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RESUMO :REVISÃO - 2015

Prof: Alexandre Beltrão Curso de Matemática 1

GEOMETRIA PLANA

► Ângulos

→ Ângulos opostos pelo vértice

Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles

são congruentes.

→ Classificação dos ângulos quanto à sua medida:

→ Classificação dos ângulos quanto à

complementações:

● Ângulos Complementares

● Ângulos Suplementares

● Ângulos Replementares

Dois ângulos são replementares quando a soma

de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o

replemento do outro.

● Ângulos Explementares

Dois ângulos são explementares quando a

diferença de suas medidas é igual a 180°. Neste caso,

cada um é o explemento do outro.

→ Ângulos formados por duas retas paralelas com

uma transversal:

◘ alternos internos 53,64 ee

◘ alternos externos 82,71 ee

(são congruentes)

◘ colaterais internos 54,63 ee

◘ colaterais externos 81,72 ee

(são suplementares)

◘ correspondentes

84,73

51,62

ee

ee

(são congruentes)



► Polígonos

→ Diagonal de um polígono simples convexo:

( )

→ Polígono Regular:

Um polígono convexo é regular se, e somente se

tem todos os lados congruentes (é equilátero) e todos os

ângulos congruentes (é equiângulo).

Atenção!

→ Polígonos de gênero par (possuem diagonais que

passam pelo centro):

► Número de diagonais que passam pelo centro:

► Número de diagonais que não passam pelo centro:

.

→ Polígonos de gênero ímpar (não possuem

diagonais que passam pelo centro:

Não possuem diagonais radiais!

→ Soma dos ângulos internos de um triângulo:

→ Soma dos ângulos internos de um polígono

convexo:

( )

→ Soma dos ângulos externos de um polígono

convexo:

→ Expressões do ângulo interno e do ângulo externo

de um polígono regular:

▪ Como os ângulos internos de um polígono regular são

congruentes, temos:

( )

▪ Como os ângulos externos de um polígono regular são

congruentes, temos:

► Triângulos

→ Desigualdade triangular:

Ao maior lado opõe-se o maior ângulo, ao menor

lado opõe-se o menor ângulo, e à lados congruentes opõe-

se ângulos congruentes e vice – versa.



Atenção!

A ângulos congruentes opõe-se lados

congruentes e a lados congruentes opõe – se ângulos

congruentes.

→ Condição de existência para um triângulo:

→ Medida de um ângulo externo de um triângulo:

→ Classificação de um triângulo quanto à medida de

seus lados:

● Isósceles – É um triângulo com pelo menos dois lados

congruentes.

Atenção!

Em todo triângulo isósceles, a mediana relativa

a base é altura, bissetriz interna e está na mediatriz

do triângulo.

◘ Triângulo equilátero:

É todo triângulo isósceles que possui 3 lados

congruentes.

Atenção!

Todo triângulo equilátero é um polígono

regular, pois é equilátero e equiângulo.

● Escaleno – Tem os três lados não congruentes.

→ Classificação de um triângulo quanto à medida de

seus ângulos internos:

● Acutângulo – Um triângulo é acutângulo se, e somente

se, têm os três ângulos agudos.

● Retângulo – Um triângulo é retângulo se, e somente se,

tem um ângulo reto.

● Obtusângulo – Um triângulo é obtusângulo se, e

somente se, tem um ângulo obtuso.

Todos os lados do triângulo são

congruentes, dessa forma, todos

os ângulos internos são

congruentes e medem 60°.

- Lados

congruentes.

é o lado não congruente. É chamado de base do triângulo

isósceles.



→ Casos de congruência de congruência de

triângulos:

● 1° caso (L A L)

● 2° caso (A L A)

● 3° caso (L L L)

● 4° caso (L A A0)

● Caso especial de congruência de triângulos

retângulos

Se dois triângulos retângulos têm

ordenadamente congruentes um cateto e a

hipotenusa, então esses triângulos são

congruentes.

→ Pontos notáveis do triângulo:

● Baricentro – é o ponto de encontro das três medianas

do triângulo.

Atenção!

Mediana é um segmento com extremidades

num vértice e no ponto médio do lado oposto.

• As três medianas de um triângulo interceptam – se em

um mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes

tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.

• O baricentro é o centro de gravidade do triângulo, é o

ponto de equilíbrio do triângulo.

● Incentro – O ponto de encontro das três bissetrizes

internas de um triângulo.

Atenção!

Bissetriz interna de um triângulo é o segmento,

com extremidades num vértice e no lado oposto, que

divide o ângulo desse vértice em dois ângulos

congruentes.

• O incentro é o centro da circunferência inscrita no

triângulo.

• O incentro equidista dos lados do triângulo

● Circuncentro – é a interseção das três mediatrizes do

triângulo.



Atenção!

A mediatriz de um segmento é a reta

perpendicular e que passa pelo ponto médio desse

segmento.

• O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita e

equidista dos vértices do triângulo.

◘ Possíveis posicionamentos do circuncentro:

● Triângulo acutângulo

O circuncentro está na região interna do triângulo

● Triângulo retângulo

O circuncentro está no ponto médio da hipotenusa do

triângulo.

Atenção!

A mediana relativa à hipotenusa de um

triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.

● Triângulo obtusângulo

O circuncentro está na região externa ao triângulo.

● Ortocentro – O ponto de encontro das três alturas de

um triângulo.

Atenção!

Altura é um segmento que sai de um dos

vértices do triângulo e é perpendicular ao lado do

triângulo que se opõe ao ângulo ou ao seu

prolongamento.

◘ Possíveis posicionamentos do ortocentro:

● Triângulo acutângulo

O ortocentro está no interior do triângulo.



● Triângulo retângulo

O ortocentro está no vértice do ângulo reto do triângulo.

● Triângulo obtusângulo

O ortocentro está no exterior do triângulo.

→ Teorema fundamental da semelhança de triângulos:

Se traçarmos uma reta paralela a um dos lados

de um triângulo e interceptá-la com os outros dois lados

em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é

semelhante ao primeiro.

◘ Casos ou critérios de semelhança:

● 1° caso (AA)

Se dois triângulos possuem dois ângulos

ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.

● 2° caso (LAL)

Se dois lados de um triângulo são proporcionais

aos homólogos de outro triângulo e os ângulos

compreendidos são congruentes, então os triângulos são

semelhantes.

● 3° caso (LLL)

Se dois triângulos têm os lados homólogos

proporcionais, então eles são semelhantes.

Atenção:

Se dois triângulos são semelhantes, as medianas, as

bissetrizes internas, as alturas, os perímetros,...,

enfim, os elementos lineares homólogos são

proporcionais e seus ângulos são congruentes.

→ Teorema das bissetrizes

● Teorema da bissetriz interna:

A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo

divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos

lados adjacentes.



● Teorema da bissetriz externa

A bissetriz de um ângulo externo de um triângulo

intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela

divide este lado oposto externamente em segmentos

proporcionais aos lados adjacentes.

→ Relações métricas no triângulo retângulo:

● 1° relação métrica ● 2° relação métrica

macnab .. 22

● 3° relação métrica ● 4° relação métrica

→ Relações trigonométricas num triângulo retângulo:

e

e

e

→ Relações trigonométricas num triângulo qualquer:

● Lei dos Senos

● Lei dos Cossenos

senoscosdosLei

222 cos.bc2cba

→ Reconhecimento da natureza de um triângulo dada

as medidas dos lados (a > b > c):

► Quadriláteros

→ Trapézios

Um quadrilátero convexo é um trapézio se, e

somente se, possui apenas dois lados paralelos.

(// significa paralelismo)

nmh .2

hacb .. 222 cba



Atenção!

Os lados paralelos do trapézio são

denominados bases.

Em qualquer trapézio ABCD de base AB e

CD , temos que:

180CBDA

● Trapézio isósceles

É todo trapézio que tem os lados não paralelos

com medidas iguais.

● Trapézio retângulo

São todos os trapézios escalenos que têm dois

ângulos retos.

Um dos lados não paralelos é perpendicular às bases

do trapézio!

● Base média do triângulo

● Base média do trapézio

● Mediana de Euler - Em todo trapézio o segmento da

base média compreendido entre as diagonais é igual a

semidiferença das bases.

→ Paralelogramos

Um quadrilátero convexo é um paralelogramo se,

e somente se, possui os lados opostos paralelos.

● Propriedades dos paralelogramos:

1) Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer

são congruentes.

Os ângulos adjacentes a

uma mesma base são

congruentes.

As diagonais são

congruentes.



2) Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer

são congruentes.

3) Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se

nos respectivos pontos médios.

→ Paralelogramos notáveis:

● Retângulo – Um quadrilátero convexo é um retângulo

se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes

(Equiângulo).

◘ Propriedade específica do Retângulo:

▪ Em todo retângulo as diagonais são congruentes.

● Losango – Um quadrilátero convexo é um losango se, e

somente se, possui os quatro lados congruentes

(Equilátero).

◘ Propriedades específicas do losango:

▪ Todo losango tem diagonais perpendiculares entre si.

▪ As diagonais de todo losango são bissetrizes dos seus

ângulos internos.

Os triângulos AMB, BMC, CMD e DMA são congruentes

pelo caso L A L.

● Quadrado – Um quadrilátero convexo é um quadrado

se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes

(equiângulo) e os quatro lados congruentes (equilátero).

O quadrado é o polígono regular dos quadriláteros.

ABCD é quadrado

DACDBCABeDCBA

◘ Propriedade específica do quadrado:

◘ Todo quadrado é retângulo e também é losango.

Atenção!

A diagonal de um quadrado é dada por:

√ , onde é a diagonal de um quadrado e ,

seu lado.

O seguinte diagrama retrata as definições

consideradas por este material. Observe:

ABCD é retângulo



► Circunferências

A circunferência é o lugar geométrico dos pontos

equidistantes de outro chamado centro.

Atenção!

▪ O comprimento de uma circunferência é dado por:

▪ O diâmetro de uma circunferência é dado por:

→ Ângulos na circunferência

● Ângulo central – Ângulo central relativo a uma

circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro da

circunferência.

Atenção!

A medida de um arco de circunferência é igual

à medida do ângulo central correspondente.

● Ângulo inscrito – Ângulo inscrito relativo a uma

circunferência é um ângulo que tem o vértice na

circunferência e os lados são secantes a ela.

