1- O código secreto – O código secreto de um grupo de alunos é um número de três algarismos distintos diferentes de 0. Descubra o código utilizando as informações a seguir.

1 2 3 Nenhum algarismo correto.

4 5 6 Só um algarismo correto na posição certa.

6 1 2 Só um algarismo correto, mas na posição errada.

5 4 7 Só um algarismo correto, mas na posição errada.

8 4 3 Só um algarismo correto na posição certa.

Resposta:

O código só pode ser formado com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, e 9.

Da primeira informação temos que 1, 2 e 3 não fazem parte do código (números que não fazem parte estão sublinhados nas tabelas). Da terceira informação, concluímos que 6 faz parte do código, e sua posição é ___6___ ou ___ ___6.

Da segunda informação segue que 4 e 5 não fazem parte do código e a posição do 6 no código é ___ ___6. Da última informação só temos que o código é da forma 8 ___6. Com a quarta informação completamos o código: 876.

2- A florista – Uma florista colheu 49 kg de flores do campo. O quilograma das flores pode ser vendido imediatamente a R$ 1,25 ou, mais tarde, com as flores desidratadas, a R$ 3,25. O processo de desidratação faz as flores perderem 5/7 de seu peso. Qual é o tipo de venda mais lucrativo para a florista?

Resposta:

Se a florista vender as flores sem desidratá-las, ela vai apurar um total de 49 × 1,25 = 61,25 reais. O peso das flores depois da desidratação é

Logo, vendendo as flores desidratadas, ela apura um total de 14 × 3,25 = 45,50 reais. Assim, a florista ganha mais no processo sem a desidratação.

3- A casa da Rosa – A figura mostra a planta da casa da Rosa. O quarto e o quintal são quadrados. Qual é a área da cozinha?

Resposta:

Como o quarto é quadrado, com uma área de 16 m2, suas dimensões são 4 × 4 m. Da mesma forma, as dimensões do quintal quadrado são 2 × 2 m. A sala tem uma área de 24 m2 e uma dimensão igual à do quarto; portanto, as dimensões da sala são 6 × 4 m. Assim, as dimensões totais da casa são 10 × 6m e a área total da casa é de 60 m2. Logo, a cozinha tem uma área de

60 − 16 − 24 − 4 = 16m2

4- Muro colorido – Um muro deve ser construído conforme a figura com 14 tijolos coloridos, disponíveis em amarelo, azul e vermelho, cujos preços estão dados na tabela. Se dois tijolos quaisquer que se toquem devem ser de cores diferentes, qual é o menor valor que se gastará na compra desses 14 tijolos?

Resposta:

Observamos que no momento em que escolhermos a cor de dois tijolos vizinhos, a cor de todos os demais tijolos estará decidida.

Assim, denotando os tijolos de acordo com uma de suas três cores A, B ou C, e seguindo a exigência de não ter tijolos de mesma cor se tocando, obtemos uma distribuição como a da figura. Como a maior quantidade de tijolos está marcada com A, num total de seis, e os tijolos amarelos são os mais baratos, devemos escolher tais tijolos amarelos. Por outro lado, temos a mesma quantidade de tijolos B e C, quatro de cada tipo, portanto, podemos escolher quatro tijolos azuis e quatro vermelhos. Assim, o menor valor a ser pago na compra dos tijolos desse muro é 6 × 6 + 4 × 7 + 4 × 8 = 96 reais.

5- Venda de TV – O gerente de uma loja foi verificar qual tinha sido o preço de venda de uma televisão da marca VejoTudo em 2006. Ele encontrou uma fatura meio apagada, em que se podia ler “lote de 72 TVs da VejoTudo vendido por R$ _ 6.79_ , 00”, mas o algarismo da dezena de milhar e o da unidade do preço pago pelo lote estavam ilegíveis. Qual foi o preço de venda de cada uma dessas televisões em 2006?

Resposta:

Sejam a o algarismo da dezena de milhar e b o da unidade. Como o número é divisível por 72 = 8 × 9, temos que 79b é um número par divisível por 8. Testando os valores de b = 0, 2, 4, 6 e 8, vemos que, necessariamente, b = 2. Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos for um múltiplo de 9. Então, a + 6 + 7 + 9 + 2 = a + 24 é um múltiplo de 9 e, portanto, a = 3. Assim, na fatura constava R$ 36 792,00 e, portanto, cada TV custou 36 792 ÷ 72 = 511 reais

6- Atletas da escola – Numa escola, um quarto dos alunos joga somente vôlei, um terço joga somente futebol, 300 praticam os dois esportes e 1/12 nenhum desses dois esportes.(a) Quantos alunos tem a escola?(b) Quantos alunos jogam somente futebol?(c) Quantos alunos jogam futebol?(d) Quantos alunos praticam pelo menos um dos dois esportes?

Resposta:

O número total de alunos na escola é dado pela fração 12/12, que podemos representar graficamente por um retângulo dividido em 12 partes iguais.

Denotemos por V, F e NE o número de alunos que jogam somente vôlei, somente futebol e nenhum desses dois esportes, respectivamente. A informação dada, em termos das partes desse retângulo, é a seguinte:

• o 1/4 dos alunos que jogam somente vôlei corresponde a três partes;

• o 1/3 dos alunos que jogam somente futebol corresponde a quatro partes;

• o 1/12 dos alunos que não jogam nem vôlei nem futebol corresponde a uma parte.

