PRÁTICA: Nº 02

1. TÍTULO: Roteiros e funções no Matlab: Conceitos de Estatística

2. OBJETIVOS:

1. Familiarizar-se com as funções básicas do Matlab;

2. Gerar gráficos usando os comandos do Matlab;

3. Escrever programas tipo script (roteiro) e function (função) com a sintaxe Matlab;

4. Revisar conceitos de Estatística aplicados a controle de processos

3. INTRODUÇÃO TEÓRICA

1. Faça uma revisão sucinta dos conceitos estatísticos: Média, Variância e Desvio Padrão e Teorema do Limite Central.

Média: A média aritmética simples é a mais utilizada no nosso dia-a-dia. É obtida dividindo-se a soma das observações pelo número delas. É um quociente geralmente representado pela letra M ou pelo símbolo . Se tivermos uma série de n valores de uma variável x, a média aritmética simples será determinada pela expressão:

Variância: Na teoria da probabilidade e na estatística, a variância de uma variável aleatória é uma medida da sua dispersão estatística, indicando quão longe em geral os seus valores se encontram do valor esperado. Pode-se calcular a variância s2 através da seguinte fórmula:

onde n é o número de amostras, xi é o valor da amostra na posição i e é a média da amostra.Desvio Padrão: Em probabilidade e Estatística, o desvio padrão é a medida mais comum da dispersão estatística. O

desvio padrão define-se como a raiz quadrada da variância. Se uma variável aleatória toma os valores , então o desvio padrão para esta amostra de n números (ou desvio padrão amostral) pode ser computado como segue. Primeiro, calculamos a média de e achamos . Então calculamos o desvio padrão através da seguinte fórmula:

Teorema do Limite Central: Em linguagem corrente simplificada, o teorema central do limite, ou teorema do limite central, em teoria das probabilidades, expressa o fato de a soma de muitas variáveis aleatórias independentes e com mesma distribuição de probabilidade tender à distribuição normal, também conhecida como distribuição Gaussiana. Por exemplo, o resultado de um jogar de dados não viciados tem distribuição de probabilidade retangular, isto é, todos os resultados possíveis têm a probabilidade de 1/6. Já a distribuição de probabilidade da soma dos valores obtidos num jogar de vários dados tende a forma gaussiana.

Prática 02 1/6

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS

GERAIS

DEPARTAMENTO DE ENSINO SUPERIORLABORATÓRIO DE ANÁLISE DE SISTEMAS LINEARESAv. Amazonas, 7675 - Belo Horizonte, MG-Brasil, 30.470-000

ATENÇÃO:R E S P O N D A T O D O S O S

I T E N S D O R E L AT Ó R I O

E E M O R D E M

C R E S C E N T E ,

2. Para a lista de funções do Matlab abaixo se pede descrever o help resumido da função e a sua sintaxe básica explicada com um

exemplo: a) end, b) hold c) linspace d) log e) mean f) max g) ones h) sqrt i ) std j) var k) subplot l) sum m) ylabel

n ) axis o) zeros p) inline q)log10 r)gtext s)return t)input

Função Descrição Sintaxe básica

a) endTermino do escopo de dos comandos FOR, WHILE, SWITCH e IF.

for a=1 b=aend

b) holdCria o próximo gráfico sobre o gráfico atual.

plot(x,y) hold on

c) linspaceCria um vetor com igual espaçamento entre seus componentes.

a=linspace(1,10,5)

d) log Calcula o logaritmo natural. log(a); %a=1e) mean Calcula o valor médio. mean(a); %a=[1 2 3]

f) maxRetorna o componente de maior valor de um vetor.

max(a); %a=[1 2 3]

g) onesCria uma matriz N-por-N com os elementos iguais a 1.

ones(2);

h) sqrt Calcula raiz quadrada. sqrt(2);i) std Calcula o desvio padrão. std(a); %a=[1 2 3]j) var Calcula a variância. var(a); %a=[1 2 3]

k) subplotDivide a região onde os gráficos são plotados.

subplot(1,2,1)

l) sum Soma dos elementos. sum(a); %a=[1 2 3]m) ylabel Rótulo do eixo y. ylabel('Eixo y');n) axis Controla a escala e aparência do eixo. axis([-10 10 -10 10]);

o) zerosCria uma matriz N-por-N com os elementos iguais a 0.

