Relatório da Disciplina de Matemática I

Relatorio da

Disciplina de Matematica I

2007-2008

Docentes

Prof. Auxiliar Fernando Carapau (responsavel), ([email protected] )Departamento de Matematica, Universidade de Evora

Prof. Auxiliar Vladimir Goncharov, ([email protected] )Departamento de Matematica, Universidade de Evora

Resumo

Este relatorio crıtico esta relacionado com a disciplina de Matematica I ministrada peloDepartamento de Matematica da Universidade de Evora as seguintes licenciaturas: Engen-haria Agrıcola, Biologia, Engenharia Biofısica, Engenharia Alimentar, Ensino de Biologiae Geologia, Engenharia Zootecnica, Ciencias do Ambiente, Quımica, Bioquımica, Biotec-nologia; codigos 0952MAT-MAT0933-276. Neste relatorio o responsavel pela discipinatenta expor e analisar o trabalho realizado durante o ano lectivo 2007-2008.

1 Programa da disciplina

O programa da disciplina de Matematica I do ano lectivo 2007-2008 foi o seguinte:

1. Nocoes topologicas em R

1.1 Vizinhanca de um ponto

1.2 Posicao relativa entre um ponto e um conjunto nao vazio

1

1.3 Nocao de conjunto aberto e de conjunto fechado

2. Calculo diferencial em R

2.1 Conceito de derivada num ponto

2.2 Interpretacao fısica

2.3 As regras usuais de derivacao

2.4 Monotonia, concavidades, extremos e assımptotas

2.5 Teorema de Rolle, de Lagrange e de Cauchy

2.6 Regra de Cauchy e de L’Hopital

3. Primitivacao

3.1 Definicao e algumas propriedades

3.2 Primitivas imediatas

3.3 Primitivas por partes e por substituicao

3.4 Primitivas de funcoes racionais

4. Integracao

4.1 Integral de Darboux e de Riemann

4.2 Algumas propriedades do integral de Riemann

4.3 Teorema fundamental do calculo integral e formula da Barrow

4.4 Integracao por partes e substituicao

4.5 Teoremas da media do calculo integral

5. Aplicacoes do calculo integral

5.1 Calculo de areas planas

5.2 Calculo de comprimento de uma linha

5.3 Calculo de volumes de solidos de revolucao

5.4 Calculo de areas de uma superfıcie de revolucao

2

6. Integrais improprios

6.1 Definicao e generalidades

6.2 Teoremas e criterios de convergencia

6.3 Convergencia absoluta e simples

7. Series numericas


7.2 Series geometricas, aritmeticas, Dirichlet e de Mengoli

7.3 Teoremas e criterios de convergencia

7.4 Series alternadas, convergencia absoluta e simples

8. Series de potencias


8.2 Intervalo e raio de convergencia

8.3 Series de Taylor e Mac-Laurin

9. Equacoes diferenciais ordinarias

9.1 Equacoes diferenciais lineares homogeneas de ordem n

9.2 Equacoes diferenciais lineares nao-homogeneas de ordem n

9.3 Aplicacoes

Os pontos 2 − 9 deste programa fazem parte do programa mınimo acordado, ha uns anosa esta parte, entre o Departamento de Matematica e as Comissoes de Curso das licenciaturasem causa. Alem do programa mınimo o responsavel pela disciplina acrescentou o ponto sobreas Nocoes Topologicas em R o qual deixou de fazer parte dos programas do ensino secundario.O programa proposto (pontos 1− 9) foi cumprido na integra pelo corpo docente doano lectivo 2007-2008 de uma forma profissional, exigente e rigorosa.

3

2 Complemento e Material de apoio

No inıcio do ano lectivo foi apresentado aos alunos os seguintes manuais didacticos da autoriado docente responsavel pela disciplina:

1. Carapau, F., Matematica I, Manuais da Universidade de Evora, Area Departamental deCiencias Exactas, (189 paginas), (1a Edicao 2005, 2o Edicao 2007).

Prefacio: Este manual - que tem como base a bibliografia recomendada - e uma forma deauxiliar o estudo dos alunos na disciplina de Matematica I das licenciaturas - EngenhariaAgrıcola, Ciencias do Ambiente, Biologia, Engenharia Biofısica, Engenharia Alimentar,Engenharia Zootecnica, Ensino de Biologia e Geologia - ministrada pelo Departamentode Matematica da Universidade de Evora. O curso a desenvolver sera rigoroso e exi-gente, como tal, o estudo deste manual e, sem duvida alguma, importante, mas por siso nao basta, e necessario consultar outros livros (ver bibliografia) e estudar as materiaspropostas. Neste manual o leitor nao ira encontrar exercıcios resolvidos sobre a materiaexposta porque tais resolucoes estao reservadas para as aulas teoricas e praticas. Por estemotivo e importante ir a todas as aulas e estar atento aos assuntos expostos, para assimpoder perceber as resolucoes dos exercıcios e tentar resolver outros por iniciativa propria.No final de cada capıtulo existem exercıcios propostos para as aulas teoricas, aulas praticase tambem para trabalho de casa dos alunos. Numa disciplina como Matematica I enecessario fazer um estudo profissional e diario, nao deixe o estudo para a vespera dostestes. Ter duvidas e normal, todos nos somos simples mortais, o que nao e normal enao tentar combater essas duvidas por iniciativa propria. Sempre que uma duvida teimarem nao se dissipar pode recorrer aos atendimentos semanais dos docentes da disciplina.Gostaria de alertar os alunos para o seguinte facto: o ensino universitario e um ensino emque os alunos nao podem ter apenas por base o que lhes e ensinado nas aulas e necessariotrabalhar arduamente extra aulas para assim refinar o conhecimento sobre determinadoassunto. Quero terminar expressando a minha gratidao aos colegas e amigos que con-tribuiram com os seus comentarios pertinentes, sugestoes e correccoes que permitiram amelhoria desde livro didactico.

2. Carapau, F., Primitivas, Integrais e suas Aplicacoes, Edicoes Publidisa, (177 paginas), 2006.

Prefacio: Este livro tem como objectivo auxiliar o estudo dos alunos do ensino univer-sitario e politecnico, na area das ciencias exactas, nos assuntos relacionados com primi-tivas, integrais e suas aplicacoes. Ao longo do texto, os conteudos teoricos, de extremarelevancia, serao apresentados sem os demonstrar, remetendo tais demonstracoes para abibliografia, dando assim mais importancia a resolucao de problemas concretos. Pretende-se que tais resolucoes tenham princıpio, meio e fim contribuindo assim para que o leitoradquira uma estrategia logica e uma forma apurada de pensar sobre os assuntos que lhe

4

sao colocados. E claro que, para adquirir tal capacidade de analise, o leitor tem que teruma solida formacao de base na area da Matematica. Mas, nao basta ter apenas umasolida formacao de base e necessario mais, por exemplo: e necessario um estudo diarioapaixonado, consultar diferentes bibliografias, refinar a capacidade de analise e estrategiade accao, resolver exercıcios por iniciativa propria, estudar em grupo e claro nao deixaro estudo para a vespera dos testes. Ao longo do texto apresentado os assuntos a estudar,sao sempre que possıvel, abordados de forma informal, pretendendo-se assim uma leituraalegre e nao de obrigacao, contribuindo, desta forma, para uma assimilacao positiva dosconceitos propostos. Quero terminar expressando a minha gratidao aos colegas e ami-gos que contribuiram com os seus comentarios pertinentes, sugestoes e correccoes quepermitiram a melhoria desde livro didactico.

