Regressão

Instituto Federal farroupilha Campus Alegrete RS 377 km 27 Passo Novo

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Professor Mauricio Lutz

1

REGRESSO LINEAR SIMPLES

A correlao linear uma correlao entre duas variveis, cujo grfico

aproxima-se de uma linha. O grfico cartesiano que representa essa linha

denominado diagrama de disperso. Para poder avaliar melhor a correlao entre

as variveis, interessante obter a equao da reta; essa reta chamada de reta

de regresso e a equao que a representa a equao de regresso. O diagrama

de disperso construdo de acordo com os dados amostrais de n observaes e a

equao de regresso dada pela expresso:

baXY += , onde a e b so os parmetros.

Vamos, ento, calcular os valores dos parmetros a e b com a ajuda

das formulas:

( ) ( )( )

-

-=

22ii

iiii

xxn

yxxyxna e xayb -= ,

Onde:

n o nmero de observaes;

x a mdia dos valores ix

=

n

xx i ;

y a mdia dos valores iy

=

n

yy i .

Obs.: Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos

parmetros, o resultado, na realidade, uma estimativa da verdadeira equao de

regresso. Sendo assim escrevemos:

baXY +=^

, onde o ^

Y o Y estimado.

Exemplos: a) Determinar a reta de regresso linear, sabendo que existe uma forte

correlao entre o peso total do lixo descartado, por dia, numa empresa com o

peso do papel contido nesse lixo.

Hotel H1 H2 H3 H4 H5 H6 H7 H8 H9 H10

Peso total 10,47 19,85 21,25 24,36 27,38 28,09 33,61 35,73 38,33 49,14

Peso do papel 2,43 5,12 6,88 6,22 8,84 8,76 7,54 8,47 9,55 11,43





2

De acordo com os dados, fazemos a representao grfica. Os pares

ordenados formam o diagrama de disperso.

Para facilitar o clculo construmos a seguinte tabela:

Peso total ( ix ) Peso do papel ( iy ) ii yx . 2ix

H1 10,47 2,43 25,44 109,62

H2 19,85 5,12 101,63 394,02

H3 21,25 6,88 146,20 451,56

H4 24,36 6,22 151,52 593,41

H5 27,38 8,84 242,04 749,66

H6 28,09 8,76 246,07 789,05

H7 33,61 7,54 253,42 1129,63

H8 35,73 8,47 302,63 1276,63

H9 38,33 9,55 366,05 1469,19

H10 49,14 11,43 561,67 2414,74

288,21 75,24 2396,68 9377,52 Temos assim:

( ) ( )( )

2131,02,10710

88,2281830652,93775

92,216848,23966

)21,288(52,93771024,7521,28868,239610

222

==-

-=

--

=-

-=

a

xxx

xxn

yxxyxna

ii

iiii

Como 524,710

24,75==y e 821,28

1021,288

==x vem:

3835,11405,6524,7821,282131,0524,7 =-=-=-= xxayb

Logo:

38,121,0^

+= XY





3

Com base no conhecimento da equao da reta, pode-se interpolar e

extrapolar valores.

Interpolao: a interpolao ocorre quando o valor considerado

pertence ao intervalo da tabela, porm, no figura entre os dados coletados.

Supondo-se o valor 15 kg para o peso total do lixo descartado, pode-se

estimar o peso de papel contido nesse lixo. Uma vez que 15 kg no um dado

coletado e, conseqentemente, no pertence tabela de dados, utiliza-se a

equao da reta para determinar o valor correspondente ao peso do papel.

Para 15 kg de lixo descartado, estima-se que haja 4,58 kg de papel

contido nesse lixo.

Extrapolao: a extrapolao ocorre quando o valor considerado no

pertence ao intervalo da tabela, e tambm no figura entre os dados coletados.

Suponha que o peso do lixo descartado seja de 60 kg. Esse valor no

um dado coletado e nem se encontra dentro do intervalo [10,47, 49,14]. Essa

situao semelhante anterior e utiliza-se a equao de reta para determinar o

peso do papel.

