remat_-_2014-15_-_flx_desviada-1

I

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS

(2014/2015)

FLEXÃO DESVIADA, EIXO NEUTRO

RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO CONSIDERANDO A SEGUINTE CONVENÇÃO:

ISABEL ALVIM TELES

0.20 m0.20 m

0.20 m

A B C

D E

G

yG

60°

M = 40 kNm

xG

X M

Y M

Y

Y

X

X σII

−=

G

y

x

+

+

My+

Mx+

I

RESISTÊNCIA DE MATERIAIS (2014-2015)

FLEXÃO DESVIADA, EIXO NEUTRO ISABEL ALVIM TELES

versão 0 1/6


ENUNCIADO

Considere a secção transversal recta (STR) representada na figura, constituída por um perfil HEB200 e uma cantoneira L 200x200x18, cujas características se indicam abaixo.

Na secção está a actuar um momento flector de 40 kNm com a seguinte direcção e sentido:

a) Defina a posição do eixo neutro;

b) Determine as máximas tensões de compressão e de tracção que estão a actuar na secção.

c) Determine qual deverá ser a orientação do plano de solicitação para que o eixo neutro passe no ponto A.

PERFIL Área

(cm2)

I xg

(cm4)

I yg

(cm4)

HEB 200 78,1 5696 2003

PERFIL Área

(cm2)

I ug

(cm4)

I vg

(cm4)

I xg = I yg

(cm4)

L 200x200x18 69,1 4130 1070 2600

RESOLUÇÃO

Alínea a)

• POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE

Área = 78,1 + 69,1 = 147,2 cm2

cm 17,323 2,147

69,1 x 25,6 78,1 x 10 xG =+=

cm 12,065 2,147

69,1 x 5,6)-(20 78,1 x 10 yG =+=

0.20 m0.20 m

0.20 m

A B C

D E

g

xg

yg

ug

vg5,6cm

5,6cm

gxg

yg

G

yG

60°

M = 40 kNm

xG

22.67717.323

12.065

G

xG

yG

7.935

I



versão 0 2/6


• DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA IXG

42X

cm 6029,036 2,065 78,1 5696 G

=×+=HEBI

42X

cm 2976,749 5,6) (7,935 69,1 2600 G

=−×+=CANI

4XXX

cm 9005,78 GGG

=+= CANHEB III

• DETERMINAÇÃO DO MOMENTO DE INÉRCIA IYG

42Y

cm 6191,216 7,323 78,1 2003 G

=×+=HEBI

42Y

cm 7333,953 17,323) (25,6 69,1 2600 G

=−×+=CANI

4YYY

cm 13525,17 GGG

=+= CANHEB III

• DETERMINAÇÃO DO PRODUTO DE INÉRCIA IXGYG

4YX

cm 1181,028 2,065 7,323 78,1 0 GG

=××+=HEBI

Para os eixos que passam no centro de gravidade da cantoneira (xg; yg):

4

vuuv

yx

cm 1530 )90cos( 0 )90( sen2

4130 1070

α2 cos α2 sen2

gg

gg

gg

=−×+−−=

=+−

=

oo

III

I CAN

Para os eixos que passam no centro de gravidade da secção (XG; YG):

4yxYX

cm 2865,482 5,6)7,935( 17,323)25,6( 69,1 1530 S . b . a ggGG

=+−×+−×+=+= CANCAN II

4YXYXYX

cm 4046,51 GGGGGG

=+= CANHEB I II

• EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS CENTRAIS DE INÉRCIA

2XY

2YX

YX1 4 )(

21

2

IIIIII +−++=

4221 cm 15900,2 4046,51 4 13525,17) (9005,78

21

213525,17 9005,78

=×+−++=I

2XY

2YX

YX2 4 )(

21 -

2

III

III +−+=

4222 cm 6630,8 4046,51 4 13525,17) (9005,78

21

213525,17 9005,78

=×+−−+=I

g

yg

ug

vg

xg

-45°

I



versão 0 3/6


o41,30

13525,17 9005,784046,51 2 arctg

21

2

arctg 21 p

YX

XYp =

−×−=α⇒

−−=α III

GGG Y14

X 4

Y de próximo mais cm 9005,78 cm 13525,17 IIII ⇒=>=

• MOMENTO

MX = − M . cos 29,59°

MX = − 40 cos 29,59° = −34,78 kNm

MY = − M . sen 29,59°

MY = − 40 cos 29,59° = − 19,75 kNm

• EIXO NEUTRO

0 X M

Y M

Y

Y

X

Xσ =−= II

0 X 10 15900,2

19,75 Y

10 6630,8

34,788-8-

=×

−−×

−

Eixo neutro: Y = 0,237 X

Ângulo que o eixo neutro faz com o eixo X:

o13,33 0,237 arctg θ ==

_______________________________________________________________________________________

G

xG

yG

X = 2Y = 1

30,41°

yG Y = 1

30,41°

29,59°MY MX

M = 40 kNm

X = 2

xG 30,41°

YyG

xG

X

13,33°

e. n.