No inıcio do ano lectivo o docente responsavel propos aos alunos um curso livre de 3h sobreo software cientıfico MAPLE o qual funcionou na ultima semana do semestre. A ideia foiexplorar sempre que possıvel as materias a estudar na disciplina de Matematica I (e outras)em termos de MAPLE. Penso que foi positivo para os alunos tal abordagem. Ao longo dosemestre foram realizados alguns testes semanais a contar para a classificacao final. E claroque o estudo semanal, para tais testes, por parte dos alunos responsaveis promoveu um estudoextra de extrema importancia para o sucesso na disciplina1.

Os testes semanais propostos foram os seguintes

Avaliacao Contınua

semana de 8 a 12 de Outubro de 2007

Teste A

1. Determine o domınio da seguinte funcao

f(x) =ln(x + 1)√

x + 3

1Nos anexos existe informacao detalhada com o nome e curso dos alunos que fizeram tais testes de avaliacao,respectivas notas e bonificacao. E, ainda, informacao sobre a assiduidade dos alunos as aulas teoricas, aulaspraticas e aos atendimentos semanais.

5

2. Considere o seguinte subconjunto de R:

A =]−∞, 0

]∪

{1}∪

]2,+∞

[

2.1 Determine o conjunto dos pontos interiores do conjunto A (escolha a opccao que achecorrecta, opccoes erradas descontam na nota final):

i) Int(A)=]−∞, 0

]∪

{1}∪

]2,+∞

[ii) Int(A)=

]−∞, 0

[∪

{1}∪

]2,+∞

[iii) Int(A)=

]−

∞, 0[∪

]2,+∞

[iv) nenhuma das anteriores

Justifique a opccao escolhida.

2.2 Determine o conjunto dos pontos exteriores do conjunto A (escolha a opccao que achecorrecta, opccoes erradas descontam na nota final):

i) Ext(A)=]0, 2

[ii) Ext(A)=

]0, 2

]iii) Ext(A)=

]0, 1

[∪

]1, 2

[iv) nenhuma das anteri-

ores


2.3 Determine o conjunto dos pontos fronteira do conjunto A (escolha a opccao que achecorrecta, opccoes erradas descontam na nota final):

i) Front(A)=[0, 2

]ii) Front(A)=

{0, 1, 2

}iii) Front(A)=

{0, 2

}iv) nenhuma das ante-

riores


2.4 Determine o conjunto dos pontos de acumulacao do conjunto A (escolha a opccao que achecorrecta, opccoes erradas descontam na nota final):

i) A′ =[0, 2

]ii) A′ =

]− ∞, 0

]∪

{1}∪

]2,+∞

[iii) A′ =

]− ∞, 0

]∪

[2,+∞

[iv)

nenhuma das anteriores


2.5 Determine o conjunto dos pontos aderentes do conjunto A (escolha a opccao que achecorrecta, opccoes erradas descontam na nota final):

i) A =]0, 2

[ii) A =

]−∞, 0

]∪

]2,+∞

[iii) A =

]−∞, 0

]∪

{1}∪

[2,+∞

[iv) nenhuma

das anteriores


2.6 Determine (caso exista) o conjunto dos pontos isolados do conjunto A. Justifique a resposta.

2.7 O conjunto A e aberto e/ou fechado? Justifique a resposta.

6

Avaliacao Contınua


Teste B

1. Determine o domınio da seguinte funcao

f(x) =ln(x)

(x − 1)(x − 3)


A =]1, 2

[∪

]2, 3

]∪

{7}

2.1 Determine o conjunto dos pontos interiores do conjunto A (escolha a opccao que achecorrecta, opccoes erradas descontam na nota final):

i) Int(A)=]1, 3

[ii) Int(A)=

]1, 3

[∪

{7}

iii) Int(A)=]1, 2

[∪

]2, 3

[iv) nenhuma das an-

teriores


2.2 Determine o conjunto dos pontos exteriores do conjunto A (escolha a opccao que achecorrecta, opccoes erradas descontam na nota final):

i) Ext(A)=]−∞, 1

[∪

]3,+∞

[ii) Ext(A)=

]−∞, 1

[∪

]3, 7

[∪

]7,+∞

[iii) Ext(A)=

]−

∞, 1]∪

]3, 7

[∪

]7,+∞

[iv) nenhuma das anteriores


2.3 Determine o conjunto dos pontos fronteira do conjunto A (escolha a opccao que achecorrecta, opccoes erradas descontam na nota final):

i) Front(A)={1, 3, 7

}ii) Front(A)=

{1, 2, 3

}iii) Front(A)=

{1, 2, 3, 7

}iv) nenhuma das

anteriores


2.4 Determine o conjunto dos pontos de acumulacao do conjunto A (escolha a opccao que achecorrecta, opccoes erradas descontam na nota final):

i) A′ =[1, 3

]ii) A′ =

]1, 2

[∪

]2, 3

]iii) A′ =

[1, 3

]∪

{7}

iv) nenhuma das anteriores


7

2.5 Determine o conjunto dos pontos aderentes do conjunto A (escolha a opccao que achecorrecta, opccoes erradas descontam na nota final):

i) A =[1, 3

]ii) A =

[1, 3

]∪

{7}

iii) A =]1, 2

[∪

]2, 3

]∪

{7}

iv) nenhuma das anteriores


2.6 Determine (caso exista) o conjunto dos pontos isolados do conjunto A. Justifique a resposta.

2.7 O conjunto A e aberto e/ou fechado? Justifique a resposta.

Avaliacao Contınua


1. Considere a funcao g definida por:

g(x) = 1 + xln(x)

Aplicando o Teorema de Lagrange (enuncie e verifique as condicoes do mesmo) a funcaog no intervalo [x, 2x], com x > 0, mostre que:

1 + ln(x) < ln(4x) < 1 + ln(2x)

2 Sejam f e g funcoes diferenciaveis em R e tais que:

f ′(x) > g′(x) > 0,∀x ∈ R ∧ f(a) = g(a)

Utilizando o Teorema de Cauchy (enuncie o teorema), mostre que:

2.1 f(x) > g(x),∀x > a, (ajuda: aplicar Teorema no intervalo [a, x])

2.2 f(x) < g(x),∀x < a, (ajuda: aplicar Teorema no intervalo [x, a])

Avaliacao Contınua

semana de 5 a 9 de Novembro de 2007

8

Nota: Justificar as suas respostas com princıpio, meio e fim.

