Interpretação geométrica de sistemas lineares 2x2 , 3x3 e não lineares
Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I · 8 Classificação III Possível Possui 1 ou...
Transcript of Resolução Numérica de Sistemas Lineares Parte I · 8 Classificação III Possível Possui 1 ou...
Profs.: Bruno Correia da Nóbrega Queiroz
José Eustáquio Rangel de Queiroz
Marcelo Alves de Barros
Resolução Numérica de Sistemas Lineares – Parte I
Cálculo Numérico Módulo V
2
Sistemas Lineares
Forma Geral
onde:
aij coeficientes
xi incógnitas
bi termos independentes
nnnn22n11n
2nn2222121
1nn1212111
bxa...xaxa
bxa...xaxa
bxa...xaxa
3
Exemplo 01
2, 4, -5, 4, 1, -5, 2, 4 e 5 coeficientes
x1, x2 e x3 incógnitas
5, 2 e -1 termos independentes
Sistemas Lineares
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
4
Sistemas Lineares
Forma Matricial
na qual:
4
Ax = b
nn3n2n1n
n22221
n112
aaaa
aaa
aaa
A
11
n
2
1
b
b
b
b
n
2
1
x
x
x
x
5
Sistemas Lineares
1x5x4x2
2x5x1x4
5x5x4x2
321
321
321
5
Exemplo 02
Forma Geral
Forma Matricial
1
2
5
x
x
x
.
542
514
542
3
2
1
6
Sistemas Lineares
Classificação I
Impossível Não possui solução
Exemplo 03
6
9x2x2
3xx
21
21
7
Sistemas Lineares
Classificação II
Possível Possui 1 ou mais soluções
Determinado Solução única
Exemplo 04
8xx
4xx
21
21
8
Classificação III
Possível Possui 1 ou mais soluções
Indeterminado Mais de uma solução
Exemplo 05
Sistemas Lineares
8x2x2
4xx
21
21
9
Sistemas Lineares
Classificação IV
Possível Possui 1 ou mais soluções
Homogêneo Vetor b=0 (x=0 sempre
existe solução)
Exemplo 06
0x3x2
0xx
21
21
10
Sistemas Lineares
nn3n2n1n
333231
2221
11
aaaa
0aaa
00aa
000a
A
Sistemas Triangulares:
Possibilidade de resolução de forma Direta
Inferior
11
Sistemas Lineares
nn
n333
n22322
n1131211
a000
aa00
aaa0
aaaa
A
Sistemas Triangulares:
Possibilidade de resolução de forma Retroativa
Superior
12
Solução Retroativa
Exemplo 7:
Dado o sistema:
Primeiro passo para sua resolução:
2x2
3x5x4
1x2xx
10xx5x4x3
4
43
432
4321
12
2x4
13
Solução Retroativa
Exemplo 7:
Segundo passo:
Terceiro passo:
2x
315x4
3x5x4
3
3
43
1x
1122x
1x2xx
2
2
432
14
Solução Retroativa
Exemplo 7:
Último passo:
1x
10125)1(4x3
10xx5x4x3
1
1
4321
15
Métodos Numéricos
Diretos
Solução pode ser encontrada a partir de um número finito de passos
Método de Gauss
Método da Eliminação de Jordan
Fatoração LU
16
Métodos Numéricos
Iterativos
Solução a partir de uma seqüência de aproximações para o valor do vetor solução x , até que seja obtido um valor que satisfaça à precisão pré-estabelecida
Método de Jacobi
Método de Gauss – Seidel
17
Método de Gauss
Propósito
Transformação do sistema linear a ser resolvido em um sistema linear triangular;
Resolução do sistema linear triangular de forma retroativa.
18
Método de Gauss
Transformação do Sistema Linear
Troca da ordem das linhas;
Multiplicação de uma das equações por um número real não nulo;
Substituição de uma das equações por uma combinação linear dela mesma com outra equação.
19
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Construção da matriz aumentada Ab
19
nnn3n2n1n
2n22221
1n11211
baaaa
baaa
baaa
Ab
20
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Passo 1:
Eliminar os coeficientes de x1 presentes nas linhas 2,3,...,n - sendo a21 = a31, = ... = an1 = 0 - sendo a11 chamado de pivô da coluna
Substituir a linha 2, L2, pela combinação linear
11
21
211212a
am:qualna,LmL
21
Método de Gauss
11
31
3113133a
am:qualna,LmLL
Passos do Método de Gauss
Substituir a linha 3, L3, pela combinação linear:
22
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Continuar a substituição até a linha n;
Caso algum elemento app=0, achar outra linha k onde akp≠ 0 e trocar tais linhas. Caso a linha k não exista, o sistema linear não possui solução.
