Relatividade

Ciclâmio Leite Barreto

Gilvan Luiz Borba

Rui Tertuliano de Medeiros

Física e Meio AmbienteD I S C I P L I N A

Relatividade

Autores

aula

13

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

Divisão de Serviços Técnicos

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Barreto, Ciclamio Leite.

Física e meio ambiente / Ciclamio Leite Barreto, Gilvan Luiz Borba, Rui Tertuliano de Medeiros.

– Natal, RN : EDUFRN, 2006.

316p. : il

1. Física. 2. Meio ambiente. 3. Sociedade. I. Borba, Gilvan Luiz. II. Medeiros, Rui Tertuliano de.

III. Título.

ISBN 978-85-7273-334-2 CDU 53RN/UF/BCZM 2006/87 CDD 530

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Apresentação

A lgumas pessoas gostam muito do gênero literário e cinematográfico chamado ficção científica. Nesse sentido, filmes como “De volta para o futuro’’, “Contato’’ e “A Máquina do Tempo’’, que fizeram muito sucesso, tratam do tempo e da possibilidade

de “viajarmos’’ através dele. Será que a Ciência de alguma forma trata desses assuntos ou consegue nos responder o que é o tempo e o espaço?

Nesta aula, trataremos um pouco da natureza do espaço e do tempo à luz de conceitos elaborados por Newton e por Einstein. Para tanto, vamos começar fazendo uma arqueologia da relatividade, recorrendo inicialmente ao trabalho de Galileu Galilei sobre a relatividade do movimento, do ponto de vista da Mecânica.

A relatividade galileana, formalizada nas transformações de Galileu, focaliza a equivalência de referenciais inerciais. Tais transformações funcionam muito bem quando tratan de referenciais e objetos que se movem com velocidades pequenas em relação a algum referencial em repouso. Assim, as situações que podem ser descritas por essas transformações são as compatíveis presentes que temos em nosso cotidiano, o que é inteiramente condizente com as leis da Física Clássica, entretanto mostra-se insustentável como teoria quando testada em situações que envolvam velocidades da ordem da propagação da luz.

Quando tratamos de velocidade da luz, ou de outras próximas a da luz, operações como a adição de velocidades não correspondem ao que se observa na natureza, estando, ainda, em desacordo com o previsto se usásemos as transformações de referenciais sugeridas por Galileu e adotadas por toda a Física Clássica.

Diante dessa e de outras dificuldades, Einstein desenvolveu uma nova teoria (publicada em 1905) que alterou profundamente nossas concepções sobre espaço e tempo, mas que correspondiam a um corpo de conhecimentos capaz de explicar as observações experimentais.

Esses conhecimentos compõem a chamada teoria da relatividade especial, a qual pode ser sintetizada pela frase: espaço e tempo são relativos e matéria é permutável com energia, cujo significado estudaremos nesta aula.

Aula 13 Física e Meio Ambiente� Aula 13 Física e Meio Ambiente

Objetivos

1

�

3

4

5

A invariância das leis físicas

As leis da Física são as mesmas em todo lugar e em todo instante, sendo, portanto, invariantes.

Essa talvez seja a mais complexa síntese elaborada pela mente humana, correspondendo a séculos de elaboração. Podemos dizer que sua gestação se inicia na Física Aristotélica segundo a qual as leis da Física dependiam do lugar. Nela, existia a Física Sublunar, que estudava os corpos que ficam abaixo da Lua e a Física Supra-lunar, cujo estudo voltava-se para os corpos celestes, os quais eram regidos por leis diferentes daquelas que regem os corpos situados aqui na Terra.

Com Galileu, Kepler e Newton, aprendemos que a Física seria a mesma em todo o Universo. Com isso, esse conceito aristotílico de Física deixou de existir.

Os estudos de Newton reveleram que as leis da Mecânica são as mesmas para todos os referenciais inerciais. Por exemplo, ou seja, se fizermos uma experiência de mecânica em qualquer um dos pólos de nossos cursos, e se tal experiência for realizada nas mesmas condições, o resultado será o mesmo. Ou, ainda, se uma pessoa realizar um experimento

Compreender o princípio da relatividade de Galileu.

Aprender a operar com as transformações de Galileu.

Entender os postulados da TRE (teoria da relatividade especial).

Compreender a relatividade da simultaneidade, do espaço e do tempo.

Entender por que os efeitos relativísticos não estão ordinariamente manifestos no meio ambiente nem no cotidiano.