1. Determine a famılia da seguinte primitiva:

∫eln(x+1)

2x + 2dx

e indique um intervalo onde seja valido tal primitivacao.

2 Determine a famılia das seguintes primitivas:

∫3sin(x)√

1 + 2cos(x)dx

∫1

3 + x2dx

∫x arctg(x)dx

∫cos4(x)dx

∫ √x − 1

xdx

∫1√

2x2 − 1dx

∫1

x2 + 3x + 2dx

∫1

x4 + x2dx

Avaliacao Contınua

semana de 12 a 16 de Novembro de 2007

Nota: Justificar as suas respostas com princıpio, meio e fim.

1. Verifique utilizando a definicao de Integral de Riemann o seguinte resultado (a, b sao con-stantes reais e sem perda de generalidade 0 < a < b):

∫ b

a

(x + b)dx =3b2 − 2ab− a2

2.

2. Determine o valor dos seguintes integrais definidos:

∫ 1

0

x2

√x3 + 2

dx

∫ π

0

xsin(−2x)dx

∫ 4

0

√x

1 + xdx

∫ −5

−10

x

x2 + 3x + 2dx

3. Utilizando a desigualdade de Schwarz, determine um majorante do seguinte integral

∫ 2

1

√x + 2dx

9

3. Determine a area plana dos seguintes subconjuntos de R2:

3.1 A ={

(x, y) ∈ R2; y > x2 − 5x + 4, y 6 x − 1, y 6 −x2

+ 2}

.

3.2 B ={

(x, y) ∈ R2; y 6 x2 + 1, y 6 −x + 3, y > x, x > 0}

.

4. Considere as linhas y = 2, y =√

x e x = 0:

4.1 Determine a area plana limitada pelas linhas em causa.

4.2 Determine o volume e a area da superfıcie do solido de revolucao gerado pela area planaanterior em que o eixo de revolucao e o eixo das ordenadas. Represente graficamente oprocesso de gerar o solido.

5. Considere o seguinte subconjunto de R2:

A ={

(x, y) ∈ R2; y > x2, y 6 x}.

5.1 Determine a area plana associada ao conjunto A.

5.2 Determine o volume e a area da superfıcie do solido de revolucao gerado pela area planaanterior em que o eixo de revolucao e o eixo das abcissas. Represente graficamente oprocesso de gerar o solido

6. Determine o comprimento das seguintes linhas:

6.1 A linha e dada da seguinte forma (parametrica): x = cos(2t), y = sin(2t) com 0 6 t 6 π/2.

6.2 A linha e dada da seguinte forma: y = ln(cos(x)) com 0 6 x 6 π/4.

Os exercicios realizados nas aulas praticas foram os seguintes

Exercıcios a realizar nas aulas praticas

da semana de 24 a 28 de Setembro de 2007

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1. Faca um estudo da funcao

f(x) =|x| + 1

x2 − 1relativamemte ao domınio, zeros, paridade, assımptotas, continuidade, monotonia, ex-tremos, pontos de inflexao, concavidade, esboco do grafico e contradomınio.

2. Faca um estudo da funcao

f(x) =ln(x)

xrelativamemte ao domınio, zeros, paridade, assımptotas, continuidade, monotonia, ex-tremos, pontos de inflexao, concavidade, esboco do grafico e contradomınio.

3. Determine as dimensoes de um rectangulo com um perımetro de 100 cm, cuja area e a maiorpossıvel.


da semana de 1 a 5 de Outubro de 2007


A ={x ∈ R; x =

(−1)n

n, n ∈ N

}.

Determine o interior, exterior, fronteira, aderencia e derivado do conjunto A. O conjuntoA tem pontos isolados? O conjunto A e aberto e/ou fechado?

2. Considere o domınio Df da seguinte funcao:

f(x) =

√x + 3

x.

Determine o interior, exterior, fronteira, aderencia e derivado do conjunto Df . O conjuntoDf tem pontos isolados? O conjunto Df e aberto e/ou fechado?

3. Considere o domınio Df da seguinte funcao:

f(x) =1

cos(x).

Determine o interior, exterior, fronteira, aderencia e derivado do conjunto Df . O conjuntoDf tem pontos isolados? O conjunto Df e aberto e/ou fechado?

11


A ={x ∈ R; |x + 2| > 6

}.

Determine o interior, exterior, fronteira, aderencia e derivado do conjunto A. O conjuntoA tem pontos isolados? O conjunto A e aberto e/ou fechado?



1. Uma caixa deve ser feita de uma folha de papelao medindo 16cm por 30cm, destacando-sequadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados, ver Figura 1. Qual e o medidados lados dos quadrados de modo a que a caixa tenha volume maximo.

Figura 1: Caixinha de chocolates.

2. Seja f(x) = |x − 1|. Explique porque razao nao e aplicavel o teorema de Rolle a funcao fno intervalo [−1, 3].

3. Seja f(x) = x2−1x−2

. Mostre que, no intervalo [−1, 1] a funcao f satisfaz as condicoes doteorema de Rolle. Determinar o valor de x no intervalo ]− 1, 1[ que verifica o teorema emcausa.

4. Prove, aplicando o teorema de Lagrange, que

1 + x < ex <1

1 − x,∀x ∈ [0, 1]

5. Utilize o teorema de Lagrange para demonstrar que√

101 esta compreendido entre 10 e10,05.

12

6. Prove aplicando o teorema de Lagrange, que:

arcsin(x) > x, ∀x > 0.

7. Exercıcios relacionados com o teorema de Cauchy:

7.1 Sejam f e g funcoes reais de variavel real, definidas por:

f(x) = sin(x), g(x) = x + cos(x).

Aplique o teorema do valor medio de Cauchy as funcoes f e g no intervalo [0, π2].

7.2 Calcule, aplicando o teorema de Cauchy, o seguinte limite

limx→0

tg(a + x) − tg(a− x)

arctg(a + x) − arctg(a− x).

8. Verificando a regra de Cauchy, calcule os seguintes limites:

limx→0

1 − cos(3x)

x2, lim

x→0+

[ln(1 + x)

]x

, limx→0

[x(arctg(ex) − π

2

)].

9. Verificando a regra de L’Hopital, calcule os seguintes limites:

limx→0

1 − e2x

x, lim

x→0

arctg(x)

x, lim

x→0

ex − 1

sin(x).



