Relatório Anual de Iniciação Científica DEPARTAMENTO DE ......De modo a entender o que é uma...

Instabilidades Acústicas e Combustão:

Estudo Numérico da Interação entre

Chamas e Ondas Acústicas

Relatório Anual de Iniciação Científica

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

Rio de Janeiro

Julho de 2013

Instabilidades Acústicas e Combustão:

Estudo Numérico da Interação entre

Chamas e Ondas Acústicas

Relatório Anual de Iniciação Científica

Gabriel R. Azevedo

Orientador: Luís Fernando Figueira da Silva

Rio de Janeiro, Julho de 2013.

Resumo

Este documento constitui o relatório anual do projeto de iniciação cientifica

intitulado “Instabilidades Acústicas e Combustão: Estudo Numérico da Interação

entre Chamas e Ondas Acústicas”. Os principais objetivos deste projeto são (i)

derivar equações de onda acústica para escoamentos reativos e turbulentos; e (ii)

analisar esquemas numéricos utilizados nos processos de discretização deste tipo

de equações. Neste trabalho, portanto, as principais equações que governam ondas

acústicas em escoamentos turbulentos e reativos foram derivadas. A derivação

teve como ponto de partida as equações fundamentais de transporte de massa,

quantidade de movimento e energia. Inicialmente, por questões de familiarização

com o tema abordado, a forma indicial das equações fundamentais foi obtida a

partir da sua respectiva forma vetorial. Em seguida, através do uso de hipóteses

simplificadoras, derivou-se a equação geral de onda acústica para escoamentos

reativos e, particularmente, para escoamentos a baixo número de Mach.

Finalmente, diferentes métodos de discretização numérica baseadas em diferenças

finitas tradicionais e diferenças finitas compactas foram analisados e seus

resultados comparados graficamente.

Os principais resultados obtidos mostram que a escolha do método

numérico a ser utilizado para discretizar as equações de onda acústica deve ser

baseada tanto nas caraterísticas dispersivas como dissipativas do esquema. Isto é

devido a que erros dispersivos relativamente pequenos não implicam

necessariamente em erros dissipativos também desta natureza, e vice-versa.

Baseado nos resultados obtidos, tanto para diferenças finitas tradicionais quanto

para diferenças finitas compactas, conclui-se que este último é bem mais preciso,

pois seus resultados para diferentes ordens de precisão se aproximam mais da

solução exata do que o primeiro. Uma vez que as equações de onda acústica foram

satisfatoriamente deduzidas e diferentes métodos numéricos de discretização

foram analisados, concluiu-se que os objetivos inicialmente propostos foram

atingidos. Como trabalho futuro pode-se indicar a solução das equações de onda

derivadas e sua aplicação para a análise de instabilidades acústicas presentes em

escoamentos turbulentos e reativos.

Índice

1 Introdução 7

1.1 Objetivo do Projeto 8

1.2 Metodologia 8

1.3 Organização do Relatório 9

2 Equações de Transporte Fundamentais 11

2.1 Transporte de Massa 11

2.2 Transporte de Quantidade de Movimento 12

2.3 Transporte de Energia 15

3 Equação Geral de Onda Acústica em Escoamento Reativo 18

3.1 Principais Hipóteses 18

3.2 Equação Geral de Onda 18

4 Equação de Onda Acústica em Escoamento a Baixo Mach 26

4.1 Principais Hipóteses 26

4.2 Equação de Onda 29

4.3 Pressão e Velocidade Acústicas 30

5 Esquemas Numéricos: Método de Diferenças Finitas Tradicionais 35

5.1 Forma Geral 35

5.2 Análise de Fourier 44

6 Esquemas Numéricos: Método de Diferenças Finitas Compactas 50

6.1 Formulação Interior 50

6.1.1 Forma Geral 50

6.1.2 Análise de Fourier 51

6.2 Formulação de Fronteira 54

6.2.1 Forma Geral 55

6.2.2 Análise de Fourier 56

7 Conclusões e Perspectivas 60

8 Referências Bibliográficas 61

Lista de Figuras

Figura 4-1. Ondas longitudinais para seção de dutos variáveis [1] 32

Figura 5-1. Transporte de onda utilizando esquemas de diferenças

finitas tradicionais de 2ª ordem 42









Figura 5-6. Espectro de Número de Ondas para esquemas de

diferenças finitas tradicionais 49

Figura 6-1. Gráfico de número de onda modificado vs número de onda

para aproximação da primeira derivada. 54

Figura 6-2. Parte real do número de onda modificado para

aproximação da primeira derivada nas fronteiras do

domínio (caraterísticas dispersivas) 59

Figura 6-3. Parte imaginária do número de onda modificado para

aproximação da primeira derivada nas fronteiras do

domínio (caraterísticas dissipativas) 59

1 Introdução

O processo de combustão é estratégico para a economia de todos os países

uma vez que este é responsável por mais de 85% da energia utilizada pelo homem.

Este fato evidencia o nível de importância da combustão nas atividades cotidianas

do ser humano. Os equipamentos industriais, tais como as turbinas a gás, que

utilizam combustão como fonte de energia são assim largamente utilizados no

mundo todo. Devido aos processos físico-químicos que ocorrem neste tipo de

equipamentos, eles podem apresentar um comportamento instável resultante de

um acoplamento indesejável entre a liberação de calor pelas reações químicas e a

propagação de ondas acústicas. Os avanços tecnológicos puxando até o limite o

desenvolvimento deste tipo de equipamentos e as regulações meio ambientais

cada vez mais restritivas contribuem também para a ocorrência do comportamento

instável acima mencionado. Em particular, determinados regimes de operação

destes equipamentos visando minimizar a emissão de poluentes gasosos, óxidos

de nitrogênio (NOx) por exemplo, podem fomentar a formação de ciclos instáveis

(amplificações de pressão e velocidade) com efeitos catastróficos.

Para evitar a ocorrência deste tipo de fenômenos é necessário entender os

mecanismos que o originam. Uma maneira de obter este entendimento é através

de análises numéricas, usando, por exemplo, técnicas de Dinâmica dos Fluidos

Computacional (CFD), as quais permitam modelar com um menor ou maior grau

de precisão os fenômenos termoacústicos que originam as referidas instabilidades.

Mais especificamente, neste trabalho ondas acústicas presentes em escoamentos

turbulentos e reativos são estudadas. As principais equações que governam ondas

acústicas neste tipo de escoamentos são assim derivadas e diferentes métodos de

discretização numérica baseadas em diferenças finitas tradicionais e diferenças

finitas compactas [2] são analisados e seus resultados comparados graficamente.