Aula 13 Física e Meio Ambiente Aula 13 Física e Meio Ambiente 3

Atividade 1

qualquer, de mecânica, em, por exemplo, um trem que se move em linha reta com velocidade constante, obterá o mesmo resultado que seria obtido por uma pessoa ao realizar o mesmo experimento, nas mesmas condições.

Entretanto a Física é muito mais que a mecânica, é também eletromagnetismo, termodinâmica etc. Nesse sentido, alguns cientistas do final do século XIX acreditavam que as leis da Física, e não apenas da mecânica, fossem as mesmas para todos os referenciais. Todavia, isso não era o que acontecia, pois quando se usava as transformações de Galileu em alguns experimentos de eletromagnetismo, verificava-se que o resultado experimental não confirmava a previsão teórica, como se o resultado da experiência dependesse do referencial. A ser verdade teal situação deveria existir algum referencial privilegiado em relação ao qual o resultado seria verdadeiro e nos outros, falso.

Tal situação incomodava bastante um jovem, desconhecido (na época) e desempregado Físico Alemão chamado Albert Einstein.

Isso o levou a desenvolver um corpo teórico chamado A teoria da relatividade especial (TRE), também conhecida como teoria da relatividade restrita, publicada em 1905, trata da invariância das leis da Física (o que significa, por exemplo, que não há mudança na expressão analítica, na forma das equações) mediante uma transformação entre referenciais inerciais.

Tente definir o que é o espaço e o que é o tempo. Esse assunto será tratado no próximo tópico desta aula.

Certamente, você teve bastante dificuldade nessa atividade. Isso se justifica pelo fato de que ainda hoje muitos cientistas estão estudando em busca de uma resposta satisfatória para tais questões. Uma introdução a esses conceitos será feita a seguir.

Aula 13 Física e Meio Ambiente4 Aula 13 Física e Meio Ambiente

Mecânica Clássica e a teoria da relatividade de Einstein: uma mudança de paradigma

Como você pode estar lembrado, os fundamentos da Mecânica Clássica foram construídos principalmente por Galileu Galilei (1564-1642) e Isaac Newton (1642-1727), tendo este formulado definitivamente em 1687, na sua obra-prima Philosophiae

naturalis principia mathematica (Princípios matemáticos da filosofia natural), os pressupostos básicos da Mecânica Clássica, que você pode estudar em Gazzinelli (2005).

1. O tempo é absoluto, homogêneo e isotrópico. Nesse sentido, Newton vai conceituar tempo da seguinte forma:

“O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por si mesmo e por sua própria natureza, flui uniformemente sem relação com nada externo; por isso mesmo, é chamado de duração.’’

O fato de não ter relação com nada externo dá ao tempo newtoniano um caráter de imutabilidade.

Nessa perspectiva, absoluto significa simplesmente o oposto de relativo, ou seja, independência em relação ao observador e ao objeto ou fenômeno observados; homogêneo qualifica um escoamento uniforme (por exemplo, nossa taxa de envelhecimento é constante); e isotrópico diz respeito à invariância em relação a uma inversão no tempo, embora classicamente o tempo escoe apenas do passado para o futuro.

2. O espaço é absoluto, homogêneo, isotrópico e euclidiano. Ao conceituar espaço, diz Newton:

“O espaço absoluto permanece constante igual e imóvel, em virtude de sua natureza, e sem relação alguma com nenhum objeto exterior...’’


O caráter absoluto do espaço consiste em concebê-lo como imóvel e sem nenhuma relação com qualquer coisa externa; a sua homogeneidade refere-se à perenidade da similaridade de todos os seus pontos; a isotropia tem significado igual em todas as direções; e o caráter euclidiano é compreendido pelo fato de que a menor distância entre dois pontos do espaço é a linha reta que os une.

A formalização desses conceitos se dá através das transformações de Galileu, ou seja um conjunto de equações que permite relacionar o movimento de objetos a partir quando observados de diferentes referenciais inerciais.

Princípio da relatividade de Galileu

Experimentos feitos por diferentes observadores em diferentes referenciais são relacionadas entre si. Eles mediram diferentes deslocamentos, velocidades e acelerações para uma partícula em movimento. Por outro lado, é difícil dizer quem está em repouso ou em movimento e em relação a que.

Vamos começar o estudo da relatividade de Galileu lendo o seguinte diálogo entre dois jovens que estão no interior de um ônibus parado em um terminal rodoviário.

