RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ESTUDO DAS FRAÇÕES

Autora: Maria Rosa dos Santos1

Orientador: Prof. Dr. Túlio Oliveira de Carvalho2

Resumo

Este artigo apresenta os resultados de uma Intervenção Pedagógica que teve como tema a Resolução de Problemas no Estudo das Frações, recorte escolhido por ser um dos conteúdos mais difíceis no ensino da matemática para as 5ªs séries, exigindo que a prática pedagógica tente elevar o baixo índice de rendimentos destes alunos, sobre esse assunto. O objetivo da intervenção foi o de apresentar as frações por meio de atividades diferenciadas de forma a levar os alunos a desenvolverem o raciocínio matemático, lendo, escrevendo, comparando, ordenando as representações fracionárias e trabalhando com as várias ideias relacionadas às frações, a partir da resolução de problemas. Após ter concluído a implementação e obtido resultados, os dados foram apresentados neste artigo para que possa ser tomado como sugestão metodológica no ensino das frações.

Palavras-chave: Resolução de Problemas. Ensino Fundamental. Frações.

1 INTRODUÇÃO

O presente trabalho apresenta o resultado de uma proposta pedagógica sobre

o conteúdo de frações, tendo como metodologia a resolução de problemas.

Sabe-se que existe uma grande dificuldade em desenvolver o raciocínio

lógico na aprendizagem da matemática. Portanto, há sempre a necessidade de se

levar o aluno à construção do conhecimento matemático pelo fazer e pensar,

auxiliando-o na compreensão dos significados. Isto é especialmente relevante no

1 Professora PDE. Lotada na Escola Estadual “Anastácio Cerezine” Ensino Fundamental. Alvorada do Sul – PR, 2011.2 Orientador: Professor Dr. Da Universidade Estadual de Londrina, 2011.

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ensino das frações, quando o professor precisa criar oportunidades e condições

para que o aluno possa realmente compreender os números e suas operações.

Por essa razão aqui estão apresentados os resultados do trabalho

desenvolvido pela autora, como parte de suas atividades no Programa do

Desenvolvimento da Educação do Paraná, que teve como objetivo apresentar as

frações por meio de atividades diferenciadas que levaram o aluno a ler, escrever,

comparar, ordenar representações fracionárias que são de uso frequente e trabalhar

com as várias ideias e concepções relacionadas à fração, dentro da metodologia de

Resolução de Problemas.

É apresentada revisão bibliográfica que embasou o trabalho de campo e no

capitulo 3 e 4 os resultados e discussão deles, bem como, a conclusão e

considerações finais da autora

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Construir uma base para a aquisição do raciocínio matemático, estimulando

no aluno o interesse para que ele explore novas ideias e descubra caminhos na

aplicação dos conceitos adquiridos e na resolução de problemas é o objetivo de todo

professor diante da sala de aula.

Aplicando as operações com frações, interpretando, analisando e resolvendo

problemas, proporcionando aulas mais dinâmicas para o aluno tomar gosto pela

matemática, torna-se possível estimular neles a observação e a concentração.

2.1 O ESTUDO DA MATEMÁTICA E A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

A concepção de estudo da disciplina de matemática no ensino fundamental

deve-se pautar de acordo com as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná, no

desenvolvimento do espírito crítico do aluno:

Pela Educação Matemática, almeja-se um ensino que possibilite aos estudantes análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e formulação de idéias. Aprende-se matemática não somente por sua beleza ou pela consistência de suas teorias, mas, para que, a partir dela, o homem amplie seu conhecimento e, por

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conseguinte, contribua para o desenvolvimento da sociedade (PARANÁ, 2008, p.48).

Sabendo-se que com o estudo de matemática o aluno poderá desenvolver a

capacidade de analisar, discutir, formular ideias, torna-se necessário que os

docentes elaborem estratégias de ensino que contribuam para que o estudante

desenvolva essas capacidades cognitivas.

