Resumo do 7º,8º e 9º anos para t.i

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7º Ano Geometria Abordagem básica: Perímetros e áreas de figuras geométricas [incluindo fórmulas] Quadrado Área = lado x lado (A = l x l) Perímetro = lado + lado + lado + lado ou 4 x lado ( P = l + l + l + l ou 4 x l) Retângulo Área = comprimento x largura (A = c x l) Perímetro = comprimento + comprimento + largura + largura ou 2 x comprimento + 2 x largura (P = c + c + l + l ou 2 x c + 2 x l) Triângulo Área = base x altura sobre 2 (A = b x h /2) Perímetro = Soma de todos os lados (no caso dos triângulos retângulos, altura, comprimento e hipotenusa) Circunferência Área = raio ao quadrado x Pi (A = r 2 x Pi) Perímetro = diâmetro x Pi ou 2 x raio x Pi ( A = d x Pi ou 2 x r x Pi) Característica: qualquer diâmetro (linha reta que vai de um lado ao outro da circunferência, passando pelo centro) é um eixo de simetria. Abordagem básica: Áreas e volumes de sólidos de uma base e duas bases Sólidos de duas bases (cubo, prisma, paralelepípedo, cilindro) Volume: Área da base x altura (V = A b x h) Área total: Área das bases + Área lateral (A T = 2 A b + A l ) Sólidos de uma base (pirâmide, cone) Volume: 1/3 x Área da base x altura (V = 1/3 x A b x h) Área total: Área da base + área lateral (A T = A b + A l ) [Área lateral = perímetro da base x geratriz (altura)] 1

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7º Ano

Geometria

Abordagem básica: Perímetros e áreas de figuras geométricas [incluindo fórmulas]

QuadradoÁrea = lado x lado (A = l x l)Perímetro = lado + lado + lado + lado ou 4 x lado (P = l + l + l + l ou 4 x l)

RetânguloÁrea = comprimento x largura (A = c x l)Perímetro = comprimento + comprimento + largura + largura ou 2 x comprimento + 2 x largura (P = c + c + l + l ou 2 x c + 2 x l)

TriânguloÁrea = base x altura sobre 2 (A = b x h /2)Perímetro = Soma de todos os lados (no caso dos triângulos retângulos, altura, comprimento e hipotenusa)

CircunferênciaÁrea = raio ao quadrado x Pi (A = r2 x Pi)Perímetro = diâmetro x Pi ou 2 x raio x Pi (A = d x Pi ou 2 x r x Pi)Característica: qualquer diâmetro (linha reta que vai de um lado ao outro da circunferência, passando pelo centro) é um eixo de simetria.

Abordagem básica: Áreas e volumes de sólidos de uma base e duas bases

Sólidos de duas bases (cubo, prisma, paralelepípedo, cilindro)Volume: Área da base x altura (V = Ab x h)Área total: Área das bases + Área lateral (AT = 2 Ab + Al)

Sólidos de uma base (pirâmide, cone)Volume: 1/3 x Área da base x altura (V = 1/3 x Ab x h)Área total: Área da base + área lateral (AT = Ab + Al)[Área lateral = perímetro da base x geratriz (altura)]

Posições relativas de retas e planos

Definições Reta: duas letras maiúsculas ou uma minúscula (AB ou s) Segmento de Reta: [AB] Semirreta com origem em A: ‘AB Plano: três letras maiúsculas (ABC)

Reta – Define-se com 2 pontosPlano – Define-se com 3 pontos

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Posições relativas entre Retas Paralelas (não têm nenhum ponto em comum; os pontos estão

todos e sempre à mesma distância) Coincidentes (estão sobrepostas: todos os pontos em comum) Concorrentes (têm apenas um ponto em comum)- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)- Oblíquas (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus) Complanares (no mesmo plano) Não Complanares (não estão no mesmo plano)

Posições Relativas entre Planos Paralelos (não têm nenhum ponto em comum: os pontos mantêm

a mesma distância) Coincidentes (estão sobrepostos: todos os pontos em comum) Concorrentes (têm um segmento de reta em comum)- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)- Oblíquos (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)

