Resumo funções

Resumo Funções Manuela Soares Página 1/13

Escola Secundária de Ermesinde

Resumo teórico – FUNÇÕES

11.º Ano; Matemática A 2010/2011

Funções do tipo a

y bx c

= +−

.

( ) xf x

x

+=+5 1

3 ( ) x

g xx

+=−

6 7

3 2

• { } { }: \fD x x= ∈ + ≠ = −3 0 3ℝ ℝ

• Zeros de f : − 15

( )f x x x= ⇔ + = ⇔ = − 10 5 1 05

.

• Ponto de intersecção com o eixo Ox : , −

10

5.

• Ponto de intersecção com o eixo Oy : ( )( ), ,f =

10 0 0

3

• ( ) xf x

x x

+= = −+ +5 1 14

53 3

c.a.

x xx

+ +

−− −5 1 3

14

55 15

• { }: \gD x x = ∈ − ≠ =

23 2 0

3ℝ ℝ

• Zeros de g : − 76

( )g x x x= ⇔ + = ⇔ = − 70 6 7 06

.

• Ponto de intersecção com o eixo Ox : , −

70

6.

• Ponto de intersecção com o eixo Oy : ( )( ), ,g = −

70 0 0

2

• ( )g xx

xx

= + = + = +− −−

11

11 11 32 2 2

223 23

33

c.a.

x xx

+ −− +6 7 3 2

11

6 4 2

• Equação da assimptota vertical: x = −3 .

• Equação da assimptota horizontal: y = 5

( )limxf x −

→+∞= 5 ; ( )lim

xf x +

→−∞= 5

( )limx

f x+→−

= −∞3

; ( )limx

f x−→−

= +∞3

• Equação da assimptota vertical: x = 23

.

• Equação da assimptota horizontal: y = 2

( )limxf x +

→+∞= 2 ; ( )lim

xf x −

→−∞= 2

( )limx

f x+

→

= +∞2

3

; ( )limx

f x−

→

= −∞2

3


Igualdade de funções:

• Duas funções f e g são iguais ( )f g= se e só se têm o mesmo domínio e ( ) ( )f x g x=

Exemplos:

( )f x x= e ( ) x xg x

x

+=+

3

2

3

3.

fD = ℝ

:gD x x

= ∈ + ≠ =

2

Cond. Universal

3 0ℝ ℝ��

( )x xx x

g xx

++= =+

23

2

33

3

( )x +2 3

( )x f x= = .

Como f gD D= e ( ) ( )f x g x= , as funções f e g são

iguais

( )f x x= + 2 e ( ) xg x

x

−=−

24

2.

fD = ℝ

{ } { }: \gD x x= ∈ − ≠ =2 0 2ℝ ℝ

f gD D≠ , pelo que as funções f e g não são iguais,

embora se tenha ( ) ( )f x g x= , pois,

( ) ( ) ( )x xxg x x

x x

− +−= = = +− −

2 2 242

2 2

Soma de funções:

f g f gD D D+ = ∩ e ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = +

Exemplo:

• Considera as funções f e g , de domínios { }\ 4ℝ e { }\ ,−4 4ℝ , respectivamente, definidas por ( ) xf x

x

−=−5 1

4 e

( ) xg x

x

− −=−23 12

16.

{ }\ ,f g f gD D D+ = ∩ = −4 4ℝ

Tem-se que:

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( )( )

x

f g x f x g x

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

x x

+

+ = + =

− − −= + =− −

+ − − − −= =− +

+ −= =− +

− +=

2

4

2

2

5 1 3 12

4 16

5 20 4 3 12

4 4

5 16 16

4 4

5 4 4( )( )x x− +4 4( )x

x

=

−=−

5 4

4

c.a.

x x

x

x

x x

x x

+ − = ⇔

− ± +⇔ = ⇔

− ±⇔ = ⇔

− − − +⇔ = ∨ = ⇔

⇔ = − ∨ =

25 16 16 0

16 256 320

10

16 24

10

16 24 16 24

10 10

44

5

( ) ( )( )x x x x x x + − = − + = − +

2 45 16 16 5 4 5 4 4

5

Diferença de funções:

f g f gD D D− = ∩ e ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x− = −

Exemplo:

• Considera as funções f e g , de domínios { }\ 0ℝ e ℝ , respectivamente, definidas por ( ) xf x

x

+= 2 1 e

( )g x x= − + 4 .