23
Método de Gauss
Passos do Método de Gauss
Eliminar os coeficientes de x2 nas linhas 3, 4, ..., n (fazer a32=a42=...=an2 = 0);
Eliminar os coeficientes de x3 nas linhas 4, 5, ..., n (fazer a43=a53=...=an3 = 0) e assim sucessivamente.
24
Método de Gauss
Exemplo 8:
Resolver o sistema:
Matriz aumentada Ab
1xx3x2
3x3x4x4
5xx3x2
321
321
321
1132
3344
5132
Ab
25
Método de Gauss
Exemplo 8:
Faz-se:
Assim:
2a
am,LmLL
11
21
2112122
7120L
513223344L
2
2
26
Método de Gauss
Exemplo 8:
Faz-se:
Assim:
1a
am,LmLL
11
31
2313133
6260L
513211132L
3
3
27
Método de Gauss
Exemplo 8:
Obtém-se a matriz:
6260
7120
5132
Ab
28
Método de Gauss
Exemplo 8:
Substituindo a linha 3 por:
Têm-se:
3a
am,LmLL
22
32
3213233
15500L
712036260L
3
3
29
Método de Gauss
Exemplo 8:
A matriz [Ab] fica assim com os seguintes valores:
15500
7120
5132
Ab
30
Método de Gauss
Exemplo 8:
Usa-se a solução retroativa:
1x22x5362x
5xx32x
2x732x7x2x
3x155x
111
321
2232
33
31
Método de Gauss
Exemplo 9:
Resolver o sistema.
Representando o sistema pela matriz aumentada:
9,8x8,7x7,5x7,2
7,11x5,4x3,2x2,4
10x3,3x4,5x5,1
321
321
321
9,88,77,57,2
7,115,43,22,4
103,34,55,1
]AB[
32
Método de Gauss
Exemplo 9:
Escolhendo a primeira linha como pivô, obtém-se:
9,11,864,020 L
103,35,41,5(2,7/1,5)
8,97,85,72,7LmLL
16,34,7412,820 L
103,35,41,5(4,2/1,5)
11,74,52,34,2LmLL
3
13133
2
12122
33
Método de Gauss
Exemplo 9:
Representando o sistema pela matriz aumentada:
9,11,864,020
16,34,7412,820
103,35,41,5
[AB]
34
Exemplo 9:
Escolhendo agora a segunda linha como pivô, têm-se:
Método de Gauss
3,98883,346300L
16,34,7412,82012,824,02/
9,11,864,020L
LmLL
3
3
13233
35
Exemplo 9:
Obtêm-se a seguinte matriz ampliada:
Método de Gauss
3,98883,346300
16,34,7412,820
103,35,41,5
[AB]
36
Método de Gauss
Exemplo 9:
O que termina com a triangulação:
3,9888x3,3463x0x0
16,3x4,74x12,82x0
10x3,3x5,41,5x
321
321
321
37
Método de Gauss
Exemplo 9:
Com solução:
x3 = -3,9888/3,3463=-1,1918
x2 =[ -16,3 - (-4,74)(-1,1920)]/(-12,82) = 1,7121
x1 = [10 - 5,4(1,7122) - 3,3(-1,1920)]/1,5 = 3,1251
38
Método do Pivoteamento Parcial
Semelhante ao método de Gauss;
Minimiza a amplificação de erros de arredondamento durante as eliminações;
Consiste em escolher o elemento de maior módulo em cada coluna para ser o pivô.
39
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
Resolver o sistema com precisão de 4 casas decimais
9,8x8,7x7,5x7,2
7,11x5,4x3,2x2,4
10x3,3x4,5x5,1
321
321
321
40
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
Matriz aumentada original deve ser ajustada:
9,88,77,57,2
7,115,43,22,4
103,34,55,1
9,88,77,57,2
103,34,55,1
7,115,43,22,4
41
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
Sistema inalterado, elemento pivô 4,2.
