RELAÇÕES E IDENTIDADES.MNEMÔNICAok
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RELAÇÕES E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS NA LÂMPADA HEXAGONAL
Profº.: Ulisses Marçal de Carvalho
HEXÁGONO TRIGONOMÉTRICO
Construímos um hexágono regular que tenha, “colocados” em seus vértices, as funções trigonométricas y = sen x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x, y = sec x e y = cossec x, em seus domínios, dispostos como na figura abaixo:
Chamaremos, agora, sen x, cos x, tg x, cotg x, sec x e cossec x de “vértices”. Associando, ainda, o número 1 ao centro do hexágono, como mostra a figura abaixo, podemos observar que:
i) Em cada triângulo eqüilátero em destaque, na figura acima, a soma dos quadrados dos vértices superiores é igual ao quadrado do vértice inferior (o 1, ao centro, é vértice também, dos triângulos em destaque).
sen2 x + cos2 x = 12 tg2 x + 12 = sec2 x 12 + cotg2 x = cossec2 x
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ii) O produto dos vértices simétricos em relação ao centro do hexágono é sempre igual a 1.
iii) Cada vértice do hexágono é igual ao quociente dos dois vértices subseqüentes, na ordem em que ficam, no sentido horário ou no sentido anti-horário.
iv) Inscrevendo, agora, no hexágono a “Estrela de Davi” e tomando-se três pontas consecutivas da estrela, o produto das pontas extremas é sempre igual à ponta interna.
Por exemplo, sejam as pontas consecutivas sec x, cossec x e cotg x, temos:
sec .cot cossecx g x x= De fato,
1 cos 1sec .cot . cossec
cos
xx g x x
x sen x sen x= = =
sen x . cossec x = 1 cos x . sec x = 1 tg x . cotg x = 1
cos
sen xtg x
x=
sec
cossec
xtg x
x=
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OBS.: Notemos que (iii) e (iv) se equivalem, pois, por exemplo, tomando-se (sec x, cossec x, cotg x) nesta ordem ou na outra ordem (cotg x, cossec x, sec x), temos:
No sentido anti-horário:
cos sec( ) sec ( ) sec .cot cos sec
cot
xiii x e iv x g x x
g x= =
ou no sentido horário:
cos sec( ) cot ( ) cot .sec cos sec
sec
xiii g x e iv g x x x
x= =
OBS.: Como exercícios, demonstrem todas as identidades que foram aqui diretamente desenvolvidas, com exceção daquelas verdadeiras por definição, ou seja, que constituem a própria definição e mais as seguintes:
1) Provar que 2 2(1 cot ).(1 cos ) 1 ,g x x x x kπ+ − = ∀ ∈ ≠ℝ
2) Provar que 1 1
2.sec . , , .cossec 1 cossec 1 2
x tg x x x kx x
π
π= + ∀ ∈ ≠ +− +
ℝ
3) Provar que 2 2 2(1 ) (1 cot ) (sec cossec ) , ,2
ktg x g x x x x x
π
− + − = − ∀ ∈ ≠ℝ
4) Provar que 1 cos 1 cos
, ,.cos 2
x x ksen x x x
sen x x tg x
π− −+ = ∈ ≠ℝ .
5) Provar que 4 4 2cos 2.( .cos ) 1x sen x sen x x+ + = .
6) Provar que cos
1cossec sec
sen x x
x x+ = .
7) cot sec .cossectg x g x x x+ = .
8) ( cot ).(sec cos ).(cossec ) 1tg x g x x x x sen x+ − − = .
4
9) 2 2 2 2sec cossec sec .cossecx x x x+ = .
10) 2
22
cotcos
1 cot
g xx
g x=
+.
11) 3 3cos
1 .coscos
sen x xsen x x
sen x x
−= +
−.
12) 2 2 2 2cossec sec cotx tg x x g x+ = + .
13) 22.( ).(cos cot ) (1 cos )sen x tgx x gx sen x x+ + = + + .
14) 2 2(1 cot ) (1 cot ) 2.cossecg x g x x+ + − = .
15) 2 4
42 4
1 2.cos cos
1 2.
xtg x
sen x sen x
− +=
− +.
16) 2 2 2(cot cos ) (1 ) (1 cossec )g x x sen x x− + − = − .
17) cos cos
cos cos
x y sen x sen y
sen x sen y y x
+ +=
− −.
18) cos cot
cos .cotsec
x g xx g x
tg x x
+=
+.
19) 2 2
2 22 2
cos1 .
cos cos
sen x ytg x tg y
x y
−+ =
−.
20) 21 cos(cossec cot )
1 cos
xx gx
x
−= −
+.
21) cot cot
cot .cotg x g y
g x g ytg x tg y
+=
+.
22) 2 2(sec .sec . ) 1 (sec . sec . )x y tg x tg y x tg y y tg x+ = + + .
23) 1
secsec
x tg xx tg x
− =+
.
24) 6 6 2 2cossec cot 1 3.cot .cossecx g x g x x− = + .
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Algumas técnicas MNEMÔNICAS.