Introdução 8

1.1 Objetivo do Projeto

Os objetivos principais do presente projeto são:

Derivar equações de onda acústica para escoamentos reativos e

turbulentos de tal forma a permitir o estudo de instabilidades

termoacústicas causadas pela liberação de calor e a propagação destas

ondas.

Analisar esquemas numéricos utilizados em processos de discretização

de ondas acústicas as quais possibilitam a resolução destas em

ferramentas de dinâmica dos fluidos computacional (CFD).

1.2 Metodologia

A metodologia a seguir envolve as seguintes etapas:

Para poder dar início ao projeto, foi feita uma revisão bibliográfica [1,3]

para se familiarizar com os termos e vocabulário a serem utilizados

durante a pesquisa. Os temas particulares investigados estiveram

relacionados às interações entre combustão, turbulência e ondas

acústicas em aplicações práticas.

De modo a entender o que é uma onda acústica, foi preciso iniciar com

as equações fundamentais da mecânica dos fluidos, que são: transporte

de massa, de quantidade de movimento e energia. Para facilitar futuras

deduções de outras equações, a forma indicial destas equações

fundamentais foi obtida usando-se suas respectivas formas vetoriais.

Utilizando-se, inicialmente, algumas hipóteses simplificadoras e

posteriormente operações algébricas, a partir das equações

fundamentais, foi derivada a forma geral da equação de onda acústica na

sua forma indicial. Nesse caso, as derivações foram para escoamentos

reativos. Seguidamente, a equação de onda derivada foi particularizada

para escoamentos a baixo número de Mach. Adicionalmente as equações

correspondentes a escoamentos inertes também foram obtidas.

Introdução 9

Uma vez derivadas as equações de onda, estas precisam ser resolvidas.

O primeiro passo, neste processo, envolve a discretização destas. Logo,

métodos numéricos usados com esta finalidade foram estudados. Os

métodos analisados envolvem diferenças finitas tradicionais e diferenças

finitas compactas [2]. A forma geral das expressões correspondentes aos

métodos baseados em diferenças finitas tradicionais foi derivada usando

séries de Taylor.

Para analisar o erro associado com estes métodos de discretização, uma

técnica muito útil envolve o uso de transformadas de Fourier. Com ela,

podem-se obter expressões em função do número de onda (no espaço de

frequência) ilustrando assim as características principais do método

numérico de discretização sendo analisado.

Para o método de diferenças finitas compactas o processo foi

semelhante. Primeiramente, as expressões gerais disponíveis na

literatura [2] para pontos no interior do domínio foram analisadas

usando transformadas de Fourier. Posteriormente, foi feito a mesma

análise para pontos correspondentes à fronteira do domínio. Outros

esquemas aplicáveis a esta situação particular também foram analisados

[4]. Finalmente, os resultados obtidos usando os diferentes métodos

numéricos estudados foram analisados e comparados graficamente.

1.3 Organização do Relatório

O presente relatório é organizado em 7 capítulos adicionais ao presente

(Capítulo 1). No Capítulo 2 a forma indicial das equações fundamentais de

transporte de massa, de movimento e energia foram obtidas usando-se suas

respectivas formas vetoriais.

O Capítulo 3 retrata a derivação da equação geral de onda acústica para

escoamentos reativos a partir das equações de transporte fundamentais e a

utilização de hipóteses simplificadoras. A equação geral de onda acústica obtida

no capítulo anterior é particularizada no Capítulo 4 para escoamentos a baixo

número de Mach e adicionalmente para escoamentos inertes.

Introdução 10

Nos Capítulos 5 e 6 são estudados métodos de discretização espacial que

permitem a resolução das equações de onda encontradas. Os esquemas numéricos

utilizados para tal resolução foram os métodos de diferenças finitas centradas e

método de diferenças finitas compactas. As principais conclusões obtidas a partir

das análises feitas durante o desenvolvimento deste trabalho e as referências

consultadas são salientadas nos capítulos 7 e 8, respectivamente.

2 Equações de Transporte Fundamentais

Neste capítulo são introduzidas, primeiramente, as equações fundamentais

da mecânica dos fluidos, as quais são usadas como base para estudar ondas

acústicas em escoamentos reativos. Mais especificamente, a partir da forma

vetorial destas equações fundamentais, suas respectivas formas indiciais foram

obtidas.

2.1 Transporte de Massa

A equação de transporte de massa na forma vetorial é dada por [1]:

0 (2.1)

Para obter sua respectiva forma indicial, primeiramente expande-se o termo

com gradiente de velocidade:

0 (2.2)

Sabe-se que a derivada material da densidade é igual a:

. (2.3)

Substituindo (2.3) em (2.2):

. 0 (2.4)

Logo expande-se o gradiente e o vetor velocidade:

Equações de Transporte Fundamentais 12

, , . , ,

0

(2.5)

Resolve-se os termos escalar e de multiplicação da equação (2.5):

0 (2.6)

Arruma-se os termos de forma que os denominadores iguais fiquem juntos:

0(2.7)

Observa-se que nos termos entre parênteses pode ser aplicada a regra da

cadeia:

0 (2.8)

Por fim, foi usado a convenção de soma de Einstein para obter o somatório

de velocidade em um único índice:

0 (2.9)

2.2 Transporte de Quantidade de Movimento

A forma vetorial é dada por [1]:

. (2.10)

Inicialmente, usando a equação (2.3), o termo contendo a derivada material

da velocidade pode ser rescrito como:

. (2.11)


O termo envolvendo o tensor de cisalhamento é uma matriz 3x3, com

coordenadas nos eixos x,y,z:

(2.12)

Expande-se os termos da equação (2.11) envolvendo gradientes e substitui-

se (2.12) em (2.11):

, , , ,

, ,

, , .

(2.13)

Resolve-se os termos escalares e as multiplicações:

, , , ,

, ,

(2.14)

Compara-se os termos do lado esquerdo com o lado direito e iguala-se

aqueles que têm os mesmos índices:

(2.15)

(2.16)


(2.17)

Nesse caso considera-se a direção no eixo j, portanto a equação (2.16) foi

utilizada.

