Rela Coes
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@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 2
Introdução
Relações são associações entre elementos de diferentes conjuntos
Se o grau de associação é um ou zero temos uma relação clássica
Se o grau pode variar entre estes valores a relação é nebulosa
Por exemplo x é maior que y
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 3
Funções e Relações
Funções e Relações são mapeamentos.
Funções fazem mapeamentos de muitos para um.
Relações podem fazer mapeamentos de muitos para muitos.
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 4
Produto Cartesiano
Produto cartesiano de dois conjuntos X e Y é definido como
Para n conjuntos (Ai) o produto cartesiano é definido como
}|),{( YyeXxyxYX
}..1,|),,,{( 2121 niAaaaaAAA iinn
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 5
Relações Clássicas
Uma relação é um subconjunto do produto Cartesiano
O produto cartesiano pode ser considerado uma relação sem restrições.
Uma relação entre dois conjuntos é chamada de relação binária.
nn AAAAAAR 2121 ),,,(
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 6
Função Característica
Mede a força da relação entre os pares
Ryx
RyxyxR ),(0
),(1),(
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 7
Representação de Relações
Conjuntos de pares. Considere uma família e relação é primo de
XXR
deprimoéR
MarcoDéboraClaraBeatrizX
},,,{
)},(),,(),,(
),,(),,(),,(
),,(),,{(
ClaraMarcoBeatrizMarcoClaraDébora
BeatrizDéboraMarcoClaraDéboraClara
MarcoBeatrizDéboraBeatrizR
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 8
Representação de Relações
Matrizes que mostram os valores da função característica
0011
0011
1100
1100
Marco
Débora
Clara
Beatriz
MarcoDéboraClaraBeatriz
deprimo
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 9
Representação de Relações
Diagramas que mostram os elementos dos conjuntos como pontos e as relações como ligações entre os pontos
Beatriz
Clara
Débora
Marco
Beatriz
Clara
Débora
Marco
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 10
Relações Especiais
Considere um conjunto A={0,1,2} e as relações abaixo em A A
Relação Identidade I={0,0),(1,1),(2,2)}
Relação Universal U={(0,0),(0,1),(0,2),
(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 11
Relações em Universos contínuos
xy 2
xy
xyyx
YyXxxyyxR
R 20
21),(
},,2|),{(
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 12
Propriedades de Relações Clássicas
Sejam X e Y dois sub-conjuntos de um universo U.
Sejam os elementos x X e y Y.
Seja S o produto cartesiano X Y .
Seja R uma relação clássica em S.
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Propriedades de Relações Clássicas
Reflexiva: R é reflexiva se (x,x)R para qualquer xX.
Não reflexiva: R é irreflexiva se existir pelo menos um x tal que (x,x)R.
Anti-reflexiva: R é anti-reflexiva se não existe um xX para o qual (x,x)R.
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 14
Propriedades de Relações Clássicas cont 1
Simétrica: R é simétrica se para todo elemento xX e yY temos que se (x,y)R então (y,x)R.
Assimétrica: R é assimétrica se não existem elementos xX e yY para os quais (x,y)R e (y,x)R.
Antissimétrica: R é antissimétrica se para todo xX e yY, quando (x,y)R e (y,x)R então x=y.
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 15
Propriedades de Relações Clássicas cont 2
Transitiva: R é transitiva se para todo x,y,z temos que se (x,y)R e (y,z) R então (x,z)R.
Conectada: R é conectada se para todo x e y temos que se xy então (x,y)R ou (y,x)R.
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 16
Propriedades de Relações Clássicas cont 3
Única à esquerda: R é única à esquerda quando para todo x,y,z temos que se (x,z)R e (y,z)R então x=y.
Única à direita: R é única à direita quando para todo x,y,z temos que se (x,y)R e (x,z)R então y=z.
Bi-única: uma relação que é única à direita e à esquerda é chamada de bi-única.
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 17
Relação R=é primo de
A relação não é reflexiva porque uma pessoa não é prima de si mesmo, logo ela é antireflexiva porque não há elemento de R que seja primo de si mesmo.
A relação é simétrica porque se Beatriz é prima de Débora então Débora e prima de Beatriz e portanto não assimétrica.
A relação também não é antissimétrica porque ela é não é reflexiva nem assimétrica.
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 18
Relação R=é primo de cont 1
A relação não é transitiva porque Débora e prima de Clara e Clara é prima de Marco mas Débora não é prima de Marco.
A relação não é conectada porque existem pares de elementos diferentes para os quais a relação não se aplica. Por exemplo, Marco não é primo de Débora.
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 19
Relação R=é primo de cont 2
A relação não é única à esquerda porque Beatriz e Clara são diferentes pessoas e primas de Débora.
A relação não é única à direita porque Débora é prima de Beatriz e Clara que são diferentes pessoas.
Como a relação não nem única à esquerda nem à direita ela não é bi-única.
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 20
Relações Clássicas de Equivalência
Relações que são reflexivas, simétricas e transitivas são chamadas de relações de equivalência.
A relação de similaridade entre triângulos é uma relação de equivalência.
A relação trabalha no mesmo edifício que é uma relação de equivalência.
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 21
Relações Clássicas de Tolerância
Relações que são reflexivas e simétricas são chamadas de relações de tolerância.
A relação nítida “A cidade x é perto da cidade y” é uma relação de tolerância.– A cidade x obviamente é perto dela mesma
(reflexiva).– Se a cidade x é perto da cidade y então a cidade
y é perto da cidade x (simétrica). – Não é certo que se x é perto de y e y é perto de z
então x é perto de z (transitiva).
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 22
Tipos de Relações
Reflexiva Antireflex Simétrica Antisimét Transitiva
Equiv X X X Quase Equiv
X X
Tolerância X X Ordem Parcial
X X X
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 23
Operações com Relações Clássicas
Sejam R e S duas relações no universo Cartesiano XY.