1. Determine a famılia das seguintes primitivas imediatas:

∫xsin(x2)dx

∫1

1 + 9x2dx

∫x√

x2 + 2dx

∫ln(x)

xdx

∫cos3(x)sin(x)dx

2. Sabendo que f ′′(x) = cos(2x) + c, c ∈ R, determine f(x).

13

3. Usando a primitivacao por partes determine a famılia das seguintes primitivas:

∫arctg(x)dx

∫xe2xdx

∫ln(x)dx

∫cos2(x)dx

∫x3

√1 − x2

dx

∫xcos(x)sin(x)dx



1. Usando a primitivacao por substituicao determine a famılia das seguintes primitivas:

∫1

√x(1 +

√x)dx

∫ex

3√

1 + 2exdx

∫ √4 − x2dx

∫cos3(x)sin(x)dx

2. Usando a relacao

cos(x) =1 − tg2(x/2)

1 + tg2(x/2)

determine por substituicao ∫1

2 − cos(x)dx

3. Usando a primitivacao de funcoes racionais, determine:

∫x

(x + 1)(x − 2)dx

∫1

x2 + x − 2dx

∫1

x2(x− 1)dx

∫x

x3 − 1dx

∫x4

x2 + 1dx

∫1

x2 − 2x + 3dx


da semana de 5 a 9 de Novembro de 2007

14

1. Seja a funcao f(x) = ex definida no intervalo [a, b]. Utilizando a definicao de integral deRiemann, verifique o seguinte resultado:

∫ b

a

exdx = eb − ea

2. Determine a famılia da seguinte primitiva assim como o intervalo onde tal desenvolvimentoe valido: ∫

1

xln(x)dx

3. Determine as primitivacao das seguintes primitivas:

∫cos(bx)dx, b 6= 0

∫arctg(x/2)

4 + x2dx

∫cos3(ax)dx, a 6= 0

∫tg3(x)dx

∫3x

x2 − 2dx

∫cos2(x)sin2(x)dx

∫ln2(x)dx

∫sin(ln(x))dx

∫ √x

3√

x2 +6√

x5dx

∫1√

b2x2 − a2dx, a, b ∈ R+

∫ √ex − 1dx

∫x− 1

x3(x2 + 1)dx

∫x3

x2 + x + 1dx

∫1

x3 − 1dx



1. Seja a funcao f(x) = ex definida no intervalo [a, b]. Utilizando a definicao de integral deRiemann, verifique o seguinte resultado:

∫ b

a

exdx = eb − ea

2. Confirmar o resultado anterior usando o conceito das primitivas, i.e. pela formula de Barrow.

15

3. Seja a funcao f(x) = x2 definida no intervalo [0, b]. Utilizando a definicao de integral deRiemann, verifique o seguinte resultado:

∫ b

0

x2dx =b3

3,

usando para tal o seguinte conhecimento:

n∑

i=1

i2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

4. Confirmar o resultado anterior usando o conceito das primitivas, i.e. pela formula de Barrow.

5. Determine o valor dos seguintes integrais definidos via formula de Barrow:

∫ 1

0

√exdx

∫ −1

−2

1

x(x− 1)dx

∫ 4

0

sin(√

x)dx

6. Utilizando a desigualdade de Schwarz, determine um majorante do seguinte integral definido:∫ e

1

ln(x)dx



1. Determine o domınio, intervalos de monotonia e extremos locais da funcao:

F (x) =

∫ x

1

ln(x)dx

2. Considere a funcao F (x) = x

∫ x

0

e−t2dt, determine usando a regra de Cauchy (verificar a

aplicabilidade da mesma a cargo do aluno como TPC) o seguinte limite

limx→0

F (x)

3 − 3e−x2

16

3. Determine as dimensoes de um rectangulo com area identica a dada pelas linhas f(x) =x2, g(x) = 0 no intervalo [0, b].


∫ 1

0

arctg2(x)

x2 + 1dx

∫ π

0

x2sin(x)dx

∫ 4

1

x4

x + 1dx

∫ 2

1

√x− 1

xdx

∫ 2

1

ln(x)

x(ln(x) + 1)dx

∫ a

0

√a2 − x2dx, a > 0

∫ π/2

0

cos3(x)dx

∫ 1

0

xe2xdx

5. Determine a area do seguinte subconjunto de R2:

Φ ={

(x, y) ∈ R2; y 6 −x2 + 3x + 4, y 6 x + 4, y > 0}

.

6. Determine a area limitada pelas seguintes linhas:

x2 + y2 = 1, y = −x + 1, com x, y > 0.

7. Determine a area do seguinte subconjunto de R2:

∆ ={

(x, y) ∈ R2; y 6 −x + 2, y 6 x2, x, y > 0}

.

8. Determine a area limitada pelas seguintes linhas:

y = |3x|, y = −x2 + 4, com y > 0, x ∈ R.



1. Determine o comprimento das seguintes linhas:

1.1. Considere y = 1 − ln(cos(x)) com x ∈ [0, π/4]

1.2. Considere a funcao dada de forma parametrica, x = (1 + t)2, y = (1 + t)3 com t ∈ [0, 1]

17

1.3. Considere y =√

x3 com x ∈ [1, 2]

1.4. Considere a funcao dada de forma parametrica, x = acos3(t), y = asin3(t) com t ∈ [0, π/2]e a > 0


∆ ={(x, y) ∈ R2; y 6 x, y 6 3 − 2x, y > 0

}

2.1. Determine a area associada ao subconjunto ∆ de R2

2.2. Determine o volume e a area lateral da superfıcie do solido de revolucao gerado pela areaplana ∆ em que o eixo de revolucao e o eixo das ordenadas. Represente graficamente osolido em causa.


∆ ={(x, y) ∈ R2; x2 + y2 6 4, y > x, x > 0

}

3.1. Determine a area associada ao subconjunto ∆ de R2

3.2. Determine o volume e a area lateral da superfıcie do solido de revolucao gerado pela areaplana ∆ em que o eixo de revolucao e o eixo das abcissas. Represente graficamente osolido em causa.



1. Classifique e estude por definicao a natureza dos seguintes integrais improprios:

∫ +∞

0

1

x2 + 1dx

∫ 1

0

ln(x)dx

∫ 2

0

1

x(x− 1)dx

∫ +∞

1

1√x − 1

dx

∫ +∞

0

1√x(x + 1)

dx

2. Classifique e estude por comparacao a natureza dos seguintes integrais improprios:

∫ +∞

1

x

x3 + 1dx

∫ +∞

1

e−x2

dx

∫ +∞

2

x + 13√

x5dx

18

3. Classifique e estude pelos criterios de comparacao a natureza dos seguintes integrais improprios:∫ +∞

0

1√x3 + 1

dx

∫ 2

1

1

3x2√

x2 − 1dx

∫ +∞

0

1

x3 − 1dx

∫ +∞

2

√x

3√

x2 − 4dx

4. Considere os seguintes integrais improprios:∫ +∞

1

sin(x)

x2dx

∫ +∞

1

cos(x)

xdx

4.1. Estude a natureza dos integrais improprios em causa.

4.2. Tendo em conta a pergunta anterior estude os integrais improprios em causa em termosde convergencia simples e absoluta


da semana de 3 a 7 de Dezembro de 2007

Verificar sempre a aplicabilidade dos criterios a utilizar:

1. Analisando o limite do termo geral das seguintes series o que pode concluir em termos desua natureza.

+∞∑

n=1

(n + 1

n + 3)n,

+∞∑

n=1

n

n2 + 3n + 1

2. Determine a natureza das seguintes series geometricas (verificar que sao de facto seriesgeometricas), determina a soma das convergentes:

+∞∑

n=1

(−4)n,+∞∑

n=1

(−1

6)n−1

3. Determine a natureza das seguintes series de Mengoli (verificar que sao de facto series deMengoli), determina a soma das convergentes:

+∞∑

n=2

1

n(n + 2),

+∞∑

n=1

ln(n

n + 1)

19

3. Usando series de Mengoli, mostre a seguinte igualdade:

+∞∑

n=1

1

(x + 1 + n)(n + x)=

1

1 + x

4. Utilize o criterio de comparacao e/ou seus corolarios para estudar a natureza das seguintesseries:

+∞∑

n=1

n√3n3 + 2

+∞∑

n=1

(√

n2 + 2 − n)+∞∑

n=1

1

n2 + en

5. Utilize o criterio do integral, verificando a sua aplicabilidade, para estudar a natureza daseguinte serie:

+∞∑

n=1

ne−n2

6. Utilizando o criterio de D´Alembert estude a natureza das seguintes series:

+∞∑

n=2

n!

2n

+∞∑

n=1

2n

1.3.5....(2n− 1)

+∞∑

n=1

4nn!

nn

7. Utilizando o criterio de Cauchy estude a natureza das seguintes series:

+∞∑

n=1

1

nn

+∞∑

n=1

23n+1

(n + 1)n

8. Estude em termos de convergencia simples ou absoluta as seguintes series:

+∞∑

n=1

(−1)n

n!

+∞∑

n=1

sin(n)

n2

9. Mostre que a serie+∞∑

n=1

(−1)n

n

e simplesmente convergente e determine quantos termos temos que considerar para cal-cular um valor aproximado da sua soma com erro inferior a 0.001

20


da semana de 10 a 14 de Dezembro de 2007

1. Determine o raio de convergencia das seguintes series de potencias, assim como o intervaloonde as mesmas convergem e divergem, i.e. estudar a natureza das series em R:

+∞∑

n=1

xn

n!,

+∞∑

n=1

n!(x − 3)n,+∞∑

n=1

(−1)n(x + 1)n

2nn,

+∞∑

n=1

xn

n

2. Considere a funcao f(x) = e2x:

2.1 Usando a definicao, desenvolva em serie de potencias de x (i.e. serie de Mac-Laurin) afuncao f .

2.2 Use o resultado obtido para verificar o seguinte resultado:

limx→0

e2x − 1

x= 2

3. Usando a definicao, desenvolva em serie de potencia de x as seguintes funcoes:

f(x) =1

1 + x, f(x) = (x + 1)α

4. Considere a funcao f(x) = ln(x):

4.1 Usando a definicao, desenvolva em serie de potencias de x−1 (i.e. serie de Taylor) a funcaof .

4.2 Confirme que a serie+∞∑

n=3

(−1)n+1

2n

e convergente, e determine a sua soma usando para tal o resultado 4.1.

5. Usando de forma conveniente o desenvolvimento da pergunta 3 (i.e. da funcao f(x) =1/(1 + x)), utilize a derivacao e a integracao para desenvolver em serie de potencias de xa funcao g(x) = arctg(x).

21

6. Use os desenvolvimentos das series sin(x) e cos(x) (obtidos nas aulas teoricas) para obtero desenvolvimento da funcao f(x) = tg(x) usando para tal um algorimo adequado dadonas aulas.

7. Usando o desenvolvimento da funcao f(x) = 1/(1 + x) obtido anteriormente, dermine odesenvolvimento em potencias de x − 2 da seguinte funcao

g(x) =1

x(x− 1)


da semana de 7 a 11 de Janeiro de 2008

1. Determine a solucao da seguinte EDO homogenea de ordem 3:

y′′′(t) − y′′(t) + y′(t) − y(t) = 0

2. Determine a solucao da seguinte EDO nao-homogenea de ordem 2 com condicoes iniciais, esolucao particular y∗(t) = htβ:

y′′(t) − 2y′(t) = 1

y(0) = 1, y′(0) = 1

3. Determine a solucao da seguinte EDO homogenea de ordem 3 com condicoes iniciais:

y′′′(t) + 2y′′(t) = 0

y(0) = 1, y′(0) = 1, y′′(0) = 4

4. Considere a seguinte EDO nao-homogenea de ordem 2:

y′′(t) + 4y(t) = 1

4.1. Verifique que y(t) = cos(−2t) nao e solucao da EDO em causa

22

4.2. Determine a solucao da EDO em causa com condicoes de fronteira y(0) = 1, y′(π/2) = 2,e solucao particular y∗(t) = htβ.

No inıcio do semestre os alunos foram alertados para a existencia de uma web page comtoda a informacao relevante sobre a disciplina, por exemplo: objectivos, programa, avaliacao,TPC, testes, notas, atendimento, relatorios da disciplina de anos anteriores etc...

http://evunix.uevora.pt/∼flc

A bibliografia recomendada aos alunos foi a seguinte:

1. Carapau, F., 2005, Manual de Matematica I, ADCE, Publicacoes Universidade de Evora.

2. Carapau, F., 2006, Primitivas, Integrais e suas Aplicacoes, Publidisa.

3. Figueira, Mario, 1996, Fundamentos de Analise Infinitesimal, Textos de Matematica, Univ.de Lisboa Fac. de Ciencias Demat.

4. Anton, Howard, 1999, Calculo um novo horizonte, volume I,II, 6aEdicao, Bookman.

5. Sarrico, Carlos, 1997, Analise Matematica, leituras e exercıcios, Trajectos Ciencia, Gradiva,Lisboa.

6. Swokowski, Earld William, 1994, Calculo com geometria analıtica, Vol.2, 2a edicao, MakronBooks do Brasil editora, Ltda.

7. Apostol, M.T., 1994, Calculo volume I,II, Editora Reverte, Ltda.

8. Ferreira, J.Campos, 1987, Introducao a Analise Matematica, Fundacao Calouste Gulbenkian.

9. Piskounov, N., 1988, Calculo Diferencial e Integral volume I,II, Editora Lopes da Silva.

3 Carga lectiva semanal

A carga lectiva semanal por licenciatura foi a seguinte: 3 horas de aulas teoricas + 2 horas deaulas praticas. Aulas teoricas previstas 28, e dadas pelo docente 28. Aulas praticas previstas14, e dadas por cada docente 14.