I



versão 0 4/6


Alínea b) As máximas tensões actuam nos pontos mais distantes do eixo neutro, ou seja, nos pontos A e E.

• EXPRESSÃO DAS TENSÕES

0 X M

Y M

Y

Y

X

Xσ =−= II

X 10 15900,2

19,75 Y 10 6630,8

34,78 8-8-σ×

−−×

−=

• COORDENADAS DO PONTO A NO SISTEMA DE EIXOS (X; Y)

7,935

17,323

30,41 cos30,41 sen

30,41 sen 30,41 cos

Y

X

A

A

−×

−=

oo

oo

XA = 10,92 cm = 0,1092 m

YA = -15,61 cm = − 0,1561 m

• TENSÃO NO PONTO A (máxima tensão de tracção)

kPa 95442 0,1092 10 x 15900,2

19,75 0,1561)( 10 x 6630,8

34,78 8-8-Aσ =×+−×−=

MPa 95,44 Aσ = (tracção)

• COORDENADAS DO PONTO E NO SISTEMA DE EIXOS (X; Y)

12,065

2,677

30,41 cos30,41 sen

30,41 sen 30,41 cos

Y

X

E

E

−×

−=

oo

oo

XE = 3,798 cm = 0,03798 m

YE = 11,760 cm = 0,11760 m

• TENSÃO NO PONTO E (máxima tensão de compressão)

kPa 56969 0,03798 10 x 15900,2

19,75 0,11760

10 x 6630,8

34,78

8-8-Eσ −=×+×−=

MPa 57,0 Eσ −= (compressão)

_______________________________________________________________________________________

YyG

xG

X

13,33°

e. n.

A

E

I



versão 0 5/6


Alínea c) Eixo neutro a passar em A ⇒ recta a passar em G e A


XA = 10,92 cm = 0,1092 m

YA = −15,61 cm = − 0,1561 m

• EQUAÇÃO DO EIXO NEUTRO

Eixo neutro: ⇒−= X 0,10920,1562 Y Y = −−−− 1,4295 X ⇒ Y + 1,4295 X = 0

Ângulo que o eixo neutro faz com o eixo X:

o55,025 0,10920,1562 arctg θ −=

−=

0 X M

Y M

Y

Y

X

X σ =−= II

Y + 1,4295 X = 0

0 X 10 15900,2

M Y

10 6630,8

M8-

Y 8-

X =×

−×

10 22729,3 M

10 6630,8 M

1,4295 10 15900,2

M

1 10 6630,8

M

0 X 10 15900,2

M Y

10 6630,8

M

0 X 1,4295 Y

8-Y

8-X

8-Y

8-X

8-Y

8-X

×−=

×=

⇒

=×

−

=×

⇒

=×

−×

=+

74,73 ) 6630,822729,3 ( arctg )

MM

( arctg negativo M

positivo M

X

Y

Y

X o−=−==θ⇒

O plano de solicitação é perpendicular ao vector Momento.

oo 16,26 90 =±θ=β

e. n.

A

Y+

X=0

YX

yG

xG -55,025°

X

ββββ=16,26°

Y

M plano

de

solic

itaçã

o

θθθθ= −73,74°

xG

yG

I



versão 0 6/6


Alínea c) – resolução alternativa


XA = 10,92 cm = 0,1092 m

YA = −15,61 cm = − 0,1561 m

Eixo neuto: 0 X 10 15900,2

M Y

10 6630,8

M 0 X

M Y

M 8-

Y 8-

X

Y

Y

X

X σ =×

−×

⇒=−= II

Como o eixo neutro tem que passar em A: 0 0,1092 10 15900,2

M 0,1561)(

10 6630,8

M 8-

Y 8-

X =××

−−××

3,4278 MM

X

Y −=

o74,73 3,4278)( arctg ) MM

( arctg X

Y −=−==θ

positivo M negativo M ou negativo M positivo M Y X Y X ⇒⇒

O plano de solicitação é perpendicular ao vector Momento oo 16,26 90 =±θ=β⇒

X

ββββ=16,26°

Y

M plano

de

solic

itaçã

o

θθθθ= −73,74°

xG

yG

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