Relações
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Matemática DiscretaParte 3
• Relações (4.1)
• Álgebra de Boole (7.1)
• Introdução à Teoria dos Grafos (5.1 e 5.2)
Sumário
• Propriedades de Relações
• Fechos de Relações
• Ordens Parciais
• Relações de Equivalência
Produto Cartesiano
• Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A e B, denotado por A×B, é o conjunto {(x,y) | x ∈ A e y ∈ B}
• Exemplo:
‣ Sejam A={a, b} e B={c, d}
‣ A×B = {(a,c), (a,d), (b,c), (b,d)}
Produto Cartesiano
• Seja um conjunto S = {1,2,3}
• Então S×S = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
‣ Podemos identificar um subconjunto de pares ordenados de S×S que satisfazem alguma relação específica?
Exemplo 1
• Seja ρ a relação de igualdade em S×S.
• A notação x ρ y significa que o par ordenado (x,y) ∈ S×S satisfaz a relação ρ.
‣ Se (x,y) ∈ S×S e x = y , então x ρ y.
Exemplo 1
• Seja ρ a relação de igualdade em S×S.
• A notação x ρ y significa que o par ordenado (x,y) ∈ S×S satisfaz a relação ρ.
‣ Se (x,y) ∈ S×S e x = y , então x ρ y.
‣ A relação ρ em S×S é {(1,1), (2,2), (3,3)}.
Relação Binária
• Dado um conjunto S, uma relação binária em S é um subconjunto de S×S.
‣ (x,y) ∈ ρ ↔ x ρ y
• Uma relação é definida explicitamente ou por uma propriedade de pertinência.
Exemplo 2
• Seja S = {1, 2, 3}
• Seja ρ uma relação em S tal que
‣ x ρ y ↔ x+y é ímpar ((x,y) ∈ ρ ↔ x+y é impar)
Exemplo 2
• Seja S = {1, 2, 3}
• Seja ρ uma relação em S tal que
‣ x ρ y ↔ x+y é ímpar ((x,y) ∈ ρ ↔ x+y é impar)
• Neste caso,
‣ ρ = {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)}
Relações entre Conjuntos Diferentes
• Dados dois conjuntos S e T, uma relação binária de S para T é um subconjunto de S×T.
• Dados n conjuntos S1, S2, ... , Sn, n>2, uma relação n-ária em S1×S2×...×Sn é um subconjunto de S1×S2×...×Sn.
Tipos de Relações
• Seja ρ uma relação binária de S para T
‣ (x,y) ∈ ρ, x ∈ S e y ∈ T.
• Um para um: cada x e cada y aparecem apenas uma vez na relação.
• Um para muitos: algum x aparece mais de uma vez.
• Muitos para um: algum y aparece mais de uma vez.
• Muitos para muitos: algum x e algum y aparecem mais de uma vez.
Operações entre Relações
• Sejam duas relações ρ e σ em S×S.
• Como as relações são conjuntos, podemos definir as operações de união, interseção e complemento entre relações:
‣ x (ρ ∪ σ) y ↔ x ρ y ou x σ y
‣ x (ρ ∩ σ) y ↔ x ρ y e x σ y
‣ x ρ’ y ↔ não x ρ y
Propriedades de Relações
• Seja ρ uma relação binária em S.
• Então ρ pode ser:
‣ reflexiva
‣ simétrica
‣ transitiva
‣ anti-simétrica
Relação Reflexiva
• Seja ρ uma relação binária em S.
• ρ é reflexiva se (∀x) (x ∈ S → (x,x) ∈ ρ)
• Exemplos de relações reflexivas:
‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y ↔ x = y
‣ ρ em ℕ tal que x ρ y ↔ x ≤ y
Relação Simétrica
• Seja ρ uma relação binária em S.
• ρ é simétrica se
‣ (∀x) (∀y) ((x, y) ∈ ρ → (y, x) ∈ ρ)
• Exemplos
‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y ↔ x = y, é simétrica
‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y ↔ x ≤ y, não é simétrica
Relação Transitiva
• Seja ρ uma relação binária em S.
