ENGENHARIA F£†SICA Fen£´menos de Transporte A (Mec£¢nica dos ... 3 - ¢ ENGENHARIA F£†SICA Fen£´menos
Relatório_Exp2_Cinemática_Fenômenos Mecânicos_Trim1.2
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO
ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO
ROBERTO DENIN LIU
RELATÓRIO DE FENÔMENOS MECÂNICOS
SANTO ANDRÉ
2009
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
FERNANDO HENRIQUE GOMES ZUCATELLI GUILHERME HADDAD FIGUEIREDO
ISABELA MAEDA MOREIRA DA SILVA MARCELO ALBINO
ROBERTO DENIN LIU
EXPERIÊNCIA 2 – CINEMÁTICA
Trabalho apresentado como avaliação parcial da disciplina de Fenômenos Mecânicos do BC&T da UFABC.
Orientador: Profº Pedro
SANTO ANDRÉ
2009
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Sumário
1. RESUMO .............................................................................................................3 2. INTRODUÇÃO .....................................................................................................3 3. OBJETIVOS.........................................................................................................5 4. PARTE EXPERIMENTAL.....................................................................................6
4.1. Materiais .......................................................................................................6 4.2. Métodos ........................................................................................................6
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO ...........................................................................8 6. CONCLUSÃO ....................................................................................................13 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...................................................................14 8. ANEXOS ............................................................................................................15
8.1. Anexo 1: Questões......................................................................................15
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3
1. RESUMO
A forma mais simples de analisar um movimento é descrevendo-o sem levar
em conta as condições físicas que o regem. É através da cinemática que se faz tal
análise simplificada do movimento. Partindo do fato de que o corpo está em
movimento, a cinemática se propõe a determinar, a partir de um referencial adotado,
variáveis como posição, velocidade e aceleração.
Neste experimento, foi estudado o movimento de um objeto em um plano
inclinado, registrando com um cronômetro intervalos de tempos de diferentes
espaços deslocados pelo corpo.
Notou-se que para um mesmo deslocamento em um plano inclinado,
independentemente da referência adotada, a variação do tempo (∆t) tende a um
valor constante, ou seja, a aceleração é a mesma em qualquer ponto no plano
inclinado, sendo assim, o movimento descrito pela esfera no experimento trata-se de
um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).
2. INTRODUÇÃO
As propriedades gerais do movimento estão restritas a três formas:
a) O movimento se dá ao longo de uma linha reta apenas. A linha pode ser
vertical, horizontal ou inclinada, mas deve ser retilínea.
b) Forças (empurrões e puxões) causam o movimento interferindo na
velocidade do objeto, permitindo um estudo relacionado à mudança da taxa
de variação de espaço em um intervalo de tempo.
c) O objeto em mudança pode ser tanto uma partícula ou um objeto que se
move como uma partícula. 1
Para um objeto em movimento, é importante localizar a sua posição. Isto
significa determinar sua posição relativa a algum ponto de referência. Uma mudança
de posição para outra é chamada de deslocamento.
Uma forma compacta de descrever a posição é através do gráfico da posição
em função do tempo. A inclinação (ou o coeficiente angular) da reta que liga dois
pontos particulares sobre a curva é a velocidade média, assim fica claro o quão
rapidamente o objeto se move. Na verdade, várias quantidades estão associadas
com a expressão quão rapidamente, uma delas é a velocidade média (vmed), que é a
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4
razão entre o deslocamento (∆x) e o intervalo de tempo (∆t) durante o qual esse
deslocamento ocorre 1:
2 1
2 1
med
X Xxv
t t t
−∆= =
∆ − (1.1)
Uma unidade usual para a vmed é o metro por segundo (m/s). Uma maneira
diferente de descrever ‘’quão rapidamente’’ uma partícula se move é através da
velocidade escalar média (smed). Enquanto a velocidade média envolve o
deslocamento da partícula, a velocidade escalar média é definida em termos da
distância total percorrida independente da direção e sentido, ou seja 1:
totalmed
xs
t
∆=
∆ (1.2)
Em caso de observar a velocidade em um instante, calcula-se a sua velocidade
instantânea (v). A velocidade a partir de qualquer instante de tempo é obtida a partir
da velocidade média reduzindo-se o intervalo de tempo fazendo-o tender a zero. À
medida que ∆t é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é
a velocidade naquele instante 1:
limt o
x dxv
t dt∆ →
∆= =
∆ (1.3)
Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofre
aceleração. Para um movimento ao longo de um eixo, a aceleração média (amed) em
um intervalo de tempo ∆t é:
2 1
2 1
med
v v va
t t t
− ∆= =
− ∆ (1.4)
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5
Onde a partícula tem uma velocidade v1 no tempo t1 e a velocidade v2 no tempo
t2. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo 1:
dva
dt=
(1.5)
Se a aceleração é constante, pode-se relacionar a velocidade média com inicial
e a final pela equação:
00 2 2.