Encontrar as novas linhas:
]1,37864,90714,22140[L
]11,74,52,34,2[(2,7/4,2)
]8,97,85,72,7[LmLL
]5,82141,69294,57860[L
]11,74,52,34,2[1,5/4,2)
]103,35,41,5[LmLL
3
13133
2
12122
(
42
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
A matriz ampliada fica da forma:
Como o elemento já é o pivô da 2ª
coluna, tem-se:
1,37864,90714,22140
5,82141,69294,57860
11,74,52,34,2
]3,98863,346300[L
]5,82141,69294,57860[5786)(4,2214/4,
]1,37864,90714,22140[LmLL
3
23233
4,5786
43
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
A matriz ampliada fica na forma:
3,9886-3,346300
5,82141,69294,57860
11,74,52,34,2
44
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 10:
A solução do sistema triangular que resultou dessas operações é:
x3 = -3,9886/3,3463 = -1,1919
x2 = [5,8214-1,6929(-1,1919)]/(4,5786) = 1,7121
x1 = [11,7- 2,3(1,7121)- 4,5(-1,1919)]/4,2 = 3,1252
45
Método do Pivoteamento Parcial
Exemplo 9: Exemplo 10 (com pivoteamento):
x3 = -1,1918 x3 = -1,1919
x2 = 1,7121 x2 = 1,7121
x1 = 3,1252 x1 = 3,1251
Solução encontrada no Matlab:
x1 = -1,19198135198135
x2 = 1,71216783216783
x3 = 3,12522144522145
46
Método de Jordan
Consiste em efetuar operações sobre as equações do sistema, com a finalidade de obter um sistema diagonal equivalente;
Um sistema diagonal é aquele em que os elementos aij da matriz coeficiente [A] são iguais a zero, para i≠j,
i, j = 1,2,...,n.
47
Método de Jordan
Sistema diagonal equivalente:
nn
33
22
11
a000
0a00
00a0
000a
]A[
48
Método de Jordan
Exemplo 11:
A partir do sistema:
Com matriz aumentada:
4x2x3x2
2x3x2x5
1xx5x
321
321
321
4232
1151
2325
4232
2325
1151
Ab
49
Método de Jordan
Exemplo 11:
Substituindo a linha 2 por:
Substituindo a linha 3 por :
0,21/5
a
a
m0,60,44,60L
,2325(1/5)1151LmLL
11
21
212
12122
,
0,42/5
a
a
m3,20,82,20L
2325(2/5)4232LmLL
11
31
313
13133
,
50
Método de Jordan
Exemplo 11:
A matriz ampliada resulta em:
Substituindo a linha 3 por:
3,20,82,20
0,60,44,60
2325
Ab
8, 0,472,2/4,6
a
a
m2,9130,60900L
0,60,44,60(2,2/4,6)3,20,82,20LmLL
22
32
323
23233
51
Método de Jordan
Exemplo 11:
A matriz ampliada resulta em:
Substituindo a linha 2 por
913,2609,000
6,04,06,40
1325
Ab
1,31304,60L
2,9130,60900)(0,4/0,609
0,60,44,60LmLL
2
32322
52
Método de Jordan
Exemplo 11:
Matriz ampliada resulta em:
Substituindo a linha 1 por
913,2609,000
313,106,40
1325
Ab
2/4,6
a
a
m,1,571305L
,1,31304,60(2/4,6)1325L
22
12
121
1
53
Método de Jordan
Exemplo 11:
Substituindo a linha 1 por:
A matriz ampliada fica da seguinte forma:
3/0,609
a
a
m12,779005L
2,9130,60900(3/0.609)
1,571305L
33
13
131
1
2,9130.60900
1,31304,60
12,779005
Ab
54
Método de Jordan
Exemplo 11:
E as soluções são:
x1 =-2,556 , x2= -0,285, x3=4,783
55
Decomposição em LU
O objetivo é fatorar a matriz dos coeficientes A em um produto de duas matrizes L e U.
Seja:
nn
n333
n22322
n1131211
3n2n1n
3231
21
u000
uu00
uuu0
uuuu
1lll
0
01ll
001l
0001
LU
56
Decomposição em LU
E a matriz coeficiente A:
Tem-se, então:
nn3n2n1n
n22221
n11211
aaaa
aaa
aaa
A
nn
n333
n22322
n1131211
3n2n1n
3231
21
nn3n2n1n
n22221
n11211
u000
uu00
uuu0
uuuu
1lll
0
01ll
001l
0001
]LU[
aaaa
aaa
aaa
A
57
Decomposição em LU
Para se obter os elementos da matriz L e da matriz U, deve-se calcular os elementos das linhas de U e os elementos da colunas de L como segue.