Para 60 kg de lixo descartado, estima-se, por extrapolao, que haja

14,16 kg de papel contido nesse lixo.





4

b) Consideremos uma amostra aleatria, formada por dez dos 98 alunos de uma

classe da faculdade A e pelas notas obtidas por eles em matemtica e estatstica:

Nmeros Notas

Matemtica ( ix ) Estatstica ( iy )

01 5,0 6,0

08 8,0 9,0

24 7,0 8,0

38 10,0 10,0

44 6,0 5,0

58 7,0 7,0

59 9,0 8,0

72 3,0 4,0

80 8,0 6,0

92 2,0 2,0

Vamos verificar a correlao primeiro fazendo um diagrama de

disperso:

Correlao entre as notas de matemtica e estatstica

Nmeros Notas

ii yx . 2ix

Matemtica ( ix ) Estatstica ( iy )

01 5,0 6,0 30 25

08 8,0 9,0 72 64

24 7,0 8,0 56 49

38 10,0 10,0 100 100

44 6,0 5,0 30 36

58 7,0 7,0 49 49

59 9,0 8,0 72 81

72 3,0 4,0 12 9

80 8,0 6,0 48 64

92 2,0 2,0 4 4

65 65 473 481





5

Temos assim:

( ) ( )( )

8632,0585505

4225481042254730

)65(48110656547310

222==

--

=--

=-

-=

xxx

xxn

yxxyxna

ii

iiii

Como 5,61065

==y e 5,61065

==x vem:

8892,06108,55,65,68632,05,6 =-=-=-= xxayb

Logo: 89,086,0^

+= XY

Para traarmos a reta no grfico, basta determinar dois de seus pontos:

89,00^

== YX

19,589,0586,05^

=+== xYX

Assim temos:

Coeficiente de determinao

Trata-se de um indicador da qualidade do ajustamento.

Dessa maneira, o coeficiente de determinao ou coeficiente de

explicao dado por 2R, onde 10

2 R , ou se multiplicarmos (100) = % temos

%1000 2 R O coeficiente de determinao (R2) igual ao quadrado do coeficiente

de correlao linear de Pearson (r). O R2 expressa a proporo da variao total

que explicada (divida) reta de regresso de x sobre y.

Utilizando os valores do exemplo anterior de correlao temos:

%02,83

8302,0)9112,0(2

22

=

==

R

R





6

Interpretamos esse resultado da seguinte maneira: o uso da varivel

nota em matemtica, X , explica 83,02% das notas em estatstica Y.

Exerccios

1)Complete o esquema para o ajustamento de uma reta aos dados:

ix 2 4 6 8 10 12 14

iy 30 25 22 18 15 11 10

Temos:

ix iy ii yx . 2ix

4 30 60 4

........ ........ ........ ........

........ ........ ........ ........

........ ........ ........ ........

........ ........ ........ ........

........ ........ ........ ........

14 10 140 196

........= ........= ........= ........=

Logo: ( )................................(........)........

........................

................

................(........)................

........)(................)(........2

=+=-=

==--

=-

-=

b

xxx

a

Donde:

........=a e ........=b

Isto : ................^

+-= XY

2) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma

barra de ao varia conforme a temperatura:

Temperatura (C) 10 15 20 25 30

Comprimento (mm) 1.003 1.005 1.010 1.011 1.014

Determine:

a) O coeficiente de correlao;

b) A reta ajustada a essa correlao;

c) O coeficiente de determinao.

d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18C;

e) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35C.





7

3) A variao do valor do BTN (Bnus do Tesouro Nacional), relativamente a

alguns meses de 1990, deu origem tabela:

Meses Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov.

Valores (Cr$) 41,73 41,73 43,98 48,91 53,41 59,06 66,65 75,76 a) Calcule o grau de correlao.

b) Estabelea a equao de regresso de Y sobre X.

c) Calcule o coeficiente de determinao.

d) Estime o valor do BTN para o ms de dezembro.

Sugesto: Substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, ..., 8.