Para dar continuidade à resolução, pela equação (2.9) multiplica-se os

termos pela velocidade na direção escolhida:

0 (2.18)

Agora, soma-se as equações (2.16) e (2.18) e agrupa-se por denominadores

iguais:

(2.19)

Observa-se que os termos entre parênteses podem ser escritos como uma

regra do produto:

(2.20)

Os termos com os componentes do tensor de cisalhamento podem ser

escritos na forma de uma somatória. Assim usando-se a convenção da soma de

Einstein tem-se que:

(2.21)

Portanto, a forma final da equação de transporte de quantidade de

movimento é dada por:

(2.22)


2.3 Transporte de Energia

A equação de transporte de energia na sua forma vetorial é dada por [1]:

: , . (2.23)

Primeiramente o termo a ser modificado é aquele com o tensor de

cisalhamento. Portanto, após sua expansão toma a forma:

: : (2.24)

A equação (2.24) pode ser escrita na forma de somatórios:

: (2.25)

Ainda pode ser escrita como:

: (2.26)

Utilizando a propriedade do produto duplo de Dyads, a equação (2.26) é

expressa por:

. : . (2.27)

Outra propriedade vista foi a de vetores unitários para Dyads:

(2.28)

Para finalizar a primeira parte, o método de substituição para Dyads foi

requerido e as etapas serão mostradas:

1ª etapa:


(2.29)

2ª etapa:

(2.30)

3ª etapa:

(2.31)

4ª etapa:

(2.32)

O segundo termo da equação (2.23) a ser modificado é:

, . (2.33)

Expande-se o termo gradiente:

, , , , , , . , , (2.34)

Efetua-se, agora, o produto escalar:

, , , , (2.35)

Pela convenção de soma de Einstein pode-se reduzir os termos entre

colchetes para um único termo da forma:

, , (2.36)

Portanto, substituindo (2.32) e (2.36) em (2.23), a equação de transporte de

energia na forma indicial é dada por:


, , (2.37)

As formas indiciais das equações de transporte de massa, transporte de

quantidade de movimento e transporte de energia foram minuciosamente

deduzidas. No capítulo seguinte, essas equações serão usadas como base para

encontrar as equações de onda acústica.

3 Equação Geral de Onda Acústica em Escoamento Reativo

Este capítulo retrata a derivação da equação geral de onda acústica para

escoamentos reativos a partir das equações de transporte fundamentais e a

utilização de hipóteses simplificadoras.

3.1 Principais Hipóteses

Algumas hipóteses foram utilizadas de forma a desconsiderar as forças de

corpo (fk=0) e a existência de fontes ou sumidouros de energia 0 .

3.2 Equação Geral de Onda

Para começar, baseia-se na equação (2.23) e precisa-se da equação de estado

para dar sequência à dedução:

(3.1)

Substitui-se (3.1) em (2.23):

: , . (3.2)

Pode-se utilizar o recurso da regra da cadeia no termo modificado – segundo

termo do lado direito da equação (3.2):

:

, . (3.3)

Mais uma vez pela regra da cadeia:

Equação Geral de Onda Acústica em Escoamento Reativo 19

:

, . (3.4)

Divide-se todos os termos por:

(3.5)

Então a equação é dada por:

1

1

: , .

(3.6)

Substituindo a equação (3.1) na parte esquerda da equação (3.6)

(temperatura), e após as respectivas simplificações, observa-se então a nova

equação:

1

1:

, .1

(3.7)

O logaritmo natural tem uma propriedade em que pode ser escrito como:

1(3.8)

Então pela propriedade do quociente do logaritmo e pela equação (3.8):


1:

, .1

(3.9)

Substituindo a equação (3.8) em (3.9) e trocando de lado o segundo termo

da esquerda com o último da direita da equação (3.9):

1 1

1:

, .1

(3.10)

Fazendo operações algébricas e usando a regra da cadeia no último termo da

direita:

11

1:

, .1

(3.11)

Simplificando termos na equação (3.11):


1

1:

, .1 1

(3.12)

Utilizando, agora a equação (2.1) e a dividindo por ρ:

1. 0 (3.13)

Outra equação que será necessária é a de gases ideais:

1(3.14)

Substituindo (3.13) e (3.14) em (3.12), a equação do logaritmo da pressão

toma a forma:

1.

1:

, .1

(3.15)

Para continuação da dedução, agora, será utilizada a equação (2.10) e dela

todos os termos são divididos por ρ:

1 1. (3.16)

Divide-se por p no denominador e no numerador no segundo termo e

utiliza-se a equação (3.8):

1. (3.17)

Definindo a equação para velocidade do som:


(3.18)


1. (3.19)

Por fim, derivando-se materialmente a equação (3.15):

1.

1:

, .1

(3.20)

Multiplica-se, também, todos os termos da equação (3.19) pelo divergente:

. .1

. (3.21)

Assim subtraindo-se (3.20) de (3.21):

. .1

.

.1

.

1:

, .1

(3.22)

Rearranjando os termos:


.1

.1

.

1:

, .

. .

(3.23)

Os dois últimos termos desta equação precisam de tratamento adicional.

Então, para começar, expande-se os termos:

. .

, , . , ,

, , . , ,

(3.24)

Fazendo os produtos escalares:

(3.25)

Utilizando-se a equação (2.3) nos termos contendo derivadas materiais:


(3.26)

Anulam-se os termos envolvendo derivadas temporais considerando-se a

permutabilidade das derivadas temporal e espacial. Portanto a nova equação pode

ser expressa por:

(3.27)

Pela regra do produto entre termos de denominadores iguais tem-se:

(3.28)

Alguns termos, também, serão cancelados e resultará em:


(3.29)

Podendo ser expresso em apenas um termo, o qual leva a seguinte forma

final:

. . (3.30)

Comparando o lado direito da equação (3.30) com (2.32), pode-se perceber

que ambos termos são iguais, porém este ultimo caso envolve o produto de dois

gradientes de velocidade. Isto implica que a equação (3.30) pode ser expressa

como:

. . : (3.31)

Logo, a equação (3.23), a qual representa a forma geral da equação de onda

acústica, toma a forma final indicada a seguir:

.1

.1

.

1:

, .

:

(3.32)

Neste capítulo a equação geral de onda acústica para escoamento reativos

foi encontrada. No seguinte capítulo, esta equação será particularizada para baixo

número de Mach e para escoamentos inertes com base em hipóteses

simplificadoras.

26

4 Equação de Onda Acústica em Escoamento a Baixo Mach

No presente capítulo, a equação geral de onda foi particularizada para

escoamentos a baixo número de Mach e, também, para escoamentos inertes.

4.1 Principais Hipóteses

As principais hipóteses consideradas para particularizar a equação de onda

para escoamentos a baixo Mach e escoamentos inertes são as seguintes:

Escoamento médio a baixa velocidade 0

Peso molecular igual para todas as espécies

Estas hipóteses levam a diversas simplificações tal como salientadas a

seguir:

Ordem de magnitude: A análise de ordem de magnitude realizada por

Kotake [5] mostra que os termos dominantes na equação geral de onda,

equação (3.32), são os associados com a liberação de calor químico e as

velocidades de perturbação.