2méd méd
v v xv v v
t
+ ∆= ⇒ = = (1.6)
E a aceleração, neste caso:
2
2
2. 2.2. .( 1).( )
d x xa x t
dt t t
−∆ − ∆ = = ∆ − =
(1.7)
Para analisar os dados e confeccionar gráficos de dispersão, utilizam-se de
ferramentas computacionais que calculam a melhor curva para o conjunto de pontos
dados, baseado no método dos mínimos quadrados.
Além de usar este recurso, também é possível aplicá-lo à gráficos do tipo log x
log, no qual é tomado o logaritmo da função e da variável e então confeccionado o
gráfico com estes valores, conforme indica (1.8):
log log log log
log log log
n
n n
X ct
X ct c t
X n t c
=
= = +
∴ = + (1.8)
Onde c é uma constante qualquer. Esta função é análoga a uma reta de
coeficiente angular “n”, e “n” é igual ao grau do polinômio do qual foi extraído o
logaritmo para construção do gráfico.
3. OBJETIVOS
O experimento tem por objetivo estudar o movimento de um objeto num plano
inclinado, registrando com um cronômetro o intervalo de tempo de cada
deslocamento realizado pelo corpo e assim verificar qual tipo de movimento foi
realizado, como o tempo relacionou-se com o espaço e como a velocidade variou.
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6
4. PARTE EXPERIMENTAL
4.1. Materiais
Os materiais utilizados neste experimento foram:
- 1 Tábua de madeira de 1,35 m.
- 1 Esfera (bola de gude).
- 2 Réguas de 15 cm.
- 1 Cronômetro.
- 1 Objeto (apontador) para inclinar a tábua de madeira.
- 1 Trena (5 m).
4.2. Métodos
Para se obter uma inclinação da tábua de teste, colocou-se embaixo dela o
apontador de lápis, dessa forma, o cateto vertical do triângulo retângulo se torna
conhecido. Entretanto, o apontador deveria ficar na linha central da tábua para
manter esta equilibrada, o que tornaria muito difícil mensurar o cateto horizontal do
triângulo.
Para que fosse possível garantir uma correta dimensão do cateto horizontal,
sem deslocar o apontador da base da tábua, decidiu-se por encostar o apontador no
batente da mesa e, a extremidade oposta da tábua no outro batente, conforme
Figura 1:
Figura 1 – Preparação do ângulo da tábua
O pequeno espaço formado entre a tábua e o batente oposto ao apontador,
pode ser desprezado por ser muito pequeno quando comparado com toda a
extensão do cateto horizontal do triângulo.
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7
Com a garantia do ângulo, necessitava-se de uma forma de visualizar a
posição da esfera na tábua e também uma forma de garantir o deslocamento dela
pela tábua por distâncias conhecidas. Partiu-se então para a graduação da tábua.
Com auxílio de uma trena, foram marcadas linhas paralelas a cada 10 cm de
distância a partir da extremidade superior da tábua. Como não seria confiável lançar
a esfera no limite da extremidade da tábua, adotou-se a marca inicial – zero do
sistema de referência – a marcação que se distanciava 10 cm de extremidade.
Foram marcadas as posições de 0 até 120 cm, conforme Figura 2.
Figura 2 – Graduação de tábua de testes.
