PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

PUC – GO

CAIO SILVA RAMOS

KYUNG JOON RIBEIRO SANTOS

MAURO LUKAS CARDOSO

RELATÓRIO

1ª Experiência: Determinação da vazão real do Tubo Diafragma

Goiânia – GO 2015

CAIO SILVA RAMOS

KYUNG JOON RIBEIRO SANTOS

MAURO LUKAS CARDOSO

RELATÓRIO

1ª Experiência: Determinação da vazão real do Tubo Diafragma

Relatório utilizado como método de avaliação e obtenção de nota parcial referente a disciplina de Hidráulica Experimental do curso de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica de Goiás – PUC - GO.

Prof. Orientador: Fernando Ernesto Ucker

Goiânia – GO2015

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO........................................................................................................3

2. OBJETIVOS.............................................................................................................4

3. MATERIAS E MÉTODOS.....................................................................................4

3.1. Materiais............................................................................................................4

3.2. Métodos..............................................................................................................4

3.2.1. Formulação Matemática...........................................................................4

3.2.2. Procedimento.............................................................................................8

4. CONCLUSÃO........................................................................................................11

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................12

3

1. INTRODUÇÃO

No projeto de instalações hidráulicas a necessidade de se conhecer a vazão

de um fluido que escoa através de um conduto é um fator essencial, a partir

disso, muitos dispositivos foram desenvolvidos para se medir a vazão.

Um método eficiente de se encontrar esse dado é instalar algum tipo de

restrição no tubo e medir a diferença de pressão entre a região anterior e

posterior à restrição.

A placa de orifício ou diafragma é um dos meios mais utilizados para

medição de fluxos. O dispositivo consiste em um estreitamento da seção

transversal do conduto em uma determinada região. A redução pode ser de 20%

à 70% do diâmetro do tubo, sendo que reduções menores que 20% levam a

imprecisões das medições e maiores que 70% resultam em perda de carga

excessiva.

Por meio da utilização de um manômetro em U a diferença de pressão entre

a região anterior e posterior ao diafragma pode ser determinada e com o auxílio

de alguns artifícios matemáticos a vazão corresponde ao fluxo no conduto é

calculada.

A instalação do diafragma deve ser feita em trechos retilíneos horizontais, ou

verticais, e que apresente uma certa distância de dispositivos que possam alterar

os resultados como válvulas, conexões, joelhos, etc.

4

2. OBJETIVOS

Determinar o coeficiente de vazão fornecido pela norma DIN;

Determinar a vazão real no tubo Diafragma;

Comparar as vazões em termos do erro;

Tirar conclusões.

3. MATERIAS E MÉTODOS

3.1. Materiais

Tubo Diafragma;

Quadro de pressões – manômetro;

Água;

Régua;

Termômetro;

Módulo Experimental de Hidráulica.

3.2. Métodos

3.2.1. Formulação Matemática

Figura 1 – (a) Conduto com tubo diafragma e manômetro em U; (b) Seção Transversal do conduto.

Fonte: Autoria própria

(b)

(a)

5

O modelo matemático utilizado para o cálculo da vazão real provém de

uma série de teorias relacionadas ao estudo dos Fenômenos de Transporte. A

partir da análise da Figura 1 e utilização de alguns conceitos hidráulicos a

equação matemática para o problema é determinada.

Considerando o fluído como ideal aplica-se a Equação de Bernoulli1 do

ponto 1 ao 2:

H 1=H2

Z1+P1

γ H 2 O+

V 12

2 g=Z2+

P2

γ H2 O+

V 22

2 g

Como o medidor foi instalado em um plano horizontal, ou seja, estão em

um mesmo nível, tem-se que a carga potencial (Z) é constante, portanto:

P1−P2

γ H 2 O=

V 22−V 1

2

2gEquação( I )

Pela Equação da Continuidade2 aplicada à um escoamento incompressível em

regime permanente tem-se que:

