo ou e um produto defatores primos

Seja X o conjunto dos numeros naturais que sao primos ouprodutos de fatores primos. Observemos que se m e npertencem a X entao o produto mn pertence a X . Seja Y ocomplementar de X . Assim, Y e o conjunto dos numerosnaturais que nao sao primos nem sao produtos de fatoresprimos. Queremos provar que Y e vazio. Com efeito, se Ynao fosse vazio, haveria um menor elemento a ∈ Y . Entaotodos os numeros menores do que a pertenceriam a X . Comoa nao e primo, ter-se-ia a = m · n, com m < a e n < a, logom ∈ X e n ∈ X . Sendo assim, mn ∈ X . Mas mn = a, o quedaria a ∈ X , uma contradicao. Segue-se que Y = ∅ ,concluindo a demonstracao.


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