Resumo Geometria Plana
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I – ÂNGULOS 1. Definição - é a reunião de duas semi-retas de mes-
ma origem.
Ângulo AÔB, onde AO e BO são os lados e O é o vértice. 2. Abertura do ângulo – os ângulos são medidos em
graus ou radianos que são as unidades mais impor-tantes. ⇒ uma volta = 360°
[1° = 60 minutos( ‘ ) e 1’ = 60 segundos ( “ )] ⇒ uma volta = 2.π radianos.
3. Classificação de ângulos quanto à medida ( αααα)
⇒ agudo - 0° < α < 90° ⇒ reto - α = 90° ⇒ obtuso - 90° < α < 180° Obs.: ângulo raso = 180°.
4. Ângulos complementares e suplementares.
⇒ complementares - são dois ângulos cuja soma das medidas é 90°.
⇒ suplementares – são dois ângulos cuja soma das medidas é 180°.
Obs .: Se a medida de um ângulo é α, então: 90°– αααα = complemento de α. 180° – αααα = suplemento de α.
5. Ângulos adjacentes e opostos pelo vértice.
⇒ adjacentes – são dois ângulos que possuem apenas um lado em comum.(As regiões internas são disjuntas).
⇒ opostos pelo vértice (OPV) - são dois ângulos cujos lados de um deles são as respectivas se-mi-retas opostas aos lados do outro.
Obs.: Dois ângulos OPV têm medidas iguais. 6. Bissetriz de um ângulo – a bissetriz de um ângulo é
a semi-reta de origem no vértice do ângulo que o di-vide em dois ângulos de mesma medida (congruen-tes).
7. Ângulos formados por duas retas paralelas e uma
transversal.
⇒ ângulos alternos internos: θ e b, λ e a. ⇒ ângulos alternos externos: α e d, β e c. ⇒ ângulos correspondentes: α e a, β e b, θ e c, λ e d. ⇒ ângulos colaterais internos: θ e a, λ e b. ⇒ ângulos colaterais externos: α e c, β e d.
Observações:
8. Teorema angular de Tales
αααα = ββββ
ββββ
αααα bissetriz
ββββ = θθθθ = b = c αααα = λλλλ = a = d ββββ + αααα = θθθθ + λλλλ = 180° a + b = c + d = 180° θθθθ + a = λλλλ + b = 180° αααα + c = ββββ + d = 180°
αααα ββββ
θθθθ αααα + ββββ + θθθθ = 180°
Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes.
A
C
B O
AÔB e CÔD – OPV
A
B D
O
C
α βα βα βα β
θθθθ λλλλ
c d a b
r //
r
s
t
A
O B
Geometria Plana - Resumo teórico
By Kovest : https://twitter.com/Kovest
2
9. Teorema do ângulo externo Obs.: Num triângulo isósceles, os ângulos da base têm a mesma medida. REMA DE TE TALES II – TEOREMA E TALES REMA DE TALES “Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então dois segmentos quaisquer de uma delas são proporcionais a dois segmentos correspondentes da outra”. Obs.: O teorema de Tales pode aparecer “disfarçado” em vá-rias situações aplicáveis na prática. Observe as figuras abaixo:
III – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
k é a constante de proporcionalidade ou razão de
semelhança dos triângulos ABC e A’B’C’. Obs.: É fácil concluir que semelhança de triângulos é explicada pelo Teorema de Tales. IV – TRIÂNGULO RETÂNGULO Consideremos o triângulo retângulo ABC , sendo: BC – hipotenusa. AB e AC – catetos. AH – altura relativa à hipotenusa BH – projeção ortogonal de AB sobre BC. CH – projeção ortogonal de AC sobre BC.