Derivada material: Uma vez que as derivadas convectivas são termos de

segunda ordem quando comparadas às derivadas temporais, para

escoamentos a baixo Mach, a derivada material é aproximada pela

derivada parcial temporal:

(4.1)

Taxa de reação: O calor específico (mássico) a pressão constante é dado

por:

, (4.2)

Considerando que Y1>>Y2,Y3,... é a espécie dominante, tem-se que:

Equação de Onda Acústica em Escoamento a Baixo Mach 27

, (4.3)

Adicionalmente a entalpia (estática) da mistura de gases é dada por:

(4.4)

Onde hk é a entalpia (estática) da espécie k e∆ , é a entalpia de formação:

, ∆ , (4.5)

A entalpia sensível da espécie k é dada por:

, , (4.6)

E da mesma forma:

, (4.7)

Para Y1 1

, (4.8)

Assim do termo de taxa de reação dado por:

(4.9)

Expandindo-o tem-se que:

, ∆ , (4.10)

Como a entalpia sensível é constante, equação (4.8), a taxa de reação

(mássica) é dada por:

∆ , (4.11)


Razão de calores específicos: Considerando-se Cp e Cv funções da

temperatura e baseado no conceito de espécie dominante (k1 e k2

constantes de proporcionalidade):

(4.12)

(4.13)

Assim dividindo-se Cp por Cv tem-se:

(4.14)

Outras relações – Gás ideal: Para o caso de gases ideais:

(4.15)

(4.16)

Unindo (4.15) e (4.16) tem-se:

(4.17)

Da equação de gases ideais:

(4.18)

Juntando (4.17) e (4.18):

1 (4.19)

Outras relações – Pressão acústica: Considerando-se a pressão como

sendo a soma de dois termos, um termo associado ao escoamento médio

(p0) e outro correspondente à perturbação acústica (p1), tem-se:

(4.20)

Portanto:

1 (4.21)

Assumindo-se que ≪ 1, tem-se que:

(4.22)


Para derivadas parciais, utiliza-se a equação (4.20) e obtêm-se:

(4.23)

As derivadas temporal e espacial da pressão, considerando-se que a pressão

do escoamento médio é praticamente constante, tomam a forma indicada a seguir:

(4.24)

(4.25)

4.2 Equação de Onda

Para início de dedução, foi utilizada a equação (3.32). Dela pode-se, através

das hipóteses mencionadas anteriormente, simplificar grandemente a equação de

onda acústica.

Da análise realizada por Kotake [5], admite-se somente termos relacionados

à transferência de calor e velocidade de perturbação, então a equação (3.32)

reduz-se a:

1 1: (4.26)

Outra simplificação vem da equação (4.11) – taxa de reação:

1 1: (4.27)

Pela hipótese vinda da equação (4.14), razão de calores específicos

constante, simplifica-se para:

: (4.28)

Usando a equação (4.16) e (4.1) nesta última equação:

1: (4.29)


Falta agora somente linearizar a expressão resultante. Assim usando as

equações (4.22) e (4.25) na (4.29):

: (4.30)

Finalmente, substituindo-se a equação (4.19) em (4.30), a forma final da

equação de onda para escoamento reativo a baixo Mach é a seguinte:

1 : (4.31)

E para o caso de escoamento não reativo, da equação (3.18) e sabendo-se

que γ, p0 e ρ0 são aproximadamente constantes e que não há taxa de reação

química, a equação de onda para escoamentos inertes a baixo Mach é dada por:

: (4.32)

4.3 Pressão e Velocidade Acústicas

Nesta seção a derivação da pressão e velocidade acústicas é detalhada.

Assim usando-se a equação (2.10), porém sem incluir os termos de viscosidade

tem-se que.

(4.33)

O primeiro passo envolve a linearização da pressão, da densidade e da

velocidade de escoamento. O procedimento seguido para a densidade é similar ao

demonstrado na equação (4.22) e para a pressão e velocidade, similares a (4.24) e

(4.25). Como resultado deste processo de linearização temos que:

(4.34)

(4.35)

(4.36)


Considerando a hipótese que se pode aproximar a derivada material

temporal para derivada parcial temporal – equação (4.1) – e o resultado da

linearização – equações (4.34)-(4.36), a equação (4.33) a qual corresponde à

velocidade acústica é expressa como:

1(4.37)

Para o caso da pressão acústica, parte-se da equação (3.15) correspondente

ao logaritmo natural da pressão. Nesta expressão, desprezam-se os termos de

viscosidade e variações de peso molecular, com o qual os termos associados à

velocidade de difusão e Dr/Dt desparecem. Mais especificamente, considera-se a

equação (4.11) e que Cp,k é constante (espécie dominante):

, . 0 (4.38)

Isto é devido a que por definição:

0 (4.39)

Então se fazendo tais considerações, a equação (3.15) a qual corresponde à

pressão acústica é expressa da forma:

1.

1(4.40)

Adicionalmente, linearizando a equação (4.40) para ordem zero, o termo

associado à derivada desaparece. Para linearizar a pressão e velocidade usa-se a

equação (4.24), e para a taxa de reação, o único termo que contém na ordem zero

é:

(4.41)

Logo a equação (4.40) em ordem zero é expressa como:

.1

(4.42)

Para o caso de ordem um, faz-se os mesmos procedimentos realizados para

a ordem zero. As equações de linearização para pressão estão em (4.22) e (4.25) e

para taxa de reação e velocidade são:


(4.43)

(4.44)

Logo substituindo-se as equações (4.22),(4.25),(4.43),(4.44) na (4.40):

1 1.

1(4.45)

Rearranjando os termos tem-se:

1 1 1 1(4.46)

Substituindo (4.42) em (4.46) nesta última expressão:

1 1 1(4.47)

Sabe-se adicionalmente que, das equações (4.16) e (4.19):

1 1(4.48)

Então substituindo-se (4.48) em (4.47) e novamente considerando a equação

(4.1), finalmente tem-se:

1 1 1(4.49)

No caso particular de uma onda longitudinal em um duto de seção variável,

Figura 4-1, expressões adicionais podem ser obtidas.