Sejam as relações
000
000
000
O
111
111
111
E
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Operações com Relações Clássicas cont 1
),(1),(
:
)],(),,(min[),(
:
)],(),,(max[),(
:
yxyx
oComplement
yxyxyxSR
Interseção
yxyxyxSR
União
RR
SRSR
SRSR
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 25
Propriedades das Operações Clássicas
)()()(
)()()(
)()(
)()(
CABACBA
CABACBAvidadeDistributi
CBACBA
CBACBAidadeAssociativ
ABBA
ABBAdadeComutativi
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Propriedades das Operações Clássicas cont 1
AXA
XXA
A
AAIdentidade
AAA
AAAiaIdempotênc
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Propriedades das Operações Clássicas cont 2
AAMeiodo
EAAExclusão
BABA
BABAMorganDe
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Composição de Relações Clássicas
YX
SRy
yxyxSR )],(),([
produtoou
min
max
A operação ° é similar à uma multiplicação de matrizes
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 30
Exemplo de Composição
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
z1
z2
z3
ZYS
YXR
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 31
Exemplo de Composição
100
100
010
011
R
001
100
001
S
001
001
100
101
SR
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 32
Exemplo de Composição
x1
x2
x3
x4
z1
z2
z3
001
001
100
101
SR
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 33
Relações Nebulosas
Relações (R) mapeiam elementos de um conjunto (X) em outro conjunto (Y).
A força da relação é medida em termos de funções de inclusão que podem variar entre 0 e 1.
R:XY[0:1]
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 34
Relações Nebulosas
Sejam Ai conjuntos nebulosos. Uma relação nebulosa é um subconjunto do
produto Cartesiano
O produto cartesiano pode ser considerado uma relação sem restrições.
nn AAAAAAR 2121 ),,,(
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 35
Função Característica
Mede a força da relação entre os pares Sejam A(x) e B(x) os graus de
inclusão de x e y nos conjuntos A e B respectivamente.
)](),(min[),(
),(),(
xxyx
yxyx
BAR
BAR
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Função Característica Exemplo
Conjunto A={(x1,0.2),(x2,0.5),(x3,1)}
Conjunto B={(y1,0.3),(y2,0.9)}. R=AB
9.03.0
5.03.0
2.02.0
3
2
1
21
x
x
x
yy
R
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Propriedades de Relações Nebulosas
Sejam X e Y dois sub-conjuntos nebulosos de um universo U.
Sejam os elementos x X e y Y com graus X(x) e Y(y).
Seja S o produto cartesiano X Y .
Seja R uma relação nebulosa em S.
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Propriedades de Relações Nebulosas
Propriedades com definições similares às das relações clássicas:
Reflexiva, Não reflexiva, Anti-reflexiva; Simétrica, Assimétrica, Antissimétrica; Conectada Única à esquerda, Única à direita, Bi-única
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 39
Propriedades de Relações Nebulosas
Transitiva: R é transitiva se para todo x,y,z temos que se (x,y)R e (y,z) R então (x,z)R.
),min(),(
),(),(
21
21
kiR
kjRjiR
xxentão
xxexxSe
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Relações Nebulosas de Similaridade (Equivalência)
Relações que são reflexivas, simétricas e transitivas são chamadas de relações de equivalência.
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Relações Nebulosas de Tolerância
Relações que são reflexivas e simétricas são chamadas de relações de tolerância.
A relação nebulosa “A cidade x é perto da cidade y” é uma relação de tolerância.– A cidade x obviamente é perto dela mesma
(reflexiva).– Se a cidade x é perto da cidade y então a cidade
y é perto da cidade x (simétrica). – Não é certo que se x é perto de y e y é perto de z
então x é perto de z (transitiva).
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 42
Operações com Relações Nebulosas
Sejam R e S duas relações no universo Cartesiano XY.
Sejam as relações
000
000
000
O
111
111
111
E
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 43
Operações com Relações Nebulosas cont 1
),(1),(
:
)],(),,(min[),(
:
)],(),,(max[),(
:
yxyx
oComplement
yxyxyxSR
Interseção
yxyxyxSR
União
RR
SRSR
SRSR
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 44
Propriedades das Operações
)()()(
)()()(
)()(
)()(
CABACBA
CABACBAvidadeDistributi
CBACBA
CBACBAidadeAssociativ
ABBA
ABBAdadeComutativi
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 45
Propriedades das Operações cont 1
AXA
XXA
A
AAIdentidade
AAA
AAAiaIdempotênc
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 46
Propriedades das Operações cont 2
AAMeiodo
EAAExclusão
BABA
BABAMorganDe
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 48
Composição de Relações Nebulosas
YX
SRy
yxyxSR )],(),([
produtoou
min
max
A operação ° é similar à uma multiplicação de matrizes
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Exemplo de Composição Nebulosa
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
z1
z2
z3
ZYS
YXR
1.0
0.8
0.9
0.8
1.0
0.9
0.8
0.7
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 50
Exemplo de Composição
0.100
8.000
09.00
08.01
R
007.0
8.000
009.0
S
0000007.000
0000007.000
08.00000000
08.00000009.0
SR
)]7.00()08.0()9.01[(),( 11 zxR
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 51
Exemplo de Composição
x1
x2
x3
x4
z1
z2
z3
007.0
007.0
8.000
8.009.0
SR
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
@2001 Adriano Cruz NCE e IM - UFRJ Relações 52
Relação de Implicação
If x is A then y is B Esta regra possui uma relação de
implicação R(x,y) Assuma que x is A’, queremos
descobrir y is B’ B’= A’ R(x,y) B’ (y)=x[A’(x) R(x,y)]