23

4 Atendimento aos alunos

Fernando Carapau (aulas teorias e aulas praticas): 5a feira das 9h as 12h e das 14h as 17h,fora este horario o docente esteve sempre disponıvel para esclarecer os alunos em algumaduvida concreta.

Vladimir Goncharov (aulas praticas): 2a feira das 14h as 16h, fora este horario o docenteesteve sempre disponıvel para esclarecer os alunos em alguma duvida concreta.

5 Avaliacao e resultados

(i) Avaliacao contınua - neste tipo de avaliacao o aluno pode realizar a 1a e a 2a frequencia.Considera-se o aluno aprovado desde que obtenha media, arredondada as unidades, supe-rior ou igual a dez valores no conjunto das duas frequencias, nao tendo obtido classificacaoinferior a 8 valores em nenhuma delas.

(ii) Avaliacao por exame - podem realizar este tipo de avaliacao os alunos que nao escolherama avaliacao contınua e aqueles que reprovaram na mesma. Considera-se o aluno aprovadodesde que obtenha classificacao, arredondada as unidades, superior ou igual a dez valores.

(ii) Exercıcios concretos sobre a materia a realizar nas aulas teoricas a contar para a nota final.

Datas dos testes

Primeira frequencia 19 Dezembro de 2007, das 20h as 23h. O teste proposto aos alunos foio seguinte:

Universidade de EvoraDepartamento de Matematica

Matematica I

1aFrequencia - 19 de Dezembro de 200720h-23h

Nota1: Justifique todas as suas respostas com princıpio, meio e fim.Nota2: Entregar o Grupo I e o Grupo II em conjuntos separados.

GRUPO I

24

1. Sendo Df o domınio da funcao

f(x) =sin(x)

x√

x + 1

determine o interior, exterior, fronteira, aderencia e derivado do conjunto Df . O conjuntoDf tem pontos isolados? O conjunto Df e aberto e/ou fechado?

2. Enuncie o Teorema do valor medio de Lagrange, mostre que o mesmo e aplicavel a funcaof(x) = ln(x + 1) no intervalo [0, e − 1], e determine o ponto do grafico da funcao f emque a tangente e paralela ao segmento de extremos (0, f(0)) e (e − 1, f(e − 1)). Ilustregraficamente o teorema para o exercıcio em causa.

3. Determine a famılia das seguintes primitivas:

∫x√

x2 + 1dx

∫xsin(2x)dx

∫x

x2 + x − 2dx

∫ √3 +

√x√

xdx

4. Verifique, utilizando a definicao de Integral de Riemann, o seguinte resultado (onde b > 0):

∫ b

0

ebxdx =1

b

(eb2 − 1

)

GRUPO II

5. Determine usando a formula de Barrow o valor dos seguintes integrais definidos:

∫ √π

0

x sin(x2)dx

∫ 1

0

x arctg(x)dx

∫ √3

0

√4 − x2 dx

6. Determine o comprimento da seguinte linha dada de forma parametrica:

x = a cos3(t), y = a sin3(t), a > 0, 0 6 t 6π

3


∆ ={

(x, y) ∈ R2; y > x2 − 2x, y 6 x, y 6 −x + 2}

(i) Determine a area da superfıcie plana associada ao conjunto ∆.

25

(ii) Seja Γ o conjunto que resulta ao adicionar a restricao y > 0 ao conjunto ∆. Comoconsequencia, determine o volume e a area lateral da superfıcie do solido de revolucaogerado pelo conjunto Γ em que o eixo de revolucao e o eixo das ordenadas. Represente osolido de revolucao em causa.

Segunda frequencia 11 de Janeiro de 2008, das 20h as 23h. O teste proposto aos alunos foio seguinte:


Matematica I2aFrequencia - 11 de Janeiro de 2008

20h-23h


GRUPO I

1. Classifique e estude por definicao a natureza dos seguintes integrais improprios:

∫ +∞

−∞

1

2 + x2dx

∫ 1

0

ln(x)dx

∫ +∞

1

13√

(x − 1)2dx

2. Estude a convergencia absoluta ou simples do seguinte integral improprio:

∫ +∞

1

cos(2x)√x3

dx

3. Utilize o criterio do integral (enuncie e verifique a sua aplicabilidade) para estudar a naturezada seguinte serie:

+∞∑

n=3

ln(n)

n

4. Estude a natureza das seguintes series, indicando a sua soma quando possıvel de acordo comos dados (enuncie os criterios a utilizar e verifique a sua aplicabilidade) :

+∞∑

n=1

13√

2n − 1

+∞∑

n=1

3

4n

+∞∑

n=1

(2n

)!

4n

+∞∑

n=1

(n2 + 2

n2

)n3

26

GRUPO II

5. Considere a seguinte serie de potencias de x

+∞∑

n=1

(−1)nxn

n3n

Determine o raio de convergencia e estude em R a natureza da serie.

6. Considere a seguinte funcao:f(x) = ln(1 − x)

(i) Recorrendo a definicao, desenvolva em serie de Mac-Laurin a funcao f .

(ii) Tendo em conta o desenvolvimento anterior determine o valor do seguinte limite:

limx→0

ln(1 − x)

x

7. Considere a seguinte EDO nao-homogenea de ordem 2:

y′′(t) + 4y(t) = 1

7.1. Verifique que y(t) = cos(−2t) nao e solucao da EDO em causa.

7.2. Determine a solucao da EDO em causa com condicoes de fronteira y(0) = 1, y′(π/2) = 2,e solucao particular y∗(t) = htβ.

Exame 17 de Janeiro de 2008, das 14h as 17h. O teste proposto aos alunos foi o seguinte:


Matematica I

Exame-17 de Janeiro de 200814h-17h


GRUPO I

27

1. Sendo Df o domınio da funcao

f(x) =

√−x2 + x + 2

x− 1

determine o interior, exterior, fronteira, aderencia e derivado do conjunto Df . O conjuntoDf tem pontos isolados? O conjunto Df e aberto e/ou fechado?

2. Determine a famılia das seguintes primitivas:

∫cos(x)

sin2(x)dx

∫tg3(x)dx

∫1

x(x − 1)dx

∫ln(x)√

xdx


∆ ={

(x, y) ∈ R2; y 6 −x2 + 4, y > 3x}

(i) Determine a area da superfıcie plana associada ao conjunto ∆.

(ii) Seja Γ o conjunto que resulta ao adicionar a restricao x > 0 ao conjunto ∆. Comoconsequencia, determine o volume do solido de revolucao gerado pelo conjunto Γ em queo eixo de revolucao e o eixo das abcissas. Represente o solido de revolucao em causa.

4. Classifique o integral improprio em causa e verifique a igualdade

∫ +∞

0

e−axcos(bx)dx =a

a2 + b2

GRUPO II

5. Estude a natureza das seguintes series:

+∞∑

n=1

2n+1

(n + 1)n

+∞∑

n=1

n

n3 + 1

+∞∑

n=1

3n

n!