A conversa flui bem quando, de repente, um deles, assustado, se senta bruscamente. Passado alguns instantes, ele comenta:

— Que susto! pensei que nosso ônibus estava saindo. Mas, na verdade, saiu o ônibus que estava aqui do lado.

— Não percebi nada, comenta o outro.

Essa sensação muito comum, já sentida por muitos de nós, representa a relatividade do movimento. Isto é, se você começa a olhar fixamente para a estrada durante um percurso de ônibus, e se ele está em linha reta e com velocidade constante, a sensação é a de que as árvores ou os postes à margem da estrada estão se movendo e você está parado.

Do ponto de vista da Física, essa situação pode ser resumida desta forma:

Não existe nenhum experimento capaz de nos fazer distinguir se estamos em repouso ou em movimento retilíneo uniforme (MRU).

Portanto, é possível passar da descrição do movimento em um referencial em repouso para a descrição em um referencial em movimento retilíneo e uniforme (na verdade, podem passar de um referencial para outro qualquer, estaremos tratando disso ao abordarmos as teorias da relatividade).


y s´

0 x

y´ s´

y´ A

V0

0´ x´ x´

y´ s´y s

y´ A

V0

V0 t

0´0 x´ x´x

As transformações de Galileu

Sejam dois referenciais inerciais, um em repouso (S) e um em movimento retilíneo uniforme (S') que se move com velocidade v0 em relação a S. Vamos supor que S' se move na direção x, e que A é um ponto em repouso em relação a S', como mostrado na Figura 1.

Após algum tempo, os dois referenciais coincidem em suas origens, esse instante, que chamaremos de t0, será nossa origem dos tempos, isto é, t0 = 0.

Em um instante posterior t, teremos a seguinte (Figura 2) posição relativa do ponto A.

Numa situação mais geral, consideremos a partícula localizada em um ponto A, como mostrado na Figura 2. Descrito por dois observadores, o movimento dessa partícula terá as variáveis relevantes relacionadas a cada observador. Um dos observadores utiliza o referencial S em que está em repouso. O outro utiliza o referencial S', em que também está em repouso, mas esse referencial está em movimento em relação ao referencial S, com uma velocidade u na direção positiva do eixo x. O eixo x' do referencial S'coincide em direção com o eixo x do referencial S.

Designamos a posição da partícula em relação ao referencial S pela coordenada x e sua posição relativa ao referencial S' pela coordenada x'. Se as origens O e O' dos dois

Figura 1 – Dois referenciais inerciais e um ponto A em repouso em S'

Figura 2 – Posição de A em relação ao referencial S e S'

Aula 13 Física e Meio Ambiente Aula 13 Física e Meio Ambiente �

referenciais coincidem em T = 0, então, as coordenadas x e x' são relacionadas entre si através da expressão x = x' + v0t ou transformação galileana de coordenadas

x = x− v0t

y' = y

z' = z

t' = t

Isso significa que, em um tempo t, o referencial S' é deslocado para a direita por uma quantidade v0t.

Além do tempo t(Equação 1d), que é considerado absoluto no contexto newtoniano, sendo um só para os dois referenciais, as coordenadas y e z não sofrem alteração, pois estamos assumindo deslocamento apenas na direção x.

Observando agora o conjunto de equações das transformações de Galileu, dividimos pelo tempo cada um dos termos da equação 1 para chegarmos à equação correspondente à transformação de Galileu de velocidades da partícula, como medida pelos dois observadores:

x

t=

x

t− v0t

t

y

t=

y

t

z

t=

z

t

ou seja, transformação galileana de velocidades

vx = vx − v0

vy = vy

vz = vz

em que v'x é a componente x da velocidade da partícula observada em S' e vx é a velocidade observada em S.

Esse último conjunto de equações é conhecido como equações de transformação galileanas.


Atividade 2

Embora os observadores nos dois referenciais diferentes meçam diferentes coordenadas e velocidades da partícula, eles medirão a mesma aceleração. Assim, vejamos:

quando v0 é constante, isto é, a variação da velocidade v0 é nula, a equação 2a pode ser escrita como

∆vx

∆t=∆vx∆t

− ∆v0∆t

Ou seja, ax = ax

Procedendo da mesma forma para as equações 2b e 2c, teremos ay = ay , a

z = az

Estamos supondo ainda que a massa m do objeto é a mesma quando medida em S e em S'. Assim,se multiplicamos essas equações por m, teremos:

max = max =⇒ F

x = Fx

may = may =⇒ F

y = Fy

maz = maz =⇒ F

z = Fz

O conjunto de equações 4 mostra que a segunda lei de Newton tem a mesma forma em todos os referenciais inerciais. Generalizando, esta é a essência do princípio da relatividade newtoniana: as leis da Mecânica são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Para saber mais sobre esse assunto, leia mais sobre equações de transformação galileanas em Young e Freedman (2003a).

