Representação gráfica e tabular da distribuição dos dados e Medidas resumo MAIO/2010 Paula...

Representação gráfica e tabular

da distribuição dos dados

e

Medidas resumo

MAIO/2010 Paula Strassmann

PGS Medical Statistics

Tópicos abordados na última aula

Definição e classificação de variáveis;

Codificação de dados;

Armazenamento dos dados (Exemplo de banco de dados);

Construção de tabelas de frequências (Variáveis qualitativas).

MAIO/2010

Paula Strassmann


Tópicos abordados nessa aula

Construção e interpretação de gráficos para cada tipo de variável;

Definição e Cálculo das medidas de posição: Média, Mediana,

Quartis e Moda;

Medidas de dispersão.

MAIO/2010

Paula Strassmann


Conjunto de técnicas que resumem e descrevem

os dados simplificando as informações para

torná-las mais rapidamente compreensíveis.

Etapa inicial da análise dos dados

Tabelas

Gráficos

Medidas resumo



Estatística descritiva - Definição

Representação gráfica para Variáveis qualitativas

(categóricas) ou quantitativas discretas

GRÁFICO DE BARRAS / COLUNAS: É utilizado para apresentar variáveis

categóricas ou numéricas discretas. Em geral, no eixo das abscissas

encontram-se as categorias e a altura das colunas correspondem às

freqüências (simples ou relativas) das categorias.





Exemplo de gráfico de colunas para variáveis quantitativas discretas:

Nº de filhos

Nº de funcionários casados

1 92 133 74 3

Exemplo de gráfico de colunas para variáveis qualitativas:



Satisfação Indivíduos

Insatisfeito 50

Pouco satisfeito 75

Muito satisfeito 120



CidadeNº de

casos

São Paulo 52

Osasco 20

Guarulhos 17

Carapicuiba 16

Caieiras 10

Barueri 8

Cotia 8

Taboão da Serra 5

Santana de Parnaíba 4

Outros 3

Exemplo de gráfico de barras para variáveis qualitativas:

34

5

8

8

10

16

17

20

52

0 10 20 30 40 50 60

OUTROS*

SANTANA DE PARNAIBA

TABOÃO DA SERRA

COTIA

BARUERI

CAIEIRAS

CARAPICUIBA

GUARULHOS

OSASCO

SÃO PAULO

número de casos

Cruzamentos: Variáveis categóricas x Variáveis categóricas



Sexo \ Tabagismo Sim Não TotalMasculino 175 (81%) 40 (19%) 215 (100%)Feminino 50 (83%) 10 (17%) 60 (100%)Total 225 (82%) 50 (18%) 275 (100%)




(Continuação)

Sexo \ Tabagismo Sim Não TotalMasculino 175 (81%) 40 (19%) 215 (100%)Feminino 50 (83%) 10 (17%) 60 (100%)Total 225 (82%) 50 (18%) 275 (100%)




(Outro exemplo)

Faixa etária \ Estado civil

Solteiro Casado Separado / viúvo Total

Até 30 anos 62 (73%) 18 (21%) 5 (6%) 85 (100%)30 a 50 anos 23 (24%) 57 (59%) 17 (18%) 97 (100%)Mais de 50 anos 12 (14%) 42 (50%) 30 (36%) 84 (100%)Total 97 (36%) 117 (44%) 52 (20%) 266 (100%)




(Outro exemplo – Continuação)

Representação gráfica para variáveis qualitativas

(categóricas)

GRÁFICO DE SETORES (PIZZA): Cada “fatia” corresponde à porcentagem de

ocorrências em cada categoria de resposta da variável. É indicado para

variáveis qualitativas (preferencialmente nominais). Neste tipo de gráfico, todas

as observações da amostra estão classificadas em uma das categorias, ou seja,

a soma das porcentagens deve ser igual a 100%.





Exemplo de gráfico de setores (pizza) para variáveis qualitativas:



Homens75%

Mulheres25%

Homens75%

Mulheres25%

Exemplo de gráfico de setores (pizza) para variáveis qualitativas:

Sexo f (%)Homens 150 (75,0%)Mulheres 50 (25,0%)Total 200 (100,0%)

Histograma: Gráfico de barras justapostas em que no eixo horizontal está

a variável de interesse, dividida em classes geralmente de mesmo

tamanho. No eixo vertical, constrói-se uma barra para cada classe com

altura igual à freqüência absoluta ou relativa correspondente. A barra é

centrada no ponto médio da classe.

Polígono de Freqüências: Construído a partir do histograma, onde se une

através de segmentos de reta as ordenadas correspondentes aos pontos

médios de cada classe.MAIO/2010 Paula Strassmann


Representação gráfica para Variáveis

quantitativas contínuas

Exemplo de histograma: Dados de registro pediátrico da concentração de chumbo na urina de 140 crianças de uma determinada região.