Atenção!

Um ângulo inscrito é metade do ângulo central

correspondente ou a medida de um ângulo inscrito é

metade da medida do arco correspondente. Ângulos

inscritos correspondentes ao mesmo arco são

congruentes.

● Ângulo de segmento – Ângulo de segmento é um

ângulo que tem o vértice na circunferência, um lado

secante e o outro lado tangente à circunferência.

Atenção!

Um ângulo de segmento é metade do ângulo

central correspondente ou a medida de um ângulo

de segmento é metade da medida do arco

correspondente.

● Ângulos excêntricos interiores

● Ângulos excêntricos exteriores



→ Propriedades importantes envolvendo

circunferência, triângulos e quadriláteros:

● 1°- Todo ângulo reto é inscritível numa

semicircunferência e, reciprocamente, todo ângulo inscrito

numa semicircunferência, com os lados passando pelas

extremidades, é ângulo reto.

Atenção!

Se um triângulo inscrito numa semicircunferência

tem um lado igual ao diâmetro, então ele é triângulo

retângulo.

● 2°- Um quadrilátero que tem os vértices numa

circunferência é quadrilátero inscrito na circunferência. Se

um quadrilátero convexo é inscrito numa circunferência,

então os ângulos opostos são suplementares.

● 3°- Propriedade da reta tangente a uma

circunferência:

Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao

raio no ponto de tangência.

● 4°- Propriedade dos segmentos tangentes a uma

circunferência:

Se de um ponto P conduzirmos os segmentos e ,

ambos tangentes a uma circunferência, com A e B na

circunferência, então .

● 5°- Propriedade dos quadriláteros circunscritíveis:

Uma condição necessária e suficiente para um quadrilátero

convexo ser circunscritível a uma circunferência é a soma

de dois lados opostos ser igual à soma dos outros dois.

→ Propriedades das bissetrizes de um ângulo e das

mediatrizes de um segmento:

● 1°- Todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante

dos lados do ângulo.

● 2°- Todo ponto da mediatriz de um segmento é

equidistante das extremidades do segmento.



→ Potência de um ponto:

● Teorema das secantes

◘ Ponto interno à circunferência

◘ Ponto externo à circunferência

● Teorema das tangentes a um círculo

► Polígonos Regulares

● Lado e apótema de polígonos regulares

◘ Quadrado inscrito e circunscrito:

Apótema

(em função do raio r)

Lado


Quadrado

Inscrito

2

2ra4

2.r4l

Quadrado

Circunscrito

rA4p

r.2L4

◘ Hexágono regular inscrito e circunscrito:

Apótema


Lado


Hexágono

Regular

Inscrito

2

3ra6

r6l

Hexágono

Regular

Circunscrito

rA6p

3

3.r.2L6

Atenção!

A Altura do triângulo equilátero é dada por:

2

3.lh

◘ Triângulo equilátero inscrito e circunscrito:

Apótema


Lado


Triângulo

equilátero

Inscrito

2

ra

3p

3.r3l



Triângulo

equilátero

Circunscrito

rA3p

3r.2L3

► Área de figuras planas

Área de uma superfície limitada é um número real

positivo associado à uma superfície.

● Retângulos

● Quadrados

● Paralelogramos

h.bA

● Losangos

● Triângulos

2

.haA BCtriânguloA

◘ Expressões para a área do triângulo

1) Área do triângulo equilátero de lado l

4

3.2lA

2) Área do triângulo em função de dois lados e do seno do

ângulo compreendido.

3) Área do triângulo em função dos lados e do raio r da

circunferência inscrita.

rpAABC .

4) Área do triângulo em função dos lados e do raio R da

circunferência circunscrita.



5) Área do triângulo em função dos lados.

cpbpappA ..

● Trapézios

2

hbBA

● Polígonos Regulares

● Hexágonos Regulares

Atenção!

▪ Todo hexágono regular pode ser subdividido

em 6 triângulos equiláteros.

▪ A área de um hexágono regular de lado é

seis vezes a área de um triângulo equilátero de

mesmo lado .

● Área do círculo

● Área do setor circular

▪ Relacionando a medida do ângulo central com a área do

setor circular correspondente.

Ângulo central Área

2ou360 2R

setorA

▪ Relacionando a medida do comprimento de um arco de

circunferência com a área do setor circular

correspondente.

Comprimento Área

R2 2R

l setorA

Atenção!

Relacionando a medida do comprimento de

um arco de circunferência com o ângulo central

correspondente.

Comprimento Ângulo central

R2 2ou360

l



● Área do segmento circular

● Área da coroa circular

→ Proporções entre áreas de figuras planas

semelhantes:

● Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes

A propriedade acima é extensiva a quaisquer

superfícies semelhantes e, por isso, temos:

“A razão entre as áreas de duas superfícies

semelhantes é igual ao quadrado da razão de

semelhança.”

GEOMETRIA ESPACIAL

► Poliedros

Poliedros são sólidos que possuem todas as

faces poligonais e que não estão em um mesmo plano.

→ Poliedros convexos e Poliedros côncavos:

Quando o segmento de reta que ligar dois pontos

quaisquer do poliedro estiver contido no mesmo, ele é

chamado de poliedro convexo, quando não, chama-se

côncavo.

→ Relação de Euler (Poliedros Convexos)

→ Poliedros Regulares

2 AFV



► Prismas

→ Prisma regular: É todo prisma reto cujas bases são

polígonos regulares.

● Área lateral:

(Onde n é a quantidade de lados do polígono da base.)

● Área total:

● Volume

Atenção!

Diagonal do prisma

3 nnD

-

→ Paralelepípedos – Prismas cujas bases são

paralelogramos.

● Paralelepípedo reto – É um prisma reto cujas bases são

paralelogramos.

● Paralelepípedo retângulo (ou paralelepípedo reto-

retângulo ou ortoedro) – Prisma reto cujas bases são

retângulos.

● Área total, diagonal do paralelepípedo e volume

( )

√

→ Cubo (hexaedro regular ou romboedro) – É um

paralelepípedo retângulo cujas seis faces são quadrados.

√

√

bll aanA ..

blt AAA 2

hAV b .



► PIRÂMIDE

● Pirâmide Regular – é uma pirâmide cuja base é um

polígono regular e a projeção ortogonal do vértice sobre o

plano da base é o centro da base.

● Relações métricas entre os elementos das pirâmides

regulares:

I) II)

( ) ( ) ( )

III) IV)

( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

)

Seja a Pirâmide hexagonal regular:

● Área lateral (Pirâmide Regular)

2

A.aA

A.nA

ppb

facedatriângulo

facedatriângulo

l

● Área total (Pirâmide Regular)

( = área do polígono da base)

● Volume

hAV b..3

1

● Secção transversal em uma pirâmide

● Tronco de pirâmide

► Cilindro

● Cilindro reto ou Cilindro de revolução:

l

L

d

h

2

d

h

a

A3

d

h

v

V32

a

A

v

V

menorpirâmidemaiorpirâmidetronco VVV



● Secção meridiana: Secção meridiana é a intersecção

do cilindro com um plano que contém o eixo do cilindro. A

secção meridiana de um cilindro oblíquo é um

paralelogramo e a de um cilindro reto é um retângulo.

◘ Cilindro equilátero – é um cilindro cuja

secção meridiana é um quadrado.

● Área lateral:

Área de um retângulo de altura e base .

(Ab = área do círculo da base. )

● Área total e volume

► Cone

● Cone reto ou cone de revolução:

Relação do cone reto:

● Secção meridiana: Secção meridiana é a intersecção

do cone com um plano que contém o eixo do cone.

A secção meridiana de um cone circular reto é um

triângulo isósceles.

◘ Cone equilátero – é aquele cuja secção

meridiana é um triângulo equilátero.

Seja o cone reto:

● Área lateral, área total e volume

● Secção transversal em um cone



● Tronco de cone

► Esfera

Chama-se esfera de centro O e raio r ao conjunto

dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja

menor ou igual a r.

● Área da esfera e volume da esfera:

● Secções na esfera

● Fuso esférico e Cunha esférica

● Área total da cunha

GEOMETRIA ANALÍTICA

► O ponto

→ Distância entre dois pontos

→ Ponto médio de um segmento

→ Coordenadas do baricentro do triângulo

► A reta

→ Coeficiente angular da reta

menorconemaiorconetronco VVV

22 )()( ABABAB yyxxd

33CBA

GCBA

G

yyyy

xxxx



Observações iniciais da reta:

→ Condição para alinhamento de três pontos

→ Área de triângulos

Atenção!

O cálculo da área de um triângulo, dadas as

coordenadas dos vértices, serve para o cálculo da

área de um polígono convexo, já que um polígono

pode ser dividido em triângulos.

→ Equações da reta

● Fundamental: 0

0

xx

yym

● Reduzida: nmxy

● Geral: 0 CByAx

● Segmentária:

● Paramétrica:

Ex:

→ Posicionamento relativo entre retas

● Paralelas:

● Perpendiculares:

→ Ângulo entre duas retas

→ Distância entre ponto e reta

54

13

ty

tx



► Circunferência

→ Equação reduzida:

→ Equação geral:

→ Posição relativa entre ponto e circunferência

ou

(Ponto interno à circunferência).

ou

(Ponto na circunferência).

ou

(Ponto externo à circunferência).

→ Posição relativa entre reta e circunferência

Aplicando distância entre ponto e reta:

rdeC - Reta externa à circunferência.

- Reta tangente à circunferência.

rdeC - Reta secante à circunferência.

→ Posição relativa entre duas circunferências

Aplicando distância entre dois pontos, temos:

► Lugar Geométrico

Ex: Desenhe no plano cartesiano o sistema de

inequações:

Resolução:

*A região hachurada é a solução da questão.

FUNÇÃO

► Função polinomial de 1° grau

Função do primeiro grau é toda função que

associa a cada número real x, o número real ax + b, com a

≠ 0. Toda função de primeiro grau é uma relação que

obedece a lei de formação:

( )

222 )()( rbyax

0)(22 22222 rbabyaxyx

rd pc222 )()( rbyax

rd pc 222 )()( rbyax

rd pc222 )()( rbyax

rdCt

02

9)1()4( 22

yx

yx



Ex:

Dada a função RR:f com 1x)x(f , seu gráfico é

igual a:

▪ é estritamente crescente.