Um automóvel viaja em linha reta, na direção ao sul com velocidade constante de 60 km/h. Ao mesmo tempo, um caminhão viaja na direção oposta com uma velocidade constante de 50 km/h.

a) Qual é a velocidade do automóvel em relação ao caminhão?

b) Qual é a velocidade do caminhão em relação ao automóvel?

(Dica: Considere o caráter vetorial da velocidade em suas respostas).

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Você certamente obteve respostas diferentes em ambos os casos propostos pela atividade 1, o que confirma o que estudamos até agora, não é?

Movimento relativo a altas velocidades

As equações de transformação galileanas são válidas somente se considerarmos velocidades da partícula (relativa a ambos os observadores), que são pequenas se comparadas à velocidade da luz no vácuo, cujo valor é c ≈ 3× 108 m/s . Isso significa que nessa abrangência de velocidades as previsões quantitativas dessas equações não são corroboradas pelas observações ou mensurações.

Quando a velocidade da partícula em relação a qualquer observador aproxima-se de c, essas equações de transformação devem ser substituídas por outras, aquelas que Einstein utilizou ao formular sua teoria da relatividade especial.

Devemos chamar a atenção desde já para o fato de que essas novas equações de transformação relativísticas, quando expressas no limite de velocidades ordinárias (v << c), se reduzem justamente às equações de transformação galileanas. Esse fato manifesta o famoso princípio da correspondência, expresso por Niels Bohr.

Princípio da correspondência de Bohr

O Princípio da Correspondência afirma que se uma teoria antiga descreve precisamente uma série de fenômenos físicos, qualquer nova teoria deve, necessariamente, explicar esses mesmos fenômenos de acordo com o que diz a teoria antiga. Obviamente, a nova teoria explicará outros fenômenos não contemplados pela antiga.

Uma pergunta oportuna é: como testar a validade das equações de transformação?

Em experiências envolvendo partículas que se movem a altas velocidades, tais como elétrons e prótons em aceleradores de partículas, muitos produzidos na alta atmosfera terrestre, percebe-se que a Mecânica newtoniana falha na descrição da dinâmica dessas partículas velozes.

Por outro lado, constata-se que as equações de transformação relativísticas da teoria de Einstein são bem sucedidas, ou seja, explicam coerentemente os resultados dessas experiências.


Finalmente, a Mecânica newtoniana não impõe qualquer limite sobre a rapidez de uma partícula. Já as equações de transformção relativísticas predizem que as partículas nunca podem exceder velocidade da luz . Elétrons e prótons acelerados através de voltagens (tensões elétricas) muito altas podem adquirir velocidades próximas à da luz, mas nunca alcançam esse valor. Ou seja, até agora, verifica-se a completa concordância entre a teoria da relatividade de Einstein e os resultados experimentais.

A velocidade da luz

As equações do eletromagnetismo, sintetizadas por James Clerck Maxwell, têm como consequência a previsão da existência de ondas eletromagnéticas, incluindo a luz.

Essa teoria prevê que essas ondas devem se mover com a velocidade de cerca de 3,0x108m/s.

Mas, 3,0x108m/s em relação a quê?

O som, por analogia, se move a aproximadamente 330 m/s em relação ao ar. Então, qual é a resposta correspondente para a luz (visível) ou qualquer onda eletromagnética?

Essa resposta se faz necessária para dar consistência às equações do eletromagnetismo (as equações de Maxwell), as quais dispensam a existência de um meio para a luz se propagar. No século XIX, era natural supor que as ondas eletromagnéticas, a luz visível incluída, seriam perturbações de algum meio, o qual foi chamado pelos cientistas de éter luminífero. Com isso, asumiam que a luz viaja na velocidade c em relação ao éter, cuja existência deveria ser provada. Mas, não conseguia se provar essa existência, levando ao impasse que foi resolvido pelo segundo postulado da TRE, que na verdade torna desnecessário a existência do éter, propondose a existência do vácuo.

