1Unidade 1 – Movimentos na Terra e no Espaço

1.1. VIAGENS COM GPS

FUNCIONAMENTO

GPS (Sistema de Posicionamento Global) é um sistema de localização desenvolvido nos Estados Unidos da América, de 24 satélites e 6 orbitais, que consiste nos seguintes segmentos:

1. O segmento espacial, formado por 24 satélites dispostos em 6 orbitais que dão duas voltas à Terra por dia.

2. O segmento de controlo, formado por estações de monitorização que ajustam os dados (posição e tempo) dos satélites para que estes tenham elevada precisão.

3. Segmento do utilizador, formado pelos receptores que determinam a posição descodificando os sinais provenientes dos satélites.

Para estimar a sua posição na terra é necessário saber a distância. É possível calcula-la multiplicando a velocidade das ondas electromagnéticas e o tempo de chegada.

Distância = velocidade das ondas electromagnéticas x tempo de chegada

d= (3×108m /s)×∆t

É a desfasamento entre o sinal esperado e o sinal do satélite que permitem medir a distância entre este e o receptor. Para a calcular a localização do receptor são necessários 4 satélites: 3 deles para obter a posição e o 4º para acertar o tempo, recalcular a distância e calibrar o relógio interno do receptor.

POSIÇÃO – COORDENADAS GEOGRÁFICAS E CARTESIANAS

Para definir a posição de qualquer objecto é necessário um sistema de referência ou referencial, sendo este o sistema de coordenadas em relação ao qual é definida a posição. Este referencial tem uma origem a partir da qual se atribuem as coordenadas e uma escala que marca as distâncias em relação a essa mesma origem. A posição é assim, um

2conjunto de coordenadas que permitem localizar um corpo num determinado referencial.

COORDENADAS GEOGRÁFICAS – LATITUDE, LONGITUDE E ALTITUDE

As coordenadas geográficas são utilizadas para localizar um corpo que se encontra a grandes distâncias, como ocorre no caso do GPS. É possível descodificar estas coordenadas numa rede geográfica formada por dois tipos de linhas:

a) Meridianos, que dividem a Terra em duas metades iguais e passam pelos dois polos. São perpendiculares ao equador

b) Paralelos, círculos paralelos ao equador e a si mesmos com excepção do equador.

Este processo de cálculo consiste na medição dos arcos dos ângulos, relativamente ao centro da Terra.

Latitude - A origem do referencial encontra-se sobre o equador e varia no sentido Norte e Sul. Varia assim entre 90º Norte e 90º Sul.

Longitude - A origem do referencial é o meridiano de Greenwich e varia no sentido Este e Oeste. Varia assim entre 180º Este e 180º Oeste.

Altitude - Desnível que existe entre o nível médio das águas do mar e a posição de um corpo localizado á superfície.

COORDENADAS CARTESIANAS

As coordenadas cartesianas são utilizadas para definir a posição de um objecto que se encontre nas nossas proximidades.

Este sistema utiliza os eixos ortogonais e ortonormados, também designados como os eixos dos xx, yy, zz. Quando apenas utilizamos um eixo dizemos que se trata de uma situação unidimensional, no caso se utilizarmos dois diz-se bidimensional e no caso de usarmos três é tridimensional. A unidade SI para a posição é o metro (unidade SI de comprimento).

TEMPO

O tempo é utilizado para determinar quando acontece um evento e qual a duração do mesmo. Os relógios atómicos são uma forma bastante precisa para estimar a passagem do tempo, pois estes utilizam as vibrações dos átomos ou outras características atómicas dos mesmos.

31 Segundo = 9 162 631 770 vibrações de uma frequência de microondas específica que é emitida pelo átomo de césio-133.

MOVIMENTO

O movimento é a alteração da posição de um corpo em relação a um referencial e, deste modo, podemos dizer que o movimento de um corpo varia de acordo com o referencial.

Uma partícula material é uma partícula cuja posição pode ser representada por um único ponto num referencial.

TRAJECTÓRIA

A trajectória é a sequência de posições que o corpo vai ocupando num determinado referencial, em instantes sucessivos. Para analisar o movimento é necessário reduzir os sistemas de partículas a um centro de massa.

Centro de massa é o ponto que se desloca como se deslocaria uma partícula material com a massa do corpo, na qual estivessem aplicadas

todas as forças que actuam sobre o corpo.

ESPAÇO PERCORRIDO E DESLOCAMENTO

O espaço percorrido (∆s) é uma grandeza escalar que mede a distância percorrida sobre a trajectória, sendo esta sempre um valor positivo.