As técnicas de memória (mnemônicas) foram
aplicadas aqui, com a finalidade de
revolucionar a aprendizagem das identidades
trigonométricas e relações.
Através de desenhos divertido e fácil de
aprender, você vai Descobrir um grande
segredo: o hexágono trigonométrico.
Se você colocar as funções
trigonométricas em torno de um
hexágono, você pode literalmente... entrar
em uma nova dimensão! Uma dimensão
onde você pode relacionar tudo entre si
de forma rápida e facilmente encontrar
fórmulas que servirão para resolver
muitos exercícios de trigonometria.
A TARTARUGA OU HEXÁGONO TRIGONOMÉTRICO
A tartaruga ou hexágono trigonométrico é a base
para todos os outros desenhos, com tempo e
prática suficiente, para se lembrar da maioria das
fórmulas trigonométricas.
1. Desenhe as linhas superior e inferior de um
quadrado imaginário,
2. Em seguida, coloque em cada lado um ponto para definir um hexágono.
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3. Depois, trace as linhas restantes.
4. Por último escreva as funções na ordem ilustrada.
A FLÔR
Com flor pode jogar com as três funções que
estão nas visinhanças.
OBSERVE AS RELAÇÕES:
01. Cada uma das funções é igual ao produto
das que estão ao seu lado (direito e esquerdo).
Exemplo:
02. Cada uma das funções é igual à
função vizinha sobre a seguinte função
vizinha à última.
Exemplo:
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Como podemos observar as relações são MULTIDIREDIONAIS, podemos avançar
tanto no sentido horário (da esquerda) quanto no sentido da direita (anti-horário).
Uma forma simples de recordar a segunda relação é percorrendo toda a flor em
uma direção, apontando com o dedo indicador a partir de cada função, dizendo:
“Esta é igual a esta sobre esta”.
O seguinte quando ilustra todas as relações trigonométricas que poderá encontrar
com a flor.
Ufa! ... que montão de fórmulas, mas legal. Só temos que aprender a desenhar a
flor e as relações que se encontram no slide anterior, para recordar todas.
Sempre poderá relacionar três funções que estejam juntas. Se, por exemplo,
aparecer um exercício onde tenha os valores de Seno e Cosseno, ao olhar a flor
notará que estes dados são suficientes para deduzir tanto a Tangente quanto a
Cotangente.
Se tiveres, em outro exercício, Sec / Cossec, ao usar a flor, rapidamente notará
que se pode simplificar a Tangente.
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A TEIA DA ARANHA
A teia ilustra uma nova direção, dentro de todas as
MULTIDIREÇÕES.
Se observar frente a frente, diametralmente,
poderá relacionar:
S com CSC
C com SC
T com CT
RELAÇÕES:
Qualquer função é igual a 1 sobre a função que
tenha a frente.
COMO MEMORIZAR O DESENHO DA TEIA:
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1º. Desenhe as linhas pintadas de PRETO;
2º. Depois as de roxo;
3º. As azuis;
4º. Os círculos verdes;
5º. As letras que representam as funções e você deve saber que:
S C
T CT
SC CSC
Você pode memorizar os lados assim:
Aprenda esta palavra: “OAHAO” (como se algo te surpreendesse e diga:
OAHAO!).
Agora coloque letra por letra seguindo uma direção em forma de “Z”, como mostra
a ilustração.
O BOXER
Com o boxer recordará soma de
quadrados e derivadas.
Dentro do hexágono está a pista
para um grupo de relações. Fora,
as do outro grupo.
Obs.: O número 2 no peito do boxer
lembra a soma do quadrado. Todas
as somas (ou subtrações) são
iguais a 1.
As setas à esquerda e a direita indica qual das
duas funções é subtraída.
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FORA:
Na parte externa do hexágono estão
as ajudas para lembras derivadas.
Desta vez, os sinais de (+) e de (-),
não representam somas e
subtrações, mas sim, os sinais das
funções.
A CURVA DA CABEÇA DO BOXER
RELACIONA AS FUNÇÕES SENO
E COSSENO.
Os olhos e sobrancelhas ajudam a lembrar dos sinais das derivadas dessas
funções.
Exemplo:
É que a derivada do cosseno é igual ao seno (com o sinal negativo). Porque, se
percorro a linha desde o cosseno até o seno, circulando a cabeça do boxer, esta
direção coincide coma que marca a sobrancelha que cobre o sinal negativo.
Seguindo as linhas das luvas do boxer,
encontramos as demais derivadas.
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Exemplo:
Encontrar a derivada da Cotangente. Siga a linha da luva que sai dessa função,
nota-se que a linha toca duas vezes a Cossecante (a primeira vez com sinal
negativo), ou seja:
Se, ao contrário, queremos encontrar a derivada da Cossecante, siga a linha que
sai da luva até a função. Note que a linha toca novamente (porém, desta vez com
o sinal negativo) e por último, toca a Cotangente.
Em outras palavras: Cossecante é igual menos a Cossecante (não menos
importante, como um sinal) multiplicado pela Cotangente.
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