No entanto, as impressões dos docentes que atuam com alunos de 5ª a 8ª

séries do ensino fundamental é que essas condições não se apresentam no dia a

dia da sala de aula; nota-se que os alunos mostram-se dispersos, desinteressados,

às vezes até tentam desenvolver o raciocínio para descobrir soluções, mas, na

maioria das vezes, percebe-se que eles têm dificuldades em organizar o seu

pensamento de modo a apropriar-se dos conceitos matemáticos estudados.

O que se percebe na prática docente da matemática são professores e equipe

pedagógica recorrendo a novas estratégias e metodologias para encaminhar o

processo de ensino e de aprendizagem da matemática. Nesse sentido, se apresenta

como proposta metodológica a Resolução de Problemas.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais indicam a resolução de problemas

como ponto de partida das atividades matemáticas e discutem caminhos para fazer

matemática na sala de aula ( PCNs, 1998, p. 20), percebe-se que:

Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao acúmulo de informações, educadores matemáticos apontam a resolução de problemas como ponto de partida da atividade matemática. Essa opção traz implícita a convicção de que o conhecimento matemático ganha significado quando os alunos tem situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver estratégias de resolução.

Segundo as Diretrizes Curriculares Nacionais (2008, p.63), a resolução de

problemas é um dos desafios do ensino de matemática. Trata-se de uma

metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos

matemáticos adquiridos em novas situações, de modo a resolver a questão proposta

(DANTE, 2003).

Segundo Pólya (2006, p.4), a resolução de problemas envolve quatro fases:

compreensão do problema, estabelecimento de um plano, execução do plano e

retrospecto.

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O autor também esclarece as fases, estabelecendo que o aluno, em primeiro

lugar, precisará compreender o problema, descreverem as relações entre dados e

incógnitas, podendo usar figuras, diagramas ou adotar uma notação que julgue

adequada. Em seguida, encontrar a conexão entre os dados e a incógnita,

baseando-se em conhecimentos já adquiridos ou considerando problemas

auxiliares, o aluno deve procurar encontrar uma conexão imediata com um problema

correlato. É preciso chegar, afinal, a um plano de execução. Em terceiro lugar, o

aluno deve executar seu plano. Esta pode ser a parte mais fácil do processo desde

que as fases anteriores estejam corretas. Por outro lado, somente executando seu

plano, verá o aluno a necessidade de correções às etapas anteriores. Por último, o

aluno deve examinar a solução obtida. Nesta fase poderá ser revidado todo o

processo e perceber se existe um modo diferente para o problema ser resolvido

(PÓLYA, 2006).

Segundo Dante (2009), a matemática é a área do conhecimento que

desenvolve o raciocínio lógico e está relacionada com a vida cotidiana das pessoas.

Ele acredita que a metodologia de ensino deve valorizar os pensamentos e

questionamentos dos alunos por meio da expressão de suas idéias.

Por isso, é preciso explorar a oralidade em matemática, estimulando os

alunos a expressarem suas estratégias diante de uma questão.

Dante (2009) também lembra que a resolução de problemas traz essa

possibilidade em vários aspectos: as situações-problema desenvolvem o poder de

comunicação, quando trabalhadas oralmente, e valorizam o conhecimento prévio do

aluno, dando oportunidade a ele de explorar, organizar e expor seus pensamentos,

estabelecendo uma relação entre suas noções informais ou intuitivas e a linguagem

abstrata e simbólica da matemática.

Além desses objetivos propostos Dante (2009, p.18-23) aponta para outros

que a resolução de problemas pretende atingir no aluno, a saber:

• Fazer o aluno pensar produtivamente;

• Desenvolver o raciocínio do aluno;

• Ensinar o aluno a enfrentar situações novas;

• Dar ao aluno oportunidade de se envolver com as aplicações da matemática;

• Tornar as aulas de matemática mais interessantes e desafiadoras;

• Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas;

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• Dar uma base matemática às pessoas;

• Liberar a criatividade do aluno.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática esclarecem:

A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão ao seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca dos conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança (BRASIL, 1998, p. 74).