Posições relativas entre Retas e Planos Paralelos (não têm nenhum ponto em comum: os pontos mantêm

a mesma distância) Reta Aposta ao Plano (reta contida no plano) Concorrentes (têm um ponto em comum)- Perpendiculares (concorrentes que formam um ângulo de 90º graus)- Oblíquos (concorrentes que não formam um ângulo de 90º graus)

Classificação de triângulos

Em relação aos ladosEquilátero: Todos os lados iguais (um eixo de simetria)Isósceles: Dois lados iguais (um eixo de simetria)Escaleno: Todos os lados diferentes (nenhum eixo de simetria)

Em relação aos ângulosRetângulo: Um ângulo retoAcutângulo: Todos os ângulos agudosObtusângulo: Um ângulo obtuso

Classificação de Quadriláteros

Quadrilátero: polígono de quatro ladosPolígono: região do plano delimitado por segmentos de reta

Quadrado- Todos os lados iguais;- Todos os ângulos retos;- 4 Eixos de simetria;

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- As 2 diagonais iguais bissectam-se e são perpendiculares.

Paralelogramo- Lados iguais e paralelos dois a dois;- Ângulos opostos iguais;- Não tem eixo de simetria;- As diagonais bissectam-se.

Losango- Todos os lados iguais;- Ângulos opostos iguais;- Tem 2 eixos de simetria;- Diagonais bissectam-se e são perpendiculares.

Trapézio- Tem sempre 2 lados paralelos;- Trapézios Retângulos e Escalenos não têm eixo de simetria;- Trapézios isósceles têm um eixo de simetria.

Retângulo- Lados iguais e paralelos dois a dois;- Todos os ângulos retos;- Tem 2 eixos de simetria;- Tem 2 diagonais iguais que se bissectam.

Soma dos ângulos internos de um quadrilátero: 360º.

Ângulos de um triângulo; Semelhança de triângulos

Ângulos internos/externosA soma dos três ângulos internos é sempre igual a 180º.

Cada ângulo externo somado com o interno corresponde vale 180º. Estes ângulos são suplementares: a sua soma equivale a 180º.

Relações entre lados e ângulos do triânguloPropriedades:- A lados iguais correspondem ângulos iguais e vice-versa.- Ao maior lado opõe-se o maior ângulo e vice-versa.- Ao menor lado opõe-se o menor ângulo e vice-versa.

Regra básica de construção de triângulos; igualdade/desigualdade triangular- Para se poder construir um triângulo, cada um dos seus lados têm que ser menor que a soma da medida dos outros dois.

Diz-se que dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos iguais.

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Classificação de ÂngulosUm ângulo é:- Agudo quando menor que 90º- Obtuso quando maior que 90º- Reto quando igual a 90º- Raso quando igual a 180º- Giro quando igual a 360º- Nulo quando igual a 0º

Dois ângulos são:- Complementares quando a sua soma é de 90º- Suplementares quando a sua soma é de 180º- Verticalmente opostos quando se encontram em planos paralelos [Estes ângulos são sempre iguais ou suplementares]

Figuras semelhantes; construção de figuras semelhantes

Figuras semelhantes: são geometricamente iguais ou uma delas é a ampliação ou redução da outra.

Ampliação: Todas as medidas da figura inicial são multiplicadas pelo mesmo número (diferente de um 1).Redução: Todas as medidas da figura inicial são divididas pelo mesmo número (diferente de 1).

Aritmética e aritmética combinada

Conjuntos Numéricos

Conjunto N – Contém os números naturais: inteiros positivos (exclui o 0).

Conjunto Z – Contém os números inteiros relativos: inteiros positivos e negativos (inclui o 0).

Conjunto Q – Contém os números racionais: inteiros relativos e números fracionários, positivos ou negativos (inclui o 0). (Nota: Não confundir números decimais com dízimas infinitas: um número decimal tem sempre um número finito de casas decimais.)

Números simétricos e valor absoluto

Cada número tem um simétrico: é o número na Reta Numérica que está à mesma distância de 0, na ordem contrária. Exemplos: 3 e -3 são simétricas, tal como ½ e -½, 678 e -678, etc. Estes números têm sempre o mesmo valor absoluto.

