Resolução e Análise de Sensibilidade · Receita máxima 300(19) 200(62) 18100 ¼ 18100 Se a...

Problemas em Programação Linear

Resolução e Análise de Sensibilidade

Metodologias de apoio à decisão nas Ciências Agrárias

24 -25 Junho 2014

Um agricultor pretende cultivar 80 ha de terra com tomate e trigo de forma a

maximizar a receita. As receitas resultantes de cada hectare de tomate e trigo são

300 e 200 euros, respectivamente.

Recursos Necessidades (por ha) Disponibilidade

Tomate Trigo

Água (m3) 8000 0 320000

Mão-de-obra (DH) 40 20 2000

0,

200020403200008000

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

x – área para produção de tomate (ha)

y – área para produção de trigo (ha)

Exemplo: Formulação

2

0,

200020403200008000

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

0,

100 240

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

40 50 80

80

100

x

y

Exemplo: Representação gráfica da região admissível

3

Solução admissível – solução (x,y) que satisfaz todas as restrições

Região admissível – conjunto das soluções admissíveis

Solução óptima – solução admissível com o melhor valor da função objectivo.

Definições

4

40 50 80

80

100

x

y

0,

100 240

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

6000200300 yx

20

30

12000200300 yx

60

21000200300 yx

Exemplo: Resolução gráfica

5

40 50 80

80

100

x

y

0,

100 240

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

20

30

60

6020

100 2

80

yx

yx

yxA

Solução óptima

Receita máxima

€ 18000)60(200)20(300

A

Problema em que a solução óptima é única

A solução óptima usa toda a terra e toda a mão-de-obra disponíveis - as restrições

da terra e da mão-de-obra dizem-se saturadas.


6

40 50 80

80

100

x

y

0,

100 240

80

200400max

yx

yxx

yx

yxasujeito

6000200400 yx

15

30

60

,6020

100 2

80

yx

yx

yxA

Soluções óptimas

Receita máxima

€ 18000)60(200)20(300

... ,2040

100 240

yx

yxx

B

A

B

][AB Problema com soluções óptimas alternativas

20


7

40 50 80

80

100

x

y

0,40

200400max

yxx

yxasujeito

6000200400 yx

15

30

60

Problema com solução não limitada

(não tem solução óptima)

Região admissível

não limitada

Região admissível não limitada Solução não limitada

Outros exemplos: Resolução gráfica

8 Solução não limitada Região admissível não limitada

40 50 80

80

100

x

y

0,

100 240

80

200400max

yx

yxx

yx

yxasujeito

30

60

Problema não admissível

(não tem soluções)

Outros exemplos: Resolução gráfica

9

0,

100 240

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

40 50 80

80

100

x

y

A

B

C D

E

20

60

00

yx

D

040

yx

C

2040

100 240

yx

yxx

B

800

0

80

yx

x

yxE

Cada vértice, A, B, C, D, E, é solução única de um sistema com 2 restrições na

igualdade.

6020

100 2

80

yx

yx

yxA

Exemplo: Vértices (pontos extremos)

10

0,

100 240

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

40 50 80

80

100

x

y

A

B

C D

E

20

60

1000

100 20

yx

yxx

F

F

F é solução única de um sistema

com 2 restrições na igualdade,

mas … não satisfaz a restrição da

terra – não é solução

admissível!

Um vértice é uma solução admissível que satisfaz 2 restrições na igualdade e

o sistema com estas 2 restrições tem uma única solução (o próprio vértice).

Exemplo: Vértices (pontos extremos)

11

Considere a região admissível de um problema de PL com

n variáveis, todas não negativas.

Um vértice é uma solução admissível que satisfaz n restrições na igualdade e

o sistema com estas n restrições é possível e determinado.

Vértices da região admissível

12

Propriedades dos vértices:

1. Há um nº finito de vértices.

2. Se existe solução óptima, esta é um vértice.

3. Se um vértice não tem vértices adjacentes com melhor valor da função

objectivo então não há vértices com melhor valor da função objectivo –

ou é vértice óptimo ou o problema não tem solução óptima.

4. Se existem soluções alternativas, estas são vértices e qualquer combinação

convexa destes.

Vértices da região admissível

13

INICIAR

Procurar um vértice

Encontrou ?

Procurar um vértice adjacente que melhora o valor da FO

Encontrou ?

Não Problema não admissível ou

o problema tem solução não limitada STOP

Sim

Sim

Não

Uma solução óptima foi encontrada ou o problema tem solução não limitada

STOP

Algoritmo do Simplex - para

problemas de PL

14

0,

100 240

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

40 50 80

80

100

x

y

A

B

C D

E

0)0(200)0(300 : D

12000)0(200)40(300 : C

16000)20(200)40(300 : B

20

60

18000)60(200)20(300 : A 16000)80(200)0(300 : E

Solução óptima

Exemplo: Algoritmo do Simplex

15

Exemplo: Implementação do modelo numa folha de

cálculo

16

Exemplo: Implementação do modelo

17

Exe

mp

lo:

Imp

lem

en

taçã

o d

o m

od

elo

18

Exemplo: Implementação do modelo

19

Exe

mp

lo:

Imp

lem

en

taçã

o d

o m

od

elo

20

Exemplo: Resolução do modelo

21

Exemplo: Resolução do modelo

22

Exemplo: Análise de sensibilidade

Quais os valores que a receita resultante de cada hectare de tomate pode

assumir sem alterar a solução óptima obtida x = 20, y =60 ?

Quais os valores que a receita resultante de cada hectare de trigo pode


Para quê ?