Figura 4-1. Ondas longitudinais para seção de dutos variáveis [1]

A equação usada como ponto de partida na primeira parte é a (4.37). Dela

expande-se os termos:


, , , , ,1

, , 0,0,0 (4.50)

Considera-se o fluxo somente em uma direção, ou seja, o escolhido foi no

sentido do eixo z:

,1

0 (4.51)

A segunda parte vem da equação (4.49). Considerando somente o eixo z

para sentido do fluxo, e integrando ambos os lados da equação, tem-se:

1 1 1(4.52)

Separa-se os termos dentro da integral em dois e considera-se a

permutabilidade das operações de integração e derivação:

1 1

1

(4.53)

Pode-se retirar de dentro da integral em todos os termos, caso haja, γ, p0, ρ,

Cp, T, p1, u1, , pois todos não variam em x ou y:

1 1

1

(4.54)

Sabe-se que (onde S é a área longitudinal variável do duto):

(4.55)


1 1 1(4.56)

No primeiro termo da equação (4.56), a área não depende do tempo, mas

somente de z, portanto pode ser tirada da derivada:


1 1 1(4.57)

Dividindo-se todos os termos pela área, a equação de uma onda longitudinal

propagando-se em um duto de seção variável é dada por:

1 1 1 1(4.58)

Neste capítulo as equações de onda para baixo número de Mach e para

escoamentos inertes foram derivadas. No próximo capítulo alguns dos métodos de

discretização numérica usados para resolver essas equações de onda acústica serão

analisados. Métodos estudados incluem diferenças finitas centradas e diferenças

finitas compactas.

5 Esquemas Numéricos: Método de Diferenças Finitas Tradicionais

Neste capítulo os métodos de diferenças finitas centradas usados

tradicionalmente para discretizar as equações de onda acústica são estudados.

5.1 Forma Geral

Primeiramente considera-se uma malha onde se encontram pontos discretos

uniformemente distribuídos. Um ponto arbitrário é dado por xi, onde o ponto

seguinte é xi+1 e o anterior é xi-1:

.xi-2 .xi-1 .xi .xi+1 .xi+2

O espaçamento entre pontos é dado por Δxi=xi-1-xi. Então para obter as

expressões correspondentes às diferenças finitas centradas, foi preciso usar séries

de Taylor. Assim da sua forma geral tem-se que:

2!⋯

!

(5.1)

Onde Rn+1 corresponde ao termo de integração dado por:

…

Rescrevendo a equação (5.1) para ∆ obtém-se o método de

discretização conhecido como Forward Euler. Os detalhes a seguir:

Esquemas Numéricos: Método de Diferenças Finitas Tradicionais 36

∆

∆

∆2!

⋯

∆!

(5.2)

Simplificando os termos:

∆

∆∆2!

⋯

∆!

(5.3)

Finalmente a equação correspondente a Forward Euler é dada por:

∆∆

∆2!

⋯∆

!

(5.4)

Para Backward Euler segue-se um procedimento similar (em ∆ :

∆

∆

∆2!

⋯

∆!

(5.5)

Simplificando os termos:


∆

∆∆2!

⋯∆

!

(5.6)

A equação para Backward Euler é dada por:

∆∆

∆2!

⋯∆

!

(5.7)

As expressões de Euler obtidas são de ordem um. A seguir são feitas as

deduções usando séries de Taylor dos métodos de diferenças finitas centradas para

ordens superiores. No caso foram feitas para segunda, quarta e sexta ordens. Para

a oitava e décima ordens o procedimento é similar.

Segunda ordem

Multiplica-se (5.4) por Δxi-1 e (5.7) por Δxi:

∆ ∆∆

∆∆2!

⋯∆

!

(5.8)

∆ ∆∆

∆∆2!

⋯

∆!

(5.9)

Subtrai-se (5.8) de (5.9):


∆ ∆∆

∆ ∆∆

∆ ∆

∆ ∆3!

∆ ∆3!

⋯

(5.10)

Divide-se (5.10) por (Δxi-1 + Δxi):

1∆ ∆

∆ ∆∆

∆ ∆∆

1∆ ∆

∆ ∆3!

∆ ∆3!

⋯

(5.11)

Considerando-se que Δxi-1=Δxi =Δx, pode-se simplificar alguns termos:

12∆

∆ ∆

∆3!

∆5!

⋯(5.12)

Sabe-se que u(xi-Δxi)=u(xi-1)=ui-1, assim como u(xi+Δxi)=u(xi+1)=ui+1. Logo

a equação para segunda ordem:

12∆

∆3!

∆5!

⋯ (5.13)

Quarta ordem

Agora o termo Δx será igual a 2Δx, então a equação (5.13) é dada por:

14∆

2∆3!

2∆5!

⋯ (5.14)

Multiplica-se (5.13) por 4:

42∆

4∆3!

∆5!

⋯ (5.15)


Subtrai-se (5.15) de (5.14):

42∆ 4∆

3 12∆5!

60∆7!

⋯

(5.16)

Dividindo todos os termos por 3 e rearranjando eles tem-se que:

812∆

4∆5!

20∆7!

⋯

(5.17)

Multiplicando em cima e em baixo por 2 no termo da esquerda, a expressão

correspondente a quarta ordem é dada por:

16 224∆

4∆5!

20∆7!

⋯

(5.18)

Sexta ordem

Agora o termo Δx será igual a 3Δx, então a equação (5.13) pode ser

expressa como:

16∆

3∆3!

3∆5!

⋯ (5.19)

Multiplica-se (5.13) por 9:

92∆

9∆3!

∆5!

⋯ (5.20)

Subtrai-se (5.20) de (5.19):

92∆ 6∆

8 72∆5!

720∆7!

⋯

(5.21)

Dividindo-se todos os termos por 8:


2748∆

9∆5!

90∆7!

⋯

(5.22)

Multiplica-se a equação (5.18) por 9 e (5.22) por 4:

144 1824∆

9 36∆5!

180∆7!

⋯

(5.23)

108 448∆

4 36∆5!

360∆7!

⋯

(5.24)

Subtrai-se (5.23) de (5.24):

144 1824∆

108 448∆

5 180∆7!

⋯

(5.25)

Dividindo tudo por 5 nesta última expressão a equação de sexta ordem é

dada pela seguinte forma:

36 7,2 0.848∆

36∆7!

⋯

(5.26)

A Tabela 5-1 sumariza os valores dos coeficientes encontrados para os

métodos de diferenças finitas centradas de segunda, quarta e sexta ordem. Os

correspondentes a oitava e décima ordem são incluídos também para referência.


Tabela 5-1. Coeficientes dos esquemas de diferenças finitas tradicionais

Coeficientes do Esquema de Diferenças Finitas Tradicionais

Coeficiente 2ª ordem 4ª ordem 6ª ordem 8ª ordem 10ª ordem

a(1) 1/2 8/12 45/60 32256/40320 302400/362880

a(2) -1/12 -9/60 -8064/40320 -86400/362880

a(3) 1/60 1536/40320 21600/362880

a(4) -144/40320 -3600/362880

a(5) 288/362880

A equação usada como teste de verificação dos métodos de diferenças

finitas tradicionais é uma equação de transporte convectiva dada por:

0 (5.27)

Como condição inicial foi usada um pulso senoidal devido a que apresenta

características dispersivas e dissipativas em esquemas numéricos. O pulso

senoidal usado é da forma:

, 0.5 (5.28)

Nesta equação k é o número de onda,

(5.29)

ω é a frequência angular (igual 2π) e λ é o comprimento de onda, cujo valor

adotado é igual 30. Nesse projeto, para fins de cálculos foi considerado que o

espaçamento temporal e espacial é igual a um (∆t=∆x=1). Portanto a condição de

CFL (Courant–Friedrichs–Lewy) é também igual a um (velocidade de pulso

unitária).