▪ O coeficiente linear ( ) é a ordenada do ponto de

intersecção da reta com o eixo oy.

→ Função Linear:

É toda função polinomial do 1° grau que tem o

coeficiente linear igual a zero.

( ) , e

Ex:

► Função polinomial do 2° grau

Toda função de segundo grau é uma relação que

obedece a lei de formação: .

→ Concavidade da parábola

O termo dominante (a) nos informa a concavidade

da parábola.

Conclusão:

▪ termo dominante positivo (a > 0) → concavidade voltada

para cima.

▪ termo dominante negativo (a < 0) → concavidade voltada

para baixo.

→ Termo independente (c) → A ordenada do ponto de

intersecção da parábola com o eixo oy é igual ao termo

independente da lei de formação da função polinomial do

2° grau.

Ex:

Observe que a parábola intercepta o eixo oy no

ponto (0,2), logo o termo independente (c) da lei de

formação da função acima é igual a 2.

→ Valores do discriminante ( ) relacionados às raízes

da função

É uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano.



→ Coordenadas do vértice da parábola:

a

bxv

2

aYv

4

→ Relações de Girard:

→ Forma fatorada da função quadrática:

onde 1r e 2r são as raízes da função.

► Função Exponencial

Função exponencial é toda função que associa a

cada número real x, o número real ax.

( )

(Função estritamente crescente)

( ) (

)

(Função estritamente decrescente)

→ Propriedades das potências

1) 1a0 , com 0a

2) nmnm aa.a

3) nnnb.ab.a

4) n.mnm aa

5) nb:a ou n

b

a

= n

n

b

a para 0b .

6) n

n

a

1a

7) n mn

m

aa

► Função Logarítmica

Função logarítmica é toda função que associa a

cada número real x, o número real loga x.

( )

( )

Atenção!

A função logarítmica definida em é a

inversa da função exponencial definida em

.

a

crr

a

brr

2121 .

)).(( 21 rxrxay



→ Propriedades dos logaritmos

1) 01loga , pois 1a0 , qualquer que seja 0a e

1a .

2) 1aloga , pois aa1 , para todo 0a e 1a .

3) nalog na , pois nn aa para todo 0a e 1a e

para todo n .

4) na nloga , com 0n , 0a e 1a .

5) yxylogxlog aa com 0x , 0y , 0a e

1a .

6) bc

acc loglogb.alog

7) bc

acc loglogb:alog

8) alog.kalog ck

c

9)

blog

alogalog

k

kb

10) 1blog.alogblog

1alog ab

a

b

11) alog1

alog bb

, para qualquer , *R e

quaisquer números a e b reais positivos com 1b .

Atenção!

● Gráficos das funções x2)x(f e xlog)x(g 2 :

● Gráficos das funções x

2

1)x(f

e

xlog)x(g2

1 :

► Módulo de um número

É a distância do número até o zero da reta real.

(representação: Rkk , .

A distância do número 1 e do -1 ao zero é 1 unidade de

comprimento.

→ Propriedades do módulo

I - | x | > 0 x R

II - | x | = 0 x = 0

III- | x | = d x = d

IV- | x | . | y | = | x . y | {x, y} R

V- | x |n = x

n n é par

VI- y

x

y

x {x, y} R e y 0

VII - | x |²=| x² | = X²

PROGRESSÕES

► Progressões Aritméticas (P.A.)

→ Termo geral:

11

11

rnaan 11



→ Propriedades da P.A.

● Média Aritmética:

● Termos equidistantes:

→ Soma dos termos de uma P.A.

2

.1 naaS n

n

→ Notações Especiais

● P.A. de três termos:

▪ Considerando xa 1 e seja r a razão desta P.A. temos:

rxrxx 2,,

▪ Considerando por x o termo médio desta P.A., temos:

rxxrx ,,

(Formato mais utilizado)

● P.A. de quatro termos:


rxrxrxx 3,2,,

rxrxrxrx 3,,,3


Neste caso a razão da P.A. ao invés de ser (r) será dada

por (2r).

● P.A. de cinco termos:


rxrxrxrxx 4,3,2,,

▪ Considerando por x o termo médio desta P.A., temos:

rxrxxrxrx 2,,,,2


► Progressões Geométricas (P.G.)

→ Termo geral:

→ Propriedades da P.G.

● Média Geométrica:

● Termos equidistantes:

cbdadcba ..,,,

→ Soma dos termos de uma P.G. finita

● Se 1q , então 1.anSn ;

● Se 1q , então

1

11

q

qaS

n

n.

→ Produto dos “n” primeiros termos de uma P.G.

2

1

1 .nn

n

n qaP

→ Soma dos termos de uma P.G. infinita

q

aS

11

→ Notações especiais

● P.G. de três termos:

bca

dcba

2

,,,

cbdadcba ,,,1

1. n

n qaa

2 .,,, cabdcba



▪ Considerando xa 1 e seja q a razão desta P.G. temos:

2,, xqxqx

▪ Considerando por x o termo médio desta P.G., temos:

xqx

q

x,,


● P.G. de quatro termos:


32,,, xqxqxqx

3

3;;; xqxq

q

x

q

x


Neste caso a razão da P.G. ao invés de ser (q) será dada

por (q2).

● P.G. de cinco termos:


432 ,,,, xqxqxqxqx

▪ Considerando por x o termo médio desta P.G., temos:

2

2,,,, xqxqx

q

x

q

x


TRIGONOMETRIA

► Em todo triângulo retângulo é verdade que:

( )

“Se dois ângulos agudos são complementares, então o

seno de um deles é igual ao cosseno do outro ângulo

agudo.”

►

► Medidas das razões trigonométricas dos principais

ângulos:

30º 45º 60º

seno

√

√

cosseno

√

√

Tangente

√

√

► Circunferência trigonométrica

→ Circunferência trigonométrica:

→ Seno e cosseno na circunferência trigonométrica:

Arcos do 1°

quadrante

Seno > 0 Cosseno > 0

Arcos do 2°

quadrante

Seno > 0 Cosseno < 0



Arcos do 3°

quadrante

Seno < 0 Cosseno < 0

Arcos do 4°

quadrante

Seno < 0 Cosseno > 0

→ Arcos notáveis na circunferência trigonométrica:

0°

A(1,0)

90°

B(0,1)

180°

C(-1,0)

270°

D(0,-1)

360°

A(1,0)

→ Relação fundamental da trigonometria

⏟

→ Tangente na circunferência trigonométrica

Arcos do 1°

quadrante

tg > 0

Arcos do 2°

quadrante

tg < 0

Arcos do 3°

quadrante

tg > 0

Arcos do 4°

quadrante

tg < 0

→ Arcos côngruos

São arcos que tem a mesma extremidade e que

diferem pela quantidade de voltas dadas.

Então:

ou

(Equação dos arcos côngruos)

→ Outras razões trigonométricas

1) ( )

2) ( )

3) ( )



→ Relações derivadas da relação fundamental

1)

2)

► Arcos simétricos (Redução ao 1° quadrante)

→ Seno e cosseno

● Para o arco de 30°

→ Tangente

● Para o arco de 60°

► Funções trigonométricas

→ Função Seno

Denominamos função seno a função que a cada

número real faz corresponder o número .

→ Gráfico da função ( )

Sejam os pontos da função ( )

encontrados anteriormente

quando substituímos esses pontos no plano, teremos:

● Paridade:

A função seno é uma função ímpar. Nela é

verdade que: ( ) ( ). Observe o gráfico:

Ex: (

) (

)

O gráfico da função seno tem simetria em relação à

origem.

Atenção!

→ Análise da paridade na circunferência

trigonométrica:

Seja a circunferência trigonométrica:

perceba que arcos simétricos ( – ) possuem

senos simétricos ( ( ) ( )).



● Período:

A função seno é periódica – Uma função

é chamada função periódica quando existe um

número real positivo tal que, para todo ,

( ) ( ).

Ex:

( ) ( )⏟ ( )

( )⏟ ( )

O período da função seno é .

→ Função Cosseno

Denominamos função cosseno a função que a

cada número real faz corresponder o número .

→ Gráfico da função ( )

Sejam os pontos da função ( )

encontrados anteriormente

quando substituímos esses pontos no plano, teremos:

● Paridade

A função cosseno é uma função par. Nela é

verdade que: ( ) ( ). Observe o gráfico:

Ex: ( ) ( )

O gráfico da função cosseno tem simetria em relação

ao eixo oy.

Atenção!

→ Análise da paridade na circunferência

trigonométrica:

Seja a circunferência trigonométrica:

perceba que arcos simétricos ( – ) possuem

cossenos iguais ( ( ) ( )).

● Período

A função cosseno é periódica – Uma função

é chamada função periódica quando existe um

número real positivo tal que, para todo , ( )

( ).

Ex:

( ) ( )⏟ ( )

( )⏟ ( )

O período da função cosseno é .

► Construções de gráficos

Ex1: ( )



Ex2: ( )

Ex3: ( ) ( )

Atenção!

Para uma função circular ( ) ( )

ou ( ) ( ), como o período original era de

rad, podemos afirmar que o novo período é dado

por:

| |

| |

Logo, para , teremos:

| |

Ex4: ( )

Atenção!

Para uma função circular ( ) ( ) ou

( ) ( ) o conjunto imagem é dado da

seguinte forma:

→ Sendo a função ( ) ( ), sua imagem

é o conjunto:

[( ) ( )], com

→ Sendo a função ( ) ( ), sua imagem

é o conjunto:

[( ) ( )], com

Ex5: ( ) (

)

► Transformações trigonométricas

→ Fórmulas de adição e subtração de arcos

● Seno da soma e seno da diferença:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

● Cosseno da soma e o cosseno da diferença:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

● Tangente da soma e tangente da diferença:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

→ Arco duplo

● ( ) ( ) ( )

● ( ) ( ) ( )

● ( ) ( )

( )



TEORIA DOS CONJUNTOS

→ Conjunto – Formamos ideia de conjunto como uma

coleção qualquer de objetos.

→ Elemento – É cada um dos integrantes do conjunto.

→ Relação de pertinência: ou

Seja A um conjunto e x um elemento. Se x

pertence a A, ou melhor, se x é elemento de A,

escrevemos: Ax mas, se x não pertence a A, ou

melhor, x não é elemento de A, escrevemos: Ax .

