Engenharia Elétrica

Laboratório de Física Geral III

Relatório

Prática VII – Carga e Descarga de um Capacitor

Layon Cassiano Minchuerri Souza

Belo Horizonte

2015

Objetivos

Analisar o comportamento da corrente em função do tempo, durante o processo

de carga e descarga de um capacitor.

Introdução

O capacitor, dispositivo usado para armazenar energia elétrica, é constituído por

dois condutores isolados entre si. Seja qual for a forma dos condutores (plana, esférica,

cilíndrica...), eles recebem o nome de placas.

Quando um capacitor está carregado, as placas contêm cargas de mesmo valor

absoluto e sinais opostos, +q e –q. Entretanto, por convenção, dizemos que a carga de

um capacitor é q, o valor absoluto da carga de uma das placas. Como as placas são feitas

de material condutor, são superfícies equipotenciais: todos os pontos da placa de um

capacitor estão no mesmo potencial elétrico. Além disso, existe uma diferença de

potencial entre as duas placas. A carga q e a diferença de potencial V de um capacitor

são proporcionais:

𝑞 = 𝐶. 𝑉 (1)

A constante de proporcionalidade C, chamada de capacitância do capacitor,

depende da geometria das placas, mas não depende da carga nem da diferença de

potencial. A unidade de capacitância no SI é o coulomb por volt, cujo nome especial é

farad (F).

Figura 1: Circuito constituído de uma fonte de tensão V, um resistor R, um capacitor C e um

amperímetro A.

Na figura 1, temos um circuito RC (capacitor e resistor ligados à fonte). Para este

tipo de circuito,

𝑉 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶 (2)

em que V é a tensão total da fonte e VR e VC são as tensões no resistor e no

capacitor, respectivamente. A equação (2) pode ser escrita em função da corrente

elétrica I como

𝑉 = 𝑅. 𝐼 +𝑞

𝐶 𝑜𝑢 𝑉 = 𝑅.

𝑑𝑞

𝑑𝑡+

𝑞

𝐶 (3)

A solução da equação diferencial (3) para o processo de carregamento do

capacitor é:

𝑞 = 𝐶. 𝑉(1 − 𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ ) (4)

Como 𝐼 =𝑑𝑞

𝑑𝑡, temos que:

𝐼 =𝑉

𝑅. 𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ (5)

A partir das equações (4) e (5) podemos concluir que no instante 𝑡 = 0, quando

a fonte é ligada, a carga do capacitor é zero e a corrente no circuito é máxima

(𝐼 = 𝑉 𝑅⁄ ). Para 𝑡 > 0, a carga do capacitor aumenta e a corrente no circuito diminui.

Para 𝑡 → ∞, a carga do capacitor tende ao valor máximo 𝑞 = 𝐶. 𝑉 e a corrente no

circuito tende a zero.

Quando a fonte é desligada, 𝑉 = 0, a equação diferencial (3) deve ser escrita

como

0 = 𝑅.𝑑𝑞

𝑑𝑡+

𝑞

𝐶 (6)

A solução desta nova equação diferencial é

𝑞 = 𝐶. 𝑉. 𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ (7)

com

𝐼 = −𝑉

𝑅. 𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ (8)

A partir das equações (7) e (8) podemos concluir que no instante 𝑡 = 0, quando

a fonte é desligada, a carga do capacitor é máxima (𝑞 = 𝐶. 𝑉) e a corrente no circuito

também é máxima (𝐼 = 𝑉 𝑅⁄ ), mas, no sentido oposto. Para 𝑡 > 0, a carga do capacitor

e a corrente no circuito diminuem, tendendo a zero.

Como a carga de um capacitor durante sua descarga varia exponencialmente no

tempo, este dispositivo pode fornecer energia elétrica com uma rapidez muito maior

que uma pilha ou uma fonte de tensão convencional. As pilhas de uma máquina

fotográfica, por exemplo, armazenam a energia necessária para disparar o flash

carregando um capacitor. Como as pilhas só podem fornecer energia aos poucos, não

seria possível produzir uma luz muito forte usando diretamente a energia das pilhas. Um

capacitor carregado pode fornecer energia, em um curto intervalo de tempo, o

suficiente para produzir o clarão quando a lâmpada de flash é acionada.

