UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

CAMPUS REGIONAL DE UMUARAMA

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS

63982 DANILO RAFAEL BASTOS REZENDE ESPÍNDOLA

ENGENHARIA AMBIENTAL

FÍSICA EXPERIMENTAL I

UMUARAMA

2011

1. Introdução

De acordo com Montagnoli e Aguirre, um corpo em queda livre, próximo à superfície terrestre e

cuja velocidade é pequena o suficiente para desprezarmos a resistência do ar, sofre uma

aceleração constante de módulo apontando sempre para o centro da terra (o que

determina a direção vertical).

Iremos analisar movimentos um pouco mais gerais do que a queda livre, vamos considerar os

lançamentos oblíquos, em que o vetor velocidade da partícula tem uma componente vertical e

uma horizontal estando sob a ação da aceleração da gravidade, agindo verticalmente para baixo,

impondo uma trajetória parabólica, resultante da composição de dois movimentos. Estes

movimentos são também comumente chamados de lançamento de projéteis.

Sendo a velocidade uma grandeza vetorial, podemos decompô-la segundo os eixos x e y, com o

intuito de estudarmos os movimentos separadamente. A respeito da vertical, tem-se o movimento

uniformemente variado e movimento uniforme segundo o eixo horizontal, visto que a aceleração

da gravidade sendo vertical não tem componente nesta direção.

2. Objetivo

Verificar a relação existente entre o alcance horizontal e a altura máxima no lançamento de um projétil,

comparando os resultados experimentais com os conceitos teóricos.

3. Conceitos Teóricos

Equações de Posição e Velocidade

Montagnoli e Aguirre afirmam que as equações de posição e velocidade estão agrupadas de

acordo com o tipo de movimento, além de considerarmos a origem dos eixos de referência na

posição de lançamento da partícula, o que faria de e valores nulos.

As equações:

1 – Movimento na direção x;

2 – Movimento na direção y (M.U.V.);

( )

Obtenção de Alguns Resultados no Lançamento de Projétil

Nossos resultados serão obtidos para uma referência positiva sendo considerada para cima e

origem no ponto de lançamento. Os resultados são:

1 – Altura máxima ( ): Por Torricelli e sabendo que é nulo.

Então, a altura máxima é dada pela equação;

( )

2 – Tempo de subida ( ): Partindo-se da equação de velocidade e sabendo-se que é nulo,

encontra-se para o tempo de subida, equação;

3 – Alcance máximo ( ): O alcance é máximo quando o tempo t é igual ao tempo de

queda ( ). Sendo o tempo de queda o dobro do tempo de subida, pois e usando-se a

equação de movimento:

Obtém-se o tempo de queda:

E substituindo-se o tempo de queda na equação de movimento horizontal encontra-se:

Reestruturando tem-se para :

4 – y em função de x.

5 – Devemos isolar o tempo na equação de movimento para o eixo x e substituí-lo na equação de

movimento para o eixo y encontrando:

(

)

(

)

Onde se tem y em função de x mostrado na equação:

(

)

4. Métodos de Investigação

4.1. Materiais Utilizados

- Canhão (Lançador de projéteis)

- Bola (Projétil a ser lançado)

- Trena

- Mesa

4.2. Procedimentos

1- Montar o Lançador de projéteis e configurá-lo para ângulo de 0°.

2 - Efetuar um disparo para os alcances: curto, médio e longo.

3 - Medir a distância horizontal alcançada pelo projétil e anotar na tabela.

4 - Repetir os itens de 1 a 3 variando a angulação de 10 em 10 graus, até 90°.

5 - Para os ângulos 30°, 45° e 60° efetuar cinco disparos para cada um dos alcances: curto, médio

e longo e anotar na tabela somente o valor médio.

6 - Com os dados tabelados calcular os valores de velocidade inicial para cada disparo e altura

máxima atingida pelo objeto.

5. Dados e Resultados

Tabela 1: Alcances

Graus (°) Alcance Curto Alcance Médio Alcance Longo

0° ( ) ( ) ( )

10° ( ) ( ) ( )

20° ( ) ( ) ( )

30° ( ) ( ) ( ) ( )

40° ( ) ( ) ( )

45° ( ) ( ) ( ) ( )

50° ( ) ( ) ( )

60° ( ) ( ) ( ) ( )

70° ( ) ( ) ( )

80° ( ) ( ) ( )

90° ( ) ( ) ( )

Após ser efetuado um disparo curto, médio e longo, para cada alcance foram realizadas as

medidas para os mesmos, mas para os ângulos 30°, 45° e 60° efetuaram-se cinco disparos, onde

os alcances também foram medidos cinco vezes e seus respectivos desvios padrões calculados.

Em seguida, foram calculadas as velocidades iniciais (tabela 2) a partir da equação:

√

Os dados das velocidades estão contidos na tabela 2. As velocidades para o ângulo de 0° e para o

alcance longo do ângulo de 90° resultaram em valores indeterminados, porém, ao efetuar o limite

para tais, observou-se que o resultado tende ao infinito, mas esse resultado foi desprezado.

Tabela 2: Velocidades

Graus (°) Velocidade (Alcance

curto)

Velocidade (Alcance

médio)

Velocidade (Alcance

longo)

0°

10°

20°

30°

40°

45°

50°

60°

70°

80°

90°

Utilizando os dados da tabela 2, foi possível calcular a altura máxima do projétil utilizando a

equação:

( )

A tabela 3 contém os dados das alturas máximas, onde para o ângulo de 90° (com exceção do

alcance longo) o cálculo resultou num valor falso. Nesse caso, a altura deve ser medida, e não

calculada.

Tabela 3: Alturas máximas

Graus (°) Velocidade (Alcance

curto)

Velocidade (Alcance

médio)

Velocidade (Alcance

longo)

0°

10°

20°

30°

40°

45°

50°

60°

70°

80°

90°

O alcance horizontal para os ângulos de 30 e 60° não foram os mesmos, o que nos leva a crer que

as medidas não foram retiradas corretamente. De acordo com os conceitos teóricos, a altura

máxima deveria ser obtida pelo ângulo de 45°, porém, isso ocorreu apenas para o alcance curto,

enquanto no alcance médio a maior distância foi obtida pelo ângulo de 40° e para o alcance longo

a mesma foi obtida pelo ângulo de 50°, indicando que ocorreram erros ao medir as distâncias.

Em relação à altura máxima, o ângulo de 80° foi capaz de atingi-la.

6. Conclusão

O objetivo do experimento foi alcançado, pois foi possível comparar os dados obtidos em

laboratório com os conceitos teóricos. Porém, os resultados de alcance obtidos pelo experimento

não foram exatamente iguais às afirmações teóricas, o que indica que ocorreram erros grosseiros

ao realizar as medições.

A altura máxima foi obtida de acordo com os conceitos da teoria, resultando em 80°.

7. Referências

MONTAGNOLI, Giovanna; AGUIRRE, Isadora – Lançamento de Projéteis.