Para tanto, é relevante a utilização da resolução de problemas em sala de

aula, pois pode despertar nos alunos o interesse por problemas em geral,

desenvolvendo a capacidade de iniciativa para resolver um problema em qualquer

área do conhecimento e em qualquer situação que surgir em sua vida.

2.2 O ESTUDO DAS FRAÇÕES

Segundo Silva (1997, p. 203): “Aprender e ensinar frações, pode ser muito

simples, desde que não façamos algo mecânico e sim algo pensado”. Esse

conteúdo é apresentado nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica para o

Ensino da Matemática como Estruturante do Ensino de Números e Álgebra

(PARANÁ, 2008, p.49).

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (BRASIL,

1997) há a sugestão que o conceito de fração seja explorado em situações nas

quais esteja implícita a relação parte/todo, indicando a relação existente entre o

número de partes e o seu total.

As situações parte/todo se resumem, em geral, em dividir área de figura em

partes iguais, em nomear frações como o número de partes pintadas sobre o

número total e em analisar a equivalência e a ordem da fração por meio da

percepção. No que diz respeito às operações com frações, não funciona com

retângulos pintados, talvez porque elas envolvam uma visão mais dinâmica da

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fração. Pretende-se priorizar a compreensão dos significados e procedimentos

envolvidos nas operações.

De um modo geral, pode-se dizer que as frações são números que

expressam quantidades em que os objetos estão partidos em partes iguais e são

representados como uma razão de dois números inteiros qp

, com q qualquer e p

diferente de zero.

Em vista dessa fundamentação teórica é que se pretende buscar os objetivos

previstos nas Diretrizes Curriculares do Ensino do Paraná (PARANÁ, 2008, p.78),

que o aluno “[...] reconheça números racionais em diferentes contextos e realize

operações com números racionais; estabeleça relação de igualdade e transformação

entre: fração e número decimal; fração e número misto”.

3 RESULTADOS

3.1 PÚBLICO-ALVO

Os alunos para os quais foi destinado o Projeto de Implementação

Pedagógica eram em número de 23, de uma 5 ª série de uma Escola Pública, sendo

16 meninos (65,22%), 7 meninas (34,78%).

Gráfico 1: Público-AlvoFonte: Dados da autora

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Durante a execução da implementação não houve desistência ou abandono

por parte de nenhum dos alunos. Todos tinham intensa curiosidade em saber o que

aconteceria e qual seria a próxima atividade. Portanto, desde o início foi muito

gratificante perceber que poderia haver ali sucesso nos resultados.

3.2 ATIVIDADE UM

• Dona Joana fez um bolo e repartiu com seus 3 filhos. José comeu 3 pedaços,

Paulo comeu 4, e Marli comeu 5 pedaços. Sabendo-se que o bolo foi dividido

em 24 pedaços iguais, que parte do bolo foi consumida?

FONTE: (adaptado de SARESP, 2007).

O objetivo desta atividade era o de identificar a fração como representação,

associada a diferente significados, reconhecendo qual a relação parte/todo (um todo

dividido em partes) e também o significado de quociente (baseando-se na divisão de

um número natural por outro), teve 15 minutos para sua realização.

Gráfico 2: Identificação de Frações Fonte: Dados da autora

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Na resolução desta atividade apenas 2 alunos (9%) precisaram de

intervenção por parte do professor para interpretação do enunciado. O restante dos

participantes, 21 deles (91%) apresentaram as respostas em forma de fração.

3.3 ATIVIDADE DOIS

• Na cidade de Curitiba, a quase totalidade dos torcedores de futebol se divide

em 3 grupos. Os torcedores do Atlético clube são a maioria e os do Paraná, a

minoria. Suponha que a torcida do Atlético é 3 vezes maior que a do Paraná e

a do Coritiba é 2 vezes maior que a do Paraná. O que se pode dizer da

relação entre as torcidas do Coritiba e do Atlético?

Esta atividade objetivou que os alunos conseguissem representar

matematicamente por 3/2 associando o significado de quociente (divisão de um

número natural por outro) e entendessem o significado de numerador e

denominador. Teve tempo estimado em 25 minutos.