S1 ∙V 1=S2 ∙V 2

As partículas do fluido, devido à inércia do movimento, tendem a ocupar no jato

uma seção menor que a do orifício. O jato contrai-se e, a uma certa distância do orifício,

apresenta- com seção constante. É a chamada ‘veia contraída’. Define-se o coeficiente

de contração (CC¿ como sendo a relação entre a área do jato na veia contraída e a área

do orifício:

CC=Scontraída

Sorifício∴CC=

S2

S0

então, a partir da Equação da Continuidade:

S1 ∙V 1=CC ∙ S0 ∙V 2∴V 1=CC ∙V 2 ∙(S0

S1)

1 A Equação de Bernoulli, definida pelo matemático holandês Daniel Bernoulli, descreve o comportamento de fluido que se move ao longo de conduto.2 A Equação da Continuidade expressa uma lei de conservação de massa. Também conhecida como uma das três Equações de Euler, assim chamada devido ao matemático e físico suíço Leonhard Paul Euler que as deduziu.

6

∴V 1=CC ∙V 2 ∙( D02

D12 )Equação (II)

Voltando à análise da Figura 1 e fazendo uso da Lei de Stevin 3 para se determinar a diferença de pressão demonstrada no manômetro em U:

P1=P2+γ H g∙ ∆ h−γ H 2 O ∙ ∆ h∴ [ P1−P2=∆ h ∙ (γ H g

−γ H 2 O ) ]∙ 1γ H 2 O

∴P1−P2

γ H 2 O=∆ h ∙ (d H g

−1) Equação(III )

A velocidade V 1 é chamada de velocidade de aproximação do orifício.

Substituindo a Equação( III ) na Equação(I):

V 22−V 1

2=2∙ g ∙∆ h∙ (dH g−1 ) Equação(IV )

Substituindo a Equação(II ) na Equação(IV ):

V 2={2∙ g ∙ ∆ h∙ (dH g−1)

1−[CC ∙( D0

D1 )2]

2 }12Equação(V )

Lembrando que:

Qt=V 2∙ S2 ∴V 2=Qt

S2

portanto, a Vazão Teórica (Qt ¿ pode ser definida como:

Qt=S2 ∙ {2 ∙ g ∙ ∆ h ∙ (d H g−1)

1−[CC ∙( D0

D1 )2]

2 }12

Equação(VI )

No entanto, pela hipótese de fluido ideal (μ=0¿, a velocidade V 2 não

corresponde a realidade, de forma que a velocidade no orifício será menor que a

calculada por causa das perdas, a partir disso o coeficiente de velocidade (CV ) é

definido como:

3 A Lei de Stevin, ou Teorema de Stevin, permite calcular a diferença de pressão existente entre dois pontos de certo fluído homogêneo que está tanto em equilíbrio como sob a ação da gravidade. É denominada assim em homenagem ao engenheiro, físico e matemático belga Simon Stevin.

7

CV=V 2real

V 2∴V 2real

=V 2 ∙CV

Retornando a Equação(V ) com o uso do coeficiente de velocidade a Vazão Real

(Qr ¿ pode enfim ser definida como:

Qt=V 2 ∙ S2 ∴Qt=V 2 ∙ S0 ∙ CC∴Q r=V 2 ∙ S0 ∙ CC ∙CV

∴Qr=CC ∙CV ∙ S0 ∙{2 ∙ g ∙ ∆ h ∙ (d H g−1)

1−[CC ∙( D0

D1 )2]

2 }12

Note-se que o produto dos coeficientes de velocidade e de contração dá origem

ao coeficiente que corrige a vazão. Este será denominada coeficiente de vazão ou

descarga (Cd ¿:

CD=CV ∙ CC

Designando por:

k=CD

{1−[CC ∙( D0

D1 )2]

2}12

Equação (VII )

obtém-se para a Vazão Real (Qr ¿ :