O valor absoluto de um número é o valor da distância desse número à origem: é sempre esse número positivo.

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Representação de pontos no Plano: Referencial Cartesiano

O Referencial Cartesiano é constituído por duas retas paralelas, em que a horizontal se chama eixo das abcissas (x) e a vertical, eixo das ordenadas (y). Têm quatro quadrantes definidos pelos eixos.Nos eixos são representados números (a cada ponto do eixo corresponde um valor), que devem estar sempre à mesma distância, e o intervalo entre eles tem que ter sempre o mesmo valor.

Quando se conhecem as coordenadas de um ponto, é possível representá-lo no Referencial Cartesiano: o primeiro número indicado é marcado no eixo x e o segundo no eixo y. As coordenadas são sempre indicadas da seguinte forma: A –> (1,2). 1 será marcado no eixo x e 2 no eixo y: a interseção das retas originadas nestes pontos é o ponto A.

Adição e subtração de números racionais

Regra 1: Com sinais iguais dá-se o mesmo sinal e somam-se os números.

Regra 2: Com sinais diferentes dá-se o sinal do número com maior valor absoluto e subtraem-se os números.

Na adição/subtração de números fracionários, primeiro reduz-se a expressão ao mesmo denominador.

Multiplicação e Divisão de números racionais; Prioridade das Operações

Regra 1: As operações são sempre feitas pela seguinte ordem: primeiro as expressões dentro de parênteses, depois as divisões e multiplicações pela ordem em que aparecem, depois as adições e subtrações pela ordem em que aparecem.

Regra 2: Se os números tiverem o mesmo sinal, dá-se o sinal +.

Regra 3: Se os números tiverem sinais diferentes, dá-se o sinal –.

Para multiplicar frações não se retiram os parênteses e não se reduzem as frações ao mesmo denominador: multiplicam-se os denominadores pelos denominadores e numeradores por numeradores.

Para dividir frações, a primeira fração mantém-se e a segunda inverte-se (o numerador passa a denominador e vice-versa). O sinal de dividir passa ao de multiplicar.

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Potências: Adição, subtração, divisão e multiplicação de potências

Adição e subtração: Calcula-se o valor de cada potência e efetuam-se os cálculos.Divisão e multiplicação: Quando não existem bases ou expoentes em comum, também se determina o valor das potências e realizam-se os cálculos.

Critérios de Divisibilidade por 2, 3, e 5

Por 2-> Um número é divisível por 2 quando o seu algarismo das unidades é 0,2, 4, 6 ou 8Por 3-> Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 3.Por 5-> Um número é divisível por 5 quando o seu algarismo das unidades é 5 ou 0.

Números Primos e decomposição de números em fatores primos

Números primos são números divisíveis apenas por 1 e por si próprios. Os primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53

Para decompor um número em fatores primos, o número inicial é dividido pelo maior número primo possível. O número resultante é novamente dividido pelo maior primo possível e assim sucessivamente, até se obter 1.

Exemplo: 540 540|5108|3 36|3 12|3 4|2 2|2 1

540= 5 x 33 x 22

Sequências

As sequências são listas ordenadas de números que se relacionam entre si.Uma sequências de números é representada pelo seu termo geral.

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Por exemplo, 2n representa a sequência dos números pares.

n=1 =» 2 x 1 = 2n=2 =» 2 x 2 = 4n=3 =» 2 x 3 = 6...Simplificação de expressões com incógnitas

Para simplificar expressões com incógnitas, reduzem-se (adicionam-se, subtraem-se, multiplicam-se ou dividem-se) os termos semelhantes (termos com a mesma parte literal).

Exemplo: P = 5x + 10 + 5x + 7 + x + 10 + 2x + 6 + 4x + 3x + 1 P = 20x + 34

Equações do 1º grau

Equação é uma igualdade onde aparece pelo menos uma variável.

A equação tem sempre dois membros: são definidos pela igualdade (=). Cada um dos valores da equação é um termo.A solução da equação é o valor que torna a expressão verdadeira. Nota: Quando numa equação do 1º grau há parênteses, quando atrás dos parênteses temos:

- Sinal positivo (+), não se alteram os sinais dos termos que estão dentro de parênteses.