A turma foi dividida em 7 grupos, sendo que dois deles tinham 4 alunos e o

restante dos grupos contavam com 3 membros. E desses, apenas dois grupos, um

compostos por 4 alunos e um por 3 alunos , ou seja 7 alunos (30%), conseguiram

realizar imediatamente o problema, apresentando a resposta em forma de fração,

enquanto que 16 deles (70%) necessitaram de intervenção para interpretação para

chegarem ao resultado.

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Gráfico 3: Reconhecer numerador e denominadorFonte: Dados da autora

A intervenção do professor nesta etapa foi preponderante, visto que a maioria

dos alunos ficou confusa. Mas, todos concluíram com sucesso a atividade no tempo

esperado.

3.4 ATIVIDADE TRÊS

• Três copos de água, todos com capacidade igual a um litro, contêm

quantidades diferentes em seu interior, conforme o desenho. Qual das

alternativas abaixo indica aproximadamente, o volume de água contido nos

copos A, B, e C, nesta ordem?

(A) 3/7, 4/9, 2/5

(B) 2/3, 1/2, 1/4

(C) 2/3, 4/6, 2/4

(D) 2/3, 4/7, 3/4

(E) 3/3, 4/5, 2/3

FONTE: (adaptado do Banco de questões da OBMEP, 2006)

A proposta desta atividade foi levar cada aluno à interpretação e à percepção

da noção de quantidade e correspondência da fração à figura apresentada,

compreendendo a representação de cada fração, a maior, a menor, fazendo

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comparação entre elas, tendo tempo estimado para execução da atividade numa

duração de 25 minutos.

Dos 23 alunos, apenas um (4%) necessitou da intervenção do professor. Essa

atividade foi considerada fácil pela maioria (96%).

Gráfico 4: Noção de Quantidade da FraçãoFonte: Dados da Autora

Essa atividade pode ser considerada fácil e não apresentou dificuldades para

sua resolução, os alunos foram capazes de compreender e representar cada fração.

3.5 ATIVIDADE QUATRO

• Escreva um número inteiro que esteja entre 19/3 e 55/7?

FONTE ( adaptado do Banco de questões da OBMEP, 2009)

Esta atividade deveria levar os alunos a compreenderem os conceitos de:

frações impróprias, números mistos e representação decimal, sem o uso de

calculadoras, sendo que maioria deles, ou 16 (70%) precisou de intervenção para

chegar aos resultados enquanto que 7 deles (30%) realizaram a atividades

facilmente.

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Gráfico 5: Conceitos MatemáticosFonte: Dados da autora

O desenvolvimento da Atividade 4 apresentou a percepção de algumas

dificuldades na interpretação dos conteúdos com números inteiros, que teve que ser

abordado anteriormente. O diagnóstico levantado com esta atividade também

apresentou o problema do reconhecimento dos numerais decimais, que teve que ser

retomado.

• Discussão a partir dos resultados

PROFESSORA: _ Vamos retomar a leitura e vocês me digam o que não

compreenderem.

ALUNOS: _ Professora, nós não sabemos o que é um número inteiro.

PROFESSORA: _ Um número inteiro é aquele que não está representado em forma

de frações e nem em decimais (número entre vírgulas). Portanto, neste caso,

quando vocês dividirem 19/3 e obtiverem o resultado 6,33, eu desejo que vocês

compreendam que o número 6, antes da vírgula é o número inteiro. Assim como

quando vocês dividirem 55/7 e obtiverem o resultado 7,8, eu espero que vocês

reconheçam o 7 como número inteiro.

ALUNOS_ Ah, professora, então qual é o número inteiro?

PROFESSORA_ O único número inteiro que está entre 6,33 e 7,85, é o 7.

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3.6 ATIVIDADE CINCO

• Carlos tinha uma dívida de R$500,00, já pagou R$300,00. Que fração

representa a dívida que Carlos ainda tem a pagar?

FONTE: (adaptado de ANDRINI e VASCONCELLOS, 2002, p.191).