1º) ∇ ABC ∼ ∇ BHA ⇒ mc
hb
ca == ⇒
=
=
(1) a.mc
bcah2
2º) ∇ ABC ∼ ∇ BHC ⇒ hc
nb
ba == ⇒ { a.nb 2 = (2)
3º) ∇ ABH ∼ ∇ BHC ⇒ hm
nh
bc == ⇒ { h² = m.n
Teorema de Pitágoras Das equações (1) e (2), teremos que:
b² + c² = a.m + a.n = a(m + n) = a.a = a² ⇒
Ou seja: “ O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos cate-tos”.(Teorema de Pitágoras).
“Num triângulo qualquer, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes”.
αααα ββββ
θθθθ
∅∅∅∅
∅∅∅∅ = αααα + θθθθ
αααα ββββ
base
αααα = ββββ x
r s t w
m n
A E
B F
C G
D H
hipótese: r//s//t//w, m e n transversais.
tese: FGEF
BCAB =
Se MN // BC ⇒⇒⇒⇒ BCMN
ACAN
ABAM ==
∇∇∇∇ ABC ∼∼∼∼ ∇∇∇∇ A’B’C’ ⇔⇔⇔⇔ kC'B'
BCB'A'
ABC'A'
AC ===
A
M N
B C
C B
A
N M
A
a
α
β α
β
h
m H
n
b c
B C
a² = b² + c²
αααα
θθθθ
θθθθ
A
C
C’
A’
B’
B
ββββ ββββ αααα
3
θ
E
C
D B
A
θ
α β
V – ÂNGULOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
1. ÂNGULO CENTRAL É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da
circunferência.
A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que seus lados delimitam na circunferência cujo centro coincide com o seu vértice.
2. ÂNGULO INSCRITO É todo ângulo cujo vértice pertence à uma circunfe-
rência e os seus lados são retas secantes desta.
A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco que seus lados delimitam na circunferên-cia.
Obs.: Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Ou seja, se um triângulo é inscrito numa semicir-cunferência, então ele é retângulo.
3. ÂNGULO ENTRE DUAS CORDAS (vértice in-terno)
4. ÂNGULO ENTRE DUAS SECANTES (vértice ex-terno)
5. ÂNGULO DE SEGMENTO É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, onde um de seus lados é uma secante e o outro tan-gente à circunferência num dos pontos onde a secan-te corta a circunferência.
Teorema do quadrilátero inscritível
“Se um quadrilátero é inscrito em um círculo, então seus ângulos são suplementares”.
Observação:
“ Em todo quadrilátero inscritível, o produto das diago-nais é igual à soma dos produtos dos lados opostos”. (Teorema de Hiparco). Demonstração: Consideremos as diagonais AC e BD e um segmento de reta AE, com extremidade E na diagonal BD, tal que α = β.
O – centro
90°
O
αααα = med AB O
B
A
α
α
A
B
V
2CDAB
α−=
C
D
α V 2
CDABα
+=
B
A
C
D
B
αααα = med(AB)/2 C
A
α
A
B
C
α
O
αααα = med(AB)/2
A
D
C B
β
α 2ABC=α e
2ADC=β
Como ADC + ACD = 360º Então: α + B = 180º
4
Dessa forma, teremos ∆ABC ∼ ∆ADE. Logo, podemos
afirmar que EDBC
ADAC = ⇒ AC.ED = AD.BC (I)
Da mesma forma, teremos ∆ABE ∼ ∆ADC. Daí, tere-
mos BECD
ABAC = ⇒ AC.BE = AB.CD (II)
Adicionando, membro a membro, as igualdade (I) e (II), vem: AC.(BE + ED) = AB.CD + AD.BC
Como BE + ED = BD, obtemos:
IX – POTÊNCIA DE UM PONTO
1. DUAS SECANTES COM O PONTO INTERIOR
Dica : O triângulo APB é semelhante ao triângulo PCD
2. DUAS SECANTES COM O PONTO EXTERIOR
Dica: O triângulo PAC é semelhante ao triângulo PBD.
3. UMA SECANTE E UMA TANGENTE
A reta que passa por A e P é tangente à circunferên-cia no ponto A. Observe que AO ⊥ PA, sendo AO o raio da circunferência.