O princípio da relatividade de Einstein

Os dois postulados básicos da teoria da relatividade especial (de fato, um princípio e seu corolário) foram propostos por Einstein e são enunciados a seguir.


Essas afirmações contradizem fortemente as transformações de Galileu quanto à adição de velocidades. Note mais uma vez que não existe um limite superior para a velocidade dos objetos dentro da relatividade de Galileu, no entanto, podemos afirmar que a TRE é uma generalização do princípio da relatividade newtoniana.

Uma conseqüência imediata dos postulados de Einstein pode ser resumida da seguinte forma: para preservar a constância da velocidade da luz, torna-se necessário redefinir os conceitos de espaço e tempo absolutos da abordagem newtoniana, ou seja, se a velocidade da luz é absoluta, então, o espaço e o tempo devem ser relativos.

Uma outra conseqüência é que a simultaneidade de eventos passa a depender do referencial, ou seja, o que é simultâneo para um observador não o é para outro. E, finalmente, a consequência mais conhecida (usamos um pouco ela em nossa disciplina Ciências da Natureza e Realidade) é a equivalência entre massa e energia, expressa pela famosa equação

E = mc2

O princípio da simulteneidade

Vamos imaginar um trem partindo da estação. No meio de um vagão, há um observador, e um outro permanece na estação, a olhar para esse vagão.

Imaginemos ainda que as duas portas do vagão estão fechadas e podem ser abertas por um controle remoto que está nas maõs do observador que se encontra no vagão. Assim, em um dado instante, enquanto o trem se afasta em linha reta da estação, ele aciona o controle remoto e observa as duas portas se abrirem simulteneamente. O que verá o observador que se encontra na estação ? Ora, ao se afastar, o referido vagão do trem terá uma porta mais próxima e outra mais distante da estação. Assim, a luz que vem da porta mais próxima chega antes da porta mais distante, logo, para o segundo observador, as portas não se abriram simultaneamente.

Dando asas a nossa imaginação, suponha que existe um planeta situado a 2006 anos-luz da Terra. Então, os cientistas desenvolveram uma máquina capaz de ver os habitantes da Terra. Que pessoas eles estariam vendo agora? Eles estariam vendo a Terra como era há 2006 anos, ou seja estariam vendo os romanos e tudo mais conforme o tempo dos primeiros cristãos.

Tudo isso ocorre pelo fato de que a luz se propaga com velocidade finita!

O princípio da relatividade – Todas as leis da Física devem ser as mesmas para todos os referenciais inerciais.

O princípio da constância da velocidade da luz – A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais, da ordem de c = 3,0x108m/s

Aula 13 Física e Meio Ambiente1� Aula 13 Física e Meio Ambiente

s

luz

t/2

espelho

h

s´

v x t´/2 h

espelho

d/2

A relatividade do tempo

Imaginemos agora a situação em que uma pessoa dentro de um trem movendo-se com velocidade constante em linha reta. Tal pessoa realiza um experimento que é observado tanto por ela como por um outro observador que se encontra em repouso na estação. Vamos partir dos postulados de Einstein, não nos restringindo à suposição de que o tempo deva fluir do mesmo modo no trem e na estação, ou seja, t será o tempo medido na estação (S) e t' será o tempo medido em S. Como se relacionam esses tempos? Na teoria de Galileu/Newton, eles seriam iguais. Mas, estamos usando agora os postulados de Einstein.

Para responder a essa questão, observe a Figura 3.

O observador que está no interior do trem irá descrever a altura em função do tempo e da velocidade da luz como:

h =ct

2

A partir de S, podemos escrever (lembre do teorema de Pitágoras)

x2 = h2 + (d

2)2

.

O parâmetro d corresponde à distância percorrida com velocidade v, pelo trem, durante o intervalo de tempo segundo o qual a luz foi e voltou do espelho. Podemos escrever d como:

d

2=

vt

2=⇒ d = vt.

O parâmetro x corresponde à distância percorrida pela luz até o espelho, como vista pelo observador fora do trem. Ou seja, h =

ct

2.

Figura 3 – Trem e repouso (S) e trem em movimento (S’)


Substituindo as equações 5, 7 e 8 em 6, teremos ct

2

2

=ct

2

2

+vt

2

2

,

ou seja, (ct)2 = (ct)2 + (vt)2.

Que pode ser escrito como (ct)2 = (ct)2 − (vt)2.

