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GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
FACET – Faculdade de Ciências Exatas e
Tecnológicas – Avaliação – 25/04/2016
Resolução 01) Responda aos itens.
a) A área da região, inscrita na circunferência trigonométrica, que tem como vértices as extremidades
dos arcos que verificam a equação 𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙) + 𝒔𝒆𝒏(𝒙) = 𝟎 no intervalo de [0, ], em unidades de
área, é:
sen2x senx 0
2 senx cos x senx 0
senx 2 cos x 1 0
Portanto, as raízes possíveis da equação são:
sen x 0 x 180 rad ou x 0 0 rad
21cosx x 120 rad2 3
π
π
Percebe-se que há três raízes possíveis dentro do intervalo [0, ]. Desenhando as extremidades dos arcos que resolvem a equação numa circunferência de raio igual a 1, tem-se:
Assim, a área delimitada pelos vértices das extremidades dos arcos que verificam a equação é um triângulo retângulo em B. Sua área pode ser escrita como sendo:
b h (1 1) hS S h
2 2
Analisando o triângulo COB, percebe-se que este é equilátero e que sua altura h é correspondente altura do triângulo
retângulo ABC. Logo, sua altura será dada por:
L 3 3h h
2 2 ; onde L foi substituído por 1 (raio).
Assim, a área da região que tem como vértices as extremidades dos arcos que verificam a equação dada é igual a 3 2.
b) A quantidade de soluções que a equação trigonométrica, 𝒔𝒆𝒏𝟒(𝒙) − 𝒄𝒐𝒔𝟒(𝒙) =𝟏
𝟐 , admite no
intervalo [0, 3] é:
Sabendo que 2 2sen y cos y 1, para todo y real, vem
4 4 2 2 2 2
2
2
1 1sen x cos x (sen x cos x)(sen x cos x)
2 2
12sen x 1
2
3sen x
4
3senx .
2
Para x [0, 3 ],π a equação 3
senx2
possui as raízes 2 7
, ,3 3 3
π π π e
8,
3
π enquanto que a equação
3senx
2 possui
as raízes 4
3
π e
5.
3
π Desse modo, a resposta é 6.
02) Suponha que, em determinado lugar, a temperatura média diária T, em °C, possa ser expressa, em
função do tempo t, em dias decorridos desde o início do ano, por 𝑻(𝐭) = 𝟏𝟒 + 𝟏𝟐𝐬𝐞𝐧 [𝟐𝝅(𝒕−𝟏𝟎𝟓)
𝟑𝟔𝟒]. Nessa
região a umidade relativa do ar é inversamente proporcional a temperatura ambiente. Segundo esse
modelo matemático, o mês de menor umidade relativa do ar foi o mês de:
A temperatura média máxima ocorre quando
2 (t 105) 2 (t 105)sen 1 sen sen
364 364 2
2 (t 105)2k
364 2
t 105 91 364k
t 196 364k, k .
π π π
π ππ
Assim, tomando k = 0, concluímos que a temperatura média máxima ocorre 196 dias após o início do ano, ou seja,
no mês de julho.
03) Por razões técnicas, um armário de altura 2,5 m e largura 1,5 m está sendo deslocado por um
corredor, de altura h m, na posição mostrada pela figura.
a) Calcule h para o caso em que = 30o.
Sendo os vértices do retângulo (armário):
Considerando o triângulo AEB, pode-se escrever:
y 5sen30 y
2,5 4
Considerando o triângulo BFC, pode-se escrever:
x 3 3cos30 x
1,5 4
Logo, a altura h será:
5 3 3h m
4
b) Calcule h para o caso em que x = 1,2 m.
Considerando o triângulo BFC, pode-se escrever:
1,2 4cos
1,5 5α
Assim, pode-se escrever: 2
2 24 9 3sen 1 sen sen
5 25 5α α α
Considerando o triângulo AEB, pode-se escrever:
y 3 ysen y 1,5
2,5 5 2,5α
Logo, a altura h será: h 1,2 1,5 h 2,7 m
04) Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um
lago possa ser descrita pela função𝒇(𝒕) = 𝟐𝟏 − 𝟒𝒄𝒐𝒔 (𝒕𝝅
𝟏𝟐), sendo “t”, o tempo em horas, medido a
partir das 06h00 da manhã.
a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?
valor máximo ocorre para cos t 1 F(máx) 21 4( 1) 2512
F(t) 21 4cos t12
valor mínimo ocorre para cos t 1 F(máx) 21 4( 1) 17 12
π
π
π
Portanto, a temperatura varia de 17°C a 25°C na superfície do lago.
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23 oC?
F(t) 21 4cos t 21 4cos t 23 4cos t 212 12 12
1cos t
12 2
Logo :
2 4t ou t
12 3 12 3
t 8h ou t 16h
π π π
π
π π π π
Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que nos permite afirmar que a temperatura de 23°C foi atingida às:
1
2
t 6h 8h 14h
e
t 6h 16h 22h
05) Demonstre que: a) [𝟏 + 𝒔𝒆𝒏(𝒙)]. [𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄(𝒙) − 𝟏]. 𝐬𝐞𝐜(𝒙) = 𝒄𝒐𝒕𝒈(𝒙); 𝑼 = {𝒙 ∈ ℝ/𝒔𝒆𝒏(𝒙). 𝐜𝐨𝐬 (𝒙) ≠ 𝟎}
[1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]. [1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)− 1] .
1
cos (𝑥)= 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
[1 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]. [1 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)] .
1
cos (𝑥)= 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
[1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)] .
1
cos (𝑥)= 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
[𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)] .
1
cos (𝑥)= 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
[𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
b) 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙)+𝒔𝒆𝒏(𝒙)
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙)= 𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙)
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥). [𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)] + [2𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)]. 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥). [𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)] + 2𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥). [𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 2𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 1]
2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 2𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 1
2𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
4𝑐𝑜𝑠2(𝑥)
2𝑐𝑜𝑠(𝑥)= 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
2𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
06) Seja f uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por 𝒇(𝒙) =𝒂. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒙 + 𝒃) com a, ⍵ e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de f, restrito ao intervalo
fechado [−𝝅
𝟔,
𝟓𝝅
𝟔]. A função f tem período e seu conjunto imagem é o intervalo fechado [-5, 5].
Determine as constantes a e ⍵ e o menor valor positivo de b.
Sabendo que o período fundamental da função seno é 2 e que o período de f é , temos 2 | | 2.| |
ππ ωω
Além disso, como a imagem da função seno é o intervalo [-1, 1] e a imagem de f é o intervalo [-5, 5], temos
[ 5, 5] a [ 1,1] a 5 (supondo sen (b) > 0)
Finalmente, como f 0,6
π
temos:
0 5 sen 2 b sen b sen0,6 3
π π
donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz a igualdade é 𝑏 =𝜋
3
07) Esboce o gráfico da função 𝒇(𝒙) = 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒙), para o intervalo 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐𝝅.
x F(x)
0 1
/4 -1
/2 1
3/4 3
1
1
2
3
1
/2 3/2 2
-1