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Proposta de Resolução da Sociedade Portuguesa de Matemática para o Exame Nacional de Matemática A Prova 635, 1ª fase – 27 de Junho de 2011

Grupo I 1 2 3 4 5 6 7 8 Versão

1 D A C B C D B B

Versão 2 B C A D C A C D

Grupo II 1.1. Utilizando a regra de Ruffini:

1

−1

16

-16

1 1 0 16 1 0 16 0 = resto

)4)(4)(1()16)(1(1616 223 izizzzzzzz −+−=+−=−+−

Cálculo auxiliar: izizzz 4416016 22 =∨−=⇔−=⇔=+ Assim, as raízes do polinómio na forma trigonométrica:

01 cis= , ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−2

44 πcisi e ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=2

44 πcisi

1.2. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛×=×402

5402

540

532πππππ ncisnciscisncisizz como a imagem

geométrica de 32 zz × está no terceiro quadrante e pertence à bissectriz dos quadrantes

ímpares vem que Ζ∈+=× kkzz ,245)arg( 32 ππ . Assim,

Ζ∈+=⇔Ζ∈+=⇔Ζ∈+=+ kknkknkkn ,8030,243

40,2

45

402π

πππ

πππ

Fazendo 0=k temos o menor natural que satisfaz o pretendido que é 30=n .

2.1. Seja X a variável aleatória que dá o número de jovens, de entre os 9, que utilizaram cartão multibanco. X segue uma distribuição binomial com 9=n e 6,0=p . Assim, 25,04,06,0)6( 36

69 ≈××== CXP .

2.2. No universo formado pelo conjunto dos passageiros que optam pelo destino Berlim ou Paris, com bilhetes a baixo custo, sejam os acontecimentos: B: “O destino é Berlim” P:” O destino é Paris” V:”Efectua o voo” Sabe-se que: 05,0)|( =BVP ; 92,0)|( =PVP logo 08,092,01)|( =−=PVP 3,0)( =BP logo 7,03,01)( =−=PP

071,03,005,07,008,0)()|()()|()()()( =×+×=×+×=∩+∩= BPBVPPPPVPBVPPVPVP

3. Tendo-se 0)( >AP vem que:

1)(1)()()(

1)()()()(

)(1)()()(

)()(11)|(

≤∪⇔≤∩−+⇔

⇔−+≥∩⇔+−

≥∩

⇔−

−≥

BAPBAPBPAP

BPAPBAPAP

BPAPAPBAP

APBPABP

O que é verdadeiro, pois a probabilidade de um acontecimento é sempre menor ou igual a 1.

Tendo-se, por equivalência, que )()(11)|(

APBPABP −

−≥ é também verdadeira.

4. [ ]20,0),015,02,0(1,015,02,0)(' 215,0215,015,0 ∈−=××−×= −−− ttteteettT ttt

34000)015,02,0(0)015,02,0(00)(' 15,0 =∨=⇔=−⇔=−∨=⇔= − ttttttetT t

Visto que 015,0 =− te é impossível. Organizando a informação numa tabela, obtemos:

t

0

340

20

)(' tT 0 + 0 − )20('T

)(tT

)0(T

Max.

)20(T

De onde concluímos que o instante em que a temperatura atingiu o valor máximo foi em

340

=t horas, o que corresponde a 13horas e 20 minutos.

5. 1. Cálculo da equação da assimptota horizontal do gráfico de f :

0313lim =

∞−=

−−∞→ xx, pelo que 0=y é equação da assimptota horizontal do

gráfico de f.

Nota: 000lnlim2limln2lim =+=+=+

+∞→+∞→+∞→ xx

xxx

xxx, donde também se concluía que

0=y é equação da assimptota horizontal do gráfico de f. Cálculo da equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e:

1,ln1)ln2(1

)(' 22 >−−

=+−

= xx

xx

xxxxf , assim

2

2)('e

efm −== .

Sabendo que a recta passa no ponto ))(,( efeT , com e

ef 3)( = , a ordenada na origem,

b, é dada, pela resolução da equação e

bbee

ef 52)( 2 =⇔+×−= . Finalmente a

equação reduzida da recta é dada por:e

xe

y 522 +−=

Determinamos agora as coordenadas do ponto P resolvendo o seguinte sistema de duas equações:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

=

250

520

2

ex

y

ex

ey

y

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ 0,25eP

5.2. As coordenadas dos pontos referidos correspondem aos pontos dos gráficos cujas

abcissas são as soluções da equação 3)( xxf = Recorrendo à calculadora gráfica: As coordenadas dos pontos pretendidos são: ( )21, aaA e ( )21, bbB em que 22,11 ≈a , 80,12 ≈a , 12,11 −≈b e 41,12 −≈b 6.1. A área do trapézio é dada por:

CDBCADárea ×+

=2

A abcissa do ponto A é um zero da função f . Temos,

ZkkxZkkxxxxf ∈+=⇔∈+=⇔⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⇔=⇔= ,24

,2

22

cos)2cos(0)2cos(40)( πππ

ππ

Fazendo 0=k vem que abcissa do ponto A é 4π (pois é o primeiro zero positivo da

função).

Logo, 125

46πππ

=+=AD ; 6π

=BC e 2214

3cos4

6=×=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=ππfCD .

Logo, 1272

2612

5π

ππ

=×+

=área .

6.2. IRxxsenxsenxf ∈∀−=×−= ),2(82))2((4)(' IRxxxxf ∈∀−=×−= ),2cos(162)2cos(8)('' Logo,

...)),2(2)2cos(3(4)2cos(12)2(8)2cos(16)2(8)2cos(4)('')(')(

dqcIRxxsenxxxsenxxsenxxfxfxf

∈∀+−=

=−−=−−=++

7. A opção que pode representar a função f é a III. Podemos excluir a opção II visto que por visualização gráfica as imagens de 1 e 4 têm sinais contrários logo 0)4()1( <× ff , o que contraria a condição dada 0)4()1( >× ff . Excluímos a opção IV pois, pelo facto de ''f estar definida em IR, em particular f é duas vezes diferenciável, logo contínua. A opção I também é excluída porque não respeita o sentido das concavidades do gráfico de f. O sentido das concavidades do gráfico de f é obtido pelo estudo do sinal da segunda derivada de f. Pelo facto da parte do gráfico de g visualizada estar acima do eixo das abcissas e de g ser contínua e não ter zeros, temos que IRxxg ∈∀> ,0)( . Assim, o sinal de ''f é dado pelo sinal do factor 452 +− xx , obtido no seguinte esboço. Assim, rejeitamos a opção I pois, por exemplo, no intervalo [ ]4,1 a concavidade está voltada para cima e o esboço apresentado indica que deveria estar voltada para baixo.