4) A partir da tabela:

ix 1 2 3 4 5 6

iy 70 50 40 30 20 10

a) Calcule o coeficiente de correlao;

b) Determine a reta ajustada;

c) Calcule o coeficiente de determinao;

d) Estime Y para X=0.

5) Certa empresa, estudando a variao de demanda de seu produto em relao a

variao de preo de venda, obteve a tabela:

Preo ( ix ) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110

Demanda ( iy ) 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208

a) Determine o coeficiente de correlao;

b) Estabelea a equao da reta ajustada; c) Calcule o coeficiente de determinao;

c) Estime Y para X=60 e X=120.

6) Pretendendo-se estudar a relao entre as variveis consumo de energia

eltrica ( ix ) e volume de produo nas empresas industriais ( iy ), fez-se uma

amostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores:

= 34,11ix ; = 70,20iy ; = 16,122ix ; = 96,842iy e = 13,22ii yx . Determine:

a) O calculo do coeficiente de correlao;

b) A equao de regresso de Y para X;





8

c) A equao de regresso de X para Y.

7) Vamos supor que exista uma relao linear entre as variveis: X = despesas em

propaganda e Y = vendas de certo produto.

Considerando os dados abaixo:

X 1,5 5,5 10,0 3,0 7,5 5,0 13,0 4,0 9,0 12,5 15,0

Y 120 190 240 140 180 150 280 110 210 220 310

Determine:

a) Faa o diagrama de disperso.

b) Calcule o coeficiente de correlao de Pearson.

c) Estabelea a equao da reta ajustada.

d) Calcular o valor de vendas para um gasto com propaganda de 4,5.

e) Calcule o coeficiente de determinao e interprete-o.

8) Para uma empresa manter-se competitiva, gastos de pesquisa e

desenvolvimento (P & D) so essenciais. Para determinar o nvel timo de

gastos em P & D e seu efeito sobre o valor da empresa, foi aplicada anlise de

regresso linear simples, onde:

Y = razo entre preos e ganhos e X = razo entre gastos com P & D e vendas.

Os dados das 20 empresas usadas no estudo so os seguintes:

Empresas Y X Empresas Y X Empresas Y X Empresas Y X

1 5,6 0,003 6 8,2 0,030 11 8,4 0,058 16 11,5 0,083

2 7,2 0,004 7 6,3 0,035 12 11,1 0,058 17 9,8 0,091

3 8,1 0,009 8 10,0 0,037 13 11,1 0,067 18 16,1 0,092

4 9,9 0,021 9 8,5 0,044 14 13,2 0,080 19 7,0 0,064

5 6,0 0,023 10 13,2 0,051 15 13,4 0,080 20 5,9 0,028

a) Construir o diagrama de disperso.


c) Estabelecer a equao da reta ajustada.

d) Usar a equao obtida pra prever o valor de Y, quando X = $0,070.

e) Calcule o coeficiente de determinao.





9

Resoluo dos exerccios:

1)Complete o esquema para o ajustamento de uma reta aos dados:

ix 2 4 6 8 10 12 14

iy 30 25 22 18 15 11 10

Temos:

ix iy ii yx . 2ix

2 30 60 4

3 25 75 9

6 22 132 36

8 18 144 64

10 15 150 100

12 11 132 144

14 10 140 196

55= 131= 833= 553= Logo:

( )4752,3176089,127143,188578,7)6241,1(7143,18

6241,18461374

3025387172055831

)55(.5537)13155()8337(

2

=+=--=

-=-

=--

=-

-=

b

xxx

a

Donde:

6241,1-=a e 4752,31=b

Isto : 4752,316241,1^

+-= XY

2) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma

barra de ao varia conforme a temperatura:

Temperatura (C) 10 15 20 25 30

Comprimento (mm) 1.003 1.005 1.010 1.011 1.014

Determine:

a) O coeficiente de correlao;

b) A reta ajustada a essa correlao;

c) O coeficiente de determinao.

d) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18C;

e) O valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35C.