Dividindo a equação 9 por c, temos (t)2 = (t)2 −v

ct2

.

Colocando t2 em evidência e extraindo a raiz quadrada em ambos os lados da equação, chegamos a

(t)2 = (t)21−

v

c

2,

t =t

1−v

c

2

O termo

11−

v

c

2

que encontramos na equação 10 é chamado de fator relativístico e irá permitir a Lorentz escrever um conjunto de transformações que levam seu nome e que contempla o limite superior para a velocidade da luz. Por outro lado, a equação 10 mostra que o tempo flui de modo diferente para cada um dos referenciais, o que está em repouso e o que está em movimento, ou seja, acabamos de mostrar que o tempo é relativo.

Em resumo: relógios em movimento relativo a um observador aparecem atrasados por um fator g. De acordo com um observador estacionário, um relógio em movimento segue mais lento do que um relógio idêntico em repouso.

O tempo próprio é o tempo medido por um relógio em repouso relativo a ambos os eventos. Esse efeito é conhecido como dilatação do tempo.

Como já demostrado, a equação que relaciona o intervalo de tempo Dt medido pelo observador em S, com o intervalo de tempo Dt', medido pelo observador em S' que se move com velocidade v em relação a S, é:

∆t =∆t1− v2

c2

= γ∆t.

Por outro lado, como demostraremos a seguir, comprimentos de objetos em movimento aparecem como contraídos na direção de movimento. Ou seja, além dos intervalos de tempo não


serem absolutos, isto é, os intervalos de tempo entre dois eventos dependerem do referencial em que são medidos, a distância medida entre dois pontos também depende do referencial.

A relatividade do comprimento

O comprimento próprio de um objeto é definido, similarmente ao seu tempo próprio, como o comprimento do objeto medido no referencial em que o objeto se acha em repouso. Isso não significa o mesmo que a distância entre dois pontos medida ao mesmo tempo. O comprimento de um objeto medido em um referencial em que o objeto se acha em movimento é sempre menor do que o comprimento próprio. Esse efeito é conhecido como contração de comprimento. A relação entre os dois comprimentos medidos é

L = L/γ = L

[(1− v2

c2)].

De acordo com esse resultado, se um observador em repouso, em relação a um objeto, mede seu comprimento como igual a L', um observador móvel com uma magnitude v de velocidade relativa ao objeto o achará como sendo mais curto do que é o seu comprimento pelo fator 1/γ = (1− v2/c2)1/2.

Vale ressalvar que a contração de comprimento ocorre somente ao longo da direção de movimento, permanecendo as dimensões perpendiculares a esta inalteradas.

As transformações de Lorentz

Um evento genérico, como a emissão de um flash de luz, é especificado por três coordenadas espaciais e uma coordenada de tempo. Imagine que um evento ocorrido em algum ponto P seja relatado por dois observadores, um em repouso no referencial S e outro no referencial S' movendo-se para a direita com uma velocidade de magnitude v, como mostrado na Figura 3.

O observador em S relata o evento com coordenadas espaço-tempo (x, y, z, t), enquanto o observador em S' relata o mesmo evento com coordenadas espaço-tempo (x', y', z', t').

O que se pretende encontrar é uma relação entre essas coordenadas que seria válida para todos os valores de magnitude de velocidade. Já sabemos que as transformações galileanas de coordenadas não concordam com a experiência feita para valores de rapidez comparáveis à velocidade da luz.

As equações corretas, que são válidas para magnitudes de velocidade na abrangência de v = 0 a v = c e que nos possibilitam transformar algum S em S', são dadas pelas equações de transformação de Lorentz (equações de transformação relativísticas):

x = γ(x− vt);


Atividade 3

y' = y

z' = z

t = γ(t− xv/c2);

sendo o fator relativístico g, dependente da magnitude v da velocidade, defi nido como

γ ≡ 11− v2

c2

= [1− (v/c)2]−1/2

.

Em muitas situações que encontraremos na teoria da relatividade, teremos a necessidade de lidar matematicamente com o chamado fator relativístico γγ((vv) = 1) = 1//[1[1−− ((v/cv/c))22]]

11//22,, em que v representa a rapidez de um objeto em

movimento e c, a rapidez da luz no vácuo, uma constante aproximadamene igual a 3,0x108m/s. Freqüentemente, utiliza-se o fator g(v): para multiplicar um intervalo de tempo medido em um referencial, a fi m de obter o correspondente intervalo de tempo em outro referencial; ou como divisor de um comprimento medido em um referencial, a fi m de obter o correspondente comprimento em outro referencial.