O deslocamento (∆r⃗) é uma grandeza vectorial representada por um vector com ponto de aplicação na posição inicial e final de um corpo. Este é a medida da distância rectilínea entre a posição inicial e final.

(∆r⃗) = r⃗ final−r⃗inicial

Em movimentos rectilíneos o deslocamento tem a mesma direcção do movimento (deslocamento escalar). Se no mesmo movimento não houver inversão no sentido, o deslocamento e o espaço percorrido são iguais.

RAPIDEZ MÉDIA E VELOCIDADE MÉDIA

A rapidez média ¿) é uma grandeza escalar e representa o espaço percorrido por intervalo de tempo. Indica se o movimento foi executado rápido ou depressa ao longo da trajectória.

4A velocidade média ¿) é uma grandeza vectorial que nos indica o deslocamento percorrido por intervalo de tempo. Esta, num movimento rectilíneo indica-nos o sentido do movimento e o módulo do vector.

VELOCIDADE INSTANTÂNEA E RAPIDEZ INSTANTÂNEA

A velocidade instantânea é a velocidade que se obtém quando o intervalo de tempo tende para zero. Assim à medida que o intervalo de tempo tende para zero a direcção tende para ser tangente á trajectória e o sentido do movimento ao longo da trajectória.

Se a velocidade for constante ao longo de um dado intervalo de tempo, a velocidade instantânea será igual á velocidade media.

No limite quando o deslocamento é infinitesimal, verifica-se que a norma da velocidade instantânea é igual à rapidez instantânea.

Em movimentos rectilíneos, conhecendo a velocidade instantânea e a direcção do movimento é possível atribuir-lhe um sinal negativo ou positivo dependendo da direcção que este se movimente no referencial.

Para calcular:

Se a velocidade for constante, o valor da velocidade média vai ser igual á instantânea, que por sua vez vai ser igual ao declive da recta que une no gráfico os dois pontos extremos do intervalo de tempo considerado.

Se o gráfico tiver um traçado curvilíneo, o valor da velocidade instantânea é dado pelo declive da recta tangente ao gráfico no instante considerado.

Se os declives forem ascendentes significa que o movimento se dá no sentido positivo, caso os declives sejam descendentes significa que o

movimento se dá no sentido negativo. Se o declive for zero a velocidade instantânea também é zero pois o corpo está em repouso.

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1.2. DA TERRA À LUA

INTERACÇÕES DE CONTACTO E À DISTÂNCIA

Na natureza as forças só existem se houver interacção entre 2 ou mais corpos e desta forma podemos dizer que existem sempre aos pares. No entanto a interacção existente entre os mesmos pode ser:

Interacção de contacto: Ocorre quando numa perspectiva macroscópica, os corpos se encontram em contacto para a ocorrência da força.

Interacção à distância: Ocorre quando os corpos não estão em contacto, passando desta forma a existir um campo onde é possível sentir as forças dessa interacção (forças de campo).

FORÇAS FUNDAMENTAIS DA NATUREZA

Existem 4 forças fundamentais na natureza:

Força Gravitacional: É uma força sempre atractiva que se propaga até ao infinito velocidade da luz. Dependem da existência de massas que gerem força.

Força Electromagnética: Esta envolvida em fenómenos eléctricos e magnéticos. Pode ser atractiva e repulsiva dependendo das diferentes cargas e pólos que se encontram em interacção. Liga os electrões ao núcleo e os átomos entre si. As forças de contacto são resultado desta interacção microscópica.

Interacção Forte: É responsável pela coesão de partículas dentro do núcleo e a união do mesmo.

Interacção Fraca: É responsável pelo fenómeno da radioactividade.

3ª LEI DE NEWTON – LEI DA ACÇÃO REACÇÃO

Mais Fraca

Mais Forte

Força Gravitacional

Interacção Fraca

Força Electromagnética

Interacção Forte

6Sempre que um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo exerce sobre o primeiro uma força de igual direcção e intensidade, mas de sentido contrário. Isto só ocorre se as forças forem aplicadas em corpos distintos (par acção reacção).

LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

Para calcular a intensidade da força gravitacional resultante do par acção-reacção, força gravítica do corpo e força gravítica que o corpo exerce sobre o respectivo planeta, é:

Fg=6.67×10−11×

m 1×m2

r2

ACELERAÇÃO MÉDIA

A aceleração média ¿) é uma grandeza vectorial e representa a velocidade percorrida por intervalo de tempo. Indica a variação da velocidade num intervalo de tempo. Esta só existe se a resultante das forças não for nula e se a velocidade não for constante (m.r.u.).