• ρ é transitiva se
‣ (∀x)(∀y)(∀z) ((x,y)∈ρ ∧ (y,z)∈ρ → (x,z)∈ρ)
• Exemplos de relações transitivas:
‣ ρ em ℕ, tal que x ρ y ↔ x = y
‣ ρ em ℕ tal que x ρ y ↔ x ≤ y
Relação Anti-Simétrica
• Seja ρ uma relação binária em S.
• ρ é anti-simétrica se
‣ (∀x)(∀y) ((x,y)∈ρ ∧ (y,x)∈ρ → x=y)
• Exemplo de relação anti-simétrica:
‣ ρ em ℕ tal que x ρ y ↔ x ≤ y
Exemplo
• Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em S, tal que A ρ B ↔ A ⊆ B.
• Determine as propriedades de ρ.
Exemplo
• Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em S, tal que A ρ B ↔ A ⊆ B.
• Determine as propriedades de ρ.
‣ ρ é reflexiva, pois qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo.
Exemplo
• Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em S, tal que A ρ B ↔ A ⊆ B.
• Determine as propriedades de ρ.
‣ ρ é reflexiva, pois qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo.
‣ ρ é transitiva, pois se A⊆B e B⊆C, então A⊆C.
Exemplo
• Seja S = ℘(ℕ) e ρ uma relação binária em S, tal que A ρ B ↔ A ⊆ B.
• Determine as propriedades de ρ.
‣ ρ é reflexiva, pois qualquer conjunto é subconjunto de si mesmo.
‣ ρ é transitiva, pois se A⊆B e B⊆C, então A⊆C.
‣ ρ é anti-simétrica, pois se A⊆B e B⊆A, então A=B.
• Uma relação pode ser simétrica e, ao mesmo tempo, anti-simétrica.
‣ Exemplo: relação de igualdade
• Uma relação pode não ser nem simétrica, nem anti-simétrica.
‣ Exemplo: ρ = {(1,2), (2,1), (1,3)} em S={1,2,3}
‣ ρ não é simétrica, pois (1,3)∈ρ, mas (3,1)∉ρ
‣ ρ não é anti-simétrica, pois (1,2)∈ρ e (2,1)∈ρ, mas 1≠2
Sumário
• Propriedades de Relações
• Fechos de Relações
• Ordens Parciais
• Relações de Equivalência
Definição InformalSe uma relação ρ em um conjunto S não tem determinada propriedade, pode ser possível estender ρ a uma relação ρ* que tenha essa propriedade, tal que ρ ⊆ ρ*.
Se ρ* é o menor conjunto com essa propriedade, então ele é o fecho de ρ em relação a essa propriedade.
Podemos procurar o fecho reflexivo, fecho simétrico ou fecho transitivo de uma relação em um dado conjunto.
Definição Formal
Uma relação binária ρ* em um conjunto S é o fecho de uma relação ρ em relação à propriedade P se:
1. ρ* tem a propriedade P;
2. ρ ⊆ ρ*;
3. ρ* é subconjunto de qualquer outra relação em S que inclua ρ (2) e tenha a propriedade P (1).
ExemploSeja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos reflexivo, simétrico e transitivo.
ExemploSeja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos reflexivo, simétrico e transitivo.
• Fecho reflexivo é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}
ExemploSeja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos reflexivo, simétrico e transitivo.
• Fecho reflexivo é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}
• Fecho em relação à simetria é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}
ExemploSeja ρ = {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3)} uma relação em S = {1,2,3}. Determine os fechos reflexivo, simétrico e transitivo.
• Fecho reflexivo é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)}
• Fecho em relação à simetria é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (2,1), (3,2)}
• Fecho transitivo é
‣ {(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3), (2,1), (2,2)}
Sumário
• Propriedades de Relações
• Fechos de Relações
• Ordens Parciais
• Relações de Equivalência
Ordens Parciais
• Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada uma ordem parcial em S.
• Exemplos:
‣ x ρ y ↔ x ≤ y em ℕ
‣ A ρ B ↔ A ⊆ B em ℘(ℕ)
‣ x ρ y ↔ x divide y em ℤ+
• Se ρ é uma ordem parcial em S, então o par ordenado (S, ρ) é chamado um conjunto parcialmente ordenado.