- Sinal negativo (–), todos os sinais dentro de parênteses são trocados

- Um número, então todos os valores dentro da equação são multipli-cados por esse número. As equações do 1º grau classificam-se em: Possíveis determinadas: quando têm apenas uma solução; Possíveis indeterminadas: quando têm infinitas soluções. Impossíveis: quando não têm solução.

Razão e Proporção

Razão é uma comparação entre duas quantidades.

A razão entre b e a é b/a ou b:a, em que b é o antecedente e a o consequente.

Proporção é a igualdade entre duas razões.

Exemplo: 2/4 = ½ => Proporção (2 está para 4, tal como 1 está para 2)

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Propriedade Fundamental das Proporções: Numa proporção o produto dos extremos é sempre igual ao produto dos meios.

Percentagem

Divisão do valor em 100. Por exemplo, 68% (de algum valor), corresponde a 68 partes por cada 100. 100% é sempre a totalidade do valor.

Para calcular a percentagem, utiliza-se uma regra de três simples.Exemplo: 70% de 28.

100 – 28 (100% corresponde a 28)70 – x (70% corresponde a x: a incógnita que se vai calcular)

x = 28 x 70 / 100x = 19.6

70% de 28 é 19,6.

Proporcionalidade Direta

Diz-se que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre elas é constante: têm uma relação de proporcionalidade direta. Este valor constante chama-se constante de proporcionalidade direta. Se não existir esta constante não há proporcionalidade direta.

As relações de proporcionalidade direta são traduzidas por expressões analíticas. Os elementos da proporção são y e x. O valor da razão entre eles é sempre k. Traduzido graficamente, isto significa que a proporcionalidade direta é sempre representada, em gráficos, por uma reta que passa pela origem do referencial.

y/x= k

Numa relação de proporcionalidade direta, há sempre dois fatores em comparação.

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8º Ano

Geometria

Teorema de Pitágoras:

● Num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa (h) é igual à soma do quadrado dos catetos (c).

h²=c²+c² ● Por outro lado para sabermos o cateto ao quadrado temos de subtrair a hipotenusa ao quadrado ao cateto ao quadrado.

c²=h²-c²

Diagonal de um paralelepípedo

Diagonal facial

Diagonal espacial: é o segmento que une 2 vértices não pertencentes à mesma face. Calcula-se somando o quadrado do comprimento com o quadrado da largura e com o quadrado da altura.

Aritmética e aritmética combinada

Máximo divisor comum:

O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números decompostos em fatores primos (tanto para o m.d.c. como para o m.m.c. temos de decompor os números em fatores primos) é igual ao

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produto dos fatores comuns cada um elevado ao menor dos expoentes.

Mínimo múltiplo comum:

O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números decompostos em fatores primos é o produto dos fatores comuns e não comuns elevado cada um ao maior expoente.

Ex: m.d.c.(24;90): 24 2 90 2 12 2 45 3 m.d.c= 2x3=6 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 24=2³x3 90=3²x2x5

m.m.c.(24;90)= 2³x3²x5=360

Potências:

● Potências de expoente inteiro:

Nº Base Exp. Potência ½= 2-¹

8 2 3 2³ (1/dª)=d-ª, d≠0

4 2 2 2² ¼=1/2²=2-²

2 2 1 2¹

1 2 0 2º

½ 2 -1 2-¹

● Potências com a mesma base:

O produto de 2 potências de igual base è uma potência com a mesma base e expoente igual à soma dos expoentes dos fatores.

dªxd°=aª+°

O quociente de 2 potências de igual base é uma potência com a mesma base e expoente igual à diferença entre o expoente do divisor e o expoente do dividendo.

dª÷d°=dª-°

● Potências com o mesmo expoente:

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O produto de 2 potências de igual expoente é uma potência com o mesmo expoente e a base é igual ao produto das bases dos fatores.

dªxtª=(dxt)ª

O quociente de 2 potências de igual expoente é uma potência com o mesmo expoente e a base è igual ao quociente entre a base do divisor e a base do dividendo.

dª÷tª=(d/t)ª

● Potência de potência:

Uma potência de potência é igual a uma potência com a mesma base e o expoente é o produto dos expoentes.

