Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Colégio Pedro II – Unidade Realengo II

RESUMO FUNÇÃO MODULAR Matemática

Professor Cristiano Marcell

Módulo

Definição: Seja x um número Real. Definimos o módulo de x e representamos por | x |, como sendo:

0;

0;

xsex

xsexx

Exemplos:

a) | -2 | = - (-2) = 2

b) | 4 | = 4

c) | 0 | = 0

Dado um número real x, tem-se sempre que 𝑥2 = 𝑥 .

Exemplos:

a) 339)3( 2

b) 2222

Considere π = 3,1415..

c) 2 − 𝜋 2 = 2 – π (isto é uma proposição falsa)

2 − 𝜋 2 = 2 – π = π − 2, pois π é maior que 2.

Equações e inequações modulares

Definição: São equações e inequações que apresentam

variável em módulos de boa parte delas são resolvidas,

utilizando as seguintes propriedades:

a) | x | 0, ∀ x R

b) | x | = 0 ↔ x = 0

c) Se k > 0, | x | = k ↔ x = - k ou x = k

d) Se k > 0, | x | k ↔ - k x k

e) Se k > 0, | x | k ↔ x - k ou x k

f) | x | = | y | ↔ x = y ou x = -y

Exemplo 1

|x + 3| = 5

Condições:

x + 3 = 5 ou x + 3 = – 5

Resolução:

x + 3 = 5 → x = 5 – 3 → x = 2 x + 3 = – 5 → x = – 5 – 3 → x = – 8

S = {– 8; 2}

Exemplo 2

|8x – 16| = 2x + 2

Condições:

|8x – 16| ≥ 0, dessa forma a equação só é possível se 2x + 2

≥ 0, 2x ≥ –2, x ≥ –1

|8x – 16| = 2x + 2

8x – 16 = 2x + 2 ou 8x – 16 = – (2x + 2)

Resolução:

8x – 16 = 2x + 2 → 8x – 2x = 2 + 16 → 6x = 18 → x =

18/6 → x = 3

8x – 16 = – (2x + 2) → 8x – 16 = – 2x – 2 → 8x + 2x = – 2

+ 16 → 10x = 14 → x = 7/5 → x = 1,4

Verifique que x = 3 e x = 1,4, satisfazem a condição x ≥ –

1, portanto o conjunto solução é {1,4; 3}

Exemplo 3

|x + 1| = |x – 3|

x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (Não é

possível)

x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1

Solução: {1}

Professor Cristiano Marcell

Aqueles que não fazem nada estão sempre dispostos a criticar os que fazem algo (Oscar Wilde)

Exemplo 4

|x² – 5x + 6| = 2

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0

(Bháskara: possui duas raízes reais)

x’ = 1 e x” = 4

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais)

Solução: {1,4}

Função Modular

Definição: uma função de R em R recebe o nome de

Função Modular, quando se associa a cada x R, o

elemento | x | R, Isto é:

f = R→R

x → | x |

O gráfico da Função Modular é constituído pela união

de duas semirretas, como mostra a figura:

Vejamos:

f(x) =

0;

0;

xsex

xsexx

Vamos construir o gráfico de f(x) = 𝑥2 − 1 − 2

Primeiro faremos o gráfico de y = x2 – 1.

Agora, esboçaremos f(x) = 𝑥2 − 1

Após...𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 − 2