A equação (5.27) possui derivadas espacial e temporal e para cada uma

destas foi utilizado um método numérico diferente. O método de Runge Kutta de

6 estágios e quinta ordem salientado em [6] foi usado para a integração temporal.

Os coeficientes associados a este método particular de integração estão

sumarizados na Tabela 5-2.


Tabela 5-2. Coeficientes do esquema de Runge Kutta utilizado [6]

RK 6ª ordem

α(1) 1/6

α(2) 1/5

α(3) 1/4

α(4) 1/3

α(5) 1/2

α(6) 1

Para a derivada espacial, o método de diferenças finitas centradas, cujas

expressões foram deduzidas nesta seção, foi utilizado. A resolução da equação de

teste usada para verificação destes métodos foi realizando usando um programa

computacional implementado. Os resultados das simulações aparecem mostrados

na Figura 5-1 a Figura 5-5.

Figura 5-1. Transporte de onda utilizando esquemas de diferenças finitas tradicionais de

2ª ordem

Observando-se estas figuras (Figura 5-1 a Figura 5-5) pode-se notar que

quando aumenta a ordem da aproximação, a solução numérica tende mais á

solução exata. Nota-se também que com o aumento da ordem do esquema

numérico o nível de dispersão da solução diminui. Ao utilizar ordens muito

grandes, como por exemplo oitava e décima ordem, o erro associado aos métodos

de diferenças finitas diminui, porém o custo computacional aumenta. Isto se deve


parcialmente ao aumento do tamanho do estêncil (em número de pontos)

requerido.


4ª ordem


6ª ordem



8ª ordem


10ª ordem

5.2 Análise de Fourier

Os resultados mostrados na seção anterior correspondem a um único

espaçamento de malha previamente definido. Seria importante, no entanto,

analisar como estes esquemas numéricos comportam-se com níveis de

refinamento de malha diferentes.

Para analisar o erro associado com esses métodos de discretização, uma

técnica utilizada envolve assim o uso de transformadas de Fourier. Com ela,


podem-se obter expressões em função do número de onda (no espaço de

frequência) e mostrar as principais características do método numérico analisado.

A transformada de Fourier é definida por:

(5.30)

Sendo i um número imaginário.

A transformada inversa de Fourier é dada por:

12

(5.31)

Para a análise de Fourier, o método de diferenças finitas tradicionais foi

rescrito de forma geral como:

≅1∆

∆ (5.32)

Assim incialmente aplica-se a transformada de Fourier em ambos os lados

da equação (5.32):

≅1∆

∆ (5.33)

Sabe-se também que:

(5.34)

∆ ∆ (5.35)

Substituindo (5.34) e (5.35) em (5.33):

1∆

∆ (5.36)

Igualando-se os termos da transformada de Fourier na equação (5.36)

obtém-se:


1∆

∆ (5.37)

Para efeito de diferenciação, chama-se o ω da parte esquerda da equação

(5.37) de ω' devido ao fato de ω ser uma aproximação (somatória) e ser diferente

do encontrado na parte direita da equação. Logo:

1∆

∆ (5.38)

Sabe-se da propriedade dos números complexos que:

1 (5.39)

Multiplica-se ambos os lados da equação (5.38) por i:

∆∆ (5.40)

Em alguns livros é possível que se encontre a equação (5.40) na forma de

senos e cossenos, portanto o próximo passo envolve o uso fórmula de Euler para

números complexos:

∆ ∆ ∆ (5.41)


∆ ∆ ∆ (5.42)

Será mostrado separadamente que o somatório de cossenos é igual a zero e o

somatório de senos é duas vezes o seno.

Cossenos

O primeiro termo do lado direito da equação (5.42) pode ser expresso como:

∆ ∆ ∆ (5.43)

Pensa-se em um domínio de valores em que o cosseno esteja entre [-a,-1] e

[1,a]. De acordo com esse domínio, pode-se fazer trocas de variáveis

considerando que:


→ (5.44)

→ (5.45)

1 → 1 (5.46)

Logo substituindo (5.44), (5.45), (5.46) em (5.43):

∆

∆ ∆

(5.47)

Da definição, aj=-a-j e N=M então (5.47) toma a forma:

∆ ∆ ∆ (5.48)

Observa-se que os dois somatórios possuem o mesmo intervalo de cossenos

mas com variável diferente, portanto ao considerar k=j:

∆ ∆ ∆

0

(5.49)

Senos

No caso dos termos que contém senos.

∆ ∆ ∆ (5.50)

Utilizando as equações (5.44), (5.45), (5.46) em (5.50) para trocas de

variáveis:


∆

∆ ∆

(5.51)

Da definição, aj=-a-j e N=M então (5.51) resume-se em:

∆

∆ ∆

(5.52)

Da mesma forma que para os cossenos, os intervalos são iguais mas com

variáveis diferentes, portanto se considerar k=j observa-se que:

∆ ∆ ∆

2 ∆

(5.53)

Logo ao substituir (5.49) e (5.53) em (5.42):

∆ 2 ∆ (5.54)

E utilizando a equação (5.39):

∆ 2 ∆ (5.55)

A seguir é mostrado graficamente (Figura 5-6) os resultados obtidos no

espaço de Fourier para diferenças finitas tradicionais de segunda, quarta, sexta,

oitava, e décima ordem – equação (5.55):


Figura 5-6. Espectro de Número de Ondas para esquemas de diferenças finitas

tradicionais

Na Figura 5-6 observa-se que quanto maior a ordem do método de

discretização, a aproximação tende à solução exata (linha reta na figura) numa

faixa maior de números de onda. Uma vez que o número de onda está diretamente

relacionado ao espaçamento da malha utilizado, isto implica que métodos de mais

alta ordem podem ser usados com malhas menos refinadas e ainda produzir

resultados aceitáveis.

6 Esquemas Numéricos: Método de Diferenças Finitas Compactas

Neste capítulo, para o método de diferenças finitas compactas o processo foi

semelhante ao de diferenças finitas tradicionais. Primeiramente, as expressões

gerais disponíveis na literatura [2] para pontos no interior do domínio foram

analisadas usando transformadas de Fourier. Posteriormente, foi feito a mesma

análise para pontos correspondentes à fronteira do domínio. Outros esquemas

aplicáveis a esta situação particular também foram analisados [4].

