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MAT. – 6

2º VESTIBULAR UFOP 2009

GRUPO 1 – TIPO A

MATEMÁTICA

Questões de 05 a 08

05. Suponha que os números reais 1,1 r− e 1 r+ sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 0r ≠ .

Determine r de modo que as imagens )1(),1( frf − e (1 )f r+ desses números pela função 2( ) 3f x x= sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão geométrica.

f (1-r )=3(1-r ) 2=3(1-2r+r 2)f (2)=3f (1+r)=3(1+r) 2=3(1+2r+r 2)P.G f (1) = f (1+r) = 3 = 3(1+2r+r²)f (1-r ) f (1) 3(1-2r+r²) 3

1=(1-2r+r²) (1+2r+r²)1=1+2r+r²-2r-4r²-2r³+r²+2r³+r 4

1=1-2r²+r 4

r 4(R²-2)=0r²(r² -2)=0r=0 Não convémr²-2=0r²=2r=±√2

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MAT.– 7


GRUPO 1 – TIPO A

06. Mostre que, dado um número inteiro positivo n, o número complexo niw )31( +=é um número real somente quando n for múltiplo de 3.

n

n

n

Z=1+ 3 i Z =2

Z=2(cos 60°+ i sen 60°)]

W=2

W=[2(cos 60° + i sen 60°)]

W=2 [cos ( n 60°) + i sen (n 60°)]

Como W é um número real, temos:

sen(n . 60°)=0

n 60° = 0 + k

n . 0 + k3

n = 3k

n 3k com k

pp

p

p pp

=

= ∈ ,

ou seja n {..., 6, -3, 0, 3, 6, 9, ...}∈ −

Z=1+ 3 i Z =2

Z=2(cos 60°+ i sen 60°)]

W=2

W=[2(cos 60° +

n

n

i sen 60°)]

W=2 [cos ( n 60°) + i sen (n 60°)]

Como W é um

n

número real, temos:

sen(n . 60°)=0

n 60° = 0 + k

n . 0

ππ3= + k

n = 3k

n 3k com k ,

ou seja n -3, 0, 3,

π

π ππ = Î

Î -{..., ,6 6, 9, ...}

(1, 3)

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MAT. – 8


GRUPO 1 – TIPO A

07. A única sala de cinema de uma cidade tem capacidade para 400 expectadores. A média de público nos finais de semana é de 80 pessoas por sessão. Para aumentar a presença do público, o diretor do cinema resolveu reduzir o preço do ingresso, que custava R$ 6,00. Observou que, para cada redução de R$ 0,50 no preço do ingresso, o público aumentava em 40 pessoas. Baseando-se nessa observação, responda às questões propostas.

A) Qual deve ser o valor do ingresso para que o faturamento do cinema seja máximo?

B) Esse valor corresponde à expectativa de um público de quantas pessoas?

( ) (6 0,5 )(80 40 )

( ) 20 ² 40 240 480

( ) 20 ² 200 280

22 x 5

2 40O valor do ingresso deve ser (6-5.0,5), ou seja R$3,50

v v

f x x x

f x x x x

f x x x

bx

a

= − += − − + += − + +− −

= = =−

Se x=5, o número de pessoas é 80+40x,

devemos ter um público de 280 pessoas.

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MAT.– 9


GRUPO 1 – TIPO A

08. Na figura abaixo, temos representado um cubo de volume igual a 3

34 m e um prisma

cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Sabendo que M e N são os pontos médios dos segmentos AD e BC respectivamente, determine o volume desse prisma (em 3m ).

A

BC

D

E H

N

GF

M

1:

Volume do cubo:

4³

3Volume do prisma (MNCDHG):

1 a²A . . a =

2 2 4²

. a 4a³ 1 4 1

. ³4 4 3 3

4 1O volume do prisma AEHM é 1 ³

3 3 2:

3V Volume do cubo

43 4

V . = 1 ³4 3

b

p

p p

AEHM

AEHM

Solução

a

a

aV

V V m

m

Solução

m

=

=

=

= ⇒ = =

− =

=

=

MAT.– 9


GRUPO 1 – TIPO A

08. Na figura abaixo, temos representado um cubo de volume igual a 3

34 m e um prisma

cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Sabendo que M e N são os pontos médios dos segmentos AD e BC respectivamente, determine o volume desse prisma (em 3m ).

A

BC

D

E H

N

GF

M

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