Atenção!

É importante perceber que um conjunto pode

ser elemento de outro conjunto.

→ Subconjuntos: ou

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B

se, e somente se, todo elemento de A é elemento de B.

Seja A um conjunto e B outro conjunto. Se A está

contido em B, ou melhor, se A é subconjunto de B,

escrevemos: BA mas, se A não está contido em B, ou

melhor, A não é subconjunto de B, escrevemos: BA

Atenção!

Ser subconjunto é a mesma coisa que ser

parte, de estar contido.

→ Conjunto das partes de um conjunto

Dado o conjunto A, chama – se conjunto das

partes de A, notação P(A), aquele que é formado por todos

os subconjuntos de A, ou seja, são aqueles cujos

elementos são todos os subconjuntos de A.

Axx)A(P

Ex:

Dado o conjunto A = {1, 3,4}, mostre o conjunto das partes

de A.

Resolução:

4,3,1,4,3,4,1,3,1,4,3,1,)A(P

→ Número de elementos do Conjunto das partes:

Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos.

► Operações com conjuntos

→ União de conjuntos

A união (ou reunião) de dois conjuntos A e B, que

indicamos por BA ( A união B ), é o conjunto cujos

elementos são todos aqueles que pertencem a A ou B.

BxouAxxBA

Ex:

• Sendo 3,2,1A e 7,6B , temos que:

7,6,3,2,1BA .

• Sendo 4,3,2,1C e 7,6,5,4,3D , temos que:

7,6,5,4,3,2,1DC7,6,5,4,4,3,3,2,1DC

→ Intersecção de conjuntos

A intersecção de dois conjuntos A e B, que

indicaremos por BA ( A intersecção B ), é o conjunto



cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A e a

B ao mesmo tempo.

BxeAxxBA

Ex:

• Sendo 4,3,2,1A e 7,6,5,4,3B , temos

4,3BA .

• Sendo 3,2,1C e 8,7,6,5,4D , temos

DCDC .

• Sendo 3,2,1E e 7,6,5,4,3,2,1F , temos

FEEFE3,2,1FE .

→ Diferença entre dois conjuntos

A diferença de dois conjuntos A e B, nessa

ordem, que indicaremos por A – B (ou B – A), é o conjunto

cujos elementos são todos aqueles que pertencem a A (ou

B se for o caso B - A) e não pertencem a B (ou A se for o

caso B - A).

BxeAxxBA

ou

AxeBxxAB

Ex:

• Sendo 5,4,3,2,1A e 9,8,7,6,5,4B , temos

3,2,1BA e 9,8,7,6AB .

• Sendo 9,8,6,5,3C e 8,6,5D , temos

9,3DC e CD .

► Número de elementos da união de dois conjuntos

Dados dois conjuntos A e B e indicando por n(A),

o número de elementos de A, n(B) o número de elementos

de B, )BA(n , o número de elementos de BA , e

BAn , o número de elementos de BA , vale a

seguinte relação:

BAnBnAnBAn

Quando os conjuntos são disjuntos a intersecção

é o conjunto vazio, ou seja, 0BAn , teremos então:

BnAnBAn

► Número de elementos da união de três conjuntos

Dados três conjuntos A, B e C, o número de

elementos da união desses conjuntos é obtido pela

relação:

CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn

ANÁLISE COMBINATÓRIA

► Princípio fundamental da contagem:

Se um experimento A apresenta n resultados

distintos e um experimento B apresenta k resultados

distintos, então o experimento composto de A e B, nessa

ordem, apresenta n.k resultados distintos.



Ex1: Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre

passando por São Paulo. Sabendo que para ir de Recife a

São Paulo existem 5 estradas e de São Paulo a Porto

Alegre 3 estradas. De quantas maneiras possíveis essa

pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?

Resolução:

O número total de formas que uma pessoa pode ir de

Recife a Porto Alegre será: 5. 3 = 15 possibilidades.

► Fatorial

Ex:

Calcular n sabendo que !4

!n

!1n

Resolução:

23n241n!1.2.3.4

!n

!n.1n

!1.2.3.4!n

!n.1n!4

!n

!1n

► Tipos de agrupamentos

→ Arranjo simples:

Ex1:

Em um campeonato de futebol, participam 20 times.

Quantos resultados são possíveis para os três primeiros

lugares?

Resolução:

Esse problema divide-se em 3 etapas. Cada etapa

seleciona um dos colocados no campeonato de

futebol, então:

1° etapa 2° etapa 3° etapa

20 . 19 . 18

= 20.19.18 = 6 840 colocações.

Embora o arranjo simples seja o próprio

princípio fundamental da contagem, a fórmula usada

para calcular o arranjo é: !pn

!nA p,n

.

→ Arranjo com repetição:

É uma técnica de contagem onde leva - se em

conta a ordem e a repetição dos elementos.

Ex:

O número de maneiras de se responder a 40 questões

com 5 alternativas distintas para cada uma é dado por:

a) 40! b) 5. 40! c) 200 d) 405 e) 5

40

Resolução:

O número de formas de se responder a 40 questões

é igual a: 40

40

55.....5.5.5.5 formas.

A resposta se encontra na letra E.

→ Permutação

Quando um arranjo simples for uma permutação,

representamos da seguinte forma: !nP .

Ex:

De quantas maneiras diferentes cinco pessoas podem

formar uma fila indiana?

Resolução:

A fila continua tendo as cinco pessoas. A diferença

está na modificação das posições das mesmas.

Logo, a quantidade de maneiras de dispor essas

cinco pessoas em uma fila indiana é igual a:

12012345

Concluindo, o número total de maneiras será:

1201.2.3.4.5PA 55,5 maneiras.



→ Permutação com elementos repetidos:

Ex:

Quantos anagramas a palavra ELEGER possui?

Resolução:

1201.2.3

1.2.3.4.5.6

!3

!6P 6

3

Atenção!

▪ A fórmula utilizada na permutação é: !nP

▪ A fórmula utilizada na permutação com elementos

repetidos é: !!.....

!nP

n1

,...,, n21

n

→ Combinação simples

Ex1:

Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas

com um grupo de 7 pessoas?

Resolução:

A ordem de escolha das pessoas das comissões não

tem importância, ou seja, são agrupamentos onde a

ordem não importa, dessa forma são combinações.

Então:

Atenção!

A fórmula utilizada na combinação é:

!pn!p

!nC p,n

Ex2:

Quantos triângulos podem ser formados ligando os pontos

distintos A , B , C , D e E da circunferência abaixo?

Resolução:

Utilizando a fórmula de combinação, teríamos:

10

!2!.3

!3.4.5

!2!.3

!5

!35!.3

!5C 3,5

► Partições

→ Partições ordenadas

Ex1:

De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em

três salas, A, B e C, de modo que em A fiquem 4 pessoas,

em B fiquem 3 pessoas e em C também 3 pessoas?

Resolução:

Repartição das 10 pessoas seria:

C sala na pessoasB sala na pessoasA sala na pessoas

,,,,,,,,,

Então:

3,33,64,10 CCC

,,,,,,,,,

C sala na pessoasB sala na pessoasA sala na pessoas

Logo, o número de partições ordenadas será:



4200!3

1.2.3.

!3

4.5.6.

!4

7.8.9.10C.C.C 3,33,64,10

Observamos que quando permutamos os grupos

encontramos uma nova sequência, isso nos faz

perceber que a ordem importa. Por isso chamamos

de partição ordenada.

→ Partições não-ordenadas

Ex1:

De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em

3 grupos, tendo cada grupo 4 pessoas?

Resolução:

Considerando, para fixar a ideia, 3 grupos, temos:

3 grupo2 grupo1 grupo

,,, ,,,,,,,,

Observe que a ordem em que estão os grupos pode

ser qualquer uma e sempre teremos 3 grupos de 4

pessoas. Então, estamos interessados no número de

distribuições não ordenadas possíveis.

Desenvolveremos, inicialmente, da mesma forma das

questões anteriores (partições ordenadas). Logo:

4,44,84,12 CCC

,,,,,,,,

3 grupo2 grupo1 grupo

,,,

Se trocarmos de posicionamento cada grupo do

conjunto acima, teremos a mesma distribuição. Neste

caso, deveremos dividir o resultado pelo número de

permutações possíveis com os elementos (grupos)

do conjunto. Logo, para esse exemplo temos

6!3P3 distribuições iguais. Então:

775.5!3

!4

1.2.3.4.

!4

5.6.7.8.

!4

9.10.11.12

!3

C.C.C 4,44,84,12

► Princípio das gavetas (Princípio de Dirichlet ou

Princípio das casas dos pombos)

Se n objetos forem colocados em, no máximo, n – 1

gavetas, então pelo menos uma delas conterá pelo

menos dois objetos.

Ex:

Covest (adaptada) – 2000 - Considerando que em uma

festa existem 15 pessoas podemos afirmar que:

a) pelo menos duas nasceram no mesmo mês do ano.

Resolução:

Se considerarmos que existe uma pessoa nascida

em cada mês, iremos constatar que sobrarão 3

pessoas das 15. Concluindo que nessa situação

teremos que pelo menos 2 pessoas nasceram no

mesmo mês.

b) pelo menos três nasceram no mesmo dia da semana.

Resolução:

Se considerarmos que existe uma pessoa nascida

em cada dia da semana, iremos constatar que

sobrarão 8. Colocando cada umas das oito em uma

dia da semana, sobram 1 pessoa que poderá ter

nascido em um dos 7 dias da semana. Observe a

figura abaixo:

Dessa forma, constatamos que pelo menos 3

pessoas nasceram no mesmo dia da semana.



PROBABILIDADE

A probabilidade de ocorrer determinado evento é

dada pela razão entre o número de casos favoráveis (ou

número de casos que nos interessam) e o número de

casos possíveis (ou número total de casos).

Assim:

possíveiscasosdenúmero

favoráveiscasosdenúmero

)E(n

)A(n)A(p

Ex1:

Numa urna existem 2 bolas vermelhas e 6 brancas.

Sorteando-se uma bola qual a probabilidade de ela ser

vermelha?

Resolução:

O cardinal do espaço amostral será 8En e o

cardinal do evento será: n(A) = 2, então

4

1

8

2)A(P .