Dica: Como no caso 2, temos PA.PA = PB.PC.
4. DUAS RETAS TANGENTES
Obs.: Nesse caso PA = PB.
VI – POLÍGONOS CONVEXOS Observando o polígono ABCD ... da figura anterior, tere-mos: 1. ELEMENTOS ⇒ A, B, C, D, ... – vértices do polígono. ⇒ AB, BC, CD, … – lados do polígono. ⇒ AC, AD, BD, ... – diagonais do polígono. ⇒ i1, i2, i3, ... – medidas dos ângulos internos. ⇒ e1, e2, e3, ... – medidas dos ângulos externos.
i1
• • •
A e4
i4
i3 i2
e2
e1
e3
D
C B
D
P PA.PC = PB.PD
B
A
C
B
A
P
C
D
PA.PD = PB.PC
O
A
O
C
(PA)2 = PB.PC
P
B
A
O (PA)2 = (PB)2
P
B
AC.BD = AB.CD + AD.BC
5
i = S i / n
e= Se / n
2. NOMENCLATURA – quanto ao número de lados. ⇒ triângulo – 3 lados. ⇒ quadrilátero – 4 lados. ⇒ pentágono – 5 lados. ⇒ hexágono – 6 lados. ⇒ heptágono – 7 lados. ⇒ octógono – 8 lados. ⇒ eneágono – 9 lados. ⇒ decágono – 10 lados. ⇒ undecágono – 11 lados. ⇒ dodecágono – 12 lados. ⇒ icoságono – 20 lados.
3. SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS (S i) Considerando um polígono convexo de n lados, se traçarmos todas as diagonais de um vértice, o polígono fica dividido em n-2 triângulos. Desta forma, como a so-mados ângulos internos de um triângulo é 180°, a so ma dos ângulos internos do polígono será dada por: 4. SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS (S e)
Em cada vértice do polígono convexo, a soma do ângulo interno com o ângulo externo é 180°. Ou seja :
i1 + e1 = 180° i2 + e2 = 180° i3 + e3 = 180° ... ... ... in + en = 180º Assim teremos: i1 + i2 + i3 + ... in + e1 + e2 + e3 + ... + en = n.180° Si + Se = n.180° ⇒ (n-2).180° + S e = n.180°
Simplificando, teremos:
Obs.: Num polígono regular, lados e ângulos são congruentes. Logo, teremos: i1 = i2 = i3 = ... = i ⇒ e1 = e2 = e3 = ... = e ⇒ 4. NÚMERO DE DIAGONAIS DO POLÍGONO Diagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono convexo. Portanto, (n – 3) é o número de diagonais que saem de cada vértice. Ou seja, de um vértice não sai diagonal para ele mesmo e nem para os dois vértices consecutivos a ele. Conclui-se, então, que o número total de diagonais de um polígono convexo de n vértices é dado por:
Obs.: Os polígonos regulares são inscritíveis e cir-cunscritíveis. Neste caso, observa-se que o centro do polígono coincide com os centros das circunferências inscrita e circunscrita. Pode-se observar também que, para n par, o número de diagonais do polígono que pas-sam pelo centro é n/2 onde n é o número de vértices do polígono. VII – PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO 1. BARICENTRO
É o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do tri-ângulo.
O baricentro coincide com o ponto de intersecção das medianas do triângulo (na figura a seguir = G).
Mediana – é o segmento de reta que une um vértice ao
ponto médio do lado oposto.
AM – mediana relativa ao lado BC BN – mediana relativa ao lado AC CP – mediana relativa ao lado AB M – ponto médio de BC N – ponto médio de AC Se MN // AB ⇒ ∇ MNG ∼ ∇ABG
Como AB = 2.MN ⇒
===
2.GP CG
2.GN BG
2.GM AG
Observações: a) Uma mediana divide o triângulo em dois triângulos de
mesma área;
Veja: Os triângulos AMC e AMB têm CM = CB e AH como altura.
b) As três medianas dividem o triângulo em seis triângu-
los de mesma área.