Concentração de chumbo umol/24 hrs Nº de crianças

0|0.4 2

0.4 | 0.8 7

0.8 |1.2 10

1.2 |1.6 16

1.6 |2.0 23

2.0 |2.4 28

2.4 |2.8 19

2.8 |3.2 16

3.2 |3.6 11

3.6 |4.0 7

4.0 |4.4 1

Total 140

0

5

10

15

20

25

30

0- 0.4- 0.8- 1.2- 1.6- 2.0- 2.4- 2.8- 3.2- 3.6- 4.0- 4.4-

Lead concentration

Nu

mb

er o

f ch

ildre

n

n=140

Paula Strassmann

PGS Medical StatisticsMAIO/2010

Construção do Histograma para os dados da Tabela 1

Tabela 1. Ácido úrico sérico em homens sadios (Finn et al. (1966)).Ácido úrico

(mg/dl) Freqüência

absoluta Freqüência

relativa Porcentagem

(%)

3,0 | 3,5 2 0,008 0,8

3,5 | 4,0 15 0,056 5,6

4,0 | 4,5 33 0,124 12,4

4,5 | 5,0 40 0,150 15,0

5,0 | 5,5 54 0,202 20,2

5,5 | 6,0 47 0,176 17,6

6,0 | 6,5 38 0,142 14,2

6,5 | 7,0 16 0,060 6,0

7,0 | 7,5 15 0,056 5,6

7,5 | 8,0 3 0,011 1,1

8,0 | 8,5 1 0,004 0,4

8,5 | 9,0 3 0,011 1,1

Total 267 1,000 100,0 MAIO/2010 Paula Strassmann


Histograma para os dados da Tabela 1

Ácido úrico (mg/dl)

8,758,257,757,256,756,255,755,254,754,253,753,25

Po

rce

nta

ge

m60

50

40

30

20

10

0



0

10

20

30

40

50

60

3,25 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 8,75

Ácido úrico (mg/dl )

Po

rce

nta

ge

m



Polígono de frequência para os dados da Tabela 1

Estatística descritiva – Análise exploratória dos dados

Como resumir VARIÁVEIS NUMÉRICAS?

Medidas de posição ou

Medidas de tendência central

Moda

Média

Mediana

Quartis, percentis

Medidas de dispersão

Amplitude

Variância

Desvio padrão

MAIO/2010Paula Strassmann


Valor que ocorre com maior freqüência. Exemplo: As idades dos alunos de

uma classe são: 19, 19, 20, 20, 20, 21, 22. Nesse caso, Moda = 20 anos;

Pode existir mais de uma moda. Distribuição é bimodal, trimodal, ...

Exemplo: As idades dos alunos de uma classe são: 19, 19, 19, 20, 20, 20, 21,

22. Nesse caso, Moda = 19 e 20 anos (bimodal);

Pode não existir moda (não ter um valor mais freqüente). Exemplo: As idades

dos alunos de uma classe são: 18, 19, 20, 21, 22. Nesse caso, Não existe Moda.

Medidas de posição – Moda

Paula Strassmann


É a medida de tendência central mais utilizada;

Leva em conta todos os valores da variável;

É afetada por valores extremos;

É o “ponto de equilíbrio” da distribuição dos dados.

Média Média 22

(Dados ordenados)

Média 1Média 1

(Dados ordenados)

Paula Strassmann


Medidas de posição – Média

n

XXXX

n

XX n

n

ii

...3211

Exemplo: Um estudante fez 5 provas e obteve notas 75, 90, 83, 77 e

92. Então sua nota média é:

4,835

9277839075

X

Paula Strassmann


Medidas de posição – Cálculo da Média

Divide os dados ordenados ao meio;

Medida resistente: pouco afetada por mudanças de valores

discrepantes (extremos).

mediana

50%50%

(Dados ordenados)

Paula Strassmann


Medidas de posição – Mediana

Ordenam-se os dados;

Seleciona-se a observação central.

n ímpar: valor da observação central

n par: média das duas observações centrais

Posição da mediana = 3 Mediana = 83

Posição da mediana = 3,4 Mediana = (83 + 90)/2 = 86,5

Dados ordenados 75 77 83 90 92 97

posição 1 2 3 4 5 6

Dados ordenados 75 77 83 90 92

posição 1 2 3 4 5

Paula Strassmann


Medidas de posição – Cálculo da Mediana

Medidas de posição central

São valores únicos representativos dos dados. Os mais usados são

média aritmética, moda e mediana.

Exemplo:

Paciente Idade

1 392 503 604 705 396 727 338 379 8010 4911 46

Mediana = 49 anos (posição central)

Moda = 39 anos (idade mais freqüente)

Média = (575/11) = 52,3 anos

Paciente Idade

7 338 371 395 3911 4610 492 503 604 706 729 80

n = 11 Soma = 575 Paula Strassmann


Concluindo:

Média: É o “ponto de equilíbrio” da distribuição dos dados.