Para minimizar os efeitos de oscilações humanas no momento de lançamento
da esfera e garantir que a esfera percorresse a distância determinada sem gerar
dúvida quanto a que parte da mesma estava atravessando a marcação, ou seja, se
era o ponto de contato ou uma projeção da reta tangente a sua circunferência e
perpendicular ao plano de apoio. Optou-se por utilizar réguas nas marcas de
medição.
Dessa forma, o operador humano apenas deveria remover a régua da frente da
esfera em um sentido que não movimentasse (ou em quantidade imperceptível) a
esfera e, para garantir a distância de deslocamento igual à distância marcada,
também foi colocada uma régua na marca final do trajeto, esta régua era mantida na
posição e segura por outro humano, conforme Figura 3.
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8
Figura 3 – Posição da régua e técnica de lançamento.
Outro cuidado tomado para reduzir os erros experimentais decorrentes nas
imperfeições naturais dos sentidos humanos, foi atribuir dupla função ao lançador da
esfera (aquele que retirava a régua), que além de lançar também controla o
cronômetro, dessa forma ele é o único com sensibilidade para disparar o cronômetro
simultaneamente – ou muito próximo disto – ao lançamento da esfera. Entretanto o
tempo de reação ainda será responsável por flutuações na partida e principalmente
na marcação do fim do trajeto.
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
A Tabela 1 apresenta os valores de tempo gasto, marcados com o cronômetro,
para que a bola de gude percorresse o espaço determinado na tábua de madeira,
começando a partir do ponto zero (∆X = 0 a 120 cm) e estendendo-se até a marca final
(∆X = 90 a 120 cm), variando a posição inicial em 10 cm a cada nova medida.
Tabela 1 – Variação de tempo até a posição final, alterando-se a inicial
Medida X0 [cm] Xf [cm] ∆X [cm] ∆t [s] 1 0 120 120 2,87 2 10 120 110 2,50 3 20 120 100 2,40 4 30 120 90 2,35 5 40 120 80 2,13 6 50 120 70 2,06 7 60 120 60 1,94 8 70 120 50 1,82 9 80 120 40 1,67 10 90 120 30 1,31
média 2,11 desvio padrão 0,36
Dispondo os dados Tabela 1, em um gráfico de dispersão, pode-se verificar o
comportamento da variação do tempo necessária para a esfera percorrer diferentes
distâncias sobre a tábua (Figura 4).
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9
Figura 4 – Gráfico de ∆t em diferentes ∆X (baseado na Tabela 1)
Nota-se que as maiores variações de tempo ocorrem quando a variação de
espaço aumenta. Porém estes dados isoladamente não são suficientes para se
descobrir a qual tipo de movimento a bola de gude está submetida.
Para tal, foram realizadas outras medidas de variação de tempo, entretanto
desta vez, a variação de espaço foi constante a cada lançamento da esfera
alterando-se apenas o ponto inicial e final do percurso conforme Tabela 2.
Tabela 2 – Variação de tempo alterando-se Xo e Xf, mas com ∆X constante
Medida Xo [cm] Xf [cm] ∆X [cm] ∆t [s] 1 0 10 10 0,61 2 10 20 10 0,69 3 20 30 10 0,65 4 30 40 10 0,50 5 40 50 10 0,56 6 50 60 10 0,50 7 60 70 10 0,50 8 70 80 10 0,50 9 80 90 10 0,66 10 90 100 10 0,66 11 100 110 10 0,66
média 0,59 desvio padrão 0,07
Pelos dados da Tabela 2 a média do tempo foi 0,6 ± 0,1 segundo. Quando as
variações de tempo são inseridas em um gráfico e visualizadas junto à média de sua
distribuição, nota-se que os pontos flutuam ao redor desta média.
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10
Comportamento ∆t para mesmo ∆X
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
0 2 4 6 8 10 12
Medida
tem
po
[s]
∆t [s] média
Figura 5 – Gráfico de ∆t para Xo e Xf diferentes conservando ∆X
Para analisar o comportamento e o valor médio da aceleração neste plano
inclinado, retoma-se a Tabela 1, porém desta vez com as mesmas variações de
espaço em sequência crescente.
Usando a fórmula (1.1) para calcular a velocidade média e (1.7) para calcular a
aceleração, têm-se:
Tabela 3 – Velocidade média e aceleração em cada ∆X.