→ Propriedades das probabilidades

Sendo E um espaço amostral finito e não vazio e

sendo A um evento de E, tem-se que:

I. P(ø) = 0;

(Probabilidade do evento impossível (menor evento))

II. P(E) = 1;

(Probabilidade do evento certo (maior evento))

III. 1)A(P0

→ Probabilidades de eventos complementares:

)A(P1)A(P

)A(P)A(P1

)E(n

)A(n

)E(n

)A(n

)E(n

)E(n

Atenção!

A probabilidade de não ocorrer o evento A é

igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer o evento

A.

Ex:

Um experimento aleatório é realizado. A probabilidade de

ocorrer um evento A é 21

8. A probabilidade de não ocorrer

o evento A é:

Resolução:

A probabilidade de não ocorrer o evento A, é o que

chamamos de probabilidade do evento

complementar de A. Logo:

21

13AP

21

81APAP1AP .

→ Probabilidade da união de eventos

Dado dois eventos A e B, a probabilidade de A U B será:

● 1° caso:

Os conjuntos A e B possuem intersecção, ou seja, não são

disjuntos, logo BA .

)BA(P)B(P)A(P)BA(P

)E(n

)BA(n

)E(n

)B(n

)E(n

)A(n

)E(n

)BA(n



● 2° caso:

Os conjuntos A e B não possuem intersecção, ou seja, A e

B são disjuntos, logo BA .

)B(P)A(P)BA(P

)E(n

)B(n

)E(n

)A(n

)E(n

)BA(n

Atenção!

Quando os eventos são conjuntos disjuntos

dizemos que são eventos mutuamente exclusivos.

Esta propriedade poderá ser estendida para mais

de dois eventos: ...)CBA(P

Ex:

Numa classe de 22 alunos, 12 têm olhos castanhos, 4 têm

olhos negros, 3 têm olhos cinza, 2 têm olhos verdes e um

tem olhos azuis. Qual a probabilidade de um aluno

escolhido ao acaso ter olhos verdes ou azuis?

Resolução:

Considerando por A o evento: “ter olhos verdes” e por

B o evento “ter olhos azuis”, tem – se que estes

eventos são mutuamente exclusivos, já que não

existe aluno com mais de uma cor de olhos. Logo, a

intersecção é o conjunto vazio:

22

3

22

1

22

2)B(P)A(P)BA(P

Ex2:

Uma urna contém exatamente 20 bolas, numeradas de 1 a

20. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a

probabilidade de se obter uma bola com um número

múltiplo de 2 ou de 3?

Resolução:

Evento A: número múltiplo de 2.

10)A(n20,18,16,14,12,10,8,6,4,2A

Evento B: número múltiplo de 3.

6)B(n18,15,12,9,6,3B

Evento BA : número múltiplo de 2 e de 3.

3BAn18,12,6BA

20

3)BA(P

20

6)B(P

20

10)A(P

20

13)BA(P

20

3

20

6

20

10)BA(P

BAP)B(P)A(P)BA(P

→ Probabilidade condicional:

Ex1:

Dentre 5 homens e 3 mulheres, com apenas uma de nome

Márcia, foi sorteada uma pessoa. Sabendo-se que a

pessoa foi uma mulher, qual a probabilidade de Márcia ter

sido sorteada?

Resolução:

Estamos diante de uma probabilidade condicional. No

momento em que Márcia tem que ser a sorteada e nos

é afirmado que a pessoa sorteada já é uma mulher,

observamos que o nosso espaço amostral é reduzido

de 8 pessoas para 3 pessoas (já que existem 3

mulheres). Então a probabilidade pedida será:

3

1\ ABP . Onde B é o evento Márcia ser

sorteada e o evento A é o sorteado ser mulher.



Ex2:

Dois dados foram lançados. Sabendo que caíram, nas

faces voltadas para cima, dois números pares, calcule a

probabilidade de que a soma desses números seja 6.

Resolução:

O espaço amostral é:

A questão afirma que os números voltados para cima

são pares. Então, o nosso espaço amostral ficará

reduzido para (bolinhas branco com preto):

Então, o evento: soma dos números igual a 6 será:

Estamos diante de uma probabilidade condicional,

então:

.

→ Probabilidade de dois eventos simultâneos

De um modo geral, quando )()\( ApAp B , isto

é, o fato de ter ocorrido o evento B não altera a

probabilidade de ocorrer o evento A –, dizemos que A e B

são eventos independentes e o teorema da multiplicação

se reduz a:

Bp.ApBAp

Ex1:

Uma urna I contém 2 bolas vermelhas e 3 bolas brancas, a

urna II contém 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas. Uma

urna é escolhida ao acaso e dela uma bola é extraída ao

acaso. Qual a probabilidade de observarmos urna I e bola

vermelha?

Resolução:

Observamos que a probabilidade de urna I e bola

vermelha é dada por: 5

1

5

2.

2

1 . Entre as duas

formas de resolução, indicamos a segunda, por ser

mais simples. Mas, é importante ressaltar que a

melhor forma de resolver um problema é aquela em

que o aluno mais compreende e se sente seguro.

Ex2:

(UPE – Mat 2 – 2008) A urna A tem nove cartas

numeradas de 1 a 9, e a urna B contém cinco cartas

numeradas de 1 a 5. Uma urna é escolhida aleatoriamente,

e uma carta é retirada. Se o número é par, a probabilidade

de a carta ter saído da urna A é igual a:

a) 5

4 b)

19

10 c)

45

19 d)

9

2 e)

19

6

Resolução:

Fazendo o esquema, temos:

● Espaço amostral reduzido:



45

19

5

2.

2

1

9

4.

2

1En

(o número da carta retirada da urna é par)

● Evento:

9

2

9

4.

2

1An

(Ser uma carta retirada da urna A)

Se o número é par, a probabilidade de a carta ter

saído da urna A é igual a:

19

10

45

199

2

P

→ Método Binomial

Ex1:

Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual é a

probabilidade de nascerem 3 meninos e 1 menina:

Resolução:

Cada ensaio corresponde à resolução de uma

questão, em que P(homem) = P(mulher) = 1/2.

Os quatro ensaios são independentes entre si. Vamos

inicialmente calcular a probabilidade de ocorrerem

3 meninos e 1 menina numa determinada ordem, por

exemplo: (H,H,H,M).

Temos:

16

1

2

1

2

1.

2

1.

2

1.

2

1P

4

MHHH

Essas respostas, porém, podem ocorrer em outras

ordens, por exemplo: (M,H,H,H) ou (H,M,H,H), etc. A

quantidade de sequências desse tipo corresponde ao

número de permutações de 4 letras, com repetição de

3 letras H. Logo:

4!3

!3.44

3 P

Por fim, como a probabilidade de ocorrerem 4 H e 1

M em uma determinada ordem é dada por

16

1

2

1

2

1.

2

1.

2

1.

2

14

MHHH

P e existem

4!3

!3.44

3 P ordens possíveis; a probabilidade

pedida é igual a:

%254

1

16

1.4 P

Ex2:

Uma prova consta de 6 questões com 4 opções cada uma,

com uma única alternativa correta. Qual a probabilidade de

acertar 2 das 6 questões.

Resolução:

● A probabilidade de acertar cada questão é 4

1.

● A probabilidade de não acertar é 4

3.

Uma possível sequência poderia ser: (C,C,E,E,E,E),

logo:

096.4

1215

4

1

4

3.)(

24

64,2

PAP

MATRIZES E DETERMINANTES

● Matriz quadrada

É toda matriz cujo número de linhas é igual ao

número de colunas.

04

6322xA

910

642

751

33xB



► Diagonal Principal – É o conjunto dos elementos que

possuem os dois índices iguais.

► Diagonal Secundária – É o conjunto dos elementos

tais que 1 nji , onde n é a ordem da matriz

quadrada.

Atenção!

→ Uma matriz quadrada 33xM é uma matriz que do tipo

3 x 3, desta forma, diz – se que tem ordem 3, ou ainda

que é de ordem 3. Então toda matriz mxnM , com m = n é

quadrada de ordem m.

● Matriz identidade

Chama-se matriz identidade de ordem n, que se

indica por , a matriz que tem todos os elementos da

diagonal principal iguais a 1 e todos os demais elementos

iguais a zero.

10

0122xA

100

010

001

33xB

Atenção!

A matriz identidade é um caso especial de

matrizes escalares e consequentemente pode ser dita

uma matriz diagonal.

► Determinantes

● Matriz quadrada 2x2

“O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é

igual à diferença entre o produto dos elementos da

diagonal principal e o produto dos elementos da

diagonal secundária, nesta ordem”.

► Matriz quadrada 3x3

Para calcular o determinante de uma matriz

quadrada de ordem 3 será necessária a utilização

da regra de Sarrus. Observe os exemplos abaixo:

A Regra de Sarrus consiste em:

Ex:

Dada a matriz (

), obtenha o determinante

de A:

Resolução:

Utilizando a regra de Sarrus, temos:

[( ) ( ) ( )]

[( ) ( ) ( )]

Ou aplicar a regrinha do coração:

[( ) ( ) ( )]

[( ) ( ) ( )]



SISTEMAS LINEARES

→ Classificação de um sistema 2x2.

● Solução gráfica para sistemas possíveis

determinados (SPD)

Retas concorrentes

● Solução gráfica para sistemas possíveis

determinados (SPI)

Retas paralelas coincidentes

● Solução gráfica para sistemas impossíveis (SI)

Retas paralelas

● Outra forma de classificar um sistema 2x2:

Seja o sistema genérico 2x2, {

teremos:

→

( )

→

( )

→

( )

ESTATÍSTICA

→ Frequência

Chamamos de frequência o número de vezes que

um determinado dado aparece em uma lista numérica

qualquer.

● Frequência absoluta

Frequência absoluta ( ) do valor de é o

número de vezes que a variável estatística assume o valor

.

● Frequência total

Frequência absoluta total (∑ ) é a soma de

todas as frequências absolutas observadas.

● Frequência absoluta acumulada

É a soma de cada frequência absoluta com os

valores das frequências anteriores.

● Frequência relativa

É quociente entre a frequência absoluta e o

número de elementos da população estatística.