6. Utilizando a definicao, desenvolva em serie de potencias de x − 1 a seguinte funcao:

f(x) =1

x

7. Determine a solucao da seguinte EDO homogenea y′′(t)−2y′(t) = 0 de ordem 2 com condicoesiniciais y(0) = 1, y′(0) = 1

28

Exame de Recurso 28 de Janeiro de 2008, das 14h as 17h. O teste proposto aos alunos foi oseguinte:


Matematica IExame - 28 de Janeiro de 2008

14h-17h


GRUPO I

1. Sendo ♠ o domınio da funcao

f(x) =

√ln(x)

x− 5

determine a fronteira, interior, exterior, aderencia e derivado do conjunto ♠. O conjunto♠ tem pontos isolados? O conjunto ♠ e aberto e/ou fechado?


∫ e

1

ln2(x)

xdx

∫ π2

0

xsin(x)dx

∫ 1

0

1

1 +√

xdx

∫ 3

2

1

x(x − 1)dx

3. Determine, representando graficamente, a area da superfıcie plana definida pelo conjunto:

♣ ={

(x, y) ∈ R2; y > x2 − 2x, y 6 x, y 6 −x + 2}

4. Determine o comprimento da linha do grafico de uma funcao dada de forma parametrica daseguinte forma: x = (1 + t)2, y = (1 + t)3 com t ∈ [0, 1]

GRUPO II

5. Estude a natureza das seguintes series:

+∞∑

n=1

n!

2n

+∞∑

n=1

n2

n4 + n + 5

+∞∑

n=1

( n

2n + 3

)2n

29

6. Considere a funcao f(x) = ln(x):

6.1 Usando a definicao, desenvolva em serie de potencias de x−1 (i.e. serie de Taylor) a funcaof .

6.2 Confirme que a serie+∞∑

n=3

(−1)n+1

2n

e convergente, e determine a sua soma usando para tal o resultado obtido em 6.1.

7. Considere a seguinte EDO homogenea de ordem 2:

y′′(t) − 4y(t) = 0

i) Verifique se a funcao y(t) = e−2t e ou nao solucao da equacao diferencial ordinaria em causa.

ii) Determine a solucao da equacao diferencial em causa com condicoes iniciais

y(0) = 1, y′(0) = 1

De seguida vamos analisar os resultados da avaliacao licenciatura a licenciatura2:

5.1 Licenciatura em Engenharia Agrıcola (LEA)

1. Numero de alunos inscritos na disciplina de Matematica I da LEA: 15

2. Numero de alunos da LEA avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 3

3. Numero de alunos da LEA(dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teorica oupratica: 1

4. Numero de alunos da LEA (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanaldos docentes: 0

5. Numero de alunos da LEA (dos avaliados) que realizaram pelo menos um teste semanal: 0

6. Dos alunos avaliados da LEA foram aprovados 3

7. Melhor e pior classificacao da LEA : 15 valores e 10 valores, respectivamente.

2Para mais detalhe sobre os resultados da avaliacao consultar anexos. Nos quais pode consultar, por exemplo:as notas dos testes, assiduidade dos alunos as aulas teoricas e praticas, atendimentos semanais e o numero detestes semanais realizados pelos alunos.