{ }\f g f gD D D− = ∩ = 0ℝ

Tem-se que:

( )( ) ( ) ( ) ( )x x x x x x xf g x f x g x x x

x x x x

+ + + + − − +− = − = − − + = + − = =2 2

2 1 2 1 2 1 4 2 14 4


Produto de funções:

f g f gD D D× = ∩ e ( )( ) ( ) ( )f g x f x g x× = ×

Exemplo:

• Considera as funções f e g , de domínios { }\ −1ℝ e { }\ 3ℝ , respectivamente, definidas por ( ) x xf x

x

− +=+

25 6

1 e

( ) xg x

x

−=−

21

3.

{ }\ ,f g f gD D D− = ∩ = −1 3ℝ

Tem-se que:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( )

x x xx x xf g x f x g x

x x x x

x

− + −− + −× = × = × = =+ − + −

−=

2 22 2 5 6 15 6 1

1 3 1 3

3 ( )( ) ( )x x x− − +2 1 1

( )x +1 ( )x− − 3

( ) ( )x x x x x

x xx x

− − − − += = =− −

− += = − + −−

2

2

2

2 1 2 2

1 1

3 23 2

1

c.a.

x x

x x

x x x x

− + = ⇔

± − ±⇔ = ⇔ = ⇔

− +⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =

25 6 0

5 25 24 5 1

2 2

5 1 5 12 3

2 2

( ) ( )x x x x− + = − −25 6 3 2

Quociente de funções:

( ){ }:f f g

g

D D D x g x= ∩ ∩ ∈ ≠ 0ℝ e ( ) ( )( )f xf

xg g x

=

Exemplo:

• Considera as funções f e g , de domínios { }\ 1ℝ e { }\ 1ℝ , respectivamente, definidas por ( ) xf x

x x

+=− +2

2

2 1 e

( ) xg x

x

−=−

24

1.

( ){ } { } { } { } { } { }: \ : \ \ , \ , ,f f g

g

D D D x g x x x= ∩ ∩ ∈ ≠ = ∩ ∈ − ≠ = ∩ − = −20 1 4 0 1 2 2 2 1 2ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ

Tem-se que:

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

( )x

xf x x xf x xxg g x x x x x

x

+− ++ − − += = = = − − + −

−

2

2 2 2

222 12 1

4 2 1 4

1

x −1( )( )x − 21 ( ) ( )x x− +2 2 ( )( )x x x x

−= = −− − − +2

1 1

1 2 3 2

Composição de funções:

( ){ }:f g g fD D x g x D= ∩ ∈ ∈� ℝ e ( )( ) ( )( )f g x f g x=�

Exemplo:

• Considera as funções f e g , de domínios { }\ −3ℝ e { }\ 4ℝ , respectivamente, definidas por ( ) xf x

x

2=+ 3

e

( )g xx

= −−1

4.

( ){ } { }

{ }

: \ :

\ ,

f g g fD D x g x D x

x

= ∩ ∈ ∈ = ∩ ∈ − ≠ − = +

= −

14 3

4

1 4

� ℝ ℝ ℝ

ℝ

c.a.

x x

x x x x

− ≠ − ⇔ ≠ ⇔+ +

⇔ + ≠ ∧ ≠ ⇔ ≠ − ∧ ≠

1 13 3

4 4

3 4 1 4 1 4

Tem-se que:

( ) ( )( )

( )( )( ) ( )

( )x

xf x x xf x xxg g x x x x x

x

+− ++ − − += = = = − − + −

−

2

2 2 2

222 12 1

4 2 1 4

1

x −1( )( )x − 21 ( ) ( )x x− +2 2 ( )( )x x x x

−= = −− − − +2

1 1

1 2 3 2


Resolução de equações racionais:

As soluções de ( )( )N x

D x= 0 são os zeros de ( )N x , desde que pertençam ao domínio da expressão.

Exemplos:

( )x

x x x x xx x x x

x x x x

x

−

+ + + + − +• = − ⇔ + = ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ∧ − ≠ ⇔ = ∧ ≠ ⇔− − − −

⇔ = =

2

3 3 3 2 2 1 11 1 0 0 0 2 1 0 2 0 2

2 2 2 2 2

1 1C.S.