Medida X0 [cm] Xf [cm] ∆X [cm] ∆t [s] Vm =∆X/∆t [cm/s] a =-2∆X/∆t² [m/s²] 1 0 30 30 1,31 22,90 -0,350 2 0 40 40 1,67 23,95 -0,287 3 0 50 50 1,82 27,47 -0,302 4 0 60 60 1,94 30,93 -0,319 5 0 70 70 2,06 33,98 -0,330 6 0 80 80 2,13 37,56 -0,353 7 0 90 90 2,35 38,30 -0,326 8 0 100 100 2,40 41,67 -0,347 9 0 110 110 2,50 44,00 -0,352 10 0 120 120 2,82 42,55 -0,302
média 2,10 34,33 -0,327 desvio padrão 0,34 7,73 0,024
De acordo com os dados da Tabela 3, a aceleração média é igual a -0,3 ± 0,03
segundo (sentido negativo pelo eixo de referência adotado). Ainda com os dados da
Tabela 3 é possível analisar o comportamento crescente da velocidade média (Vm)
conforme a maior variação de espaço (Figura 6).
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11
Vm =∆X/∆t [cm/s]
20,00
25,00
30,00
35,00
40,00
45,00
50,00
0 20 40 60 80 100 120 140∆X
Vm
[cm
/s]
Vm =∆S/∆t [cm/s]
Figura 6 – Velocidade média em cada ∆X
Ainda utilizando a Tabela 3, pode-se verificar que a aceleração flutua ao redor
de sua média ao longo dos diferentes deslocamentos aos quais a esfera foi
submetida (Figura 7).
Comportamento da aceleração em ∆X
-0,400
-0,350
-0,300
-0,2500 20 40 60 80 100 120 140
∆X
a [m
/s²]
a =-2∆X/∆t² [m/s²]
média
Figura 7 – Comportamento da aceleração de cada ∆X
Analisando o gráfico da Figura 8, que representa o espaço da esfera em
relação ao tempo. Os pontos que representam os dados experimentais estão
localizados próximos a uma curva polinomial de grau 2 (R2 indica 96,64% de ajuste).
Como a aceleração possui um baixo valor, devido à baixa inclinação, a
variação da velocidade em um pequeno deslocamento é baixa. Diante disso, as
forças aplicadas contra o sentido do movimento, tais como atrito com a superfície do
plano inclinado e com o ar, causaram oscilações sensíveis no valor da aceleração.
X(t)y = 0,0764x2 + 0,3601x - 0,3564
R2 = 0,9694
0,00,20,40,60,81,01,21,4
1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00t[s]
X[m
]
X(t) Polinômio (X(t))
Figura 8 – Gráfico do espaço em função do tempo
![Page 13: Relatório_Exp2_Cinemática_Fenômenos Mecânicos_Trim1.2](https://reader035.fdocumentos.tips/reader035/viewer/2022081816/5571f43d49795947648f39bf/html5/thumbnails/13.jpg)
12
Outra técnica para avaliar o grau de um polinômio é analisar o gráfico log x log.
Conforme a equação (1.8).
Gráfico do espaço em função do tempo - log x log
y = 2,0199x + 1,2058
R2 = 0,9734
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
log t
log
X
log X
Linear (log X)
Figura 9 – Gráfico do espaço em função do tempo do tipo log x log.
A equação desta regra possui coeficiente angular próximo de 2, ou seja, o grau
do polinômio que gerou esta reta é muito próximo de 2, ao se considerar as
flutuações dos dados, pode-se afirmar que o grau do polinômio deva ser igual a 2.
Esta reta também está bem ajustada aos pontos (R2 indica 97,34% de ajuste).
Como o experimento foi realizado em um plano inclinado, e a aceleração
calculada por meio do deslocamento, é interessante comparar com a aceleração
resultante da decomposição da gravidade em relação à inclinação do plano para
averiguar a diferença de ambas.
