Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Colégio Pedro II

RESUMO DE FUNÇÕES Matemática

Prof.Cristiano Marcell

Produto Cartesiano

Produto cartesiano de um conjunto A por um

conjunto B (notação: AXB) é o conjunto dos pares

ordenados com o 1º elemento em A e o 2º elemento em B. Em símbolos:

A x B = {(x; y) | x A y B}

Exemplo:

Sendo

A = {2; 4} e B = {1; 3; 5}, temos:

A x B = {(2; 1), (2; 3), (2; 5), (4; 1), (4; 3), (4; 5)};

B x A = {(1; 2), (1; 4), (3; 2), (3; 4), (5; 2), (5; 4)}

A x A = {(2; 2), (2; 4), (4; 2), (4; 4)}, que também pode ser denotado por A2;

B x B = B2 = {(1; 1), (1; 3), (1; 5), (3; 1), (3; 3), (3; 5), (5;

1), (5; 3), (5; 5)}

Obs.:

1) A x = e x A para todo conjunto A. 2) Sendo A e B conjuntos finitos, temos:

n (A x B) = n (A) , n (B)

Representação Gráfica

Para representar graficamente o produto cartesiano de dois conjuntos, usamos o diagrama de

flechas e o diagrama cartesiano.

Exemplo:

Sendo A = {-3; -1; 2} e B = {-2; 3}, temos para A x B:

Diagramas de Flechas

Em cada par ordenado de A x B, uma flecha parte de 1º

elemento e atinge o 2º elemento, relacionando-os.

Diagrama cartesiano

Representamos os elementos de A no eixo Ox e

os elementos de B no eixo Oy; o gráfico de A x B é

constituído pelos pontos representativos dos pares de A x B.

Relação Binária

Definição: consideremos dois conjuntos não

vazios A e B. Chamamos de relação binária de A em B a

todo subconjunto de A x B.

Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4,

5} temos: A x B = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 2); (2,

3); (2, 4); (2, 5); (3, 2); (3, 3); (3, 4); (3, 5)}

Consideremos agora os conjuntos de pares (x, y)

com x A e y B:

a) R = {(x, y) A x B | x + y = 5}

R = {(1, 4); (2, 3); (3, 2)}

Note que R A x B

b) S = {(x, y) A x B | 2x < y}

S = {(1, 3); (1, 4); (1, 5); (2, 5)}

Note que S A x B

Função

Se em uma relação R de A em B todo x pertencente a A estiver associado a um único y pertencente

a B, dizemos que esta relação é uma função ou uma

injeção de A em B.

-3

-1

2

-2

3

y

3

2

1

-3 –2 –1 0 1 2

-1

-2

1

2

3

2

3

4

5

1

2

3

2

3

4

5

Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Obs.:

1) O conjunto a também é chamado de campo de

definição da função.

2) Uma função fica bem definida quando se conhecem: o

domínio, o contradomínio e a lei de correspondência.

3) Quando o domínio não for dado, deve-se entender que

seja o maior subconjunto dos reais, de tal modo que o

conjunto das imagens seja também um subconjunto dos reais.

Gráfico de uma função

Na relação R, a todo elemento de A corresponde

um único elemento de B; logo, R é função de A em B.

Na relação S, existe, por exemplo, o elemento a A ao qual correspondem dois elementos distintos de B;

logo S não é função de A em B.

Para que um gráfico represente uma função,

qualquer reta paralela ao eixo 0Y por um valor ‘x’ do domínio intercepta o gráfico da função num único ponto.

Tipos de funções

Injetora

Uma função f: A→B é dita injetora se e somente

se elementos distintos de A têm imagens distintas em B.

Obs: Se cada reta horizontal traçada pelo contradomínio

interceptar o gráfico da função f em no máximo um ponto, f é injetora.

Sobrejetora

Uma função f: A→B será dita sobrejetora se e

somente se todo elemento x de A.

Bijetora

Uma função f: A→B será dita bijetora, quando ela

for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Função Inversa (f -1

)

Dada a função BIJETORA f: A→B, chama-se

função Inversa de f, indicada por f-1, a função f-1: B→A

que associa cada y de B ao elemento x de A, tal que y =

f(x).

Obs.: Somente a função Bijetora admite função Inversa.

Obtenção da Função Inversa

Processo

Dada a função f(x) = 2x – 1, obter sua inversa:

a) y = 2x - 1

troca-se as posições de x e y x = 2y – 1

b) determina-se o valor de y

y = 2

1x

então f-1 (x) = 2

1x

Gráfico:

Os gráficos de f e f-1 são simétricos em relação a

bissetriz dos quadrantes ímpares.

Função Composta

Sejam os conjuntos A, B e C não vazios e as funções:

f: A→B e g: B→C

x →f(x) x→gof (x)

No diagrama

de flechas:

Nota:

Obtém-se a expressão da função composta gof(x),

trocando-se o x de g por f(x), ou seja: gof (x) = g[f(x)]

y Relação R

B

Imagem

0 x

Domínio A

y Relação S

B

0 x

A

y f(x) = 2x - 1 bissetriz ímpar y = x

f-1 (x) =2

1x

1

x

1

A C

x g[f(x)]

gof

f g

B

f(x)