2 2

( ) ( ) ( ) ( )( ) Equação impossível

xx x

x x x x x x x x x

x x x x xx x x x

x x x x x

x

x

−

+ + + − − + − +• + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔− − −− −

⇔ − + = ∧ − ≠ ⇔ = ∧

−−

≠ ∧ ≠

2

2 2

2 2

2

2 2 2 2 21 1 0 0 0

2 2 22 2

2 0 2

2

0 2 0 2��

Resolução de inequações racionais:

Uma inequação racional resolve-se passando à forma ( )( ) ( )ou , ou , ou N x

D x< < > ≥0 e elaborando um quadro de sinal do

numerador e do denominador, começando por determinar os zeros de cada um deles.

Exemplos:

( ) ( )

( ) ( )

x

x x x x

x x

x x x x x x

x x

+

+ +• ≥ ⇔ − ≥ ⇔+ +

− − − − − + −⇔ ≥ ⇔ ≥+ +

20 12

2 2

1 10

12 20 12 20

20 12 12 7 120 0

20 12 20 12

c.a.

• x x x x− ± − − ±− + − = ⇔ = ⇔ = ⇔

− −2 7 49 48 7 17 12 0

2 2

x x x x− + − −⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =

− −7 1 7 1

3 42 2

• ( )x x+ = ⇔ = −20 12 0 12

Quadro de sinal:

x −∞ −12 3 4 +∞

x x− + −27 12 − − − 0 + 0 −

( )x +20 12 − 0 + + + + +

( )Q x + ND − 0 + 0 −

] [ [ ]C.S. , ,= −∞ − ∪12 3 4

• Na figura está representada, em referencial o.n. xOy , parte do gráfico de uma função f , bem como

as duas assimptotas deste gráfico.

Tal como a figura sugere:

• o ponto de coordenadas ( ),5 0 pertence ao gráfico de f

• as rectas de equação x = 3 e y = −4 são assimptotas do gráfico de f .

Seja g a função, de domínio ℝ , definida por ( )g x x= − − 6 .

Tendo em conta o gráfico de f e a expressão analítica de g , resolver a inequação ( ) ( )f x g x× < 0

Quadro de sinal:

x −∞ −6 3 5 +∞

( )f x − − − ND + 0 −

( )g x + 0 − − − − −

( ) ( )f x g x× − 0 + ND − 0 +

] [ ] [C.S. , ,= −∞ − ∪6 3 5


Assimptotas de algumas funções:

Considera a função g , de domínio, { }\ −1ℝ , definida por ( )g xx

= − ++4

21

.

Equações das assimptotas do gráfico de:

g →� x = −1 e y = −2

h� , sendo h definida por ( ) ( )h x g x= + 3

Ora, o gráfico de h é obtido através de um deslocamento horizontal de 3 unidades do gráfico de g , isto é, é obtido a

partir do gráfico de g por uma translação associada ao vector ( ),−3 0 .

As equações das assimptotas do gráfico de h são x x x− = − = − → = −

3

4 1 4 e y = 1 .

i� , sendo i definida por ( ) ( )i x g x= − +1 3

O gráfico de i é obtido a partir do gráfico de g por uma translação associada ao vector ( ),1 0 seguida de uma translação

associada ao vector ( ),0 3 .

As equações das assimptotas do gráfico de i são x x x+ = = − → =

1

0 1 0 e y y y+ = = − → =

3

1 2 1 .

j� , sendo j definida por ( ) ( )j x g x= − − 3 .

O gráfico de j é obtido a partir do gráfico de g por uma simetria axial de eixo Ox seguida de uma translação associada

ao vector ( ),−0 3 .

As equações das assimptotas do gráfico de j são x = −1 e y y y y− − = − = − → = → = −

3

1 2 2 1 .

k� , sendo k definida por ( ) ( )k x g x= − + 1 .

O gráfico de k é obtido a partir do gráfico de g por uma simetria axial de eixo Oy seguida de uma translação associada

ao vector ( ),0 1 .

As equações das assimptotas do gráfico de k são x x x− = = − → =

1 1 1 e y y y

+ = − = − → = −

1

1 2 1 .

l� , sendo l definida por ( ) ( )l x g x= − − +5 6 .

O gráfico de l é obtido a partir do gráfico de g por uma translação associada ao vector ( ),5 0 seguida de uma simetria

axial de eixo Ox e, por último, por uma translação associada ao vector ( ),0 6 .

As equações das assimptotas do gráfico de l são x x x x+ − = = − → = → = −

5

1 1 4 4 e y y y+ = = − → =

6

4 2 4 .