6.1 Formulação Interior

Nesta primeira seção a formulação de diferenças finitas compactas,

correspondente aos pontos do interior do domínio, é analisada usando

transformadas de Fourier.

6.1.1 Forma Geral

Os esquemas de diferenças finitas compactas vistos em [2], os quais são

utilizados para a aproximação da primeira derivada de uma função, são

generalizações do esquema Padé, para os quais a aproximação da primeira

derivada é:

6∆ 4∆ 2∆,

(6.1)

onde os coeficientes α, β e a, b, c são obtidos a partir da expansão em série de

Taylor com diferentes ordens. As relações entre estes coeficientes, dependendo da

ordem, são:

Esquemas Numéricos: Método de Diferenças Finitas Compactas 51

1 2 2 2 , (6.2)

2 3 23!2!

2 4 , (6.3)

2 3 25!4!

2 6 , (6.4)

2 3 27!6!

2 8 , (6.5)

2 3 29!8!

2 10 . (6.6)

Os esquemas particulares considerados para o interior do domínio são o

esquema de Padé e o esquema de sexta ordem tridiagonal. Para referência são

incluídos nos resultados os esquemas de segunda, quarta e sexta ordem de

diferenças centradas tradicionais. No caso do esquema de Padé os coeficientes

utilizados foram os seguintes:

14, 0,

32, 0, 0 . (6.7)

Para o esquema de sexta ordem tridiagonal seus respectivos coeficientes

usados são:

13, 0,

149,

19, 0 . (6.8)

6.1.2 Análise de Fourier

A fim de analisar as características de resolução dos diferentes esquemas

numéricos usados nas aproximações da primeira derivada, uma análise de Fourier

de erros foi realizada. A equação base utilizada é aquela dada pela equação (6.1).

Aplicando-se assim em todos os termos desta equação a transformada de Fourier:


6∆ 4∆

2∆,

(6.9)

Sabe-se também que:

(6.10)

(6.11)


∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆

6∆

∆

6∆∆

4∆

∆

4∆∆

2∆

∆

2∆

(6.12)

Igualando os coeficientes de Fourier tem-se:

∆ ∆ ∆ ∆

∆

∆

6∆

∆

6∆

∆

4∆

∆

4∆∆

2∆

∆

2∆

(6.13)

Utilizando a equação (5.41), esta última equação pode ser expressa em

função de senos e cossenos:


2 ∆ 2 ∆

2 ∆ 2 ∆

∆ ∆

∆ ∆

3 ∆ 3 ∆6∆

3 ∆ 3 ∆6∆

2 ∆ 2 ∆4∆

2 ∆ 2 ∆4∆

∆ ∆2∆

∆ ∆2∆

(6.14)

Ao por em evidência na parte esquerda iω e ∆

na parte direita da equação

(6.14), alguns termos se anulam:

2 ∆ 2 ∆ ∆

∆ 1

12∆ 3

3 ∆3

3 ∆

22 ∆

22 ∆

∆ ∆

(6.15)

Portanto, o ω da parte esquerda pode ser substituído por por ser uma

aproximação (somatório), e isolando-se obtém-se:

33 ∆ 2 2 ∆ ∆

∆ 1 2 2 ∆ 2 ∆(6.16)


Os resultados correspondentes à equação (6.16) são ilustrados na Figura 6-1,

a qual permite comparar as características de resolução dos diferentes esquemas

estudados. Nesta figura em geral o comportamento dos esquemas tradicionais

(segunda, quarta e sexta ordem) corresponde àquele observado na Figura 5-6. Os

esquemas compactos por sua vez apresentam melhores características dispersivas

quando comparados aos esquemas tradicionais. Isto certamente está em

concordância com os resultados disponíveis na literatura [2].

Figura 6-1. Gráfico de número de onda modificado vs número de onda para aproximação

da primeira derivada.

6.2 Formulação de Fronteira

Anteriormente foi falado sobre pontos no interior do domínio simulado.

Nesta seção será abordada a formulação correspondente a pontos na fronteira do

sistema. Cook e Riley [4] salientam que, na prática, aproximações de segunda

ordem explicitas, da forma,

3 42∆

, (6.17)

onde n é um índice da discretização temporal, são mais estáveis do que aquelas de

terceira ordem explícitas ou aproximações compactas. Estes autores sugerem que

a natureza dissipativa dos esquemas numéricos de ordem ímpar (primeira,

terceira, quinta, etc.) e a natureza predominantemente dispersiva dos esquemas de

ordem par (segunda, quarta, sexta, etc.) podem ser responsáveis por este


comportamento. Neste contexto, esquemas numéricos dissipativos (i.e., esquemas

com erro de truncamento do tipo dissipativo) são aqueles nos quais as variações

da solução são artificialmente reduzidas devido à aproximação numérica; e

esquemas dispersivos (i.e., esquemas com erro de truncamento do tipo dispersivo)

correspondem àqueles nos quais as relações de fase entre as várias ondas

(oriundas de uma análise de Fourier de erros, por exemplo) são distorcidas [7].

Uma vez que ele pode ser usado em formulações de fronteira, este esquema

salientado por Cook e Riley [4] também será estudado nesta seção.

6.2.1 Forma Geral

Em termos de diferenças finitas compactas, a primeira derivada na fronteira,

i = 1, tem a seguinte forma geral [2]:

1. (6.18)

Esta relação permite seu uso com um esquema interior tridiagonal sem a

necessidade de aumentar a largura de banda do sistema de equações resultante.

Similarmente ao caso dos nós interiores, dependendo da ordem requerida,

diferentes relações entre os coeficientes da Eq. (6.18) são obtidas:

3 22

, 2 3 ,

1 62

2 ,(6.19)

11 26

,62

,2 32

,

26

3 ,(6.20)

3,176,

32,

32,

16

4 .(6.21)


Neste trabalho, foram estudados esquemas compactos de segunda, terceira e

quarta ordem. Os coeficientes utilizados para o esquema de segunda ordem foram

os seguintes, equação (6.19):

4, 0, 3,12,

3,12.

(6.22)

Os próximos esquemas são de terceira ordem. Seus respectivos coeficientes

são – equação (6.20):

2, 0,156

, 2,

12, 0.

(6.23)

5, 0,216

,12,

72,

12.

(6.24)

E finalmente para o esquema de quarta ordem, os coeficientes utilizados são

indicados a segui, equação (6.21):

4, 0,176

,32,

32,

16.