Num movimento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a), a velocidade e a aceleração têm o mesmo sentido. Num movimento rectilíneo uniformemente retardado (m.r.u.r.) a velocidade e a aceleração têm sentidos opostos.

ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA

A aceleração instantânea pode ser decomposta em duas componentes: a aceleração tangencial, de direcção tangencial à trajectória, e a aceleração normal, de direcção perpendicular à trajectória. Nos movimentos rectilíneos só existe a aceleração tangencial.

2ª LEI DE NEWTON – LEI FUNDAMENTAL DA DINÂMICA

A resultante das forças que actuam sobre um corpo (partícula material) e a aceleração adquirida são directamente proporcionais e têm a mesma direcção e sentido, sendo a constante de proporcionalidade a massa do corpo.

F⃗Res=m×a⃗

1ª LEI DE NEWTON – LEI DA INÉRCIA

7Um corpo permanece em repouso ou em movimento rectilíneo e uniforme quando sobre ele não actuam nenhuma força ou é nula a resultante das forças que sobre ele actuam. Esta permite associar aos corpos, uma propriedade chama inércia.

A força resultante é nula quando um corpo se encontra em repouso e quando mantem um movimento rectilíneo com velocidade constante.

A inércia é a tendência que os corpos têm para manter o seu estado de repouso ou de movimento, quanto maior for a massa de um corpo maior será a sua inércia.

UTILIZAÇÃO CONJUNTA DAS TRÊS LEIS DE NEWTON

Para utilizar devidamente as três leis de Newton é necessário distinguir duas forças:

Forças de ligação: São forças que resultam na restrição do movimento do corpo por contacto, como por exemplo a força de atrito. Estas dependem das forças aplicadas.

Forças aplicadas: As restantes forças, como por exemplo a gravítica e muscular.

O Movimento Segundo Aristóteles, Galileu e Newton:

Aristóteles defendia que para conservar um corpo em movimento era necessário mantê-lo sobre a acção de uma força, ou seja empurra-lo ou puxa-lo. Actualmente esta lei mecânica traduz-se da seguinte forma:

“O corpo em movimento chega a imobilidade quando a força que o impele deixa de poder agir de modo a deslocá-lo.”

Este filósofo também acreditava que as forças que impeliam os corpos numa certa direcção tinham uma relação com a composição dos próprios corpos pertencendo estes a um dos quatro elementos naturais: terra, água, ar e fogo.

Mais tarde surgiu Galileu que viria a enunciar a primeira definição de inércia: “ Um corpo continuará a mover-se com uma velocidade constante

numa superfície horizontal infinita sem atrito.”

Chegando também a conclusão, após inúmeras experiencias, que corpos com massas diferentes lançados de uma mesma altura atingem o solo ao mesmo tempo.

Finalmente Newton no seu livro Principia enuncia pela primeira vez as três leis do movimento e também a Lei da Gravitação Universal.

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Movimento Rectilíneo e Uniforme (MRU):

Num movimento rectilíneo uniforme a velocidade é sempre constante, sendo assim a sua aceleração zero e as forças resultantes aplicadas no corpo nulas.

Desde modo a velocidade instantânea é sempre igual a velocidade média:

v=∆ x∆ t

Equação da Posição

∆ x=v ×∆ t

x−x0=v×∆ t

x=x0+v×∆ t - Lei Geral

Ainda se o instante inicial for zero e se o corpo tiver na origem do referencial podemos:

x=v× t

Movimento Rectilíneo e Uniformemente Variado (MRUV)

Num movimento rectilíneo uniformemente variado a resultante das forças que actuam num corpo é um valor não nulo e constante sendo deste modo a aceleração constante.

Assim, a aceleração instantânea é sempre igual a aceleração média em qualquer instante:

a=∆v∆ t

Existem dois tipos de movimentos rectilíneos uniformemente variados:

Movimento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA): Quando a aceleração e a velocidade têm o mesmo sentido.

Movimento rectilíneo uniformemente retardado (MRUR): Quando a aceleração e a velocidade têm sentidos opostos.