→ Tipos de gráficos

● Gráficos de colunas e de barras

Sistema

Possível

(têm solução)

Determinado (SPD)

(única solução)

Indeterminado (SPI)

(infinitas soluções) Impossível (SI)

(não tem solução)



● Gráficos de segmentos

● Gráficos de setores

● Gráficos múltiplos

→ Medidas de tendência central

● Média Aritmética Simples

Consideremos uma coleção formada por n

números racionais:

∑

● Média Aritmética Ponderada

Consideremos uma coleção formada por n

números reais:

de forma que cada um esteja sujeito a um peso,

respectivamente, indicado por:

( ) ( ) ( ) ( )

● Média Aritmética com dados agrupados em classes

Ex:

No sábado de carnaval de 2010 foi realizado um

levantamento de dados para identificar o tempo (em

minutos) dos atrasos dos ônibus que partem da rodoviária

da cidade. Os resultados obtidos foram registrados na

tabela de distribuição a seguir:

Tempo

(em minutos)

Número de ônibus

0│― 10 32

10│― 20 11

20│― 30 12

30│― 40 15

40│― 50 17

50│― 60 13

Total 100

Calcule o tempo médio de atrasos dos ônibus na rodoviária

da cidade.

Resolução:

Para encontrar a média aritmética, inicialmente

precisamos encontrar os pontos médios de cada

intervalo:

• 0│― 10 →

.

• 10│― 20→

.



• 20│― 30→

.

• 30│― 40→

.

• 40│― 50→

.

• 50│― 60→

.

Logo, a média aritmética é dada pela soma do

produto dos pontos médios pela frequência do seu

respectivo intervalo dividido pelo total da frequência

absoluta (quantidade de ônibus observados). O

tempo médio de atrasos é igual a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Portanto, o tempo médio de atrasos na rodoviária da

cidade é de 26, 3 minutos.

● Moda

É (ou são) o valor (ou valores) que aparece (m)

com maior frequência no conjunto de valores observados.

● Moda com dados agrupados em classes

A moda em uma distribuição de frequências

organizadas em classes é o ponto médio da classe que

apresenta maior frequência absoluta. A classe com

maior frequência absoluta é chamada de classe modal.

Ex:

A distribuição de frequências a seguir apresenta as idades

dos professores de uma escola de Educação Infantil.

Encontre a idade modal desse grupo de professores.

Idades (em anos) Número de

professores

20│― 23 4

23│― 26 12

26│― 29 15

29│― 32 12

32│― 35 7

Total 50

Resolução:

Sendo maior frequência dada pela quantidade de

professores igual a 15, a idade modal será igual ao

ponto médio do seguinte intervalo:

26│― 29 →

.

Portanto, a idade modal dessa distribuição é 27,5

anos.

● Mediana

Dados n números em ordem crescente ou

decrescente, a mediana será:

→ o número que ocupar a posição central se n for ímpar;

→ a média aritmética dos dois números que estiverem no

centro se n for par.

→ Medidas de dispersão

● Amplitude total

É a diferença entre o maior e o menor valor

observado.

● Desvio

É diferença entre cada valor e a média aritmética

do conjunto de dados observados.

Atenção!

A soma de todos os desvios de cada conjunto de dados é

sempre zero.



→ Variância:

A média aritmética dos quadrados dos desvios de

cada valor observado em um conjunto de dados é

chamada de variância, que é indicada por Var.

( )

( )

∑ ( )

→ Desvio Padrão:

A raiz quadrada da variância representa uma

medida real chamada de desvio padrão que é indicada

por DP.

√( )

( )

√

∑ ( )

Ou ainda √



● Competência de área 1 - Construir significados para os

números naturais, inteiros, racionais e reais.

(Ex1.) Um palmo de tem 22 cm. Uma pessoa deverá medir o

perímetro do tampo retangular de uma mesa cujas dimensões

são: 1,10 m x 2,86 m. O perímetro, em palmos,

é igual a:

Solução:

palmos

(Ex2.)

Ao lermos o cartaz, ficamos, a

saber, que o exército de Roma fez numa

certa época MCDV prisioneiros de guerra.

Qual o número, no sistema de numeração decimal, que o

exército romano leu?

Solução:

Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor:

. Como antes de não tinha nenhuma letra, buscavam a

segunda letra de maior valor: . Depois tiravam de o

valor da letra que vem antes:

Somavam 400 ao valor de porque está depois de .

Sobrava apenas o . Então MCDV = 1.400 + 5 = 1.405.

(Ex3.)

Em uma enchente, um jornalista viu uma menina com uma lata

de refrigerante de 350 ml. Perguntando à menina o que ela

estava fazendo, ela respondeu que estava tirando a água para

secar a enchente. Sabendo que o volume da enchente era de 70

m3, quantas latas a menina teria que encher para secar toda a

água?

Solução:

Sendo o volume da lata de refrigerante igual a 350 ml. O número

de vezes que a menina deverá encher a lata para retirar o

volume total da enchente é:

vezes.

(Ex4.) No jogo “Encontrando Números Iguais” são lançados 5

dados especialmente preparados para isso. Observe esta

jogada:

Os dados com números iguais são:

Solução:

Os dados com números iguais são: dado1, dado 3 e dado 4.

(Ex5.)

Uma parede de 5 metros por 2 metros deve ser coberta com

azulejos quadrados, de lado 25 cm. Uma caixa de azulejos tem

100 azulejos. Quantas caixas eu devo comprar, no mínimo, para

garantir que não fiquem faltando azulejos?

Solução:

As dimensões da parede em centímetros são: 500 cm e 200 cm.

Como cada azulejo tem lado 25 cm, faremos o seguinte:

→Azulejos na dimensão 500 cm

Aritmética



■

azulejos

→Azulejos na dimensão 200 cm

■

azulejos

Um total de 160 azulejos. Portanto, serão necessárias duas

caixas.

(Ex6.)

O ônibus A passa na parada a cada 20 minutos. O ônibus B

passa na mesma parada a cada 15 minutos. Neste momento

estes ônibus estão na parada. Daqui a quanto tempo eles

estarão juntos nesta mesma parada?

Solução:

O MMC (20,15) = 60 minutos. Portanto, daqui a 1 hora estes

ônibus estarão juntos na parada.

(Ex7.)

O piso retangular de uma sala, com 2 m de comprimento e 3 m

de largura, deve ser coberto com ladrilhos quadrados.

Admitindo-se que não haverá perda de material e que será

utilizado o menor número de ladrilhos inteiros, pode-se estimar

que serão colocados:

Solução:

A sala retangular tem dimensões 200 cm por 300 cm. Para

serem colocados o menor número de ladrilhos faz – se

necessário que os lados dos ladrilhos quadrados sejam os

maiores possíveis. Portanto:

MDC (200,300) = 100 cm

Logo: e

Um total de: ladrilhos.

(Ex8.)

O dia 1º de outubro de 2014 caiu numa quarta – feira. Daqui a

50 dias, qual será o dia da semana?

Solução:

Como uma semana tem 7 dias:

● : Sete semanas mais um dia! Daqui a 50

dias será uma quinta – feira.

(Ex9.)

Sabe-se que os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto,

outubro e dezembro têm 31 dias. O dia 31 de maio de certo ano

ocorreu num sábado. Então, 25 de dezembro do mesmo ano foi:

Solução:

Somando os dias dos meses de junho, julho, agosto, setembro,

outubro e novembro, até 25 dias de dezembro, temos um total

de:

● : 29 semanas mais cinco dias! 25 de

Dezembro do mesmo ano caiu numa quinta – feira.

(Ex10.)

Numa árvore pousam pássaros. Se pousarem dois pássaros em

cada galho, fica um galho sem pássaros. Se pousar um pássaro

em cada galho, fica um pássaro sem galho. Determine o número

de pássaros e o número de galhos.

Solução:

Considerando por x a quantidade de pássaros e y a quantidade

de galhos:

●

( )



●

Substituindo a segunda equação na primeira:

, portanto, .

São 4 pássaros e 3 galhos.

(Ex11.)

Lia tem bombons e quer dividir entre os alunos de uma escola.

Percebe que dando 3 a cada aluno, sobram 2 bombons. Dando

4 para cada aluno, sobram 2 bombons e dando 5 para cada

aluno sobram 2 bombons. Sabe – se que a quantidade de

bombons é maior que 180 e menor que 240. Quantos bombons

Lia possui para dividir entre os alunos desta escola?

Solução:

Considerando por A e B, respectivamente, a quantidade alunos

da escola e a quantidade de bombons, tem – se:

● ● ●

Portanto:

● ● ●

Concluímos que é um múltiplo de 3, 4 e 5. Portanto, é um

múltiplo de 60:

Sendo , . Dessa forma, .

(Ex12.)

Se eu adicionar 8 à quantidade de carrinhos que possuo, ficarei

com a mesma quantidade de carrinhos de meu irmão, se

dos 28 que ele possui, for retirada a quantidade que eu possuo.

Quantos carrinhos eu tenho?

Solução:

Considere por x a quantidade de carrinhos que eu possuo:

Eu possuo 10 carrinhos.

(Ex13.)

Pedro propõe 16 problemas a um de seus amigos, informando

que dará 5 pontos por problema resolvido e lhe tirará 3 pontos

por problema não resolvido. No final seu amigo tinha nota zero.

Quantos problemas seu amigo resolveu?

Solução:

Considerando por x a quantidade de problemas resolvidos e por

y a quantidade de problemas não resolvidos:

●

●

Substituindo a primeira equação na segunda:

( )

(Ex14.)

Dado um número de dois algarismos forma – se um novo

número de três algarismos colocando “1” à direita do número

original. O novo número é:

a) dez vezes o número original, mais um.

b) cem vezes o número original, mais um.

c) cem vezes o número original.

d) o número original, mais um.

Solução:

Sendo o número original:

Colocando o número 1 na direita do número:

Portanto:

( )

(Ex15.)

http://www.matematicadidatica.com.br/EquacaoPrimeiroGrauExercicios.aspx#anchor_ex1






Maria terminou um trabalho e numerou todas as páginas,

partindo do número 1. Para isso utilizou 270 algarismos.

Quantas páginas tem esse trabalho?

Solução:

Números com 1 algarismo = 9 algarismos no total.

Números com 2 algarismo =

⏟

⏟

páginas – um total de 2

x 90 algarismos = 180 algarismos.

● 270 – 189 = 81 algarismos (faltam). Dividindo por 3, pois as

próximas páginas terão numerações com 3 algarismos:

páginas.