• Discussão e Resultados Obtidos

Antes do início dos trabalhos a professora e os alunos interagiram no seguinte

diálogo:

PROFESSORA: _ Se a dívida de Carlos é R$ 500,00 e ele já pagou R$ 300,00 o

que lhe resta a pagar?

ALUNOS: Falta R$ 200,00, professora.

PROFESSORA: _ Sim, então qual a fração que devemos representar?

Esperou-se que os alunos conseguissem fazer a interpretação de uma

pergunta que os levaria a uma simplificação e dos 23 alunos, apenas 2 (10%)

chegaram a simplificação enquanto a maioria, 21 deles (90%) não conseguiu.

Gráfico 6: Interpretação para simplificaçãoFonte: dados da autora

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PROFESSORA: _Então prestem atenção, disse enquanto demonstrava a fração

200/500 e executava a simplificação: 2/5 (fez isso enquanto simplificava dividindo os

dois números por 100, que para os alunos eram entendidos como “cortar os zeros”).

ALUNOS: _ Agora entendemos, e vamos fazer.

Houve uma nova interpretação da questão sem precisar que os alunos se

comunicassem entre eles, e todos concluíram a atividade, muito embora o conteúdo

que trata da simplificação teve que ser retomado.

3.7 ATIVIDADE 6

• Carol tinha 16 anos e tinha 3 irmãos. O mais novo tinha 1/8 da sua idade. O

do meio tinha duas vezes a idade do mais novo. E o terceiro, tinha a idade do

meio, somado a 1/4 da idade de Carol. Quantos anos tinham cada irmão de

Carol?

FONTE: (adaptado de DANTAS, 2009).

Essa atividade tratou de apresentar as divisões exatas envolvidas em um

problema, com o objetivo de que elas fossem reconhecidas pelos alunos, utilizando-

se de frações próprias. Os resultados só foram obtidos a partir da intervenção do

professor, que direcionou toda a turma, os 23 alunos (100%), a conclusão da

atividade.

A atividade só pode ser concluída a partir da intervenção do professor que

direcionou o raciocínio dos alunos para que eles conseguissem realizar a atividade.

• Discussão dos Resultados Obtidos

Para alcançarem os resultados finais a professora precisou travar o seguinte

diálogo:

PROFESSORA: Alunos, o que significa 1/8 de 16? Como vocês conseguem essa

reposta?

ALUNOS:_Não sabemos professora.

PROFESSORA:_ Então pensem comigo: 16 é a idade completa de Carol, vamos

dividi-la por 8, o resultado é 2. Se o irmão mais novo tem 1/8 dessas 8 partes,

quantos anos ele têm?

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ALUNO_ Ah, professora, então ele tem 2 anos.

PROFESSORA:_ Isso mesmo! E o segundo irmão que tinha 2 vezes a idade desse

irmão? Vamos retomar: o mais novo tinha 2 anos, e o irmão do meio duas vezes

essa idade, como represento isso?

ALUNOS: _Ah professora, então é 2x2?

PROFESSORA: _ Parabéns, isso mesmo, o resultado é 4 anos.

PROFESSORA:_ E o terceiro irmão? Vamos lentamente: ele tinha a idade do irmão

do meio que era 4, mais ¼ da idade de Carol. Quanto é ¼ da idade de Carol?

ALUNOS:_ Então a gente tem que fazer qual conta professora?

PROFESSORA:_ Vamos achar ¼ da idade de Carol que é 16 anos. Lembrem-se do

raciocino que tivemos para encontrar 1/8 da idade de Carol e vamos repetir a conta

para encontrarmos ¼ da idade dela.

UM ALUNO: _ Então temos que dividir 16 por 4 professora?

PROFESSORA_ Isso mesmo, quanto dá?

ALUNO:_ 4 .

PROFESSORA: Então, agora vamos descobrir a idade do terceiro irmão. A idade

dele é o resultado do seguinte raciocínio: idade do irmão do meio, ou seja 4 anos,

mais ¼ da idade de Carol, que vimos agora ser 4, assim, o resultado da soma de

4+4 é a idade do terceiro irmão que é igual a...