Taxa média de variação

Dada uma função f , a taxa média de variação no intervalo [ ] ( ),a b a b< é dada por: [ ]( ) ( )

,a b

f b f atmv

b a

−=

−, ou seja, é igual

ao declive da recta definida pelos pontos de coordenadas ( )( ),a f a e ( )( ),b f b .

A taxa média de variação num intervalo mede a forma como a função varia entre os extremos desse intervalo:

• se for positiva, significa que a função cresce ao passar de um extremo do intervalo para o outro, embora a

função possa não ser sempre crescente.

• se for negativa, significa que a função decresce ao passar de um extremo do intervalo para o outro, embora

a função possa não ser sempre decrescente.

• se for nula, é porque são iguais os valores da função nos extremos do intervalo, mas nada ficamos a saber

do que acontece entre eles.

Taxa de variação ou derivada num ponto

Dada uma função f e a um ponto do seu domínio, a derivada de f no ponto de abcissa a á dada por:

( ) ( )limh

f a h f a

h→

+ −0

Nota: Quando temos uma função tempo/distância, a derivada dá-nos a velocidade.

DERIVADA

• Função afim: ( ) ( )'f x mx b f x m= + ⇒ =

A derivada de uma função afim é uma função constant e.

A derivada de uma função constante é 0 .

Determinar, pela definição, 'f

1

3 sendo ( )f x x= − +5 1

' lim

lim lim

h

h h

f h f

fh

hh

h h

→

→ →

+ − = =

− − − − − = = = −

0

0 0

1 1

1 3 3

3

2 25

53 35

c.a.

f h h h h + = − + + = − − + = − −

1 1 5 25 1 5 1 5

3 3 3 3

f = − × + = −

1 1 25 1

3 3 3

Exemplos: ( ) 'x− + = −2 3 2 ; ( ) 'x = 1 ; ( ) '− =5 0

Graficamente:

Tem-se que ( )'f x = 2 , pois o declive da recta, gráfico

de f , é 2 .

Tem-se que ( )'g x = −1 , pois o declive da recta, gráfico de

g , é −1 .


• Função quadrática : ( ) ( )'g x ax bx c g x ax b= + + ⇒ = +22

A derivada de uma função quadrática é uma função af im.

Determinar, pela definição, ( )'g −2 sendo ( )g x x x= − − +23 5 1

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

' lim lim

lim lim

lim

h h

h h

h

g h g h hg

h h

h hh h

h h

h

→ →

→ →

→

− + − − − + − − −− = = =

− +− += = =

= − + =

2

0 0

2

0 0

0

2 2 3 7 1 12

3 73 7

3 7 7

c.a. ( ) ( ) ( )g h h h− + = − − + − − + + =2

2 3 2 5 2 1

( )h h h

h h

= − − + + − + =

= − + −

2

2

3 4 4 10 5 1

3 7 1

( ) ( ) ( )g − = − − − − + =

= −

2

2 3 2 5 2 1

1

Graficamente: Se o gráfico da função é uma a parábola:

• com concavidade voltada para cima, o gráfico da sua

derivada é uma recta com declive positivo.

• com concavidade voltada para baixo, o gráfico da sua

derivada é uma recta com declive negativo.

Exemplos: ( ) 'x x x− + − = − +22 3 1 4 3 ;

'x

x

− =

22

53 3

; ( ) 'x x x+ = +25 7 2 5 7

• Função cúbica: ( ) ( )'h x ax bx cx d h x ax bx c= + + + ⇒ = + +3 2 23 2

A derivada de uma função cúbica é uma função quadrá tica.

Exemplos: ( ) 'x x x x x+ − + = + −3 2 25 3 1 15 6 1 ;

'x

x x

− = −

3

25 5

3; ( ) 'x x x+ = +3 2

5 7 15 7

• Função racional:

( ) ( )'a a

f x f xx x

= → = −2

. ( ) ( )( )

'a ab

f x f xbx c bx c

= → = −+ + 2

.