Qr=k ∙ S0 ∙ {2 ∙ g ∙ ∆ h ∙ (d H g−1 )}

12

onde k (coeficiente funcional do dispositivo ) é um coeficiente adimensional que

depende do número de Reynolds4 (ℜ¿ de aproximação, isto é, calculado com a

velocidade de aproximação e da relação m, sendo que:

m=S0

S1∴S0=m ∙ S1

Portanto, a equação utilizada em laboratório para o cálculo da vazão real:

Qr=k ∙ S1 ∙ m∙ {2 ∙ g ∙ ∆ h ∙(d H g−1)}

12 Equação(VIII )

4 Número de Reynolds é um valor adimensional que determina o regime de escoamento de um fluído. Osborne Reynolds, um físico e engenheiro hidráulico irlandês, popularizou o conceito apesar de não tê-lo descoberto.

8

3.2.2. Procedimento

O experimento teve seu início a partir do acionamento do conjunto

motor/bomba gerando assim um fluxo de água através de um conduto com seção

transversal de 7,8cm (D1=0,078m). Com o uso desse dado a área então é

calculada:

S1=π ∙ D1

2

4∴S1=π ∙¿¿

Logo após, com o uso do manômetro em U foi verificada a diferença de

pressão entre a zona de alta pressão e a de baixa pressão do sistema ilustrado na

Figura 1. O valor encontrado para a diferença de pressão foi de ∆ h=0,052m.

A partir do conhecimento da área S1, da variação de pressão ∆ h, uso da

Equação(VIII ) e uso dos dados repassados em laboratório, a vazão teórica pode

ser determinada:

Dados: K=0,676; m=0,45; g=9,81m2/s; d H g=13,6.

Q=k ∙ S1 ∙m ∙ {2∙ g ∙ ∆ h ∙(dH g−1)}

12

Q=0,676∙ 4,7784 ∙10−3 ∙0,45 ∙ {2 ∙9,81∙ 0,024 ∙ (13,6−1 ) }12

Q≅ 3,541 ∙ 10−3 m3/s

Com o uso da vazão teórica a velocidade de aproximação pode então ser

calculada:

Q=V 1 ∙ S1∴V 1=QS1

∴V 1=5,2117 ∙10−3

4,7784 ∙ 10−3 ∴V 1≅ 1,0907 m /s

Em seguida foi aferida a temperatura ambiente do laboratório, então, com a

utilização de um termômetro digital obteve-se uma temperatura de θc=24,6℃.

Porém, os valores encontrados para viscosidade cinemática da água na Tabela 1

9

são todos determinados em função da escala Fahrenheit5 sendo necessário

converter o valor encontrado da escala Celsius6 para Fahrenheit.

θF=32+( 9 ∙θc

5 )∴θF=32+( 9∙24,65 )∴θF=76,28℉

Na Tabela 1 são encontrados valores para a viscosidade cinemática da água

em função da temperatura. No entanto, não há valor tabelado para a temperatura

encontrada no laboratório, para contornar este problema foi usado o conceito de

aproximação linear para determinar a viscosidade cinemática da temperatura em

questão. O valor de temperatura medido no termômetro está situado entre as

temperaturas de 70℉ e 80℉ , faz-se o uso das mesmas para o cálculo de

interpolação da viscosidade cinemática a partir dos valores referentes a essas

temperaturas.

TABELA 1: Viscosidade cinemática da água.Temp. (℉ )

Viscosidade Cinemática ( ft2/sec )

40 1,664 x 10-5

50 1,410 x 10-5

60 1,217 x 10-5

70 1,059 x 10-5

80 0,930 x 10-5

90 0,826 x 10-5

100 0,739 x 10-5

110 0,667 x 10-5

120 0,610 x 10-5

150 0,475 x 10-5

(1,059−0,93)∙ 10−5

80−70= v−0,93∙ 10−5

80−76,28∴ v ≅ 9,7799 ∙ 10−6 ft2/sec

Conversão de unidades (S.I.):

(1 ft = 12¿; ¿ = 2,54 ∙ 10−2 m)

1 ft=12∈¿12 ∙2,54 ∙ 10−2 m=0,3048 m

5 A escala Fahrenheit é uma escala de temperatura proposta pelo físico e engenheiro alemão Daniel Gabriel Fahrenheit. Nesta escala o ponto de fusão da água é de 32℉ e o ponto de ebulição de 212℉ .6 A escala Celsius é assim designada em homenagem ao astrônomo e físico sueco Anders Celsius. Nesta escassa o ponto de fusão da água corresponde ao valor 0 e o ponto de ebulição ao valor 100.

