Relaes mtricas nos tringulos quaisquer Tringulo Acutngulo (trs ngulos so agudos) Em todo tringulo, o quadrado da medida do lado oposto a um ngulo agudo igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto da medida de um deles pela medida da projeo do outro sobre ele. Vejamos:

Tringulo Obtusngulo (possui um ngulo obtuso e dois ngulos agudos) Em todo tringulo obtusngulo, o quadrado da medida do lado oposto ao ngulo obtuso igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois, mais duas vezes o produto da medida de um deles deles pela medida da projeo do outro sobre ele. Vejamos:

ngulos agudo, obtuso e raso ngulo agudo O ngulo se torna agudo quando sua medida menor que a medida de um ngulo reto de 90. Vejamos:

ngulo obtuso O ngulo se torna obtuso quando sua medida maior que a medida de um ngulo reto de 90. Vejamos:

ngulo raso O ngulo se torna raso quando seus lados so semi retas opostas e a medida for de dois retos de 180. Vejamos:

Prismas Definio de prisma Considerando e como sendo dois planos paralelos diferentes, podemos considerar uma regio poligonal contendo n lados que est contida em e uma reta r que interrompe os planos e nos pontos A e B respectivamente. Podemos chamar de prisma, a unio dos diversos segmentos paralelos ao segmento da reta AB, contendo assim uma extremidade na regio poligonal e uma extremidade em .

Elementos A1A2A3 ... An e B1B2B3 ... Bn, so polgonos cngruos e paralelos denominados bases. A1B1, A2B2, ... AnBn so segmentos cngruos e paralelos denominados arestas laterais. Os segmentos A1A2, A2A3, ... An- 1 An, An A1, B1B2, B2B3 Bn- 1 Bn, Bn B1, so denominados arestas das bases. A1A2 B2 B1, A2A3 B3 B2, ... so paralelogramos denominados faces laterais. A altura do prisma a distncia h, existente entre os planos que possui as bases do prisma. Nomenclatura Existem trs tipos de prismas, que so denominados:

Triangulares

Quadrangulares

Pentagonais

reas A rea de um polgono que forma uma face lateral do prisma recebe o nome de rea de uma face lateral. Quando as faces laterais tiverem a mesma rea, o prisma ser regular. A soma das reas das faces laterais de um prisma denominada rea lateral. A soma das reas das faces de um prisma denominada rea total. Desta maneira, considerando Al , como sendo a rea lateral de um prisma, Ab como sendo a rea de uma das bases e At como sendo a rea total, teremos:

Volume O volume de um slido considerado um nmero, que relacionado a ele define a razo entre o espao que ele ocupa e o espao ocupado por um cubo de aresta unitria. Volume dos prismas O volume V de um prisma com rea da base Ab e altura h dado por:

importante lembrarmos que o volume de um prisma pode ser calculado tambm como um produto de rea de sua seco reta pela medida de sua aresta lateral.

Exemplo:

Quadrilteros

Paralelogramo Todo quadriltero que possuir lados opostos paralelos chamado de paralelogramo. Propriedades dos paralelogramos: Os lados opostos de um paralelo so congruentes. Os ngulos opostos so congruentes. As diagonais se cortam em seus respectivos pontos mdios. Vejamos:

Losango Todo paralelogramo que possui dois lados adjacentes congruentes denominado losango. Propriedades dos losangos: As diagonais esto nas bissetrizes dos ngulos internos. As diagonais so perpendiculares. Os quatro lados so congruentes.

Quadrado Todo quadriltero que retngulo e losango ao mesmo tempo denominado quadrado.

Retngulo Todo paralelogramo que possui um ngulo reto, chamado de retngulo. Propriedades dos retngulos: As diagonais so congruentes. Os quatro ngulos so retos.

Trapzio Todos os quadrilteros que possuem dois lados paralelos, recebem o nome de trapzio.

Observaes: a) O trapzio que possui os lados transversais congruentes chamado de trapzio issceles. b) O trapzio que possui um ngulo reto chamado de trapzio retngulo. Soma dos ngulos externos Considerando um polgono de n lados, onde ai e ae, so respectivamente as medidas de um ngulo interno e do ngulo externo adjacente ele, Si como sendo a soma dos ngulos internos e Se a soma dos ngulos externos. Considerando a1 + ae = 180 para cada um dos vrtices do polgono, temos:

Exemplo No pentgono convexo da figura:

Soma dos ngulos internos Considerando um polgono que contenha n lados e um ponto interno P, vamos juntar P aos vrtices, para obtermos n tringulos, onde a soma dos ngulos internos igual a 180 . n. Vejamos: Dessa forma considerando Si como sendo a soma dos ngulos internos do polgono, teremos:

A soma dos ngulos internos do polgono da figura : 6 . 180 - 360 = 720

Figura retngulo quadrado paralelogramo trapzio lozango

permetro 2(a+b) 4a 2(a + b) B+b+C+c 4a

rea A=a.b A = a2 A=a.h A = [(B+b) h]/ 2 A= (D.d)/2