7- Festa na escola – A professora Ana foi comprar pão de queijo para homenagear os alunos premiados na OBMEP, sendo que• cada 100 gramas de pão de queijo custam R$ 3,20 e correspondem a 10 pães dequeijo; e• cada pessoa come, em média, 5 pães de queijo.Além da professora, estarão presentes à festa 16 alunos, um monitor e 5 pais de alunos. A precisão da balança da padaria é de 100 gramas.(a) Quantos gramas de pão de queijo ela deve comprar para que cada pessoa possa comer, pelo menos, cinco pães?(b) Nesse caso, quanto a professora gastará?(c) Se cada pessoa comer cinco pães de queijo, sobrará algum pão de queijo?

Resposta:

8- Trabalho comunitário – Uma classe tem 22 alunos e 18 alunas. Durante as férias, 60% dos alunos dessa classe foram prestar trabalho comunitário. No mínimo, quantas alunas participaram desse trabalho?

Resposta:

O número total de alunos dessa classe é 22 + 18 = 40, dos quais 60% foram prestar trabalho comunitário, isto é, 0,6×40 = 24. O número mínimo de alunas que participaram desse trabalho é obtido quando o número de alunos que participaram é máximo, ou seja, quando todos os 22 alunos se envolverem no trabalho, restando o mínimo de duas vagas para as alunas.

9- Completar uma tabela – Descubra a regra utilizada para as casas já preenchidas e complete a tabela. Qual é o valor de A?

Resposta:

Observe que em cada quadrado formado por quatro quadradinhos, o número que está na parte inferior, à direita, é a soma dos outros três números. Assim, preenchemos a tabela.

10- A soma errada – A soma ao lado está incorreta. Para corrigi-la, basta substituir um certo algarismo em todos os lugares que ele aparece na conta por um outro algarismo. Qual é o algarismo errado e qual é seu substituto correto?

Resposta:

À primeira inspeção, podemos admitir que os três algarismos à direita dos números estejam corretos, isto é, estão corretos os algarismos 0, 1, 3, 4, 5, 6 e 8. Portanto, dentre os algarismos 2, 7 e 9, um deles está errado. O algarismo 9 está correto, pois se o mudarmos, a soma com 2 não estará certa. Assim, sobram 2 e 7. Se o 7 estivesse errado, então o 2 estaria correto, mas isso não é possível, pois 1 + 4 + 2 = 7. Logo, é o 2 que está errado e deve ser substituído. Olhando novamente para a soma 1+4+2, vemos que o resultado é um número com o algarismo da unidade igual a 1. Logo, o algarismo 2 deve ser substituído quatro vezes pelo 6. Fazendo essa substituição, verificamos que a soma fica correta.

Desafio:

Mostre que se a, b e c são inteiros ímpares, a equação ax² + bx + c = 0 não tem raiz racional.

Comentários:

1) Um número é raiz de uma equação dada se quando for substituído no

lugar do “x” a igualdade ficar correta. Por exemplo, x = 2/3 é raiz ou solução) da equação 3x − 2 = 0 porque 3(2/3) – 2 = 0

Ainda, x = 2 é solução da equação x^4 − x³ + x −10 = 0 porque 2^4 − 2³ + 2 −10 = 0 .

Freqüentemente não sabemos como resolver uma equação mas, em geral, podemos verificar se um certo valor de x é ou não uma de suas raízes.

2) Um número é racional quando puder ser escrito como uma fração de numerador e denominador inteiros. Por exe mplo, 2/7 e 4/1 são exemplos de números racionais.

3) Quando desejamos demonstrar que certo fato é impossível utilizamos freqüentemente o método da redução ao absurdo. Este método consiste em imaginar o contrário, ou seja, que tal fato seja possível. A partir daí procuramos chegar a uma contradição, a um absurdo. Conseguindo isso,

teremos mostrado que nossa hipótese (a do contrário) é falsa e conseqüentemente, que a afirmação inicial é verdadeira.

Vamos ver tudo isso na solução do problema. Não se preocupe se você ainda não sabe resolver uma equação do segundo grau. Isto não será necessário. Tudo o que precisamos é verificar se um número racional pode ser uma raiz.

Solução do problema 4

Imaginemos que o número racional p/q seja raiz da equação ax² + bx + c = 0 onde a, b e c são inteiros ímpares. Logo, fazendo a substituição, devemos ter,

Vamos acrescentar agora uma hipótese importante para facilitar nosso trabalho. Vamos supor que a nossa fração p/q seja irredutível, ou seja, que ela já foi simplificada ao máximo. Por exemplo, no lugar de 4/6 estaremos considerando 2/3 o que é a mesma coisa. Consideramos então, para a solução do problema, que p e q não são ambos pares.

Observe agora a equação ap2 + bpq + cq2 = 0 nos seguintes casos:

a) p e q são ímpares: neste caso, ap² é ímpar, bpq é ímpar e cq² é ímpar.

Como a soma de três números ímpares é ímpar, o resultado não pode ser zero.

b) p é par e q é ímpar: neste caso, ap² é par, bpq é par e cq² é ímpar.

Como a soma de dois números pares e um ímpar é ímpar, o resultado não pode ser zero.

c) p é ímpar e q é par: vale o mesmo argumento do caso b).

Demonstramos então que nenhuma fração de numerador e denominador inteiros pode ser raiz da equação ax² + bx + c = 0 onde a, b e c são inteiros ímpares.