(d°)ª=d°×ª

Escrita de números utilizando a base 10 (notação científica):

1 – 10º 0,1 – 10-¹10 – 10¹ 0,01 – 10-²100 – 10² 0,001 – 10-³1000 – 10³

Um gogol é um número elevado a 100 zeros [(10¹º)¹º]

Ex: 73000 000 000 000 000 000 000= 7,3x10²² Notação científica 0,000 000 000 000 000 000 026= 2,6x10-²¹

Equações de 1º grau:

3x – 4=- x= = x+3 x = 4= =4 x= 4= = x= 4/4=1

Nota: As equações de 1º grau têm só uma incógnita. Por isso para resolvermos estas equações temos de:

- Tirar denominadores;- Isolar a incógnita num dos membros e resolver.

Quando nos dizem para verificarmos se um determinado nº é solução da equação, temos de substituir a incógnita por esse número.

Determinadas Ex: x=3, tem uma única Possíveis solução.

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Indeterminadas Ex: 0x=0, tem infinitasEquações soluções.

Impossíveis Ex: 0x =-1, não tem solução.

Equações literais: monómios e polinómios; adição algébrica e graus de polinómios:

3 x – monómio

2-3 x – binómio

2-3 x+ 5 – polinómio

Monómio é um nº ou um produto de números em que alguns podem ser representados por letras.

Polinómio é a soma algébrica de polinómios.

● Adição e subtração:

4xy²+3xy²= xy²-5y²= =(4+3)xy²= 7xy² =(x-5)y²

Para resolver as somas e subtrações de polinómios utiliza-se a propriedade distributiva.

Aos monómios que têm partes literais iguais chamamos monómios semelhantes.

● Multiplicação e divisão

4 xy²x 5x² y³= (5x¹y¹)²= =4x5 xxx² y²xy³ = =5² (x¹)² (y¹)²= =20x³y(²+³) =25x²y²

● Grau de um polinómio

Grau de um polinómio é o maior dos graus dos seus termos (não nulos).

7+x³-2x²+3x o grau deste polinómio é 3.

Casos Notáveis:

Quadrado da soma: (a+b)²=a²+2ab+b²

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Quadrado da diferença: (a-b)²=a²-2ab+b²

Diferença de quadrados: (a+b)(a-b)=a²-b²

Lei do anulamento do produto:

a×b=0 «=» a=0 ou b=0

Translação:

Propriedades das translações:

-conservam a direção;

-conservam os comprimentos dos segmentos de reta;

-conservam as amplitudes dos ângulos.

5cm 5cm

4cm

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9º Ano

Funções: tipos de funções; gráficos de funções; proporcionalidade direta e inversa; grandezas diretamente e inversamente proporcionais;constante de proporcionalidade direta e inversa e seu significado:

(1) y=ax (2) y=ax+b

(3) y=b

(1): Se b=0, f(x)=ax é uma reta que passa na origem do referencial. (Linear)

(2): Se f(x)=0 é uma reta que não passa pela origem. (Afim)

(3): Se a=0, f(x)=b é uma função constante.

Sendo f(x)=ax+b, a a chamamos o declive da reta.

● se a maior que zero a reta é crescente, penetra os quadrantes ímpares.

● se a menor que zero a reta é decrescente, penetra os quadrantes pares.

● se a igual a zero a reta é constante.

Quando a função é do 2º grau, ou seja, a expressão analítica tem incógnitas elevadas ao quadrado (f(x)=x²+9), o gráfico que a representa é senpre uma parábola:

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Page 15: Resumo do 7º,8º e 9º anos para t.i

● se quisermos descobrir os x’s da equação temos de substituir o f(x) ou y pelo valor dado e resolver em ordem a x.

● se quisermos descobrir o y temos de substituir todos os x’s pelo valor dado e revolver em ordem a y.

