Instituto de Fsica, UFRGS Turma A- Profa. Rejane Maria Ribeiro Teixeira Departamento de Fsica Turma B- Prof. Jos Roberto Iglesias FIS01205 - Mecnica Clssica IA Semestre 2008/2 rea 1 Lista 1

M Marion&Thornton (4 ed.) F Fowles &Cassiday

1. Encontre a matriz transformao (rotao) que gira o eixo x3, de um sistema de coordenadas retangulares, de um ngulo de 45 no sentido do eixo x1, ao redor do eixo x2. (M 1.1)

2. Mostre que: (a) (A B) t = B

t A

t (b) (A B)

-1 = B

-1 A

-1. (Onde: A

t a transposta da matriz A; A

-1

a inversa da matriz A.) (M 1.4)

3. Para os dois vetores A = i + 2 j k e B = - 2 i + 3 j + k encontre: (a) A B e |A B|; (b) a componente de B ao longo de A; (c) o ngulo entre A e B; (d) A x B; (e) (A B) x (A + B). (M 1.9)

4. Uma partcula se move em uma rbita elptica plana descrita pelo vetor posio

r = 2b sen t i + b cos t j . (a) Encontre os vetores velocidade, v, acelerao, a, e v, a magnitude da velocidade (tambm chamada de

rapidez) da partcula.

(b) Qual o ngulo entre os vetores v e a no instante de tempo t = / 2 ? (M 1.10)

5. Considere as seguintes matrizes:

1 2 1

A = 0 3 1

2 0 1

2 1 0

B = 0 1 2

1 1 3

2 1

C = 4 3

1 0

Calcule o seguinte: (a) |A B|; (b) AC; (c) ABC; (d) AB B

t A

t . (M 1.14)

Operaes vetoriais e escalares elementares e identidades envolvendo vetores

Ai e Bi so componentes dos vetores A e B:

Produto escalar:

A . B = i ii

A B

A . B = A B cos (A,B)

Comprimento do vetor: | A | = A =

2 2 21 2 3A A + A

Produto vetorial: C = A x B = A B sen (A,B)

Ci = (A x B) i = i j k j kj, k

A B

Smbolo de permutao ou de Levi-Civita: i j k

0, se quaiquer 2 ndices forem iguais

+1, para i, j, k formando uma permutao par de 1,2 3

-1, para i, j, k formando uma permutao mpar de 1,2 3

Vetores unitrios

ei , i = 1,2,3 ei X ej = ek i,j,k em ordem cclica

ei X ej = k i j kk

e C = i j k i j kk

e A B

Propriedades de matrizes

O produto de 2 matrizes dado por:

O produto de 2 matrizes, em geral, no comuta:

A matriz identidade sempre comuta:

A transposta de uma

matriz : , obviamente

A matriz identidade:

Seja l-1 a inversa da matriz l, ento:

Para uma matriz de rotao ortogonal vale: (ex. bidimensional)

Ou seja, para matrizes

ortogonais:

Multiplicao matricial associativa:

A1dio matricial:

, ou seja,

Matrizes que representam transformaes ortogonais tm determinante +1 ou -1. O determinante da matriz l (bidimensional :

6. Encontre os valores de a necessrios para que a seguinte transformao seja ortogonal:

1 0 0

0

0

a a

a a

. (M 1.15)

7. Obtenha a lei dos cossenos da trigonometria plana interpretando o produto (A B) . (A B) e a expanso do mesmo. (M 1.17)

8. Prove a identidade vetorial A x (B x C) = B (A . C) - C (A . B). (parte do problema M 1.22)

9. Dois vetores A e B representam os lados concorrentes de um paralelogramo. Mostre que a rea do paralelogramo igual a |A x B|. (F 1.10)

10. Encontre as componentes do vetor acelerao a em coordenadas esfricas. (M 1.25)

11. Uma partcula se move com v= constante ao longo de uma curva r = k (1 + cos ) (uma curva cardiide). Encontre

r rr . e = a . e | a |

. (M 1.26)

12. Uma mosca se move em uma trajetria helicoidal dada pela equao:

r(t) = i b sen t + j b cos t + k c t2.

Mostre que a magnitude da acelerao , a, da mosca constante, uma vez que b, e c so constantes. (F 1.18)

13. Uma abelha sai de sua colmia em uma trajetria espiral que dada em coordenadas plano polares por:

r = b e k t

e = c t,

onde b, k e c so constantes positivas. Mostre que o ngulo entre o vetores velocidade , v, e acelerao, a, permanece constante quando a abelha se afasta da colmia. (Dica: Encontre v . a /va.) (F 1.19)

14. Mostre que: (ln | r | =

2

r

r . (M 1.28)

15. Mostre que: + const. (M 1.32)

Respostas dos problemas:

1.

3.

|A B|= (14)-1/2

;

71

4.

90

11.

7.

13.

10.

12.

R. M. Ribeiro Teixeira