Materiais Utilizados

i. Uma fonte CC.

ii. Um resistor de 22kΩ.

iii. Um capacitor de 1000μF.

iv. Microamperímetro.

v. Cronômetro.

vi. Cabos.

Procedimento

i. Ajuste uma tensão na fonte igual a 1,5 V.

ii. Monte o circuito ilustrado na Figura 1, sem fechá-lo. Antes de fechar o

circuito certifique-se que o capacitor está descarregado. Para isto basta

ligar uma placa na outra. Uma vez feito, feche o circuito e observe que a

corrente elétrica dá um salto para um valor acima de 50 μA. Anote, na

Tabela 1, o valor máximo da corrente elétrica. Se necessário, repita este

procedimento (inclusive descarregando o capacitor) para obter o valor

mais provável da corrente máxima.

iii. Meça a corrente I em função do tempo t. Anote os resultados na Tabela

1. O cronômetro possui a função lap, que interrompe a leitura sem

interromper a contagem do tempo.

Tabela 1: Corrente em um circuito RC em função do tempo, durante o processo de carga

do capacitor.

I (μA) 80 50 40 30 20 10 5

t (s) ± 3% 0 13,05 18,98 27,23 40,09 63,76 89,37

ln I 4,38 3,91 3,69 3,4 3 2,3 1,61

iv. Quando o microamperímetro indicar o valor zero para a corrente elétrica, dê início ao descarregamento. Para isto, basta desligar a fonte. Anote, na Tabela 2, o valor da corrente máxima e os subsequentes valores da corrente em função do tempo. Observe que as correntes elétricas durante o processo de descarga são negativas, pois o sentido de circulação é invertido.

Tabela 2: Corrente em um circuito RC em função do tempo, durante o processo de descarga do capacitor.

I (μA) -80 -50 -40 -30 -20 -10 -5

t (s) ± 3% 0 13,04 18,86 26,65 37,45 58,89 83,23

ln I 4,38 3,91 3,69 3,4 3 2,3 1,61

Análise dos dados

Com o auxílio do programa SciDAVis, construímos o gráfico de t x I para os

processos de carga e descarga do capacitor, e os ajustamos com uma função de

decaimento exponencial.

Integrando o gráfico, obtemos a área sob a curva, que corresponde ao valor da

carga elétrica armazenada no capacitor no gráfico do carregamento e da carga

elétrica perdida pelo capacitor no processo de descarregamento. Os resultados

obtidos foram os seguintes:

Carga

Numerical integration of: txI_I (μA) using LinearInterpolation

Points: 7 from x = 0 to x = 89,37

Peak at x = 0 y = 80

Area=2.272,47

Ou seja, a carga armazenada no capacitor foi de 2272,47 C.

Descarga

Numerical integration of: txI_I (μA) using LinearInterpolation

Points: 7 from x = 0 to x = 83,23

Peak at x = 0 y = 80 Area=2.156,3

Ou seja, a carga liberada pelo capacitor foi de 2156,3 C.

Fazendo os gráficos de t x ln I para carga e descarga do capacitor, e realizando

uma regressão linear, obtemos uma equação que, comparada com a equação (5)

linearizada, nos dará a capacitância C do capacitor eletrolítico utilizado no

circuito.

Voltando na equação (5), temos que:

𝐼 = 𝑉

𝑅. 𝑒−𝑡 𝑅𝐶⁄ ∴ ln 𝐼 = −

1

𝑅𝐶𝑡 + ln

𝑉

𝑅

Comparando as equações, temos:

−0,03𝑥 + 4,3 = −1

𝑅𝐶𝑡 + ln

𝑉

𝑅

Portanto, sabendo que R = 22kΩ:

−1

22𝑥103𝐶= −0,03 ∴

1

𝐶= 660

𝐶 = 1515 𝜇𝐹

Conclusão

Comparando os resultados com os valores nominais dos componentes utilizados,

percebemos que os mesmos são bem próximos, apesar da aparente distância, já que

estamos trabalhando em uma escala micro.

Portanto, o valor nominal de 1000μF, e o valor encontrado nos cálculos, de

1515μF, levando em consideração todos os erros de medição, arredondamentos, falta

de precisão na medição com o cronômetro, pode ser considerado aceitável.