Moda: É o valor que ocorre com mais frequência.

Mediana: Divide os dados ordenados ao meio.



Exercício 1:

Com base nos dados da tabela abaixo, calcule:

Nº

AlunoTurma Sexo Idade Altura Peso Fuma

1 A M 17 1,6 69 Sim

2 A F 18 1,78 68 Não

3 B M 24 1,65 76 Sim

4 A M 33 1,82 106 Não

5 A F 35 1,7 78 Não

6 B F 48 1,59 71 Não

7 B F 24 1,72 70 Sim

8 B M 21 1,66 80 Não

9 A M 39 1,71 89 Não

10 A M 24 1,55 68,5 Não

a) Peso médio

b) Moda para Idade.

c) Altura Mediana.





Resolução do Exercício 1:

a)Peso médio:

Portanto, peso médio = 77,55 kg.

b) Moda para a Idade: Observando todas as idades da tabela, vemos que a

idade que mais aparece é 24 anos (3 alunos têm 24 anos). As demais idades

aparecem uma única vez. Portanto, Moda = 24 anos.



Resolução do Exercício 1 (Continuação):

c)Altura mediana:

Ordenação dos dados: 1,55; 1,59; 1,6; 1,65; 1,66; 1,7; 1,71; 1,72; 1,78;

1,82.

Nesse caso, n = 10 (número par de elementos) e então a mediana é a

média entre os 2 valores centrais. Posição da mediana: 5, 6.

Mediana =

Portanto, a altura mediana é 1,68 metros.

25% 25% 25% 25%

Q1 Q2 Q3

Dados em ordem crescente

Dividem os dados ordenados em 4 partes iguais:

25% dos dados estão abaixo do 1º quartil (Q1)

50% dos dados estão abaixo do 2º quartil (Q2 ou mediana)

75% dos dados estão abaixo do 3º quartil (Q3)

Dados ResistentesPaula Strassmann


Medidas de posição – Quartis

60N =

Pacientes atendidos

1200

1000

800

600

400

200

0

*3o quartil (Q3)3o quartil (Q3)

MedianaMediana

1o quartil (Q1)1o quartil (Q1)

1,5 (Q3 - Q1)1,5 (Q3 - Q1)

Ponto discrepante

Ponto discrepante

Box-plot

1,5 (Q3 - Q1)1,5 (Q3 - Q1)

Valor máximo entre os não discrepantes

Valor mínimo entre os não discrepantes

Paula Strassmann


1212N =

Tratamento BTratamento A

Tem

pe

ratu

ra (

ºC)

40,0

39,5

39,0

38,5

38,0

37,5

37,0

36,5

36,0

Temp. (ºC)

39,7

39,5

39,1

39,0

38,5

38,4

38,3

38,2

38,0

37,9

37,8

36,5

Tratamento 1

Temp. (ºC)

38,2

38,0

38,0

37,5

37,5

37,4

37,3

37,0

37,0

37,0

36,9

36,8

Tratamento 2

Exemplo: Gráfico de Box-Plot comparando dois tratamentos

Paula Strassmann


Distância entre os valores máximo e mínimo;

Amplitude = valor máximo – valor mínimo;

Ignora a distribuição dos dados;

Exemplo:

7 8 9 107 8 9 10

amplitude = 10 – 7 = 3 amplitude = 10 – 7 = 3

Paula Strassmann


Medidas de dispersão – Amplitude

Exemplo 1: Duas amostras de 20 indivíduos.

Amostra 1: Estatura mínima: 140 cm e Estatura máxima:

180 cm

Amostra 2: Estatura mínima: 150 cm e Estatura máxima:

175 cm

Em qual das duas amostras os indivíduos variam mais em

relação à estatura ? Paula Strassmann


Medidas de dispersão – Cálculo da Amplitude

Resolução do Exemplo 1:

Amostra 1: Estatura mínima: 140 cm

Estatura máxima: 180 cm

Amostra 2: Estatura mínima: 150 cm

Estatura máxima: 175 cm

Máx – mín =180 cm – 140 cm=

40 cm

Máx – mín =175 cm – 150 cm=

25 cm

Os cálculos sugerem que a Amostra 1 contém mais

estaturas diferentes, poisabrange uma faixa maior

de valoresPaula Strassmann


Medidas de dispersão – Cálculo da Amplitude (Continuação)

Exemplo 2: Duas amostras de estatura (cm) de 6 indivíduos.

Amostra 1: 150, 151, 153, 155, 158, 160

Amostra 2: 150, 155, 155, 155, 155, 160

A amplitude é a mesma nas duas amostras.