10

v=9,7799 ∙10−6 ft2

sec=9,7799 ∙10−6 ∙ ( 0,3048m )2

s∴ v≅ 9,0858 ∙10−7m2 /s

Para utilização do diagrama presente na Figura 2 é necessário que se defina o

tipo de escoamento presente no conduto. Esse dado pode ser encontrado a partir do

número de Reynolds:ℜ=

V 1 ∙D 1

v∴ℜ=1,0907 ∙0,078

9,0858 ∙ 10−7 ∴ℜ≅ 9,3635 ∙104

Figura 2 – Curva para o diafragma padrão segundo a norma DIN

Fonte: http://www.ufjf.br/engsanitariaeambiental/files/2012/09/PR%C3%81TICA-N%C2%B0-03.pdf

A partir da análise do diagrama acima foi determinado o coeficiente k=¿0,679:

Qr=k ∙ S1∙ m∙ {2 ∙ g ∙ ∆ h ∙ (d H g−1 )}

12

Qr=0,679 ∙ 4,7784 ∙10−3 ∙ 0,45 ∙ {2∙ 9,81 ∙0,052 ∙ (13,6−1 ) }12

Qr≅ 5,2348 ∙10−3 m3/ s

Verificação:

V 1=Qr

S1∴V 1=

5,2348 ∙10−3

4,7784 ∙ 10−3 ∴V 1≅ 1,0955 m /s

ℜ=V 1 ∙D 1

v∴ℜ=1,0955 ∙0,078

9,0858 ∙ 10−7 ∴ℜ≅ 9,4047 ∙104

Nota-se uma diferença encontrada entre os valores da vazão real e

teórica, esse erro pode ser calculado por:

E %=(Qr−QQr

) ∙ 100=( 5,2348 ∙ 10−3−5,2117 ∙10−3

5,2348 ∙ 10−3 )∙ 100∴E %=0,4413 %

k

ℜ

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4. CONCLUSÃO

O coeficiente k deveria ser obtido pela Figura 2. Como, porém, não se

conhecia a vazão, V 1 não é conhecido, logo não se pode calcular ℜ. Por outro

lado, a partir da análise do diagrama percebe-se que o k , a partir de um certo

valor de ℜ, torna-se constante. É devido a isso que, para m=0,45, o coeficiente k

foi adotado como sendo igual a 0,676. Esse processo se tratou de um rearranjo

para que o cálculo pudesse ser prosseguido, o que induz a uma necessidade de o

valor do coeficiente ser verificado posteriormente.

A partir da vazão determinada com o valor k adotado pode-se calcular o

valor da velocidade de aproximação (V 1 ¿, em seguida o número de Reynolds e

posteriormente, com o uso do diagrama presente na Figura 2, determinou-se o

valor de k . Em seguida os mesmos cálculos foram refeitos e durante a

verificação notou-se que o valor de ℜ variou muito pouco. Como o valor de ℜ

reflete diretamente no valor da vazão, a partir do erro encontrado (

E %=0,4413 %¿ pode-se afirmar que a vazão obtida na segunda tentativa pode

ser adotada como verdadeira. Assim: Qr≅ 5,2348 l /s.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BRUNETTI, F. Mecânica dos Fluidos. 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall,

2008

MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos

Fluidos. Tradução de Euryale de J. Zerbini. 4. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2004.

FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à Mecânica dos

Fluidos. Tradução de Ricardo N. N. Koury, Geraldo A. C. França. 6. ed. Rio de Janeiro:

LTC, 2006.