Resumo - Eq. Dif. Ordinárias
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8/16/2019 Resumo - Eq. Dif. Ordinárias
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Resumo – Equações Dif. Ordinárias
Uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são
funções e a equação envolve derivadas destas funções. Numa
equação diferencial em que a incógnita é uma função y(t), t é a
variável independente e y é a variável dependente.
Classificação
(i) Tipo
a) ordinária: ela é ordinária se as funções incógnitas forem funçõesde somente uma variável.
b) quando as funções incógnitas forem funções de várias variáveis.
(ii) Ordem
Uma equação diferencial pode ser de 1ª, 2ª,...., n-ésima ordem
dependendo da derivada de maior ordem presente na equação.
(iii) Linearidade
Ela é linear se as incógnitas e suas derivadas aparecem de forma
linear na equação, isto é, as incógnitas e suas derivadas aparecem em
uma soma em que cada parcela é um produto de alguma derivada
das incógnitas com uma função que não depende das incógnitas.
ao ( t ) y+a1 (t ) dydt +a2 (t ) . d
2
yd t 2 +…+an ( t ) . d
n
yd t n = f (
Equações Ordinárias de 1ª Ordem
São equações que podem ser escritas como:
F (t , y , y ' )=0
O problema:
{
dy
dt = f (t , y )
y (t o )= yo
É chamado de problema de valor inicial (PVI).
Equações lineares de 1ª Ordem
As equações dif. Ord. Lineares de 1ª ordem são equações que podem
ser escritas como:
dy
dt + p ( t ) y=q(t )
Equações em que p(t)=0:
dy
dt =q (t )
y (t )=∫ q (t ) dt +C Caso geral:
Para o caso geral, devemos pegar uma função u(t ) chamada
defator integrantepara que quando multiplicarmos toda a equação
por essa função, cheguemos a um caso semelhante ao de p(t)=0.
Essa função é dada por:
u ( t )=e∫ p (t ) dt
E com isso prosseguimos a mesma forma que resolveríamos no caso
em que p(t)=0.
d
dt [u ( t ). y (t ) ]=u (t ) . q(t )
Equações Separáveis
As equações separáveis são equações que podem ser escritas na
forma:
g ( y ) dy
dx=f ( x ) g ( y )dy=f ( x ) dx
Sendo h ( y )=∫ g ( y ) dt . Então:dh ( y )
dy =g ( y)
Substituindo g(y) na primeira equação, temos:
dh
dy .
dy
dx=f ( x )
Mas pela Regra da Cadeia:
d
dx [h [ y ( x ) ] ]=dh
dy .
dy
dx
Assim:
d
dx {h [ y ( x ) ] }=f ( x)
Integrando:
h [ y ( x ) ]=∫ f ( x) dx+C As curvas que são soluções de uma equação separável podem ser
vistas como curvas de nível da função:
F ( x , y )=h [ y ( x ) ]−∫ f ( x ) dx
Equações Exatas
As equações exatas são equações que podem ser escritas na forma:
M ( x , y )+ N ( x , y ) dy
dx=0
Em que as funções M(x,y) e N(x,y) satisfazem
∂ M
∂ y =
∂ N
∂ x (condição necessária)
Existe uma função ψ ( x , y ) tal que:
M ( x , y )=∂ψ
∂ x e N ( x , y )=∂ ψ
∂ y
Onde:
ψ ( x , y )=∫ M ( x , y )dx+h ( y)Onde o h(y) encontramos derivando a função acima em relação a y e
igualando a N(x,y).
Quando não satisfazer a condição necessária, devemos multiplicar a
primeira equação por uma função u(x), que será chamada defator
integrante, para que cheguemos em uma outra equação em que seja
satisfeita a condição necessária.