Em qual das duas amostras os indivíduos variam mais em

relação à estatura ?

Observando os valores um a um, percebemos que a Amostra 1

varia mais.

Paula Strassmann


Medidas de dispersão – Cálculo da Amplitude (Continuação)

No exemplo, vimos que amostras com a mesma média podem ter

variabilidades muito diferentes.

Como medir a variabilidade de um conjunto de dados?

A forma mais comum de medir a variabilidade é quantificá-la pelas

distâncias das observações com relação á média.

Paula Strassmann


Medidas de dispersão (Continuação)

Medidas de Dispersão – Variância amostral

1

)()(

2

12

n

XxXVar

n

ii

Paula Strassmann


A variância quantifica a variabilidade ou espalhamento ao redor da média das medidas.

Tende a ser um número grande e o seu valor sai dos limites dos valores observados em um

conjunto de dados. Além disso, sua unidade de medida corresponde a unidade de medida da

média elevada ao quadrado.

A variância quantifica a variabilidade ou espalhamento ao redor da média das medidas.

Tende a ser um número grande e o seu valor sai dos limites dos valores observados em um

conjunto de dados. Além disso, sua unidade de medida corresponde a unidade de medida da

média elevada ao quadrado.

1

)()(

2

1

n

XxXDP

n

ii

Paula Strassmann


Medidas de Dispersão – Desvio padrão amostral

O desvio padrão, que é a raiz quadrada da variância, tem a mesma

unidade de medida da média e pode ser usado para descrever a

quantidade de dispersão na distribuição da freqüência.

O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Um desvio padrão de 2

unidades pode ser considerado pequeno para um conjunto de dados cujo

valor médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode

ser dito. Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade

dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar dois ou mais

conjuntos de dados, relativamente à sua dispersão ou variabilidade, quando

expressas em unidades diferentes. Para contornar essas dificuldades e

limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em

termos relativos ao seu valor médio, medida essa denominada coeficiente de

variação (CV).

O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Um desvio padrão de 2

unidades pode ser considerado pequeno para um conjunto de dados cujo

valor médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode

ser dito. Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade

dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar dois ou mais

conjuntos de dados, relativamente à sua dispersão ou variabilidade, quando

expressas em unidades diferentes. Para contornar essas dificuldades e

limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em

termos relativos ao seu valor médio, medida essa denominada coeficiente de

variação (CV).

Medidas de Dispersão

(Continuação)



Paula Strassmann


Indica a dispersão em relação à média;

É uma medida de variabilidade relativa, definida como a razão entre

o desvio padrão e a média, sendo uma medida adimensional

expressa em percentual.

Pode ser usado para comparar a dispersão de dois conjuntos de

dados, sem que eles estejam necessariamente na mesma unidade de

medida.

X

SXCVXCV )()(

Medidas de Dispersão – Coeficiente de correlação

Coeficiente de variação – Exemplo 1

Como 13 representa Como 13 representa 18% de 72, então18% de 72, entãoo CV é de 18%o CV é de 18%

Por exemplo, em uma amostra de pacientes para determinação do

clearance de creatinina, constatou-se que a média era

de 72 ml/min e o desvio-padrão, de 13.

Paula Strassmann


Medidas as estaturas de 1017 indivíduos, obtivemos = 162,2 cm

e s = 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 58 kg,

com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam

maior variabilidade em estatura ou em peso?

Coeficiente de variação para as estaturas:

Coeficiente de variação para o peso:

CV = 8,01 = 0,0494 = 4,94%; 162,2CV = 8,01 = 0,0494 = 4,94%; 162,2

Coeficiente de variação – Exemplo 2

CV = 2,3 = 0,0397 = 3,97%. 58,0CV = 2,3 = 0,0397 = 3,97%. 58,0



Bibliografias recomendadas

PAGANO, Marcello (1945) – Princípios de bioestatística / Marcello Pagano, Kimberlee Gauvreau; tradução Luiz Sérgio de Castro Paiva; revisão técnica Lúcia Pereira Barroso. – São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. (paginas 304-317). Titulo original: Principles of bioestatistics

Bussab, W.O. e Morettin, P.A. (2005) - Estatística Básica. 5ª Edição. São Paulo: Saraiva. 526p.

Dawson-Saunders, Beth e Trapp, Robert G. (1994) - Basic & Clinical Biostatistics – A Lange medical book. Second Edition – Prentice-Hall Internationl Inc. 344p.

Riffenburgh, Robert H. (2006) – Statistics in Medicine – Second Edition – San Diego, Caifornia – Elsevier Academic Press – 622p.

Del Giglio, Auro (2008) – Conselhos para um jovem médico – 1ª Ed. – Editora Manole Ltda. – 118 p.




Paula G. Strassmann

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