Exemplos:'

x x

= −

2

2 2;

( )

'

x x

− = + + 2

3 6

2 1 2 1

, ( ) ( )

' 'x

x x x x

= − = + = + + + +2 2

2 2 2 22 0

1 1 1 1

Determinar, pela definição ( )'i 1 , sendo ( ) xi x

x=

+2 1

c.a. ( ) ( )h

i hh

++ =+ +1

12 1 1

h

h

+=+1

2 3; ( )i = =

× +1 1

12 1 1 3

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

' lim lim

lim lim

h h

h h

h

i h i hi

h h

h

h h h

→ →

→ →

+ − += = =

= = =+ +

0 0

0 0

1 1 3 2 31

1 1

3 2 3 3 2 3 9

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )h

h h h hi h i

h h h+

+ + − −+ − = − = =+ + +2 3

3

1 1 3 3 2 31 1

2 3 3 3 2 3 3 2 3

Função módulo

( ) ( ) se '

se

xf x x f x

x

− <= → = >

1 0

1 0 .

Não existe derivada no ponto de abcissa 0 (porque o ponto de coordenadas ( ),0 0 é um ponto “em bico”).


Recta tangente

A recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é a recta que passa no ponto ( )( ),a f a e tem como declive ( )'f a .

A equação reduzida da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é da forma ( )'y f a x b= + .

Exemplos:

• É dada abcissa do ponto de tangência

Considera a função f definida por ( )f x x x= − −23 3 1 . Determinar recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa −2 .

A recta r tem declive ( )'rm f= −2 e passa no ponto ( )( ),P f− −2 2 .

Ora, ( ) ( ) ( )f − = × − − × − − =2

2 3 2 3 2 1 17 , logo, P tem coordenadas ( ),−2 17

Como ( )'f x x= −6 3 , tem-se que ( ) ( )'f − = − − = −2 6 2 3 15 .

Logo, a equação da recta r é da forma y x b= − +15 , como P r∈ , tem-se ( ) b= − × − +17 15 2 , ou seja, b = −13 .

Portanto, a equação reduzida da recta r é y x= − −15 13 .

• É dada a ordenada do ponto de tangência

Considera a função g definida por ( )g xx

= + 23 . Determinar recta tangente ao gráfico de g no ponto de ordenada 5 .

Para descobrirmos a abcissa do ponto de tangência precisamos resolver a equação ( )g x = 5

Tem-se que, x

x x xa x x

− ++ = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ − + = ∧ ≠ ⇔ =2 2 2 23 5 2 0 0 2 2 0 0 1 .

Logo, o ponto de coordenadas ( ),1 5 é um ponto da recta tangente e ( )'g 1 o seu declive.

Ora, ( )'

'g xx x

= + = −

2

2 23 , pelo que ( )'g = −1 2

Logo, a equação reduzida da recta é da forma y x b= − +2 . Como o ponto ( ),1 5 pertence à recta vem que:

b b= − × + ⇔ =5 2 1 7 .

Portanto, a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de g no ponto de ordenada 5 é y x= − +2 7 .

• É dado o declive da recta tangente

Considera a função h definida por ( ) xh x x= +

3

22

2. Determinar os pontos do gráfico de h em que a recta tangente é

paralela à recta de equação y x= −31

2.

Para descobrirmos a abcissa do ponto de tangência precisamos resolver a equação ( )'h x = 32

.

Ora, ( )'

'x

h x x x x

= + = +

3

2 232 4

2 2, pelo que, ( )'h x x x x x= ⇔ + = ⇔ + − = ⇔2 23 3 3

4 3 8 3 02 2 2

( )x x x

− ± − × × −⇔ = ⇔ = − ∨ =

×

28 8 4 3 3 1

32 3 3

.

Existem dois pontos do gráfico de h em que a recta tangente é paralela à recta de equação y x= −31

2, os pontos de

coordenadas ( )( ), ,h − = −

93 3 3

2 e , ,h =

1 1 1 13

3 3 3 54.

Se pedisse a equação da recta tangente bastava proceder como no exemplo “dada abcissa do ponto de tangência”.


Derivada e monotonia

• Se uma função tem derivada positiva em todos os pontos de um intervalo é estritamente crescente nesse intervalo.

• Se uma função tem derivada negativa em todos os pontos de um intervalo é estritamente decrescente nesse intervalo.

• Se uma função tem derivada nula em todos os pontos de um intervalo é constante nesse intervalo.

Exemplos:

• Considera a função 'f , derivada de f , representada graficamente.

A função f é decrescente nos intervalos ] ],−∞ − 2 e [ [,+ ∞3 , pois nestes

intervalos 'f é menor ou igual a zero.

A função f é crescente no intervalo [ ],−2 3 pois neste intervalo 'f é maior ou igual

a zero.