Proporcionalidade direta e inversa

Direta: duas variáveis x e y são diretamente proporcionais quando o quociente entre elas é constante, isto é: y/x=k. Numa função de proporcionalidade direta, se uma variável duplica a outra também duplica e assim sucessivamente. O gráfico desta função é uma reta que passa na origem do referêncial e é representado por uma expressão do tipo y=kx.

Inversa: duas variáveis x e y são inversamente proporcionais quando o produto entre elas é constante. Isto é: xxy=k. Quando uma das variáveis aumenta a outra diminui na proporção inversa, isto é: se uma variável duplica a outra é reduzida a metade e assim sucessivamente.

O gráfico de uma função de proporcionalidade inversa é uma hipérbole. Se k for positivo penetra os quadrantes ímpares. Se k for negativo penetra os quadrantes pares.

As variáveis não podem tomar o valor de 0 e a hipérbole, embora se aproxime dos eixos nunca os interceta.

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Probabilidade:

Experiência aleatória: são aquelas em que não se consegue prever com exatidão o resultado mesmo que seja realizada sempre nas mesmas condições.

Acontecimentos equiprováveis: são aqueles que têm a mesma probabilidade de acontecer. Por exemplo: no lançamento de um dado equilibrado todas as faces têm a mesma probabilidade de sair.

LEI DE LAPLACE:

P(A)=nº de casos favoráveis/nº de casos possíveis

Propriedade: A probabilidade de qualquer acontecimento é sempre 1 valor entre 0 e 1 inclusive. Se a probabilidade for zero o acontecimento diz-se impossível. Se a probabilidade for um é um acontecimento certo.

Números reais:

N={números naturais}

Z={números inteiros relativos}

Q={números racionais}= Z U {números fracionários}=» ou são dizimas finitas ou são dizimas infinitas periódicas.

1/3= 0,33333...=0,(3)-dizima infinita periódica

0,123412341234...=0,(1234)

½= 0,5- dizima finita

R={números reais}=Q U {números irracionais} e (nº de neper) Ex: √5; √3; etc.

Regras das equações do 2º grau:

- tirar parênteses

- desfazer de denominadores

- colocar na forma canónica

- usar o método de resolução correto: isolar a incógnita e o anulamento do produto no caso das equações incompletas; usar a fórmula resolvente ou os casos notáveis da multiplicação para as equações completas.

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Formas canónicas: equações incompletas: ax²+bx=0, ax²+c=0, ax2=0, (a+b)(a-b) =a2 – b2

Equações completas: ax²+bx+c=0

Fórmula resolvente:

Regras dos sistemas:

- tirar parênteses

- desfazer de denominadores

- colocar na forma canónica

- resolver uma delas em ordem a x ou a y

- Ir substituindo à medida que se vai resolvendo até obterem o valor de x e de y.,

Operações com raízes:

- Soma e subtração:Em primeiro lugar temos de decompor em fatores os números

grandes(na raiz quadrada, por cada dois iguais passa para fora:

75 3 25 5 5 5 1

De seguida temos que reduzir os termos semelhantes. Ou seja todas as raízes iguais são somadas ou subtraídas nunca se mexendo no

número dentro delas. Ex: .

- Multiplicação:Neste caso a única coisa que temos de ter em atenção é multiplicar o que está fora pelo que está fora e o que está dentro pelo que está dentro (não há exceções. É sempre assim).

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Inequações e intervalos de números reais:

Condição Intervalo de nº reais

x>3

x<-1

x

2 + 3

Se estiver: , temos de multiplicar a inequação por -1 e trocar

o sinal: .

Condições Conjuntos

(conjunção) (e) (Interseção)

(disjunção) (ou) (reunião)

Regras das Inequações:

- Tirar parênteses

- Desfazer de denominadores

- Colorar os termos com incógnita no 1º membro e os termos independentes no 2º

- Reduzir os termos semelhantes

- Quando estiver resolvido fazer o intervalo de números reais

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Circunferências e Polígonos:

Ângulo Inscrito: um ângulo é inscrito quando o sue vértice é um ponto da circunferência e os seus lados são cordas da circunferência.

Ângulo ao Centro: um ângulo cujo vértice é o centro da circunferência e os seus lados são raios da circunferência.