10

ix iy ii yx . 2ix

2iy

10 1003 10030 100 1006009

15 1005 15075 225 1010025

20 1010 20200 400 1020100

25 1011 25275 625 1022121

30 1014 30420 900 1028196

100= 5043= 101000= 2250= 5086451=

a)

( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]9826,0

3903,712700

4061250

700

25431849254322551000011250

)504300()505000(

50435086451510022505

)5043100()1010005(

.

.222222

===--

-=

--

-=

--

-=

xxr

xxx

xx

yynxxn

yxyxnr

iiii

iiii

b)

( )4,9972,116,1008201217,06,1008

56,01250700

1000011250504300505000

)100(22505)5043100()1010005(

2

=-=-=

==--

=--

=

xb

xxx

a

Isto : 4,99756,0^

+= XY

c) %55,96

9655,0)9826,0(2

22

=

==

R

R

d) mmxY 48,10074,9971856,0^

=+=

e) mmxY 10174,9973556,0^

=+=

3) A variao do valor do BTN (Bnus do Tesouro Nacional), relativamente a

alguns meses de 1990, deu origem tabela:

Meses Abr. Mai. Jun. Jul. Ago. Set. Out. Nov.

Valores (Cr$) 41,73 41,73 43,98 48,91 53,41 59,06 66,65 75,76

a) Calcule o grau de correlao.

b) Estabelea a equao de regresso de Y sobre X.

c) Calcule o coeficiente de determinao.





11

d) Estime o valor do BTN para o ms de dezembro.

Sugesto: Substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, ..., 8.

ix iy ii yx . 2ix

2iy

1 41,73 41,73 1 1741,393

2 41,73 83,46 4 1741,393

3 43,98 131,94 9 1934,24

4 48,91 195,64 16 2392,188

5 53,41 267,05 25 2852,628

6 59,06 354,36 36 3488,084

7 66,65 466,55 49 4442,223

8 75,76 606,08 64 5739,578

36= 23,431= 81,2146= 204= 73,24331= a)

( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]9655,0

196,17092,1650

496,8694336

2,1650

3,1859598,19465312961632

)28,15524()48,17174(

23,43173,243318362048

)23,43136()81,21468(

.

.222222

===--

-=

--

-=

--

-=

xxr

xxx

xx

yynxxn

yxyxnr

iiii

iiii

b) ( )8029,311009,229038,535,49113,49038,53

9113,4336

2,165012961632

28,1552448,17174)36(2048

)23,43136()81,21468(2

=-=-=

==--

=--

=

xb

xxx

a

Isto : 8029,319113,4^

+= XY

c) %22,93

9322,0)9655,0(2

22

=

==

R

R

d) Dezembro igual a x=9

0046,768029,3199113,4^

=+= xY

O valor para dezembro de Cr$ 76,0046





12

4) A partir da tabela:

ix 1 2 3 4 5 6

iy 70 50 40 30 20 10

a) Calcule o coeficiente de correlao;

b) Determine a reta ajustada;


d) Estime Y para X=0

ix iy ii yx . 2ix

2iy

1 70 70 1 4900

2 50 100 4 2500

3 40 120 9 1600

4 30 120 16 900

5 20 100 25 400

6 10 60 36 100

21= 220= 570= 91= 10400= a)

( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]9897,0

436,12121200

14000105

1200

4840062400441546

)4620()3420(

22010400621916

)22021()5706(

.

.222222

=-

=-

=--

-=

--

-=

--

-=

xxr

xxx

xx

yynxxn

yxyxnr

iiii

iiii

b) ( )6667,76406667,36)5,34286,11(6667,36

4286,111051200

44154646203420

)21(916)22021()5706(

2

=+=--=

-=-

=--

=--

=

xb

xxx

a

Isto : 6667,764286,11^

+-= XY

c) %96,97

9796,0)9897,0(2

22

=

=-=

R

R

d) Para X=0 temos:





13

667,766667,7604286,11^

=+-= xY

5) Certa empresa, estudando a variao de demanda de seu produto em relao a

variao de preo de venda, obteve a tabela:

Preo ( ix ) 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110

Demanda ( iy ) 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208

a) Determine o coeficiente de correlao;

b) Estabelea a equao da reta ajustada;


c) Estime Y para X=60 e X=120.

ix iy ii yx . 2ix

2iy

38 350 13300 1444 122500

42 325 13650 1764 105625

50 297 14850 2500 88209

56 270 15120 3136 72900

59 256 15104 3481 65536

63 246 15498 3969 60516

70 238 16660 4900 56644

80 223 17840 6400 49729

95 215 20425 9025 46225

110 208 22880 12100 43264

663= 2628= 165327= 48719= 711148= a)

( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]9015,0

5090,9882789094

20509647621

89094

69063847111480439569487190

)1742364()1653270(

2628711148106634871910

)2628663()16532710(

.

.222222

-=-

=-

=--

-=

--

-=

--

-=

xxr

xxx

xx

yynxxn

yxyxnr

iiii

iiii

b) ( )8405,3860405,1248,262)3,668709,1(8,262

8709,14762189094

43956948719017423641653270

)663(4871910)2628663()16532710(

2

=+=--=

-=-

=--

=-

-=

xb

xxx

a

Isto : 8405,3868709,1^

+-= XY

c) %27,81

8127,0)9015,0(2

22

=

=-=

R

R





14

d) Para X=60 temos:

5867,2748405,386608709,1^

=+-= xY Para X=120 temos:

3328,1628405,3861208709,1^

=+-= xY

6) Pretendendo-se estudar a relao entre as variveis consumo de energia

eltrica ( ix ) e volume de produo nas empresas industriais ( iy ), fez-se uma

amostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores:

= 34,11ix ; = 70,20iy ; = 16,122ix ; = 96,842iy e = 13,22ii yx . Determine:

a) O calculo do coeficiente de correlao;

b) A equao de regresso de Y para X;

c) A equao de regresso de X para Y.

a)

( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]5447.0

6136,381862,207

71,12706044,114

862,207

49,4282,16995956,1282,243

)738,234()6,442(

70,2096,842034,1116,1220

)70,2034,11()13,2220(

.

.222222

===--

-=

--

-=

--

-=

xxr

xxx

xx

yynxxn

yxyxnr

iiii

iiii

b) ( )0066,00284,1035,1)567,08137,1(035,1

8137,16040,114862,207

5956,1282,243738,2346,442

)34,11(16,1220)70,2034,11()13,2220(

2

=-=-=

==--

=-

-=

xb

xxx

a

Isto : 0066,08137,1^

+-= XY

c) = 34,11iy ; = 70,20ix ; = 16,122iy ; = 96,842ix e = 13,22ii yx .

( )3977,01693,0567,0)035,11636,0(567,0

1636,071,1270

862,20749,4282,1699

738,2346,442)70,20(96,8420

)70,2034,11()13,2220(2

=-=-=

==--

=-

-=

xb

xxx

a





15

Isto : 3977,01636,0^

+= YX

7) Vamos supor que exista uma relao linear entre as variveis: X = despesas em

propaganda e Y = vendas de certo produto.

Considerando os dados abaixo:

X 1,5 5,5 10,0 3,0 7,5 5,0 13,0 4,0 9,0 12,5 15,0

Y 120 190 240 140 180 150 280 110 210 220 310

Determine:

a) Faa o diagrama de disperso.


c) Estabelea a equao da reta ajustada.

d) Calcular o valor de vendas para um gasto com propaganda de 4,5.

e) Calcule o coeficiente de determinao e interprete-o.

a)

ix iy ii yx . 2ix

2iy

1,5 120 180 2,25 14400

5,5 190 1045 30,25 36100

10,0 240 2400 100 57600

3,0 140 420 9 19600

7,5 180 1350 56,25 32400

5,0 150 750 25 22500

13,0 280 3640 169 78400

4,0 110 440 16 12100

9,0 210 1890 81 44100

12,5 220 2750 156,25 48400

15,0 310 4650 225 96100

86= 2150= 19515= 870= 461700=





16

b)

( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]9451,0

52,3149229765

4562002174

29765

4622500507870073969570

)184900()214665(

2150461700118687011

)215086()1951511(

.