Este trabalho possui um total de 126 páginas!

● Competência de área 3/ área 4 - Construir

noções de grandezas e medidas para a compreensão da

realidade e a solução de problemas do cotidiano /

Construir noções de variação de grandezas para a

compreensão da realidade e a solução de problemas do

cotidiano.

(Ex1.)

Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18.

Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou

o melhor desempenho?

Solução:

Reduziremos as frações para um mesmo denominador para

podermos comparar:

●Desempenho de Pedrinho:

( )

( )

●Desempenho de Cláudia:

( )

( )

Note que Pedrinho teve um melhor desempenho, acertando

54 problemas de 60.

(Ex2.)

A soma da idade do pai e do filho é 45 anos. A idade do pai está

para a idade do filho, assim como 7 está para 2. Determine a

idade do pai e do filho.

Solução:

Considerando por P e F, as idades do pai e do filho

respectivamente:

●

●

e

(Ex3.)

A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como

salário por mês é de 4/5. O que resta coloco em caderneta de

poupança. Se neste mês meu salário foi de R$ 840,00, qual a

quantia que aplicarei na caderneta de poupança?

Solução:

Portanto, este mês aplicarei na caderneta de poupança:

R$ 840,00 – R$ 672,00 = R$ 168,00.

(Ex4.)

A distância entre duas cidades num mapa de escala é

de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades?

Solução:



(Ex5.)

Um terreno cuja área mede 100m² será desenhado num papel

na escala 1 : 100. Qual deverá ser a medida deste térreo no

papel?

Solução:

(

)

(Ex6.)

Analisaremos as relações de dependência entre as grandezas

das fórmulas a seguir:

a)

( )

onde:

F é a força em Newtons (N)

M é a massa em quilogramas (kg)

d é a distância em metros (m)

G é a constante gravitacional em Newtons metro quadrado por

quilograma quadrado (Nm2 / kg2).

b)

onde:

T é o período de revolução do Planeta ao redor do Sol;

K é a constante de proporcionalidade;

R é a distância média do Planeta ao Sol.

Solução:

a) Organizando a fórmula a seguir:

( )

( )

Note que a força (F) é diretamente proporcional ao produto das

massas ( ) e inversamente proporcional ao quadrado da

distância ( ). O quadrado da distância é diretamente

proporcional ao produto das massas ( ).

b) Organizando a fórmula a seguir:

Note que o quadrado do período de revolução do Planeta ao

redor do sol ( ) é diretamente proporcional ao cubo da

distância média do Planeta ao sol ( ).

(Ex7.)

Três trabalhadores devem dividir R$ 1.200,00 referentes ao

pagamento por um serviço realizado. Eles trabalharam 2, 3 e 5

dias respectivamente e devem receber uma quantia diretamente

proporcional ao número de dias trabalhados. Quanto deverá

receber cada um?

Solução:

Considerando por x, y e z as quantidades que cada trabalhador

deverá receber e considerando k a constante de

proporcionalidade;

● ● ●

Portanto:

Cada trabalhador receberá, respectivamente:

R$ 240, R$ 360 e R$ 600,00

(Ex8.)

Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de

futebol amador irão receber um prêmio de R$ 3.340,00 rateados

em partes inversamente proporcionais ao número de faltas

cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7

e 11 faltas. Qual a premiação referente a cada um deles

respectivamente?

Solução:

Considerando por x, y e z as quantidades que cada trabalhador

deverá receber e considerando k a constante de

proporcionalidade;

●

●

●

http://www.matematicadidatica.com.br/DivisaoEmPartesProporcionaisExercicios.aspx#anchor_ex7













Portanto:

Cada jogador receberá, respectivamente:

R$ 1.540, R$ 1.100 e R$ 700,00

(Ex9.)

Um quilo de farinha de trigo é suficiente para fazer 12 pães. De

quanta farinha necessito para fazer 18 pães?

Solução:

As grandezas farinha de trigo e pães são diretamente

proporcionais:

(Ex10.)

Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias.

Dois pedreiros construirá a mesma casa em quanto tempo?

Solução:

As grandezas pedreiros e dias são inversamente proporcionais,

portanto:

( ) ( ) dias.

(Ex11.)

Se 8 homens levam 12 dias montando 16 máquinas, então, nas

mesmas condições, 15 homens levarão quantos dias para

montar 50 máquinas?

Solução:

Portanto:

( )

( )

dias

(Ex12.)

Uma torneira enche um tanque em 12 minutos. Outra torneira

enche o mesmo tanque em 8 minutos. Num determinado dia,

Maria resolveu encher o tanque mantendo as duas torneiras

ligadas. Depois de quanto tempo o tanque ficou cheio?

Solução:

● A primeira torneira enche

, em 1h.

● A primeira torneira enche

, em 1h.

Em 1h, juntas, encheria:

Portanto:

1h -------

h ------

As duas torneiras, juntas, enchem o tanque em: 4h e 48 min.

(Ex13.)

30% da população de uma cidade litorânea mora na ilha e os

demais 350.000 habitantes moram na área continental. Quantas

pessoas moram na ilha?

Solução:

Portanto, a quantidade de pessoas que moram na ilha é:

(Ex14.)

Do meu salário de R$ 1.200,00 tive um desconto total

de R$ 240,00. Este desconto equivale a quantos por cento do

meu salário?

Solução:

(Ex15.)

http://www.matematicadidatica.com.br/PorcentagemExercicios.aspx#anchor_ex6








Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um

desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o

valor do desconto obtido?

Solução:

● O desconto obtido foi de: ( ) .

● Acabei pagando o produto por:

ou ainda: ( ) .

(Ex16.)

Uma jarra de 18 litros está cheia de suco. 20% é água e 80% é

polpa. Após uma perda de água, 10% do suco passaram a ser

de água e 90% passaram a ser de polpa. Qual o volume de água

perdido?

Solução:

Trabalharemos, apenas com a parte fixa (polpa). Portanto:

( )

Logo, o volume de água perdido é dado por: .

(Ex17.)

O salário de Luiz Cláudio era de x reais em janeiro. Em maio, ele

recebeu um aumento de 10% e outro de 20% em novembro. Seu

salário atual é de R$ 1.320,00. Calcule o salário de Luiz em

janeiro.

Solução:

( )

(Ex18.)

Em determinado mês os salários aumentaram 20% e os preços

das mercadorias diminuíram em 20%. O que aconteceu neste

mês com o poder de compra?

Solução:

Definindo poder de compra como:

. Tem –se:

O poder de compra nesse mês aumentou em 50%.

(Ex19.)

Um produto que custa R$ 700,00 é vendido com um prejuízo de

30% sobre o preço de venda. Qual é o preço de venda dessa

mercadoria?

Solução:

Sabe – se

Portanto:

(Ex20.)

Amélia fixou em 20% o lucro sobre o preço de aquisição de uma

mercadoria. Sabendo que ela custou R$ 200,00, por quanto

deverá ser vendida?

Solução:

Sabe – se

Portanto:

(Ex21.)

Em uma feira livre 4 lápis são vendidos por R$ 2,00. Sabe – se o

custo da unidade do lápis foi de R$ 0,20. Qual o lucro percentual

na venda de 160 lápis?

Solução:

Preço de venda: 4 lápis -------- R$ 2,00

Preço de custo: 1 lápis -------- R$ 0,2 4 lápis -------- R$ 0,8

Portanto, o lucro na venda de 4 lápis é dado por:

Para 160 lápis, o lucro será:

O lucro percentual será:

.






(Ex22.)

Um capital aplicado a juros simples durante dois anos, à taxa de

4% a.m., gerou no período, um montante de R$ 19.600,00. Qual

foi o capital aplicado?

Solução:

( )

( ( ))

(Ex23.)

Uma loja oferece um computador e uma impressora por R$

3.000,00 à vista, ou por 20% do valor à vista como entrada mais

um pagamento de R$ 2.760,00 após 5 meses. Qual a taxa de

juros simples cobrada ao mês?

Solução:

À vista: R$ 3.000,00.

À prazo: R$ 600,00 (entrada) + R$ 2.760,00 (após 5 meses).

Com relação ao pagamento À vista:

R$ 3.000 - R$ 600,00 Após 5 meses R$ 2.400,00

R$ 600,00 Após 5 meses R$ 2.760,00

nos 5 meses. Por mês foi uma taxa de 3%.

(Ex24.)

Um investidor fez uma aplicação de R$ 20.000 num banco a

uma taxa cumulativa de 5% ao ano. Após 2 anos o montante

deverá ser de: (use: ).

Solução:

( )

( )

PRATICANDO NA SALA

01) A tabela a seguir apresenta os principais produtos

exportados pelo Brasil para a China nos anos de 2010, 2011 e

2012 e a quantia em milhões de dólares gastos pela China com

esses produtos.

Se um produto A, entre aqueles contidos na informação Outros

produtos, representar 1% do total do volume monetário das

exportações do Brasil para a China em 2012, então o valor

monetário que esse produto A representou nas exportações

daquele ano foi:

a) trezentos e oitenta e dois milhões e quinhentos e trinta mil

dólares.

b) trinta e oito milhões e duzentos e cinquenta e três mil dólares.

c) quarenta e um milhões e duzentos e vinte e oito mil dólares.

d) quarenta e um bilhões e duzentos e vinte e oito milhões de

dólares.

e) quatrocentos e doze milhões e duzentos e oitenta mil dólares.

02) O lixo do refeitório de uma grande metalúrgica é coletado

diariamente por um caminhão e levado para um aterro sanitário

que fica a aproximadamente 30 quilômetros da empresa. Duas

transportadoras disputam a licitação para o transporte desse lixo

diário, que chega a 240 toneladas por ano. Sabendo que a

transportadora A cobra R$ 160,00 por tonelada de lixo e R$

50,00 por coleta diária, de segunda a sábado; e a transportadora

B cobra R$ 150,00 por tonelada e R$ 0,80 por

quilômetro rodado, na ida e na volta ao aterro. Considerando 26

dias úteis no mês, assinale a alternativa correta:

a) A proposta de A é mais interessante, pois cobra

aproximadamente R$ 3.000,00 por mês.



b) A proposta de A é mais interessante, pois o preço fixo de

coleta reduz o custo para a empresa.

c) A proposta de B é mais interessante, pois seu custo mensal é

menor do que o de A.

d) A proposta de B é mais interessante, pois cobra pouco a mais

de R$ 3.000,00 por mês.

e) As propostas são igualmente boas, pois ambas têm o mesmo

custo mensal.