Nota: Em cada (inscrito ou ao centro), corresponde apenas um único arco.

Propriedades:

1. A amplitude de um inscrito é igual à metade da amplitude do arco correspondente;

2. A amplitude de um ao centro é igual à amplitude do arco correspondente;

3. Dois ’s inscritos com o mesmo arco têm a mesma amplitude;

4. Um inscrito numa semicircunferência é um reto;

5. A soma de dois ’s opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência é sempre 180;

6. Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio que contém o ponto de tangencia;

7. A mediatriz de uma corda passa pelo centro da circunferência, isto é, a reta que é perpendicular à corda e que passa pelo seu meio, também passa pelo centro da circunferência.

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O

O

Page 20: Resumo do 7º,8º e 9º anos para t.i

8. Numa circunferência, arcos e cordas compreendidas entre retas paralelas são iguais.

Polígonos: ’s internos de um polígono:

b

a c

a + b + c = 108 2 x 180 = 360

Para sabermos (seja qual for o nº de arestas do polígono) em quantos triângulos podemos dividir a figura (seja ela qual for) temos que subtrair dois ao nº de lados do polígono;

Se um polígono tem 20 lados (por exemplo), podemos dividi-lo em 18 triângulos. A soma dos seus ’s é 18 x 180;

Se um polígono tem n lados, podemos dividi-lo em n – 2 triângulos. A soma dos seus ’s é (n – 2) x 180;

Cada interno de um polígono regular com n lados tem de

amplitude .

Ângulos externos de um polígono:

Se um polígono com n lados for regular, cada um dos seus ’s

externos tem de amplitude: .

Problemas que relacionam trigonometria e circunferências:Para resolver (se quiserem) Podem-se guiar pelos exercícios que fizemos nas aulas 99 e 100.

1. Determine a área de um polígono regular com 12 lados com 8 cm de comprimento cada um.

2. Determine a área de um polígono regular com 26 lados, inscrito numa circunferência com 11 cm de raio.

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Page 21: Resumo do 7º,8º e 9º anos para t.i

3. Determine a área de um polígono regular com 30 lados, cujo apótema tem 14 lados.

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Page 22: Resumo do 7º,8º e 9º anos para t.i

Rotações e Isometrias:

Uma isometria é uma aplicação que transforma um segmento de reta noutro geometricamente igual e um noutro com a mesma

amplitude. Existem 3 tipos de isometrias:

Simetria

Translação

Rotação

Relativo á Rotação:Ângulo Orientado – é um ângulo no qual se define um sentido.Uma rotação caracteriza-se pelo centro e pelo ângulo.Convencionou-se que um ângulo pode ter 2 sentidos, um positivo e um negativo:

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Simetria

Translação

Rotação

O sentido positivo é o sentido contrário aos ponteiros do relógio

+

O sentido negativo é o sentido dos ponteiros do

relógio

-

Page 23: Resumo do 7º,8º e 9º anos para t.i

Trigonometria do triângulo retângulo:

A cada ângulo corresponde uma

relação trigonométrica:

Sin (seno de )

Cos (cosseno de )

Tg (tangente de )

Hipotenusa Cateto Oposto

Cateto adjacente

Sendo um dos ângulos agudos do triângulo retângulo, tem-se:

(SOH1)

(CAH2)

(TOA3)

1 O Seno é igual ao cateto Oposto sobre a Hipotenusa2 O Cosseno é igual ao cateto Adjacente sobre a Hipotenusa3 A Tangente é igual ao cateto Oposto sobre o cateto Adjacente

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Page 24: Resumo do 7º,8º e 9º anos para t.i

Resolve o triângulo:

X Ver quais as medidas dadas e qual a fórmula que as relaciona.

Neste caso4:=60 5 cm cos =5/x. cos(60)=5/x «=»

«=» 0,5=5/x «=» 0,5x=5 «=» «=» X=5/0,5 «=» x=10

30 45 60

Fórmulas:

Cos 2 + Sin 2 = 1 – Fórmula Fundamental da Trigonometria

Tg = sem /cos

4 O triângulo não está à escala.

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