• Seja g uma função de domínio ℝ e tal que ( )'g xx

= −+21

1. Estudar a monotonia de g .

Como ( )'g x é sempre negativa (pois, x + >21 0 ), tem-se que g é decrescente em ℝ .

• Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. xOy , parte do gráfico h ,

função polinomial do 2.º grau.

Resolver a condição ( ) ( ). 'h x h x ≥ 0

x −∞ −2 0 2 +∞

( )h x − 0 + + + 0 −

( )'h x + + + 0 − − −

( ) ( ). 'h x h x − 0 + 0 − 0 +

[ ] [ [. . , ,C S = − ∪ + ∞2 0 2


Extremos relativos

No referencial está representada uma função f de domínio [ ],x x0 5

.

Localização de máximos relativos Localização de mín imos relativos

• Se a derivada se anula passando de + para − . Na figura,

( )f x4

é máximo relativo

• Se não há derivada num ponto e o sinal das derivadas

laterais se anula passando de + para − . Na figura,

( )f x2

é máximo relativo.

• Se a derivada à direita do menor valor do domínio é

negativa. Na figura ( )f x0

é máximo relativo.

• Se a derivada à esquerda do maior valor do domínio é

positiva.

• Se a derivada se anula passando de − para + . Na figura,

( )f x1

e ( )f x3

são mínimos relativos.

• Se não há derivada num ponto e o sinal das derivadas

laterais se anula passando de − para + .

• Se a derivada à direita do menor valor do domínio é

positiva.

• Se a derivada à esquerda do maior valor do domínio é

negativa. Na figura ( )f x5

é mínimo relativo.

• Se uma dada função estiver definida num intervalo aberto, ] [,x x

0 1 não há máximos nem mínimos relativos, nos extremos

do intervalo.

Exemplos:

• Determinar os intervalos de monotonia e o os extremos relativos do gráfico de f , sendo f a função de domínio ℝ

definida por ( )f x x x= − +3 23 1 .

→ Determinar a expressão derivada de f : ( ) ( )''f x x x x x= − + = −3 2 2

3 1 3 6

→ Determinar os zeros da derivada: ( ) ( )'f x x x x x x x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ∨ =20 3 6 0 3 6 0 0 2

→ Construir um quadro de sinal de 'f e de variação de f :

x −∞ 0 2 +∞

'f + 0 − 0 +

f ր Max. ց Min. ր

→ Indicar intervalos de monotonia e extremos:

f é crescente no intervalo ] ],−∞ 0 e no intervalo [ [, + ∞2 .

f é decrescente no intervalo [ ],0 2

f tem um máximo relativo, ( )f =0 1 e tem um mínimo relativo, ( )f = −2 3 .


• Na figura ao lado está representado o gráfico 'g .

Determinar os intervalos de monotonia e o os extremos relativos do gráfico de g .

x − 52

−2 3 9

2

'g 0 − 0 + 0 + nd

g Máx. ց Min. ր

g é decrescente no intervalo , − −

52

2

g é crescente no intervalo , −

922

.

g tem um máximo relativo , g −

5

2 e tem um mínimo relativo , ( )g −2 .

• Na figura está representado o gráfico da função i .

Resolver a condição ( ) ( ). 'i x i x+ <1 0

x −∞ −2 −1 0 1 +∞

( )i x +1 − − − 0 + + + + +

( )'i x 0 nd + + + + + nd 0

( ) ( ). 'i x i x+1 0 nd − 0 + 0 + nd 0 ] [. . ,C S = − −2 1

• Durante o ano de 2010 o preço de certa acção, na Bolsa, variou de acordo com a função

( )C x x x x= − + +3 215 48 65 , C - euros x - meses, [ ],x ∈ 0 12

Qual foi a melhor altura para comprar e para vender acções?

Ora, a melhor opção é comprar ao preço mínimo e vender no preço máximo.

Tem-se que ( ) ( )''C x x x x x x= − + + = − +3 2 2

15 48 65 3 30 48 .

( )'C x x x x x x±= ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ∨ =2 30 324

0 3 30 48 0 2 86

x 0 2 6 12

'C + + 0 − 0 + +

C Min. ր Máx. ց Min. ր Máx.

Mínimos: ( )C =0 65 e ( )C =6 29 Máximos: ( )C =12 209 e ( )C =2 109 .

Então, ( )C =6 29 é mínimo absoluto e ( )C =12 209 é máximo absoluto.