03) Em uma fazenda, é necessário transportar um número de

sacos de soja utilizando carros que serão alugados para a

prestação de serviço. O produtor calculou que, se transportasse

40 kg de soja em cada carro, sobraria, 4 carros daqueles que

planejava alugar. Por outro lado, transportando 35 kg por carro,

ainda sobrariam, 10kg de soja para serem transportados.

Nessas condições, o número de carros que o produtor planeja

alugar e a quantidade total, em quilogramas de soja a serem

transportadas, são, respectivamente:

a) 34 e 1 200 b) 34 e 1 500 c) 32 e 1

200

d) 32 e 1 500 e) 36 e 1 200

04) Uma pesquisa foi realizada com a intenção de conhecer o

que as pessoas sabem sobre o diabetes. Nela, utilizou – se um

questionário com 16 perguntas, respondidas pelas pessoas na

entrada de estações do metrô de São Paulo. Os gráficos a

seguir mostram, respectivamente, os percentuais de respostas

dadas às seguintes perguntas do questionário: “Você conhece

alguém com diabetes?” e “Caso conheça, indique onde.”

O percentual do número de entrevistados que conhecem

pessoas diabéticas na escola é mais aproximado por:

a) 6% b) 15% c) 37% d) 41% e)

52%

05) Um ilustrador precisou representar um rancho de 10.000

metros quadrados em um mapa. Essa representação, por causa

do espaço disponível, precisou ser feita por um quadrilátero

semelhante à forma real do rancho, porém com área de nove

centímetros quadrados. Para que o mapa esteja correto, o

ilustrador deve indicar que foi construído na escala:

a) 3:1.000

b) 3:10.000

c) 5:10.000

d) 9:1.000

e) 9 :10.000

06) A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto

entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da intensidade da

corrente elétrica (i) que por ele circula.

Para um chuveiro elétrico qualquer, a energia elétrica (E)

consumida depende da potência elétrica e do intervalo de tempo

de funcionamento ( ). Se o intervalo de tempo for constante

( ), a energia elétrica consumida será diretamente

proporcional à potência elétrica do aparelho e o ( ) será a



constante de proporcionalidade. Nessas condições, a energia

elétrica (E) pode ser escrita em função da resistência elétrica (R)

e da intensidade da corrente elétrica (i) por meio da expressão:

a)

b)

c)

d)

e)

07) Uma empresa trabalha com dois produtos, A e B. Para

transportar seus produtos, utiliza uma caminhonete. A carga

máxima, permitida por lei, para transporte nessa caminhonete é

igual a 300 latas do produto A ou 210 latas do produto B. Se a

caminhonete abrigar 180 latas do produto A, então o máximo de

latas do produto B, que pode transportar, sem infringir a lei, é:

a) 72

b) 84

c) 98

d) 102

e) 110

08) O litro do combustível X custa R$ 2,00 e do combustível Y,

custa R$ 3,00. O tanque do veículo V, que se move

indiferentemente com os combustíveis X e Y, tem capacidade

total de 54 litros. O veículo V, quando abastecido unicamente

com o combustível X, tem rendimento de 15 quilômetros por litro

e, quando abastecido unicamente com o combustível Y, tem

rendimento de 18 quilômetros por litro. Quantos reais gastará o

proprietário de V, caso resolva abastecer completamente o seu

tanque com uma mistura desses combustíveis, de forma que,

numericamente, os volumes correspondentes de X e Y sejam,

simultaneamente, diretamente proporcionais aos rendimentos e

inversamente proporcionais aos custos de cada um deles?

a) 131,00

b) 132,00

c) 133,00

d) 134,00

e) 135,00

09) Quando se diz que numa determinada região a precipitação

pluviométrica foi de 10 mm, significa que a precipitação naquela

região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média.

Se numa região de 10 km² de área ocorreu uma precipitação de

5 cm, quantos litros de água foram precipitados?

a) 5 x 107.

b) 5 x 108.

c) 5 x 109.

d) 5 x 1010.

e) 5 x 1011.

10) A decoração natalina de uma empresa no ano passado foi a

de uma enorme árvore de Natal constituída por 3.200 lâmpadas

piscas-piscas (que consomem energia por igual) que ficaram

acesas por 45 dias ininterruptos das 18 horas às 2 horas

da manhã, gerando com isso um consumo de energia de R$

64,00 nesse período. Para este ano, a tarifa de energia elétrica

aumentou 25%. A empresa quer novamente enfeitar a árvore de

Natal, mas mantendo as lâmpadas acesas por 60 dias e

pretendendo ter o mesmo gasto, em reais, com a energia

elétrica proveniente desse enfeite, em relação ao ano anterior,

apenas das 18 horas à meia--noite. Analisando essa atitude da

empresa, verifica -se que, para que isso realmente aconteça, o

número de lâmpadas piscas-piscas na árvore deve ser reduzido

para:

a) 2.800 b) 2.560 c) 2.105 d) 1.870 e)

1.600

Resolução:



x é o custo da energia e L a quantidade de lâmpadas:

11) Durante uma crise econômica, uma pessoa precisou se

desfazer de um imóvel. Com muita dificuldade para encontrar

um comprador, precisou aceitar a oferta de um grande produtor

de milho da região que fez a seguinte proposta:

● 50% de entrada pagos com 7.000 sacas de milho (primeiro

pagamento);

● 25% do valor pagos na safra seguinte, também em sacas de

milho (segundo pagamento);

● o restante em sacas de milho na outra safra seguinte (terceiro

pagamento).

Sabendo – se que, na data da entrada, a saca de milho custava

R$ 20,00 e que a previsão para as duas próximas safras era de

aumento de preço da saca em 12% e 18%, respectivamente, a

quantidade de sacas necessária para efetuar o segundo

pagamento será:

a) 2.648

b) 2.966

c) 3.125

d) 3.500

e) 3.920

12) Observe o anúncio abaixo, que apresenta descontos

promocionais de uma loja.

Admita que essa promoção obedeça à seguinte sequência:

- primeiro desconto de 10% sobre o preço da mercadoria;

- segundo desconto de 10% sobre o valor após o primeiro

desconto;

- desconto de R$100,00 sobre o valor após o segundo desconto.

Determine o preço inicial de uma mercadoria cujo valor, após os

três descontos, é igual a R$ 710,00.

a) R$ 800,00

b) R$ 950,00

c) R$ 1000,00

d) R$ 1.500,00

e) R$ 2.000,00

13) Leia o texto a seguir.

Vinte e sete montadoras já se habilitaram para as regras do

novo regime automotivo, batizado pelo Ministério do

Desenvolvimento, Indústria e Comércio de Inovar Auto, que visa

deixar mais econômicos os veículos menos poluentes. Hoje o

desempenho médio de um veículo fabricado no Brasil está por

volta de 14 km/litro (gasolina) e 9 km/litro (álcool). O objetivo do

Inovar Auto, nesse quesito, é que o desempenho passe a ser de

18,6 km/litro (gasolina) e 12 km/litro (álcool).

Adaptado de Entendendo o Inovar Auto. Revista Cesvi, São Paulo, ano

16, n. 84, p. 38, mar./abr. 2013.

Com base nas informações do texto, podemos inferir que o

ministério espera que o consumo desses combustíveis:

a) diminua em aproximadamente 25%.

b) diminua em aproximadamente 33%.

c) diminua em aproximadamente 36%.

d) aumente em aproximadamente 32%.

e) aumente em aproximadamente 40%.

Resolução:



14) Um produto foi vendido por R$ 86,40 após um desconto de

10% sobre o preço de venda. Se fosse vendido sem o desconto,

geraria um lucro de 60% sobre o preço de custo. Determine o

preço de custo do produto.

a) R$ 60,00

b) R$ 70,00

c) R$ 80,00

d) R$ 82,00

e) R$ 85,00

15) Um veículo está à venda nas seguintes condições de

pagamento:

• 12 parcelas iguais a R$ 1.000,00, sendo a primeira no ato;

• parcela adicional, 12 meses após a compra, de R$ 20.000,00;

• para a concessionária, o dinheiro vale 2% ao mês, e o

comprador pode antecipar parcelas com esse desconto.

Uma pessoa adquiriu esse veículo e, no ato da compra,

resolveu, além da primeira parcela de R$ 1.000,00, antecipar a

segunda parcela e a adicional. Dessa forma, essa pessoa

pagou, no ato da compra, aproximadamente:

(Se necessário, use os dados da tabela.)

a) R$1.000,00

b) R$ 17.721,00

c) R$ 17.740,00

d) R$21.580,00

e) R$ 26.560,00

16) Três lojas, A, B e C, vendem um mesmo produto cujo preço

é R$ 900,00, mas oferecem formas de pagamento

diferentes, conforme descrito abaixo.

- Loja A – Dá um desconto de 10 % para pagamento a vista.

- Loja B – Parcela o valor em 2 meses, sem juros, com o

primeiro pagamento para 1 mês após a compra.

- Loja C – Dá um desconto de 10 % em metade do valor, que

deve ser pago a vista, e deixa o pagamento da outra metade

para 1 mês após a compra.

João tem exatamente R$ 900,00 depositados em uma aplicação

que lhe rende 10 % ao mês. Suponha que João pretenda utilizar

esse dinheiro para comprar tal produto e que, feita a escolha da

loja, ele irá realizar saques mensais da sua aplicação no dia de

vencimento e no valor exato da parcela que deve pagar.

Nessa situação, assinale o que for correto.

a) Se João comprar na loja A, então, 2 meses após a compra,

ele terá R$ 110,00 aplicados.

b) Se João comprar na loja B, então, exatamente após efetuar o

primeiro pagamento, ele terá R$ 580,00 aplicados.

c) Se João comprar na loja C, então, logo após terminar de

pagar pelo produto, restarão a ele R$ 94,00 aplicados.

d) Se comprar na loja B, João levará mais tempo para pagar o

produto, mas, para ele, essa opção é financeiramente melhor do

que comprar na loja C.

e) Financeiramente, a melhor opção de compra é sempre pagar

a vista com desconto, independentemente de como se pode

aplicar o dinheiro.

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