58
Decomposição em LU
1ª linha de U: Faze-se o produto da 1ª linha de L por todas as colunas de U e a iguala com todos os elementos da 1ª linha de A, assim:
.n,...,2,1j,au
,auau1
,auau1
,auau1
j1j1
n1n1n1n1
12121212
11111111
59
Decomposição em LU
1ª coluna de L: Faz-se o produto de todas as linhas de L, (da 2ª a até a nª), pela 1ª coluna de U e a iguala com os elementos da 1ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtendo ,
.n,...,2,1l,u
al
,u
alaul
,u
alaul
,u
alaul
11
1l
1l
11
1l
1l1l111l
11
31
31311131
11
21
21211121
60
Decomposição em LU
2ª linha de U: Faz-se o produto da 2ª linha de L por todas as colunas de U, (da 2ª até a nª), e igualando com os elementos da 2ª linha de A, (da diagonal principal em diante), obtêm-se ,
.n,...,3j,ulau
,ulauauul
,ulauauul
,ulauauul
j121j2j2
n121n2n2n2n2n121
1321232323231321
1221222222221221
61
Decomposição em LU
2ª coluna de L: Faz-se o produto de todas as linhas de L (da 3ª até a nª) pela 2ª coluna de U e a iguala com os elementos da 2ª coluna de A, (abaixo da diagonal principal), obtendo ,
.n,...,3l,u
ulal
,u
ulalaulul
,u
ulalaulul
,u
ulalaulul
22
121l2l
2l
22
121l2l
2l2l222l121l
22
124142
424222421241
22
123132
323222321231
62
Decomposição em LU
Temos a seguinte fórmula geral:
.jl,u/)ula(l
,jl,ulau
jjkjlkljlj
1l
1k
kjlkljlj
63
Decomposição em LU
Resumo de Passos:
Seja um sistema Ax = b de ordem n, onde A satisfaz as condições da fatoração LU.
Então, o sistema Ax = b pode ser escrito como:
LUx = b
64
Decomposição em LU
Resumo dos Passos:
Fazendo Ux = y, a equação acima reduz-se a Ly = b.
Resolvendo o sistema triangular inferior Ly = b, obtém-se o vetor y.
65
Decomposição em LU
Resumo dos Passos:
Substituição do valor de y no sistema Ux = y Obtenção de um sistema triangular superior cuja solução é o vetor x procurado;
Aplicação da fatoração LU na resolução de sistemas lineares Necessidade de solução de dois sistemas triangulares
66
Erros - Avaliação de Erros
No sistema Ax = b , no qual:
o erro da solução é x – x’ .
n
2
1
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
b
b
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
]A[
67
Procedimento de Determinação do Erro
Determinar:
Ax’ = b’
Erros - Avaliação de Erros
68
Erros – Resíduo
Procedimento de Determinação do Erro
Fazer:
Resíduo = b – b’
Resíduo = b – b’ = Ax - Ax’ = A(x – x’) = Aerro
69
Erros – Resíduo
Verifica-se que:
O resíduo não é o erro, apenas uma estimativa do mesmo;
Quanto menor for o resíduo, menor será o erro.
70
Exemplo 12:
Refinar a solução do sistema:
Cuja solução encontrada através pelo método de Gauss, utilizando a solução retroativa é:
1,1918]´- 1,7121 [3,1252x(0)
Erros – Resíduo
9,8x8,7x7,5x7,2
7,11x5,4x3,2x2,4
10x3,3x4,5x5,1
321
321
321
71
Exemplo 12:
O resíduo calculado é:
Vê-se pelo resíduo que a precisão
alcançada não foi satisfatória.
O vetor x(0) é chamado de vetor solução.
0.0010
0.0006
0.0002
Axbr(0)(0)
Erros – Resíduo
72
Exemplo 12:
Com o intuito de melhorar a solução, considera-se um novo vetor x(1) chamado de vetor solução melhorado.
Erros – Resíduo
73
Exemplo 12:
De forma que : x(1) = x(0) + δ(0), onde δ(0) é o vetor de correção. Assim:
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)1(
rA
AxbA
bAAx
b)x(A
bAx
Erros – Resíduo
74
Exemplo 12:
Calcular o vetor de correção:
0,0010
0,0006
0,0002
δ
δ
δ
3
2
1
.
9,88,77,57,2
7,115,43,22,4
103,34,55,1
Erros – Resíduo
75
Exemplo 12:
A solução é:
0,0002
0,0001
0,0000
(0)
δ
Erros – Resíduo
76
Exemplo 12:
Desta forma, a solução melhorada será:
1920,1
7122,1
1252,3
δxx)0()0()1(
Erros – Resíduo
77
Exemplo 12:
Cujo novo resíduo é:
0,0000
0,0000
0,0000
Axbr(1)(1)
Erros – Resíduo
78
Exemplo 12:
Em exemplos onde o resíduo ainda não seja satisfeito pode-se utilizar o mesmo procedimento:
x(2)=x(1)+δ(1)
Assim, o vetor correção δ(1), será calculado por A δ(1) =r(1).
Erros – Resíduo
79
Exemplo 12:
Acha-se assim, sempre uma solução melhorada e com resíduo tendendo a zero.
Erros – Resíduo
80
Sistemas Lineares - Bibliografia
Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais.
MAKRON Books, 1996, 2ª ed.
Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico: Fundamentos e Aplicações. Departamento de Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.
Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Numéricos. DI/UFPR, 2006.
Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de Erros, Notas de aula, SE/ DM/ IST [Online] http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/semestre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último acesso 07 de Junho de 2007].