ALUNOS:_ 8.

PROFESSORA:_ Isso mesmo!

Dessa forma concluíram todos juntos que o irmão mais novo tinha 2 anos, o

irmão do meio tinha 4 anos e o mais velho tinha 8 anos.

3.8 ATIVIDADE 7

• Sérgio é alpinista, ele escalou ¾ de uma montanha, o que corresponde a

1200 metros. Qual a distância total a ser escalada?

FONTE: (adaptado de SILVEIRA e MARQUES, 1995, p.171).

Esperava-se que o aluno se utilizasse das figuras como estratégia para

resolução da situação-problema. Sendo que nenhum dos alunos conseguiu

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solucionar, fazendo com que o professor interviesse apresentando as figuras, para

que eles chegassem ao resultado correto.

3.9 ATIVIDADE 8

• Um automóvel percorreu 1/4 da distância entre duas cidades e depois mais

1/3 dessa distância, atingindo 490 km. Qual é a distância entre as duas

cidades?

FONTE: (adaptado de SILVEIRA e MARQUES, 1995, p.177).

A resolução dessa atividade envolvia conceitos que deveriam levar os alunos

a desenvolver as operações com frações e com os números naturais e, iria requerer

o uso de uma incógnita.

Esta atividade também foi considerada de difícil resolução e nenhum deles

conseguiu realizar sem a intervenção do professor.

3.10 ATIVIDADE 9

• O quadrado abaixo está dividido em 16 quadradinhos iguais. A área pintada

corresponde a que fração da área do quadrado?

FONTE: (adaptado do Banco de questões da OBMEP, 2010)

A partir da representação pictórica, o aluno deveria identificar uma parte do

todo pintada e representá-la em relação ao todo como uma fração.

Dos 23 alunos, 16 deles (70%) conseguiram facilmente chegar ao resultado

pretendido. E os outros 7 alunos (30%) necessitaram de apoio da professora.

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Gráfico 7: Fração a partir de uma representação pictóricaFonte: Dados da autora

3.11 ATIVIDADE 10

• Quatro amigos, Antonio, Paulo, Cíntia e Márcia, saíram juntos para fazer um

passeio no bosque, pelo mesmo caminho. Depois de meia hora, Antonio

andou 6/8 do caminho, Cíntia 3/8, Paulo 9/12 e Márcia 4/6. Quais são os

amigos que se encontram no mesmo ponto do caminho?

FONTE: (adaptado de SARESP, 2007).

Da resolução desta atividade foi esperado que os alunos fossem capazes de

identificar as frações equivalentes, pois, sabe-se que muitos deles evitam o uso de

frações, sempre indicando resultados com uma resistência em comparar e operar

diretamente com elas.

Entretanto, 100% dos alunos resolveram a atividade sem nenhuma

dificuldade.

4 A AVALIAÇÃO

De acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais (2008), é necessário que

o professor faça uso da observação sistemática para diagnosticar as dificuldades

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dos alunos e criar oportunidades diversificadas, tais como manifestação escritas,

orais e de demonstração, para que ele possa expressar seu conhecimento.

Esse instrumento de avaliação foi utilizado na Resolução de Problemas

seguindo os passos de Pólya (2006), verificando:

• Se o aluno havia compreendido o problema através da leitura;

• Se o aluno estabeleceu um plano baseado em conhecimentos adquiridos que

possibilitasse a resolução de um problema;

• Se executou seu plano, possivelmente encontrando a necessidade de

correções às etapas anteriores;

• Se realizou o retrospecto da solução encontrada, percebendo se existia um

modo diferente para o problema ser resolvido.

Além de avaliar os passos de Pólya, o professor também avaliou a

participação coletiva nos trabalhos realizados em grupos e a evolução de cada

aluno, mesmo diante das dificuldades que apresentadas durante o trabalho.

No final de todo esse processo, o professor avaliou se as sequências

didáticas que envolveram frações foram suficientes para motivar e orientar os alunos

na Resolução de Problemas apresentados, e percebeu que eles foram capazes de

construir a partir desta metodologia, o raciocínio matemático.