Com isso, calcule o valor do fator relativístico g para diversos valores de v: a) 10 km/h; b) 60 km/h; c) 900 km/h; d) 10 000 km/h; e) 100 000 km/h; f) 200 000 km/h; g) 290 000 km/h; h) 299 000 km/h.

Respostas: a) 1.000 000 001; b) 1.000 000 02; c) 1.000 004 5; d) 1.000 556 019; e) 1.060 660 172; f) 1.341 640 787; g) 3.905 667 329; h) 12.257 667 7.


Atividade 3

As equações de transformação de Lorentz foram originalmente deduzidas por H. A. Lorentz (1853-1928) em 1890. Entretanto, foi Einstein quem reconheceu seu significado físico e deu o grande passo ao interpretá-las dentro do arcabouço da teoria da relatividade.

A forma relativística da transformação de velocidade de acordo com as transformações de Lorentz é:

ux =(ux − v)

[1− (uxv/c2)].

Aqui, supõe-se que o sistema S' se move com uma velocidade v ao longo dos eixos xx', e que ux é a velocidade de um objeto medido no referencial S e u'x é sua rapidez medida no referencial S'.

Na atividade 3, você percebeu que à medida que aumenta a magnitude da velocidade v, também aumenta o fator g, sendo os aumentos em g cada vez mais dramáticos quanto mais v −→ c, de modo que as duas relações L = L/γ e ∆t = γ∆t transformam comprimentos e intervalos de tempo em conformidade com tais variações. Como as magnitudes de velocidade que levam g a se distanciar para mais de g = 1 são muito elevadas, os efeitos relativísticos não se acham ordinariamente manifestos no meio ambiente nem no cotidiano.

Uma aeronave voa de Natal (capital do Rio Grande do Norte) para Campinas (interior de São Paulo) uma distância de aproximadamente 3 000 km, com velocidade de magnitude constante igual a 300 m/s.

a) Qual é a duração da viagem para um observador no solo (em Brasília, por exemplo)?

b) E para um observador dentro da aeronave?

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Atividade 5

A teoria da relatividade geral

T anto a relatividade de Galileu quanto a TRE referem-se a movimento uniforme entre os referenciais. Ao abrir possibilidades de incluir movimento relativo, entre referenciais, que sejam acelerados, Einstein deparou-se com um colossal problema teórico que

consumiu cerca de dez anos de trabalho árduo, desaguando no que ficou conhecido como teoria da relatividade geral.

Uma simples “experiência imaginada” conduziu a mente fértil de Einstein a generalizar a sua teoria da relatividade especial. Ele raciocinou que, se uma pessoa em queda livre não tivesse de se preocupar com a queda em si, poderia realizar uma experiência interessante: retirar pedras de seus bolsos e não lançá-las, mas soltá-las simplesmente. Obviamente, as pedras assumiriam o mesmo movimento de queda livre, com a mesma aceleração. Cairiam juntas com essa pessoa, que diria então que as mesmas, em seu próprio referencial, estariam em repouso.

Outra experiência imaginada por Einstein: um sinal luminoso que penetra por um orifício na parede lateral de um elevador em ascensão uniforme, com velocidade de magnitude constante, atinge a parede oposta à mesma altura, mas se a ascensão for acelerada, a luz atingirá a parede oposta numa altura distinta. A aceleração atuante sobre o elevador tem como efeito desviar o facho de luz da sua trajetória retilínea.

O mesmo deve então ocorrer quando um raio de luz passar na região onde exista um campo gravitacional (que essencialmente precisa ser imenso, a fim de que sejam observados efeitos notáveis), ou seja, os efeitos gravitacionais seriam equivalentes aos efeitos de qualquer aceleração.

Você encontra-se em repouso na Terra quando uma espaçonave passa com velocidade de magnitude igual a 0,990c (cerca de 2,97x108 m/s) em relação à Terra. Um membro da tripulação dessa espaçonave constata que o comprimento dela é igual a 400 m. Qual é o correspondente comprimento medido por um observador na Terra?


Um outro exemplo: um cosmonauta no interior de uma espaçonave no espaço sideral estica seu braço na horizontal e solta um relógio:

a) sem nenhum campo gravitacional, o relógio flutuará entre seus dedos;

b) se a espaçonave é acelerada na “vertical’’ (em relação ao cosmonauta em pé) com uma magnitude igual à da gravidade da Terra, o piso se acelera indo de encontro ao relógio;

c) se a experiência é realizada com a espaçonave na plataforma de lançamento, na superfície do planeta, o relógio cai com a aceleração da gravidade.