.222222

===--

-=

--

-=

--

-=

xxr

xxx

xx

yynxxn

yxyxnr

iiii

iiii

c) ( )4131,880415,1074545,195

6914,13217429765

73969570184900214665

)86(87011)215086()1951511(

2

=-=

==--

=--

=

b

xxx

a

Isto : 4131,886914,13^

+= XY

d) Quando X=4,5 temos:

0241,1504131,885,46914,134131,886914,13^

=+=+= xXY

e) %32,89

8932,0)9451,0(2

22

=

==

R

R

89,3% das vendas explicada pela propaganda, os outros 10,7%

devido a outros fatores.





17

8) Para uma empresa manter-se competitiva, gastos de pesquisa e

desenvolvimento (P & D) so essenciais. Para determinar o nvel timo de gastos

em P & D e seu efeito sobre o valor da empresa, foi aplicada anlise de regresso

linear simples, onde:

Y = razo entre preos e ganhos e X = razo entre gastos com P & D e vendas.

Os dados das 20 empresas usadas no estudo so os seguintes:

Empresas Y X Empresas Y X Empresas Y X Empresas Y X 1 5,6 0,003 6 8,2 0,030 11 8,4 0,058 16 11,5 0,083 2 7,2 0,004 7 6,3 0,035 12 11,1 0,058 17 9,8 0,091 3 8,1 0,009 8 10,0 0,037 13 11,1 0,067 18 16,1 0,092 4 9,9 0,021 9 8,5 0,044 14 13,2 0,080 19 7,0 0,064 5 6,0 0,023 10 13,2 0,051 15 13,4 0,080 20 5,9 0,028

a) Construir o diagrama de disperso.


c) Estabelecer a equao da reta ajustada.

d) Usar a equao obtida pra prever o valor de Y, quando X = $0,070.

e) Calcule o coeficiente de determinao.

a)

ix iy ii yx . 2ix

2iy

0,003 5,6 0,0168 0,000009 31,36

0,004 7,2 0,0288 0,000016 51,84

0,009 8,1 0,0729 0,000081 65,61

0,021 9,9 0,2079 0,000441 98,01

0,023 6,0 0,1380 0,000529 36

0,030 8,2 0,2460 0,000900 67,24

0,035 6,3 0,2205 0,001225 39,69

0,037 10,0 0,3700 0,001369 100

0,044 8,5 0,3740 0,001936 72,25

0,051 13,2 0,6732 0,002601 174,24

0,058 8,4 0,4872 0,003364 70,56

0,058 11,1 0,6438 0,003364 123,21

0,067 11,1 0,7437 0,004489 123,21

0,080 13,2 1,0560 0,006400 174,24

0,080 13,4 1,0720 0,006400 179,56

0,083 11,5 0,9545 0,006889 132,25

0,091 9,8 0,8918 0,008281 96,04

0,092 16,1 1,4812 0,008464 259,21

0,064 7,0 0,4480 0,004096 49

0,028 5,9 0,1652 0,000784 34,81

958,0= 5,190= 2915,10= 061638,0= 33,1978=





18

b)

( )( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ]7262,0

12533,32331,23

25,3276314996,0

331,23

25,362906,39566917764,023276,1

)499,182()83,205(

5,19033,201978958,0061638,020

)5,190958,0()2915,1020(

.

.222222

===--

-=

--

-=

--

-=

xxr

xx

xx

yynxxn

yxyxnr

iiii

iiii

c) ( )9772,5547838,3526,90479,00676,74526,9

0676,74314996,0

331,23917764,023276,1

499,18283,205)958,0(061638,020

)5,190958,0()2915,1020(2

=-=-=

==--

=-

-=

xb

xxx

a

Isto : 9772,50676,74^

+= XY

d) Quando X = $0,070 temos:

1619,119772,51847,59772,5070,00676,749772,50676,74^

=+=+=+= xXY

e) %74,52

5274,0)7262,0(2

22

=

==

R

R

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