zeros(2);

p) inline Constrói objetos inline. f=inline('x^2');q) log10 Calcula o logarítmo na base 10. log10(a); %a=1

r) gtextPosiciona o texto no gráfico através do mouse.

gtext('Gráfico');

s) return Retorna para a função chamada.function d=det(A)d=1return

t) input Permite a entrada do valor pelo usuário.a=input('Digite o valor de a: ')

4. PARTE EXPERIMENTAL

1. Escreva um roteiro Matlab para calcular a média e o desvio padrão amostrados de uma seqüência de números

aleatórios. Teste o roteiro com 600 números aleatórios obtidos com o seguinte comando: >> y = 1+0.35*randn(600,1).

Desenhar dois gráficos lado a lado, um com o sinal y e outro com o histograma de y (use o comando hist(y)), porém

desenhado com uma rotação de -90o (comando barh).

a. Valor médio, ;

b. Desvio padrão, ,

c. Variância

Resolução

%Prática 02 - Exercício 1clear all;clc;

quant_pontos=600; %Quantidade de pontos que devem ser gerados.y=1+0.35*randn(quant_pontos,1); %Geração dos números aleatórios.valor_medio=sum(y)/quant_pontos %Cálculo do valor médio.

Prática 02 2/6

for i=1:quant_pontos a=1/(quant_pontos-1); %Primeira parte da fórmula de desvio padrão. b(i)=(y(i)-valor_medio)^2; %Segunda parte da fórmula de desvio padrão.end

desvio_padrao=sqrt(a*sum(b)) %Cálculo do desvio padrão.variancia=desvio_padrao^2 %Cálculo da variância.

subplot(1,2,1); %Comando para plotar na primeira parte da divisão da tela.plot(y); %Plota gráfico de y.subplot(1,2,2); %Comando para plotar na segunda parte da divisão da tela.barh(hist(y)); %Plota histograma de y.

Resultados

valor_medio = 0.9777

desvio_padrao = 0.3329

variancia = 0.1108

0 200 400 6000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2Sinal de Y

0 50 100 150

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Histograma de Y

2. Gere um sinal senoidal com 6 ciclos, com 25 pontos por período e calcule a variância deste sinal usando o roteiro

desenvolvido no item 1. Compare o desvio padrão calculado com o valor eficaz teórico da senóide.

Resolução

%Prática 02 - Exercício 2clear all;clc;

quant_pontos=150; %Quantidade de pontos que devem ser gerados.pontos=linspace(0,12*pi,quant_pontos); %Geração dos 150 pontos, 6 ciclos com 25 pontos cada.sinal=sin(pontos); %Cálculo do seno de cada ponto gerado.subplot(1,2,1);plot(sinal);valor_medio=sum(sinal)/quant_pontos; %Cálculo do valor médio do sinal.

for i=1:quant_pontos a=1/(quant_pontos-1); b(i)=(sinal(i)-valor_medio)^2;end

desvio_padrao=sqrt(a*sum(b)) %Cálculo do desvio padrão.variancia=desvio_padrao^2 %Cálculo da variância.subplot(1,2,2)barh(hist(sinal)); %Plota histograma de y.

Prática 02 3/6

Resultados

desvio_padrao = 0.7071

variancia = 0.5000

0 50 100 150-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sinal senoidal

0 10 20 30 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Histograma do sinal senoidal

Para calcularmos valor eficaz de uma fonte de tensão senoidal fazemos , onde

é o valor eficaz e é o valor médio da tensão. Ou seja, multiplicamos o valor de tensão médio desta senoide pelo seu desvio padrão.

3. Escreva uma função inline que represente a função: . Plote a curva desta função, para e

i) a=0 .2 ii) a=1.6. Entre com o valor de “a” via teclado.