Equação da Velocidade:

9a=∆v∆ t

∆ v=a×∆ t

v−v0=a×∆ t

v=v0+a×∆ t - Lei Geral

Equação da Posição

Partimos do cálculo da área gráfica do movimento (gráfico de velocidade pelo tempo), que por norma é um trapézio:

∆ x=( v0+v2 )×∆tSe o instante inicial for zero temos:

∆ x=( v0+v2 )×tSabendo que no MRUV, v=v0+a×∆ t , sendo o instante inicial zero,

v=v0+at, substituímos:

∆ x=( v0+v0+at2 )×t∆ x=

2v0 t

2+ a t

2

2

x−x0=v0 t+a t 2

2

x=x0+v0t+a t2

2 – Lei Geral

Se quisermos saber a velocidade atingida no final de um determinado deslocamento, mas porém não sabemos o tempo podemos:

∆ x=v0 t+a t 2

2

Sabendo que a velocidade é dada por:

v=v0+at

t=v−v0a

Podemos assim substituir:

10∆ x=v0×( v−v0a )+12 a×( v−v0a )2

∆ x=v0 v−v0

2

a+ 12a×

v2−2v v0+v02

a

∆ x=v0 v−v0

2

a+v2−2 v v0+v0

2

2a

∆ x=2v0 v−2v0

2

2a+v2−2v v0+v0

2

2a

∆ x=v2−v0

2

2a

v2=v02+2a×∆ x - Lei Geral

Queda e Lançamento Vertical

A queda livre é um movimento que ocorre quando a única interacção significativa num corpo é a interacção gravítica. Desta forma podemos afirmar que a aceleração co corpo será de 9.8m / s2 (aceleração da gravidade)

Quando desce:

y= y0+vo t+12>¿

v=v0+¿

Quando sobe:

y= y0+vo t−12>¿

v=v0−¿

Velocidade terminal

A velocidade terminal é a velocidade máxima atingida por um corpo durante a sua queda, instantes antes de atingir um valor constante. Isto ocorre devido á resistência do ar, que pode ser mais ou menos intensa, de acordo com a forma do objecto, a densidade do ar e a velocidade do objecto relativamente ao ar.

¿∨F⃗res∨¿=||P⃗||−¿|R⃗|∨¿

Quando o peso é igual á resistência do ar a força resultante é nula e a velocidade é constante.

11Lançamento Horizontal

Quando lançamos um corpo com o objectivo que este caia num ponto de queda diferente daquele de onde é lançado (lançamento horizontal), diz-se que o corpo é um projéctil.

Equações Paramétricas

{ x=x0+vo t

y= y0+vo t+12a t 2

Quando um referencial yy está orientado de cima para baixo ocorre o seguinte:

{ x=vo t

y=vot+12at

Tempo de Queda:

h=12>¿

Alcance:

xmax=vo×√ 2hgEquações das velocidades:

{v x=vov y=¿

Quando a distância é superior a alguns quilómetros tem de se considerar: a resistência do ar, a curvatura da Terra, a variação da intensidade do peso e a variação da distância ao centro da Terra.

Movimento Circular e Uniforme

A foça centrípeta ou normal é uma força de intensidade constante e perpendicular à direcção do movimento. A existência desta força implica a existência de uma aceleração centrípeta ou normal, que mede a variação da direcção da velocidade:

ac=v2

r

12Nos movimentos uniformes a força centrípeta e a aceleração centrípeta têm direcção radial (perpendicular á tangente da trajectória) e sentido para o centro de curvatura.

F c=m.v2

r

Velocidade Linear: medida da velocidade instantânea

v= Δθ×r∆ t

= Δ s∆ t

Deslocamento angular: A relação entre o espaço percorrido pela partícula e o deslocamento angular

∆ s=Δθ×r

Velocidade angular média: variação do angulo em ordem ao tempo

ωm=Δθ∆t

Frequência: número de ciclos que a partícula efectua por segundo

f= 1T

Assim é possível afirmar que:

ω=2πTouω=2πf

Movimento de Satélites Geostacionários

Os satélites podem manter-se em órbita durante longos períodos de tempo porque, uma vez fora da atmosfera a resistência do ar é nula e a força gravitacional é uma força centrípeta. A uma altitude de cerca de 36 000km o período orbital é de 24horas, podemos assim afirmar que se encontram estacionários relativamente à Terra. Estes satélites geostacionários são de grande importância nas diferentes formas de telecomunicações e observações geofísicas.

Podemos assim utilizar as seguintes fórmulas:

ω=2πT

F c=m.r ( 2πT )2

13Como os satélites têm uma órbita circular estável de período T, a força centrípeta e a força gravitacional do satélite são iguais. Então:

F c=Fg

m .r ( 4 π2T 2 )=G×m1×m2r2