Se a receita resultante de cada hectare de tomate (trigo) alterar-se para um

dos valores obtidos, o problema não tem de ser resolvido de novo.

Avaliar a sensibilidade da solução às variações dos valores dos parâmetros

da FO.

23

0,

100 240

80

2001

max

yx

yxx

yx

yxc

asujeito

40 50 80

80

100

x

y

A

Solução óptima


24

0,

100 240

80

2001

max

yx

yxx

yx

yxc

asujeito

40 50 80

80

100

x

y

A

Solução óptima


25

0,

100 240

80

2001

max

yx

yxx

yx

yxc

asujeito

40 50 80

80

100

x

y

A

Solução óptima

E


26

0,

100 240

80

2001

max

yx

yxx

yx

yxc

asujeito

40 50 80

80

100

x

y

A

Solução óptima

B


27

0,

100 240

80

2001

max

yx

yxx

yx

yxc

asujeito

40 50 80

80

100

x

y

A

Solução óptima

xc

yyxc

xyyx

xyyx

2001300600200

1

21001002

8080

Declive -1

Declive -2

400,200

1 200

1 400

1 1

2001 2

2001 ccc

cc

Cultivar 20 ha de tomate e 60 ha de trigo é solução óptima quando a

receita resultante de cada hectare de tomate estiver entre 200 e 400 € e a

receita de cada hectare de trigo permanecer igual a 200 ha.


28

Quais os valores que a receita resultante de cada hectare de trigo pode


2002

e 400,2001

ccCom

a solução óptima é x = 20 e y = 60, mas a receita não permanece igual a

18000 €.

Ex: com c1= 200, a receita obtida é 16000 €.


29

Cultivar 20 ha de tomate e 60 ha de trigo é solução óptima sempre que a

receita resultante de cada hectare de trigo estiver entre 150 e 300 € e a

receita de cada hectare de tomate permanecer igual a 300 ha.


30

Qual a influência do aumento da área disponível na receita máxima? Ou do

aumento da água? Ou da mão-de-obra ?


31

40 50 81

81

100

x

y

0,

100 240

81

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

20

30

60

Solução óptima

A’

6219

100 2

81 '

yx

yx

yxA

Solução óptima

Receita máxima

€ 18100)62(200)19(300

Se a área disponível aumentasse 1ha, a receita máxima aumentaria

€ 1001800018100

O valor da terra para o agricultor é 100 €/ha, com os os actuais níveis

disponíveis da terra, água e mão-de-obra (80 ha, 320000 m3, 2000 DH).


32

O preço sombra da

restrição da terra é

100 €/ha

A receita máxima

aumentaria

100 € se a

área total aumentasse

de 80 para 81 ha

100(2) = 400 € se a área

total aumentasse de 80 para

82 ha …


33

100(20) = 2000 € se a área


100 ha

100(21) = 2100 € se a área


101 ha? NÃO!

O preço sombra de uma restrição mede o impacto no valor óptimo da função

objectivo provocado pelo aumento (ligeiro) do lado direito da restrição.

O preço sombra de uma restrição mede o impacto no valor óptimo da função

objectivo provocado pelo aumento (ligeiro) do lado direito da restrição.

A receita máxima

diminuiria

100 € se a

área total diminuísse

de 80 para 79 ha …

100(20) = 2000 € se a área

total diminuísse de 80 para

60 ha


34

100(21) = 2100 € se a área

total diminuísse de 80 para

59 ha? NÃO!

40 50 80

80

100

y

90 yx


x

35

Porque é que o preço sombra da restrição x + y ≤ b é 100 €/ha se 60 ≤ b ≤ 100 ?

40 80

80

100

x

y

70 yx


36

40 0 80

80

100

x

y

50 yx

40 50 80

80

100

y

140 yx

x

Equação redundante


37

40 50 80

80

100

y

100 yx

x 40 80

80

100

x

y

60 yx


38

bbZ

b

bb

yxZ

bby

bx

yx

byx

10010000)(*

10010000

)2100(200)100(300

200300*

100,60 se 2100

100

1002por dada é óptima Solução

Os preços sombra da restrição x + y ≤ b com 60 ≤ b ≤ 100 são iguais a

(Z*(b))’ =100.

Restrição não saturada => preço sombra da restrição nulo

Preços sombra

39

40 50 80

80

100

x

y

20

A

Preço sombra da restrição

8000x ≤ 320000 é nulo

Mantendo y = 60, quais os valores que x pode assumir sem violar as restrições ?

Mantendo x = 20, quais os valores que y pode assumir sem violar as restrições ?

Exemplo: Mais resultados

40

0,

60

100 240

80

200300max

yx

y

yxx

yx

yxasujeito

40 50 80

80

100

x

y

20


41

40 50 80

80

100

x

y

20

0,20

100 240

80

200300max

yxx

yxx

yx

yxasujeito

60


42

O custo reduzido de uma variável mede o impacto na função objectivo

provocado pela entrada de 1 unidade da variável na solução.

Uma variável com valor não nulo tem custo reduzido nulo.


43

0,

100 240

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

0,

200020403200008000

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

160000)8000(20ou

160000)20(8000320000

0)20(0ou

0)60(20)20(402000

Exemplo: O modelo original ou o modelo simplificado ?

44

100/(101-100) -> 100/(2020-2000)=5

202020401012 yxyx

20(20)=400

20(8000)=160000


45

0,

100 240

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

0,

200020403200008000

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

É preferível implementar o modelo original !


Aqui não há diferenças!

46

0,

100 240

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

0,

200020403200008000

80

200300max

yx

yxx

yx

yxasujeito

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