Figura 10 – Plano inclinado
Analisando o plano inclinado da Figura 10, sendo F a força que atua na esfera
de massa m para que ela se desloque no plano inclinado, θ o ângulo de inclinação, g
a aceleração da gravidade e a a aceleração responsável pela força F:
sin sint
t
P P mg
F ma
P F
m
θ θ= =
=
=
� �
�
�
�
� �
sing mθ =�
sina g aθ⇒ =� � �
(1.9)
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13
A tangente do ângulo θ e o ângulo θ são:
155tan 0,0474 tan 2,71
1185 25θ θ θ
−= = ⇒ = = °
− (1.10)
Dada a aceleração da gravidade g = -9,8 m/s2, a decomposição de g no plano
inclinado será:
.sin 9,8.sin(2,71 ) 0,464g θ = − ° = − (1.11)
Comparando este valor com a média da aceleração encontrada na Tabela 3,
nota-se que elas são muito próximas, porém ainda conservam uma diferença,
conforme Tabela 4.
Tabela 4 – Aceleração na rampa e decomposição da gravidade.
g sin(θ) -0,464 a -0,327
a – g sin(θ) 0,137
Esta diferença provavelmente se deve as forças de atrito da esfera com o plano
e/ou a própria resistência do ar, que atuam de forma constante sobre a esfera, logo
a força resultante permanece constante e por consequência a aceleração também.
Outra porção desta diferença pode ser creditada as variações nas medições dos
tempos decorrentes dos reflexos do operador do cronômetro.
6. CONCLUSÃO
De acordo com a Tabela 1, a velocidade de um corpo solto no início de uma
referência adotada é maior quando o deslocamento é maior, uma vez que há uma
maior atuação da aceleração no corpo. E observando também a Tabela 2, Tabela 3
para um mesmo deslocamento em um plano inclinado, independente da referência
adotada, a variação do tempo (∆t) tende a um valor constante, ou seja, a aceleração
é igual em qualquer ponto no plano inclinado.
Analisando as figuras de 7 a 9, conclui-se que o movimento descrito pela
esfera trata-se de um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) baseado
no comportamento constante da aceleração e também pela aproximação de um
polinômio de grau 2, que é o polinômio esperado para a função do espaço em
relação ao tempo quando a aceleração é constante.
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14
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jear. Fundamentos de Física, 7.ed. Rio de Janeiro, LTC, 2005. V.1. p.16-21.
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15
8. ANEXOS
8.1. Anexo 1: Questões
1. Qual hipótese você utilizou para calcular as acelerações (qual hipótese
foi formulada para se chegar na fórmula utilizada)? Os resultados
obtidos são coerentes com suas hipóteses?
Resp.: Para que a fórmula fosse utilizada no cálculo da aceleração esperada,
precisou-se tomar a seguinte hipótese:
O corpo em movimento deve comportar-se como uma partícula movimentando-
se em uma linha reta numa superfície plana e sem atrito.
E assim após o experimento, ao comparar a aceleração esperada com a
aceleração encontrada, esta deverá ser um pouco menor que aquela uma vez que
forças de atrito atuaram. Portanto os resultados obtidos foram coerentes com a
hipótese.
2. O que acontece com a aceleração ao se mudar o ângulo de
inclinação? Um ângulo maior ou menor dificulta ou facilita a medição?
Você espera encontrar um valor mais preciso da aceleração para uma
maior ou menor?
Resp.: A aceleração ao longo da tábua aumenta conforme se aumenta o
ângulo da tábua em relação à superfície horizontal. O maior valor de aceleração
será obtida com a tábua na posição vertical, neste caso, a aceleração será igual a
aceleração da gravidade local.
Um ângulo menor deve facilitar a medição porque a aceleração será menor e
portanto a variação de tempo entre as posições será maior, permitindo tempo de
reação para um ser humano cronometrar este deslocamento.
Neste caso, sendo o tempo cronometrado por um ser humano, é mais simples
realizar as medições com inclinações menores, por permitir um tempo maior para a
reação dos sentidos humanos. Todavia, se no experimento fossem usados
dispositivos eletrônicos (sensores) para localizar a esfera e estes informando um
temporizador eletrônico, a precisão da aceleração ficaria depende dos erros dos
sensores, porém espera-se que estes erros sejam menores que os erros
consequentes da medição humana.