Relações Adriano Joaquim de O Cruz ©2002 NCE/UFRJ [email protected].

RelaçõesRelações

Adriano Joaquim de O Cruz

©2002

NCE/UFRJ

[email protected]

@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 2

Introdução

Relações são associações entre elementos de diferentes conjuntos

Se o grau de associação é um ou zero temos uma relação clássica

Se o grau pode variar entre estes valores a relação é nebulosa

Por exemplo x é maior que y


Funções e Relações

Funções e Relações são mapeamentos.

Funções fazem mapeamentos de muitos para um.

Relações podem fazer mapeamentos de muitos para muitos.


Produto Cartesiano

Produto cartesiano de dois conjuntos X e Y é definido como

Para n conjuntos (Ai) o produto cartesiano é definido como

}|),{( YyeXxyxYX

}..1,|),,,{( 2121 niAaaaaAAA iinn


Relações Clássicas

Uma relação é um subconjunto do produto Cartesiano

O produto cartesiano pode ser considerado uma relação sem restrições.

Uma relação entre dois conjuntos é chamada de relação binária.

nn AAAAAAR 2121 ),,,(


Função Característica

Mede a força da relação entre os pares

Ryx

RyxyxR ),(0

),(1),(


Representação de Relações

Conjuntos de pares. Considere uma família e relação é primo de

XXR

deprimoéR

MarcoDéboraClaraBeatrizX

},,,{

)},(),,(),,(

),,(),,(),,(

),,(),,{(

ClaraMarcoBeatrizMarcoClaraDébora

BeatrizDéboraMarcoClaraDéboraClara

MarcoBeatrizDéboraBeatrizR



Matrizes que mostram os valores da função característica

0011

0011

1100

1100

Marco

Débora

Clara

Beatriz

MarcoDéboraClaraBeatriz

deprimo



Diagramas que mostram os elementos dos conjuntos como pontos e as relações como ligações entre os pontos

Beatriz

Clara

Débora

Marco

Beatriz

Clara

Débora

Marco


Relações Especiais

Considere um conjunto A={0,1,2} e as relações abaixo em A A

Relação Identidade I={0,0),(1,1),(2,2)}

Relação Universal U={(0,0),(0,1),(0,2),

(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}


Relações em Universos contínuos

xy 2

xy

xyyx

YyXxxyyxR

R 20

21),(

},,2|),{(


Propriedades de Relações Clássicas

Sejam X e Y dois sub-conjuntos de um universo U.

Sejam os elementos x X e y Y.

Seja S o produto cartesiano X Y .

Seja R uma relação clássica em S.


Propriedades de Relações Clássicas

Reflexiva: R é reflexiva se (x,x)R para qualquer xX.

Não reflexiva: R é irreflexiva se existir pelo menos um x tal que (x,x)R.

Anti-reflexiva: R é anti-reflexiva se não existe um xX para o qual (x,x)R.


Propriedades de Relações Clássicas cont 1

Simétrica: R é simétrica se para todo elemento xX e yY temos que se (x,y)R então (y,x)R.

Assimétrica: R é assimétrica se não existem elementos xX e yY para os quais (x,y)R e (y,x)R.

Antissimétrica: R é antissimétrica se para todo xX e yY, quando (x,y)R e (y,x)R então x=y.



Transitiva: R é transitiva se para todo x,y,z temos que se (x,y)R e (y,z) R então (x,z)R.

Conectada: R é conectada se para todo x e y temos que se xy então (x,y)R ou (y,x)R.



Única à esquerda: R é única à esquerda quando para todo x,y,z temos que se (x,z)R e (y,z)R então x=y.

Única à direita: R é única à direita quando para todo x,y,z temos que se (x,y)R e (x,z)R então y=z.

Bi-única: uma relação que é única à direita e à esquerda é chamada de bi-única.


Relação R=é primo de

A relação não é reflexiva porque uma pessoa não é prima de si mesmo, logo ela é antireflexiva porque não há elemento de R que seja primo de si mesmo.

A relação é simétrica porque se Beatriz é prima de Débora então Débora e prima de Beatriz e portanto não assimétrica.

A relação também não é antissimétrica porque ela é não é reflexiva nem assimétrica.


Relação R=é primo de cont 1

A relação não é transitiva porque Débora e prima de Clara e Clara é prima de Marco mas Débora não é prima de Marco.

A relação não é conectada porque existem pares de elementos diferentes para os quais a relação não se aplica. Por exemplo, Marco não é primo de Débora.


Relação R=é primo de cont 2

A relação não é única à esquerda porque Beatriz e Clara são diferentes pessoas e primas de Débora.

A relação não é única à direita porque Débora é prima de Beatriz e Clara que são diferentes pessoas.

Como a relação não nem única à esquerda nem à direita ela não é bi-única.


Relações Clássicas de Equivalência

Relações que são reflexivas, simétricas e transitivas são chamadas de relações de equivalência.

A relação de similaridade entre triângulos é uma relação de equivalência.

A relação trabalha no mesmo edifício que é uma relação de equivalência.


Relações Clássicas de Tolerância

Relações que são reflexivas e simétricas são chamadas de relações de tolerância.

A relação nítida “A cidade x é perto da cidade y” é uma relação de tolerância.– A cidade x obviamente é perto dela mesma

(reflexiva).– Se a cidade x é perto da cidade y então a cidade

y é perto da cidade x (simétrica). – Não é certo que se x é perto de y e y é perto de z

então x é perto de z (transitiva).


Tipos de Relações

Reflexiva Antireflex Simétrica Antisimét Transitiva

Equiv X X X Quase Equiv

X X

Tolerância X X Ordem Parcial

X X X


Operações com Relações Clássicas

Sejam R e S duas relações no universo Cartesiano XY.