Portanto, a melhor opção teria sido comprar em Junho e vender em Dezembro.

• Na figura, um rectângulo está inscrito no triângulo rectângulo isósceles cujos catetos medem cm20 .

Determinar as dimensões do rectângulo de área máxima

Tem-se que A x AD= × , x CD

CD x= ⇔ =20 20

e AD x= −20 , ] [,x ∈ 0 20 .

Logo, ( ) ( )A x x x x x= × − = − 220 20 . Ora, ( ) ( )'

'A x x x x= − = −220 20 2 , pelo que ( )'A x x= ⇔ =0 10

x 0 10 20

'A + 0 −

A ր Máx. ց

Para x = 10 tem-se que AD = 10 , pelo que a área é máxima

quando o rectângulo é um quadrado de lado 10 .


Função inversa ( de uma função injectiva )

A função inversa de uma função f representa-se por f −1 .

• Os gráficos de f e f −1 são simétricos em relação à recta de equação y x= (bissectriz dos quadrantes ímpares).

Exemplos:

• ( ) ( )f f −= → =10 1 1 0

• ( ) ( )f f −− = − → − = −12 1 1 2

• ( ) ( )f f −− = − → − = −12 1 1 2

• ( ) ( )f f −= → =14 3 3 4

• ( )( ) ( )( ) ( )f f f f f− − −= = =1 1 144 3 4�

• ( )( )f f x x− =1 �

• Sabe-se que g é uma função ímpar e injectiva. Sendo ( )g = −1 2 , ( )g − =3 4 e ( )g =2 0 , então podemos dizer que:

( )g − = −14 3 ; ( )g − − =1

4 3 porque sendo g é ímpar ( )g = −3 4 e ( )( ) ( )g g g− − −= = −1 1 10 2 1 , porque ( )g − =1 2 .

Caracterizar, analiticamente, a função inversa de u ma função (injectiva) f • Determinar o domínio de f

• Resolver a equação ( )f x y= , em ordem a x , sendo x um valor do domínio de f

• Determinar o domínio de f −1

Função afim

Seja ( )f x x= − 325

• fD = ℝ

• ( )f x y x y x y x y= ⇔ − = ⇔ = − ⇔ = −3 3 1 32 2

5 5 2 10

Substituímos a variável y por x , para representarmos a variável independente com a notação usual.

( )f x x− = −1 1 3

2 10

•

fD − =1 ℝ

:f

x x

− →

→ −

1

1 3

2 10

ℝ ℝ

Função racional

Seja ( ) xg x

x

−= 2

• { }\gD = 0ℝ

• Seja x ≠ 0 , tem-se ( ) xg x y y x xy xy x

x

−= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = + ⇔22 2

( )x y xy

⇔ = + ⇔ =+2

2 11

( )g xx

− =+

1 2

1

• { }\gD − = −1 1ℝ

Tem-se então: { } { }: \ \g

xx

− − →

→+

11 0

2

1

ℝ ℝ


Funções irracionais Funções que têm uma variável no radicando Domínio de funções irracionais

Recorda que, por exemplo, 2

0 e −5 não representam números reais.

Determinar o domínio das seguintes funções:

Função Domínio Cálculos auxiliares

• ( )f x x= −1 5 { }: ,fD x x = ∈ − ≥ = −∞

11 5 0

5ℝ x x x x− ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤ ⇔ ≤ 11 5 0 5 1 5 1

5

• ( )g x x x= − + 3 { } [ [: ,gD x x x= ∈ ≥ ∧ + ≥ = + ∞0 3 0 0ℝ x x

x x

≥ ∧ + ≥ ⇔⇔ ≥ ∧ ≥ −

0 3 0

0 3

• ( ) xh x

x

−=−

1

3 9 [ [: ,h

xD x x

x

− = ∈ ≥ ∧ − ≠ = −

10 3 9 0 1 3

3 9ℝ

x x

x x

− = ⇔ =− = ⇔ =

1 0 1

3 9 0 3

i

i

x −∞ 1 3 +∞

x−1 + 0 − − −

x −3 9 − − − 0 +

( )Q x − 0 + nd −

• ( )i x x= −31 i

D = ℝ

• ( ) xj x

x=

−32

{ } { }: \hD x x= ∈ − ≠ =3

2 0 2ℝ ℝ x x x− = ⇔ − = ⇔ =32 0 2 0 2

Resumo funções

Documents

Transcript of Resumo funções