REFERÊNCIAS

ANDRINI, A. VASCONCELLOS, M. J. Praticando Matemática. São Paulo: Editora

Brasil, 2002.

BOLOGNESE, F. A. A Construção do Conhecimento Lógico-Matemático:

Aspectos Afetivos e Cognitivos. 2009. Disponível em:

http://www.profala.com/arteducesp95.htm. Visualizado em: 14 de dezembro de 2010.

BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Matemática. Brasília: MEC / SEF, 1997.

______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/ SEF, 1998.

18

CASTRO. U. O Raciocínio Lógico-Matemático e o Desenvolvimento Moral.

2009.Disponível<http://www.professorfenelon.com/logico/default.asp?

id=8&mnu=8>Visualizado em 14 de dezembro de 2010.

CUORE, R. E. A Importância da Lógica Matemática e a Semântica Auxiliando na

Aprendizagem. 2009. Disponível em: <

http://www.webartigos.com/articles/21172/1/A-IMPORTANCIA-DA-LOGICA-

MATEMATICA-E-A-SEMANTICA-AUXILIANDO-NA APRENDIZAGEM

/pagina1.htmL> Visualizado em 04 de fevereiro de 2011.

DANTAS, C. C. Dicas de Matemática: Como resolver problemas? 2009.

Disponível<http://egregium.files.wordpress.com/2009/09/matematica_5_ano1.pdf>Vi

sualizado em 12 de julho de 2011.

DANTE, L. R. Formulação e resolução de problemas de matemática: teoria e

prática. São Paulo: Ática, 2009.

KRULICK, S. REYS, R. A Resolução de Problemas na Matemática escolar. São

Paulo: Atual, 1997.

NUNES, T.; CAMPOS, T.; MAGINA, S.; BRYANT, P. Educação Matemática:

números e operações. São Paulo: Cortez, 2005.

ONUCHIC, L.R.. Ensino Aprendizagem de Matemática através da Resolução de

Problemas. São Paulo: UNESP, 1999.

OBMEP. Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. 2006.

Disponível em< http://www.oei.es/oim/16nivel1.pdf> Visualizado em14 de junho de

2011.

______. Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. 2009.

Disponível em< http://www.slideshare.net/kahebe2/reviso-matemtica-1o-bim-7o-ano-

75613290.pdf> Visualizado em 16 de junho de 2011

19

______. Olimpíadas Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. 2010.

Disponível em< http://www.obmep.org.br/bq/bancoobmep2010.pdf> Visualizado em

18 de junho de 2011.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Diretrizes Curriculares de

Matemática. Curitiba: SEED/ 2008.

PÓLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio Janeiro: Interciência, 2006.

ROSA, R. S. Piaget e a Matemática. Artigo Científico. I Simpósio Nacional de

Ensino de Ciência e Tecnologia. UTFPR, 2009. Disponível em:

http://www.pg.utfpr.edu.br/sinect/anais/artigos/9%20Linguagemecognicaonoensinod

ecienciaetecnologia/Linguagemecognicaonoensinodecienciaetecnologia_Artigo5.pdf.

Visualizado em 04 de fevereiro de 2011.

SARESP. Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.

Matemática.2006.Disponível<

http://saresp.fde.sp.gov.br/2006/subpages/provas.html> Visualizado em 13 de junho

de 2011.

SARESP. Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.

Matemática.2007.Disponível<http://saresp.fde.sp.gov.br/2007/subpages/provas.html

> Visualizado em 13 de junho de 2011.

SILVA, M. J. F. Sobre a introdução do conceito de número fracionário. São

Paulo: PUC. Dissertação de Mestrado, 1997.

SILVEIRA, E. MARQUES, C. Matemática. São Paulo: Moderna, 1995.

USP - UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Frações Maiores que a Unidade.

Disponível em< http://educar.sc.usp.br/matematica/m5p1t6.htm>Visualizado em 12

de julho de 2011.

20