Sejam as relações

000

000

000

O

111

111

111

E


Operações com Relações Clássicas cont 1

),(1),(

:

)],(),,(min[),(

:

)],(),,(max[),(

:

yxyx

oComplement

yxyxyxSR

Interseção

yxyxyxSR

União

RR

SRSR

SRSR


Propriedades das Operações Clássicas

)()()(

)()()(

)()(

)()(

CABACBA

CABACBAvidadeDistributi

CBACBA

CBACBAidadeAssociativ

ABBA

ABBAdadeComutativi


Propriedades das Operações Clássicas cont 1

AXA

XXA

A

AAIdentidade

AAA

AAAiaIdempotênc


Propriedades das Operações Clássicas cont 2

AAMeiodo

EAAExclusão

BABA

BABAMorganDe


Composição de Relações Clássicas

X Y Z

R S

T=R°S


Composição de Relações Clássicas

YX

SRy

yxyxSR )],(),([

produtoou

min

max

A operação ° é similar à uma multiplicação de matrizes


Exemplo de Composição

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

z1

z2

z3

ZYS

YXR



100

100

010

011

R

001

100

001

S

001

001

100

101

SR



x1

x2

x3

x4

z1

z2

z3

001

001

100

101

SR


Relações Nebulosas

Relações (R) mapeiam elementos de um conjunto (X) em outro conjunto (Y).

A força da relação é medida em termos de funções de inclusão que podem variar entre 0 e 1.

R:XY[0:1]


Relações Nebulosas

Sejam Ai conjuntos nebulosos. Uma relação nebulosa é um subconjunto do

produto Cartesiano

O produto cartesiano pode ser considerado uma relação sem restrições.

nn AAAAAAR 2121 ),,,(


Função Característica

Mede a força da relação entre os pares Sejam A(x) e B(x) os graus de

inclusão de x e y nos conjuntos A e B respectivamente.

)](),(min[),(

),(),(

xxyx

yxyx

BAR

BAR


Função Característica Exemplo

Conjunto A={(x1,0.2),(x2,0.5),(x3,1)}

Conjunto B={(y1,0.3),(y2,0.9)}. R=AB

9.03.0

5.03.0

2.02.0

3

2

1

21

x

x

x

yy

R


Propriedades de Relações Nebulosas

Sejam X e Y dois sub-conjuntos nebulosos de um universo U.

Sejam os elementos x X e y Y com graus X(x) e Y(y).

Seja S o produto cartesiano X Y .

Seja R uma relação nebulosa em S.



Propriedades com definições similares às das relações clássicas:

Reflexiva, Não reflexiva, Anti-reflexiva; Simétrica, Assimétrica, Antissimétrica; Conectada Única à esquerda, Única à direita, Bi-única



Transitiva: R é transitiva se para todo x,y,z temos que se (x,y)R e (y,z) R então (x,z)R.

),min(),(

),(),(

21

21

kiR

kjRjiR

xxentão

xxexxSe


Relações Nebulosas de Similaridade (Equivalência)

Relações que são reflexivas, simétricas e transitivas são chamadas de relações de equivalência.


Relações Nebulosas de Tolerância

Relações que são reflexivas e simétricas são chamadas de relações de tolerância.

A relação nebulosa “A cidade x é perto da cidade y” é uma relação de tolerância.– A cidade x obviamente é perto dela mesma

(reflexiva).– Se a cidade x é perto da cidade y então a cidade

y é perto da cidade x (simétrica). – Não é certo que se x é perto de y e y é perto de z

então x é perto de z (transitiva).


Operações com Relações Nebulosas

Sejam R e S duas relações no universo Cartesiano XY.

Sejam as relações

000

000

000

O

111

111

111

E


Operações com Relações Nebulosas cont 1

),(1),(

:

)],(),,(min[),(

:

)],(),,(max[),(

:

yxyx

oComplement

yxyxyxSR

Interseção

yxyxyxSR

União

RR

SRSR

SRSR


Propriedades das Operações

)()()(

)()()(

)()(

)()(

CABACBA

CABACBAvidadeDistributi

CBACBA

CBACBAidadeAssociativ

ABBA

ABBAdadeComutativi


Propriedades das Operações cont 1

AXA

XXA

A

AAIdentidade

AAA

AAAiaIdempotênc


Propriedades das Operações cont 2

AAMeiodo

EAAExclusão

BABA

BABAMorganDe


Composição de Relações Nebulosas

X Y Z

R S

T=R°S


Composição de Relações Nebulosas

YX

SRy

yxyxSR )],(),([

produtoou

min

max

A operação ° é similar à uma multiplicação de matrizes


Exemplo de Composição Nebulosa

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

z1

z2

z3

ZYS

YXR

1.0

0.8

0.9

0.8

1.0

0.9

0.8

0.7



0.100

8.000

09.00

08.01

R

007.0

8.000

009.0

S

0000007.000

0000007.000

08.00000000

08.00000009.0

SR

)]7.00()08.0()9.01[(),( 11 zxR



x1

x2

x3

x4

z1

z2

z3

007.0

007.0

8.000

8.009.0

SR

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7


Relação de Implicação

If x is A then y is B Esta regra possui uma relação de

implicação R(x,y) Assuma que x is A’, queremos

descobrir y is B’ B’= A’ R(x,y) B’ (y)=x[A’(x) R(x,y)]


Atribuição de Valores

Produto cartesiano Expressões matemáticas y=f(x) Regras linguísticas Classificação Métodos de similaridades de dados

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