Si = (n – 2).180°
Se = 360°
2)3n.(n
D−=
} ⇒ MN // AB e AB = 2.MN
A
C B M H
A5
A1
A6 A3
A2
A4
G
P N
B
M
A
C
6
A
B
C r
s
O
⇒ I é o incentro do ∇ABC
A
C B M O
A
C B
Como conseqüência da propriedade a), temos que A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = A6. 2. INCENTRO
É o centro da circunferência inscrita no triângulo. O incentro coincide com o ponto de intersecção das
bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo. Bissetriz interna – é o segmento de reta que une um vértice com o lado oposto formando dois ângulos de mesma medida. AM – bissetriz do ângulo  BN – bissetriz do ângulo B CP – bissetriz do ângulo C Observação: 1) Teorema das bissetrizes internas: “ A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos de reta de medidas proporcionais aos dois lados que formam o referido ângu-lo.” Se AM é a bissetriz do ângulo Â, então, pode-se afir-mar que:
2) Teorema da bissetriz externa “Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes”. :
3. CIRCUNCENTRO
É o centro da circunferência circunscrita no triângulo. O circuncentro coincide com o ponto de intersecção
das mediatrizes dos lados do triângulo. Mediatriz de um segmento de reta – é o lugar geométri-
co do plano cujos pontos são eqüidistantes dos extre-mos do segmento.
r – é a mediatriz do lado BC s – é a mediatriz do lado AB O = r ∩ s – Circuncentro do triângulo ABC
Então, AO, BO e CO são segmentos de reta que têm a mesma medida do raio da circunferência que pas-sa por A, B e C.
Observação: Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto mé-dio da hipotenusa e a mediana relativa à hipotenusa tem o comprimento do raio da circunferência circunscrita. (AO = BO = CO = raio, onde BO é a mediana relativa à hipo-tenusa). 4. ORTOCENTRO
Éo ponto de intersecção das alturas de um triângulo.
I
P N
B M
A
C
ABBM
ACCM =
O
A
P N
C B M
CDAC
ADAB =
C
α
α
A
B D
7
AB = BC = CD = DA
I3 e3 C C
D
B
A
AM – é a altura relativa ao lado BC. BN – é a altura relativa ao lado AC. CP − é a altura relativa ao lado AB. O – é o ortocentro do triângulo ABC. Observações: 1ª) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e, no triângulo obtusângulo, é um ponto exte-rior ao triângulo. 2ª) O triângulo cujos vértices são os pontos M, N, P é chamado de triângulo órtico. O ortocentro (O) do triângu-lo ABC é o incentro do triângulo órtico. Ou seja, a circun-ferência inscrita no triângulo MNP tem centro no ponto O. 3ª) Os pontos A, P, M e C pertencem à circunferência de diâmetro AC. Assim como os pontos A, N, M e B perten-cem à circunferência de diâmetro AB e os pontos B, P, N e C pertencem à circunferência de diâmetro BC. VIII – QUADRILÁTEROS 1. DEFINIÇÃO É o polígono que possui quatro lados. Para o nosso estudo, vamos considerar apenas os quadriláteros con-vexos.
Onde: A, B, C, D – vértices do quadrilátero; i1, i2, i3, i4 – ângulos internos; e1, e2, e3, e4 – ângulos externos; AB, BC, CD, DE – lados do quadrilátero; AC, BD – diagonais do quadrilátero.
2. TIPOS DE QUADRILÁTEROS 2.1. PARALELOGRAMO
É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Propriedades: ⇒ Os lados opostos de um paralelogramo são congru-
entes; ⇒ Os ângulos opostos de um paralelogramo são con-
gruentes; ⇒ As diagonais de um paralelogramos cortam-se no
ponto médio; ⇒ Os triângulos AMB e CMD são congruentes assim
como os triângulos AMD e BMC. 2.1.1. RETÂNGULO
É o paralelogramo que tem os quatro ângulos retos. Conseqüentemente suas diagonais têm a mesma medi-da.