(6.25)

6.2.2 Análise de Fourier

Para ilustrar o procedimento a ser seguido para a análise no espaço de

Fourier dos esquemas compactos correspondente a formulações de fronteira, o

esquema de Cook & Rilley [4] será utilizado.

Em termos indiciais a equação (6.17) é dada por:


3 42∆

(6.26)

Aplicando-se a transformada de Fourier em todos os termos da equação

(6.26):

3 42∆

(6.27)


∆ 3 ∆ 4 ∆ ∆

2∆(6.28)

Igualando os coeficientes de Fourier:

3 4 ∆ ∆

2∆(6.29)

Utilizando a equação (5.41) em (6.29):

12∆

3 4 ∆ ∆

2 ∆ 2 ∆(6.30)

Juntando as partes reais e imaginárias:

12∆

3 4 ∆ 2 ∆

4 ∆ 2 ∆(6.31)

Multiplicando-se todos os termos por i e considerando ω= :

2∆3 4 ∆ 2 ∆

12∆

4 ∆ 2 ∆(6.32)

A parte imaginária da equação (6.32) é dada por:

2∆3 4 ∆ 2 ∆ (6.33)

e a parte real por:


12∆

4 ∆ 2 ∆ (6.34)

Note que diferente do que acontece nos métodos de diferenças finitas

centradas (usadas em formulações interiores), neste caso as expressões resultantes

contêm duas partes, real e imaginária. Isto implica que elas apresentam

características não somente dispersivas, porém também dissipativas. Esquemas

centrados, por conter somente a parte real, são essencialmente dispersivos.

Os esquemas compactos associados à formulação para fronteiras do Lele [2]

apresentam também uma parte real e outra imaginária. A parte real é dada por:

1∆ 1 2 ∆

∆ 2 ∆

3 ∆

(6.35)

enquanto que a imaginária toma a forma:

1∆ 1 2 ∆

∆

2 ∆ 3 ∆

(6.36)

Os resultados ilustrando o comportamento dos esquemas compactos para

formulação de fronteira estudados, incluindo o esquema salientado por Cook &

Rilley [4], são mostrados na Figura 6-2 e Figura 6-3. Sabe-se que a parte real das

equações são associadas com o erro dispersivo e as partes imaginárias estão

associadas com o erro dissipativo. A Figura 6-2 mostra a parte real e a Figura 6-3

mostra a parte imaginária do número de onda modificado para os diferentes

esquemas numéricos usados para aproximar a primeira derivada nas fronteiras do

domínio.

Nestas figuras quanto mais a curva se aproxima da reta exata, menor será o

erro dispersivo ou dissipativo. Assim pode ser observado que um erro dispersivo

relativamente pequeno (por exemplo, esquema compacto de terceira ordem,

Figura 6-2) não implica necessariamente que o correspondente erro dissipativo

seja também pequeno, e vice-versa. Portanto um trade-off entre erros dispersivos e

dissipativos precisa ser feito quando da seleção do método de discretização a ser


utilizado. Observa-se também nestas figuras que o método discutido por Cook &

Rilley [4] apresenta caraterísticas inferiores quando comparado aos esquemas

compactos. Dos resultados obtidos neste capítulo fica evidente que a análise no

espaço de Fourier permite uma escolha mais adequada, tanto em termos

dispersivos como dissipativos, dos esquemas de diferenças finitas a serem

utilizados.

Figura 6-2. Parte real do número de onda modificado para aproximação da primeira

derivada nas fronteiras do domínio (características dispersivas)

Figura 6-3. Parte imaginária do número de onda modificado para aproximação da

primeira derivada nas fronteiras do domínio (características dissipativas)

7 Conclusões e Perspectivas

Neste trabalho as principais equações que governam ondas acústicas em

escoamentos turbulentos e reativos foram derivadas. A referida derivação foi

baseada nas equações fundamentais de transporte de massa, quantidade de

movimento e energia. Após a respectiva familiarização com estas equações, a

forma geral da equação de onda acústica para escoamentos turbulentos e reativos

foi derivada. A seguir através do uso de hipóteses simplificadoras esta equação foi

particularizada para escoamentos a baixo número de Mach e escoamentos inertes.

Na parte final do trabalho diferentes métodos de discretização numérica baseadas

em diferenças finitas tradicionais e diferenças finitas compactas foram analisados

e seus resultados comparados graficamente.

Os resultados obtidos mostram que a seleção do método numérico a ser

utilizado para discretizar as equações de onda acústica deve ser baseada tanto nas

caraterísticas dispersivas como dissipativas do esquema. Isso é devido a que erros

dispersivos relativamente pequenos não implicam necessariamente em erros

dissipativos também desta natureza, e vice-versa. Baseado nos resultados obtidos,

tanto para diferenças finitas tradicionais quanto para diferenças finitas compactas,

conclui-se que este último é bem mais preciso, pois seus resultados para diferentes

ordens de precisão se aproximam mais da solução exata do que o primeiro. Uma

vez que as equações de onda acústica foram satisfatoriamente deduzidas e

diferentes métodos numéricos de discretização foram analisados, concluiu-se que

os objetivos inicialmente propostos foram atingidos. Como trabalho futuro pode-

se indicar a solução das equações de onda derivadas e sua aplicação para a análise

de instabilidades acústicas presentes em escoamentos turbulentos e reativos.

8 Referências Bibliográficas

1. Poinsot, T., and Veynante, D., 2005, Theoretical and Numerical Combustion,

2nd Ed., R.T. Edwards Inc., Philadelphia, USA.

2. Lele, S. K., 1992, Compact Finite Difference Schemes with Spectral-like

Resolution, Journal of Computational Physics, Vol. 103.

3. Turns, S. R., 2000, An Introduction to Combustion: Concepts and

Applications, 2nd Ed., McGraw-Hill, Ney York, USA.

4. Cook, A., and Riley, J., 1996, Direct Numerical Simulation of a Turbulent

Reactive Plume on a Parallel Computer, Journal of Computational Physics,

Vol. 129.

5. Kotake, S., 1975, On Combustion Noise Related to Chemical Reactions,

Journal of Sound and Vibration, Vol. 42.

6. De Rocck, W., Desmet, W., and Sas, P., An overiew of high-order finite

difference schemes for computational aeroacoutics. Proceedings of ISMA

2004, 194:353–368, 2004.

7. Tannehill, J. C., Anderson, D. A., and Pletcher, R. H. (2nd Ed.), 1997,

Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Taylor & Francis,

Washington, USA.

Relatório Anual de Iniciação Científica DEPARTAMENTO DE ......De modo a entender o que é uma...

Documents

Transcript of Relatório Anual de Iniciação Científica DEPARTAMENTO DE ......De modo a entender o que é uma...