30

5.2 Licenciatura em Engenharia Biofısica(LEB)

1. Numero de alunos inscritos na disciplina de Matematica I da LEB: 15

2. Numero de alunos da LEB avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 2

3. Numero de alunos da LEB (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teorica oupratica: 2

4. Numero de alunos da LEB (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanaldos docentes: 0

5. Numero de alunos da LEB (dos avaliados) que realizaram pelo menos um teste semanal: 2

6. Dos alunos avaliados da LEB foram aprovados 2

7. Melhor e pior classificacao da LEB : 13 valores e 12 valores, respectivamente.

5.3 Licenciatura em Engenharia Alimentar(LEAL)

1. Numero de alunos inscritos na disciplina de Matematica I da LEAL: 7

2. Numero de alunos da LEAL avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 1

3. Numero de alunos da LEAL (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teorica oupratica: 0

4. Numero de alunos da LEAL (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanaldos docentes: 0

5. Numero de alunos da LEAL (dos avaliados) que realizaram pelo menos um teste semanal: 0

6. Dos alunos avaliados da LEAL foram aprovados 1

7. Melhor e pior classificacao da LEAL : 14 valores

5.4 Licenciatura em Engenharia Zootecnica (LEZ)

1. Numero de alunos inscritos na disciplina de Matematica I da LEZ: 19

2. Numero de alunos da LEZ avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 6

3. Numero de alunos da LEZ (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teorica oupratica: 4

31

4. Numero de alunos da LEZ (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanaldos docentes: 0

5. Numero de alunos da LEZ (dos avaliados) que realizaram pelo menos um teste semanal: 3

6. Dos alunos avaliados da LEZ foram aprovados 4, e reprovaram 2

7. Melhor e pior classificacao da LEZ : 15 valores e 5 valores, respectivamente.

5.5 Licenciatura em Ciencias do Ambiente(LCA)

1. Numero de alunos inscritos na disciplina de Matematica I da LCA: 5

2. Numero de alunos da LCA avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 1

3. Numero de alunos da LCA (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teorica oupratica: 1

4. Numero de alunos da LCA (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanaldos docentes: 0

5. Numero de alunos da LCA (dos avaliados) que realizaram pelo menos um teste semanal: 1

6. Dos alunos avaliados da LCA foram aprovados 1

7. Melhor e pior classificacao da LCA : 12 valores

5.6 Licenciatura em Biologia(LB)

1. Numero de alunos inscritos na disciplina de Matematica I da LB: 17

2. Numero de alunos da LB avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 7

3. Numero de alunos da LB (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teorica ou pratica:6

4. Numero de alunos da LB (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanaldos docentes: 0

5. Numero de alunos da LB (dos avaliados) que realizaram pelo menos um teste semanal: 5

6. Dos alunos avaliados da LB foram aprovados 5, e reprovados 2

7. Melhor e pior classificacao da LB: 14 valores e 4 valores, respectivamente.

32

5.7 Licenciatura em Ensino de Biologia e Geologia(LBG)

1. Numero de alunos inscritos na disciplina de Matematica I da LBG: 9

2. Numero de alunos da LBG avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 1

3. Numero de alunos da LBG (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teorica oupratica: 0

4. Numero de alunos da LBG (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanaldos docentes: 0

5. Numero de alunos da LBG (dos avaliados) que realizaram pelo menos um teste semanal: 0

6. Dos alunos avaliados da LBG foram aprovados 0, reprovados 1

7. Melhor e pior classificacao da LBG: 4 valores

5.8 Licenciatura em Biotecnologia(LBiot)

1. Numero de alunos inscritos na disciplina de Matematica I da LBiot: 32

2. Numero de alunos da LBiot avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 16

3. Numero de alunos da LBiot (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teorica oupratica: 16

4. Numero de alunos da LBiot (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanaldos docentes: 3

5. Numero de alunos da LBiot (dos avaliados) que realizaram pelo menos um teste semanal:15

6. Dos alunos avaliados da LBiot foram aprovados 9, e reprovados 7

7. Melhor e pior classificacao da LBiot: 14 valores e 0 valores, respectivamente.

5.9 Licenciatura em Quımica(LQ)

1. Numero de alunos inscritos na disciplina de Matematica I da LQ: 23

2. Numero de alunos da LQ avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 15

3. Numero de alunos da LQ (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teorica ou pratica:15

33

4. Numero de alunos da LQ (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanaldos docentes: 2

5. Numero de alunos da LQ (dos avaliados) que realizaram pelo menos um teste semanal: 15

6. Dos alunos avaliados da LQ foram aprovados 11, e reprovados 4

7. Melhor e pior classificacao da LQ: 19 valores e 2 valores, respectivamente.

5.10 Licenciatura em Bioquımica(LBQ)

1. Numero de alunos inscritos na disciplina de Matematica I da LBQ: 44

2. Numero de alunos da LBQ avaliados (i.e. realizaram pelo menos um teste): 13

3. Numero de alunos da LBQ (dos avaliados) que foram a pelo menos uma aula teorica oupratica: 13

4. Numero de alunos da LBQ (dos avaliados) que foram a pelo menos um atendimento semanaldos docentes: 0

5. Numero de alunos da LBQ (dos avaliados) que realizaram pelo menos um teste semanal: 13

6. Dos alunos avaliados da LBQ foram aprovados 4, e reprovados 9

7. Melhor e pior classificacao da LBQ: 11 valores e 0 valores, respectivamente.

6 Conclusoes e perspectivas

Dos 186 alunos inscritos na disciplina de Matematica I apenas foram avaliados 66 alunos (i.e.o numero de alunos que foram a pelo menos um teste) e 120 alunos nao se submeteram aavaliacao (frequencias e exames). Dos alunos avaliados apenas 58 alunos foram a pelo menosa uma aula teorica ou pratica. Apenas 111 alunos realizaram pelo menos um teste semanalproposto pelo responsavel da disciplina e apenas 5 alunos foram aos atendimentos semanais.Dos alunos avaliados foram aprovados 41 alunos (dos quais 13 alunos sao do primeiro ano) ereprovaram 25 alunos.

34

6.1 Alguns factores relacionados com o insucesso

Na opiniao do responsavel pela disciplina o insucesso dos alunos na disciplina de Matematica Iesta relacionada com os seguintes factores:

1. O numero fantasma de alunos que estao inscritos na disciplina mas que nao frequentama universidade e as aulas de forma activa. Alguns destes alunos apenas aparecem pararealizar os testes. Na maior parte dos casos aparecem aos testes sem estarem minima-mente preparados para a resolucao do mesmo e acabam por desistir ou entao a nota emuito baixa. Alguns destes alunos tem explicacoes o que neste caso concreto e um factorpositivo.

2. Nas primeiras quatro semanas de aulas (nao e exagero) os alunos do primeiro ano (que ea populacao activa a frequentar as aulas) sao desviados de forma sistematica das aulaspor causa das praxes academicas perdendo assim aulas teoricas e aulas praticas essenciaispara a compreensao das materias seguintes. Quando finalmente aparecem as aulas ficamcompletamente perdidos. E depois desistem facilmente.

3. Alguns alunos de outros anos nao tem horario para frequentar as aulas, la aparecem umavez por outra. De forma geral sao alunos com outra maturidade e empenhados em fazera disciplina. Alguns destes alunos tem explicacoes o que neste caso concreto e um factorpositivo.

4. Em relacao aos alunos que entram na 2a fase o problema e o seguinte: ja aparecem tardena universidade e ainda tem as ditas praxes academicas, quando finalmente aparecem asaulas ficam completamente perdidos e desistem facilmente. De maneira geral os alunosnao tem uma atitude positiva fase as dificuldades.

5. Para obter aprovacao numa disciplina como Matematica I e necessario ir sempre ou quasesempre as aulas, fazer um estudo contınuo, honesto e rigoroso, consultar os livros re-comendados, ou outros, sobre a materia exposta, combater as duvidas existentes sempreque possıvel por iniciativa propria e estudar em grupo. Na opiniao do responsavel dadisciplina sao poucos os alunos com sentido de responsabilidade.

6. Ao longo do semestre os alunos raramente aparecem nos atendimentos semanais dos docentes.Alguns, aparecem apenas nas vesperas dos testes que e quando iniciam o estudo damateria para avaliacao. Esta atitude de nao ir aos atendimentos semanais de uma formasistematica e muito negativa para o sucesso na disciplina.

7. Em geral os alunos do primeiro ano tem uma deficiente preparacao de base e falta de habitosde estudo.

35

8. E claro que a motivacao e a preparacao de base dos alunos sao um factor decisivo para osucesso ou insucesso na disciplina.

6.2 Alguns factores relacionados com o sucesso

Na opiniao do responsavel pela disciplina o sucesso dos alunos na disciplina de Matematica Iesta relacionada com os seguintes factores:

1. Alguns alunos do primeiro ano tem uma adequada preparacao de base e acompanham aexigencia de qualidade em vigor na disciplina. Em relacao aos alunos de outros anos nota-se que adquiriram com o tempo uma certa maturidade que lhes permitiu uma preparacaode base aceitavel ou mesmo boa. Alguns destes alunos tem explicacoes o que neste casoconcreto e um factor positivo.

2. A apresentacao por parte do docente das aulas teoricas de dois Manuais Didacticos sobre oprograma da disciplina auxiliou, sem duvida alguma, o estudo dos alunos responsaveis.Em especial destaco o manual sobre a resolucao de exercıcios.

3. A introducao dos testes semanalmente a contar para a nota final constituiu para os alunosresponsaveis um estudo extra de extrema importancia.

4. E, claro, a motivacao pessoal de cada aluno, alheia ao corpo docente, tambem foi determi-nante para a nota final.

6.3 Perspectivas para o futuro

Os anos anteriores (2004-2007) mostraram que as opccoes para a disciplina foram validas, eassim sendo e de manter para o futuro esta relacao entre qualidade e exigencia. Para o trabalhodesenvolvido pelo corpo docente ficar completo gostaria de sugerir a Reitoria um inquerito aosalunos sobre o funcionamento da disciplina em causa. Por tudo o que foi feito durante o anolectivo 2004-2005, 2005-2006 e 2006-2007 o docente responsavel esta disponıvel para leccionare organizar a mesma disciplina para o ano lectivo 2008-2009.

Sem outro assunto, atenciosamente

Evora, 14 de Fevereiro de 2008

O docente

(Prof. Auxiliar Fernando Carapau)

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ANEXOS

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Relatório da Disciplina de Matemática I

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