• Notação
‣ (S, ≼) é um conjunto parcialmente ordenado.
‣ Se x ≼ y e x ≠ y, então x ≺ y (x é predecessor de y e y é sucessor de x)
‣ Se ∄ z | x ≺ z ≺ y, então x é predecessor imediato de y
Diagrama de Hasse
• Representação visual de um conjunto parcialmente ordenado (S, ≼)
‣ Cada elemento de S é um ponto (nó ou vértice) no diagrama
‣ Se x é predecessor imediato de y, então y é posicionado acima de x e os dois pontos são conectados por um segmento de reta.
Exemplo
• Desenhe o diagrama de Hasse para (S, ≼)
‣ S = {1, 2, 3, 6,12, 18}
‣ x ≼ y ↔ “x divide y”
1
2 3
6
12 18
Ordem Total
• Uma ordem total é uma ordem parcial na qual todo elemento do conjunto está relacionado a todos os outros elementos.
• Exemplo:
‣ x ρ y ↔ x ≤ y em ℕ
Diagrama de Hassepara ordens totais.
Elemento Mínimo
• Seja (S, ≼) um conjunto parcialmente ordenado.
• Se existe m ∈ S tal que (∀x)(m ≼ x), então m é um elemento mínimo.
• Se existir um elemento mínimo, ele é único.
• Em um diagrama de Hasse, um elemento mínimo está abaixo de todos os outros.
Elemento Minimal
• Seja (S, ≼) um conjunto parcialmente ordenado.
• Se t ∈ S e (∄x)(x ≺ t), então t é um elemento minimal.
• Em um diagrama de Hasse, um elemento minimal não tem elementos abaixo dele.
• Um elemento pode ser, ao mesmo tempo, mínimo e minimal. Um elemento mínimo é sempre minimal.
Sumário
• Propriedades de Relações
• Fechos de Relações
• Ordens Parciais
• Relações de Equivalência
Relações de Equivalência
• Uma relação binária em um conjunto S que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada uma relação de equivalência em S
• Exemplos:
‣ x ρ y ↔ x+y é par
‣ x ρ y ↔ x = y
Teorema
• Uma relação de equivalência em um conjunto S determina uma partição de S.
• Uma partição de S determina uma relação de equivalência em S.
Partição de um Conjunto
• Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos disjuntos não-vazios de S, cuja união é igual a S.
• Exemplo
‣ S = {a, b, c, d, e, f, g}
‣ {{a, b}, {c, d}, {e, f, g}} é uma partição de S
• Uma relação de equivalência divide o conjunto onde ela está definida em uma partição.
• Os subconjuntos que compõem a partição são formados agrupando-se os elementos relacionados.
• Exemplo
‣ S é o conjunto dos alunos em uma sala
‣ x ρ y ↔ “x senta na mesma fila que y”
Alunos na fila 1
Alunos na fila 2
...Alunos na fila n
S
Classes de Equivalência
• Seja ρ é uma relação de equivalência em um conjunto S e x ∈ S
• Denota-se por [x] o conjunto de todos os elementos de S relacionados a x:
‣ [x] = {y | y ∈ S ∧ x ρ y}
• Esse conjunto é chamado de classe de equivalência de x.
Exemplo
• Sabemos que x ρ y ↔ “x+y é par” é um
relação de equivalência em ℕ. Quais são as classes de equivalência correspondentes?
Exemplo
• Sabemos que x ρ y ↔ “x+y é par” é um
relação de equivalência em ℕ. Quais são as classes de equivalência correspondentes?
‣ [1] e [2]
Exemplo
• Sabemos que x ρ y ↔ “x+y é par” é um
relação de equivalência em ℕ. Quais são as classes de equivalência correspondentes?
Ímpares Pares
ℕ
‣ [1] e [2]
Congruência Módulo n
• Sejam x e y inteiros e n um inteiro positivo
‣ x ≡ y (mod n) se x-y é um múltiplo inteiro de n
• Exemplos
‣ 9 ≡ 1(mod 4), pois 9-1 é múltiplo de 4
• A relação binária “congruência módulo n” é sempre uma relação de equivalência em ℤ
• Conceito importante no projeto de arquitetura de computadores.