Sem olhar para fora da espaçonave, nem ser avisado onde se encontra, o astronauta não pode distinguir entre as situações b e c.

Assim, mais uma vez, aceleração, nesses contextos seria equivalente à gravitação. Idéias como essas conduziram Einstein a desenvolver uma teoria da relatividade em que as propriedades do espaço são modificadas sempre que há um campo gravitacional. Para ilustrar essa situação, imagine um grande lençol preso pelo seu perímetro, com uma pesada esfera no centro. Sua superfície deixa de ser plana e horizontal. Uma bola de gude lançada sobre ele acabará espiralando em direção ao fundo: essa é uma maneira diferente de cair.

É justamente assim que um raio de luz cai atraído por um buraco negro, uma incomensurável concentração de massa que atrai gravitacionalmente tudo ao seu redor. A teoria da relatividade geral é uma teoria que considera as conseqüências formais do uso de referenciais acelerados, assim generalizando a teoria da relatividade especial. Quando Einstein a publicou em 1916 sugeriu alguns testes experimentais, dentre os mais importantes, destacamos:

(i) a rotação do eixo do planeta Mercúrio em sua órbita elíptica, conhecida como precessão no periélio (palavra que designa o ponto em que o planeta se acha mais próximo ao Sol). A teoria da relatividade geral dá uma explicação satisfatória a respeito da precessão no periélio de Mercúrio;

(ii) o desvio gravitacional da luz de estrelas encobertas pelo Sol durante um eclipse total, propiciando- lhes observação direta; a comprovação do primeiro teste experimental foi realizada em 1919, no município de Sobral, estado do Ceará, Brasil;

(iii) o deslocamento para o vermelho de origem gravitacional no espectro das estrelas, o que corresponde a um aumento no comprimento de onda da luz emitida por uma fonte de massa muito elevada.

Isso só pôde ser comprovado com a tecnologia disponível nos anos de 1960. Mais recentemente, as comprovações ocorrem preferencialmente no âmbito de laboratórios terrestres. Atualmente, há ainda em órbita um satélite chamado Gravity Probe B (Sonda de gravidade B) que coleta dados para análise dos detalhes da deformação topológica do espaço que envolve a Terra, causada pela ação do campo gravitacional.

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Resumo

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Auto-avaliação

Com que magnitude de velocidade um relógio terá de se mover para funcionar a uma taxa que seja metade da taxa de um relógio em repouso?

A que rapidez deve estar um observador para que uma régua de 1 m (medido em um referencial em repouso) se apresente com comprimento de 0,5 m?

Uma espaçonave move-se a uma magnitude de velocidade de 0,9c. Se seu comprimento é L0 quando medido do seu interior, qual é seu comprimento medido por um observador no chão?

Se cosmonautas pudessem viajar a v = 0,95c, durante 48 horas medidas em seu relógio de bordo, quanto tempo teria passado para um observador que usa seu relógio em repouso na terra?

a) Quanta energia própria em joule há em 1 kg de matéria? b) Converta para quilowatt-hora (kW-h); c) Estime um uso social dessa energia.

As profundas implicações da relatividade não dizem respeito apenas à luz, mas refletem a natureza fundamental do espaço e do tempo, bem como da intercambialidade entre energia e matéria. Nesta aula, você teve um contato preliminar com a relatividade, desde as suas manifestações na Mecânica Clássica (transformações galileanas), inteiramente compatíveis com o senso comum, até surpreendentes efeitos, como: a dilatação no tempo e contração espacial, a equivalência entre massa e energia, e mesmo a invariância da velocidade da luz no vácuo, todos inerentemente vinculados ao arcabouço teórico da relatividade de Einstein.

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Referências

GAZZINELLI, R. Teoria da relatividade especial. São Paulo: Edgard Blücher, 2005.

YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física I: mecânica: Sears e Zemansky. 10. ed. São Paulo: Addison-Wesley, 2003a. cap. 3.

Física IV: óptica e física moderna: Sears e Zemansky. 10. ed. São Paulo: Addison-Wesley, 2003b. cap. 39.

WOLFSON, R. Simplesmente Einstein: a relatividade desmistificada. São Paulo: Globo, 2005.

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