Resolução

%Prática 02 - Exercício 3clear all;clc;

x=-30:30 %Gera os valores de x.a=input('Entre com o valor de a: '); %Entrar com valor de a pelo teclado.s=inline('1./(1+exp(-a*x))','x','a') %Calcula s(x).f=s(x,a);

plot(f); grid on; title('Gráfico da função');

Resultados

0 10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Gráfico da função para a=0,2

0 10 20 30 40 50 60 700

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Gráfico da função para a=1,6

Prática 02 4/6

4. Escreva uma function (função) para calcular a curva de uma distribuição Gaussiana (normal) que é dada por:

, onde é a média (mean) e é o desvio padrão (standard deviation) da variável

aleatória x. Ilustre o cálculo da função de densidade de probabilidade Gaussiana para o intervalo , com

resolução de para os seguintes valores: (OBS: DESENHAR OS RESULTADOS EM UM MESMO

GRÁFICO e indicar no gráfico os valores de m e s para cada curva). Dica: Para escrever letras gregas numa figura do

Matlab use a sintaxe do Latex, e.g. >>gtext(‘\sigma = 1’) resulta em =1. Letras gregas comuns: \zeta, \csi, \omega, \mu.

Índices são escritos como x^2 para obter x2 e x_2 para obter x2 .

a. i) m=0; s=0.4 ii) m=0; s=1.2 iii) m=0; s=1.8

b. i) m= 0.4; s=1 ii) m=1.2; s=1 iii) m=1.8; s=1

Resolução

%Implementação da função para calcular a curva de uma distribuição%gaussiana.function [Y] = dgauss(m,s,x) n=length(x);for i=1:n Y(i)=(1/(s*sqrt(2*pi)))*exp((-1/2)*(((x(i)-m)/s)^2));end

%Prática 02 - Exercício 4 %%%Letra ax=-20:0.1:20; %Definição do intervalo de “x” com resolução pedida.y1=dgauss(0,0.4,x); %Calculo da curva de distribuição Gaussiana quando m=0 e s=0,4.y2=dgauss(0,1.2,x); %Calculo da curva de distribuição Gaussiana quando m=0 e s=1,2.y3=dgauss(0,1.8,x); %Calculo da curva de distribuição Gaussiana quando m=0 e s=1,8. plot(x,y1,'b');gtext('\sigma = 0');gtext('\mu = 0.4');hold on;plot(x,y2,'r');gtext('\sigma = 0');gtext('\mu = 1.2');hold on;plot(x,y3,'g');gtext('\sigma = 0');gtext('\mu = 1.8');hold on; %%%Letra bx=-20:0.1:20; %Definição do intervalo de “x” com resolução pedida.y1= dgauss(0.4,1,x); %Calculo da curva de distribuição Gaussiana quando m=0,4 e s=1.y2= dgauss(1.2,1,x); %Calculo da curva de distribuição Gaussiana quando m=1,2 e s=1.y3= dgauss(1.8,1,x); %Calculo da curva de distribuição Gaussiana quando m=1,8 e s=1. plot(x,y1,'b');title('Densidade de probabilidade Gaussiana');hold on;plot(x,y2,'r');title('Densidade de probabilidade Gaussiana');hold on;plot(x,y3,'g');title('Densidade de probabilidade Gaussiana');hold on;

Prática 02 5/6

Reultados

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Densidade de probabilidade Gaussiana

= 0 = 0.4

= 0 = 1.2

= 0 = 1.8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4Densidade de probabilidade Gaussiana

= 0,4 e = 1 = 1,2 e = 1 = 1,8 e = 1

5. CONCLUSÕES E DISCUSSÕES

Os objetivos da prática foram alcançados com a conclusão de todos os exercícios, porém, alguns destes apresentaram alguma dificuldade.

O exercício teórico foi bom para relembrarmos alguns conceitos como média, desvio padrão e o teorema do limite central. Através deste exercício também nos familiarizamos com algumas funções antes de realmente usá-las em algum programa, aprendendo para que serve cada função e sua sintaxe dentro do MATLAB.

A criação de uma “function” foi outro ponto importante da prática, pois este tipo de operação pode ajudar bastante quando precisamos de uma mesma função em vários programas.

Os vários gráficos exigidos na prática nos fizeram aprender mais sobre essa importante ferramenta.

6. SUGESTÕES

As dificuldades encontradas nos programas foram sanadas com o auxilio do comando “help”, que realmente ajuda muito principalmente na sintaxe, e também com a ajuda de colegas.

A prática é importante, pois aborda conceitos do MATLAB de grande importância. Porém, é bastante trabalhosa, e como não há tempo de concluí-la em sala de aula, muitas dúvidas que poderiam ser rapidamente esclarecidas pelo professor nos tomam um grande tempo.

7. REFERÊNCIAS

- Apostila Introdução ao Matlab – UFMG – Frederico F. Campos Filho- http://pt.wikipedia.org/

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