Resumo Xxi Sic
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DERIVAÇÕES LOCALMENTE NILPOTENTES E O DÉCIMO QUARTO PROBLEMA DE HILBERT Pedro Paulo Rocha de Castro, graduando em Engenharia Química Marcelo de Oliveira Veloso, Departamento de Física e Matemática Em 1900, no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris, o matemático alemão David Hilbert propôs uma lista de 23 problemas que deveriam ser resolvidos ao longo do novo século. O objetivo deste trabalho foi fornecer a solução para o décimo quarto problema de Hilbert. Como era sabido por antemão que esse problema poderia ser "atacado" utilizando conhecimentos a respeito de anéis polinomiais e derivações localmente nilpotentes, esses assuntos começaram a ser abordados. Os primeiros focos de estudo foram as definições e propriedades dos anéis polinomiais. Basicamente, um anel de polinômios nada mais é do que um anel cujos elementos são polinômios com coeficientes em um determinado anel. Em seguida, foi estudada a definição de derivação sobre um anel polinomial e algumas de suas propriedades. De uma forma bem resumida, uma derivação em um anel B é uma função aditiva D : B → B, isto é, D(a+b) = D(a)+D(b), que satisfaz a regra de Leibniz ( D(ab) = D(a)b + aD(b) ). Posteriormente, foram abordados a definição de derivação localmente nilpotente e algumas de suas propriedades que seriam úteis na resolução do décimo quarto problema de Hilbert. Resumidamente, uma derivação D é dita localmente nilpotente se para cada elemento f do anel, existe um número natural n, tal que D n (f) = 0. Os exemplos clássicos e mais conhecidos de derivações localmente nilpotentes são as derivadas parciais. Com base nos conhecimentos adquiridos nestes estudos citados foi possível iniciar a resolução do décimo quarto problema de Hilbert, que pode ser enunciado da seguinte maneira: seja C [n] o anel polinomial C[X 1 , ..., X n ], C (n) o seu corpo de frações e L um subcorpo de C (n) contendo C. A sub-álgebra , L ∩ C (n) , é finitamente gerada como C-álgebra? Nesse trabalho o estudo foi realizado para uma dimensão 5 (n = 5), em que encontrou-se um contra-exemplo, utilizando as definições e propriedades estudadas anteriormente, o que era equivalente a encontrar uma derivação localmente nilpotente, D, em C [n] tal que o ker D (núcleo de D) não seja finitamente gerado. Esse resultado já havia sido obtido e apresentado por Daigle e Freudenburg. Palavras-chave: Décimo quarto problema. Hilbert. Derivações localmente nilpotentes. Agência financiadora: UFSJ
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Derivações localmente nilpotentes em aneis polinomiais
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DERIVAES LOCALMENTE NILPOTENTES E O DCIMO QUARTO PROBLEMA DE HILBERT
Pedro Paulo Rocha de Castro, graduando em Engenharia Qumica
Marcelo de Oliveira Veloso, Departamento de Fsica e Matemtica
Em 1900, no Congresso Internacional de Matemticos em Paris, o matemtico alemo David Hilbert props uma lista de 23 problemas que deveriam ser resolvidos ao longo do novo sculo. O objetivo deste trabalho foi fornecer a soluo para o dcimo quarto problema de Hilbert. Como era sabido por antemo que esse problema poderia ser "atacado" utilizando conhecimentos a respeito de anis polinomiais e derivaes localmente nilpotentes, esses assuntos comearam a ser abordados. Os primeiros focos de estudo foram as definies e propriedades dos anis polinomiais. Basicamente, um anel de polinmios nada mais do que um anel cujos elementos so polinmios com coeficientes em um determinado anel. Em seguida, foi estudada a definio de derivao sobre um anel polinomial e algumas de suas propriedades. De uma forma bem resumida, uma derivao em um anel B uma funo aditiva D : B B, isto , D(a+b) = D(a)+D(b), que satisfaz a regra de Leibniz ( D(ab) = D(a)b + aD(b) ). Posteriormente, foram abordados a definio de derivao localmente nilpotente e algumas de suas propriedades que seriam teis na resoluo do dcimo quarto problema de Hilbert. Resumidamente, uma derivao D dita localmente nilpotente se para cada elemento f do anel, existe um nmero natural n, tal que Dn(f) = 0. Os exemplos clssicos e mais conhecidos de derivaes localmente nilpotentes so as derivadas parciais. Com base nos conhecimentos adquiridos nestes estudos citados foi possvel iniciar a resoluo do dcimo quarto problema de Hilbert, que pode ser enunciado da seguinte maneira: seja C[n] o anel polinomial C[X1, ..., Xn], C(n) o seu corpo de fraes e L um subcorpo de C(n) contendo C. A sub-lgebra , L C(n), finitamente gerada como C-lgebra? Nesse trabalho o estudo foi realizado para uma dimenso 5 (n = 5), em que encontrou-se um contra-exemplo, utilizando as definies e propriedades estudadas anteriormente, o que era equivalente a encontrar uma derivao localmente nilpotente, D, em C[n] tal que o ker D (ncleo de D) no seja finitamente gerado. Esse resultado j havia sido obtido e apresentado por Daigle e Freudenburg.
Palavras-chave: Dcimo quarto problema. Hilbert. Derivaes localmente nilpotentes.
Agncia financiadora: UFSJ