2.1.2. LOSANGO
É o paralelogramo que tem os quatro lados congruen-tes entre si. Conseqüentemente as diagonais são per-pendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos inter-nos do losango.
2.1.3. QUADRADO
É o paralelogramo que tem os quatro lados e os qua-tro ângulos congruentes entre si. Então o quadrado é um losango e um retângulo ao mesmo tempo.
O
A
P N
C B M
e3
A
i2
e4
e2
e1
i3
i4
i1
B
C
D
A
D
M
B
C
A
D
C
B
AC = BD
8
AC = BD
AB=BC=CD=DA
AC ⊥⊥⊥⊥ BD
A
D
B
C
Podemos então dizer que suas diagonais são congru-entes e perpendiculares entre si e são bissetrizes dos ângulos internos.
2.2. TRAPÉZIO
É o quadrilátero que tem dois lados paralelos entre si. Vamos considerar os trapézios que têm apenas dois lados paralelos entre si, os quais denominaremos de bases.
2.2.1. TIPOS DE TRAPÉZIOS:
⇒⇒⇒⇒ ESCALENO
⇒⇒⇒⇒ ISÓSCELES
⇒⇒⇒⇒ RETÂNGULO
2.2.2. BASE MÉDIA
É o segmento de reta que liga os pontos médios dos lados não paralelos.
MN – base média do trapézio;
M e N – pontos médios dos lados AB e BC.
2.2.3. BASE DE EULER
É o segmento de reta que liga os pontos de inter-secção das diagonais com a base média do trapézio.
EF – base de Euler.
Demonstração da base de Euler:
∇ DAB ∼ ∇DME
Como AD = 2.DM ⇒ AB = 2.ME
∇ ABC ∼ ∇ FNC ⇒
Como BC = 2.NC ⇒ AB = 2.NF
Temos que EF + ME + FN = MN
Então, como ME = NF = AB/2 ⇒ EF = MN – AB ⇒
EF = (AB + CD)/2 – AB ⇒ EF = (CD – AB)/2.
Conclusão: c.q.d.
2
AB- CDEF =
ME = NF
A
AB //
CD
D
B
C
AB //
CD
A
D
B
C
AB// CD
A
D
B
C
C 2
CDABMN
+=
A
D
B
M N
2
AB- CDEF =
A
D
B
C
M E
N F
9
X – ÁREA DE FIGURAS PLANAS.
1. PARALELOGRAMO
2. RETÂNGULO
3. QUADRADO
4. LOSANGO
5. TRAPÉZIO
6. TRIÂNGULO
6.1. DADOS A BASE E A ALTURA
6.2. DADOS OS TRÊS LADOS (Heron)
6.3. DADOS DOIS LADOS E O ÂNGULO FORMADO POR ELES
Obs.: b.senα = h ⇒ altura
6.4. DADOS O PERÍMETRO E O RAIO DO CÍRCULO INSCRITO
p – é o semiperímetro do triângulo
6.5. DADOS OS TRÊS LADOS E O RAIO DO CÍRCULO CIRCUNSCRITO.
b
h 2
bxhA =
2Dxd
A =
D
d
α 2
a.b.sen αA =
b
a
r
A = p.r
A = a2
a
a
4.Ra.b.c
A = R
a
b
c
b
h 2b).h(a
A+=
a
h A = b.h
b
A = b.h h
b
c)b).(pa).(pp.(pA −−−=
Onde: 2
cbap
++=
c
a b
10
7. CÍRCULO
7.1. SETOR CIRCULAR
7.2. SEGMENTO CIRCULAR
2α.R
A2
=
360ºα.π.R
A2
=
Em graus:
Em radianos:
Asegm. = A setor – A ∆∆∆∆ ABO
A
B
R
A = ππππ.R2