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Redes de Petri 1
Redes de Petri
Algumas semelhanças com a abordagembaseada em automata;
Pode representar uma classe mais amplade SED’s;
Poucos resultados relativos à síntese sis-temática de controladores;
Há modelos temporizados e não-tempori-zados
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Redes de Petri 2
evento = transição
informações sobre as condições para ocor-rência de um evento = lugares
Em geral: P = {p1, ..., pn}T = {t1, ..., tm}
arcos: (pi, tj) ou (tj, pi)
A condição de conjuntos finitos pode ser relaxada,admitindo-se conjuntos contáveis.
Definição: Uma rede de Petri é uma quá-drupla (P, T, A, w), onde:P é um conjunto finito de lugares;T é um conjunto finito de transições;A é um conjunto de arcos, sub-conjunto
do conjunto (P × T) ∪ (T × P);w é uma função-peso w: A → N
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Redes de Petri 3
Representação gráfica através de grafoscom dois tipos de nós: lugares e transições
Exemplo:
t1 t2 t3
t4 t5
p1 p2 p3
Lugares de saída da transição tj:O(tj) = {pi: (tj, pi) ∈ A}
Lugares de entrada da transição tj:I(tj) = {pi: (pi, tj) ∈ A}
Analogamente para os lugares.
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Redes de Petri 4
Definição: Uma marcação de uma rede dePetri é uma função x: P → Ν
Uma marcação em geral é representada porum vetor x = [x(p1) ... x(pn)];
No grafo, a marcação é representada por“fichas” dentro dos lugares.
Definição: Uma rede de Petri marcada éuma quíntupla (P, T, A, w, xo) onde:(P, T, A, w) é uma rede de Petri e xo éuma marcação inical.
Definição: O estado de uma rede de Petrimarcada é sua marcação [x(p1) ... x(pn)].
Obs.: O espaço de estados, X é em geralinfinito: X = Νn.
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Redes de Petri 5
Dinâmica das Redes de Petri
Representação da dinâmica = movimento dasfichas, quando os eventos (transições) ocorrem.
Definição: Uma transição tj ∈ T numa rede dePetri marcada é dita habilitada se:
x(pi) ≥ w(pi, tj) para todo pi ∈ I(tj).
Definição: Uma função de transição de esta-dos, f: Nn × Τ → Nn, de uma rede de Petri marcada é definida para uma transição tj ∈ Tse e somente se esta transição está habilitada.
Se f(x, tj) é definida, diz-se que x’ = f(x, tj),onde:
x’(pi) = x(pi) - w(pi, tj) + w(tj, pi)i = 1, ..., n
Obs.: O número de fichas não se conserva neces-sariamente.
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Redes de Petri 6
Exemplo:
p1
p2
p3
p4
t1
t2
t3
p1
p2
p3
p4
t1
t2
t3
p1
p2
p3
p4
t1
t2
t3
p1
p2
p3
p4
t1
t2
t3
xo = [2,0,0,1] x1 = [1,1,1,1]
x2 = [1,1,0,2] x’2 = [0,1,0,0] estadoterminal
t1 dispara
t2 dispara ou t3 dispara
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Redes de Petri 7
Em geral, a dinâmica de uma RP podeser representada da seguinte forma:
Sejam:x = [x(p1), x(p2), ..., x(pn)] : o atual estado;x’ = [x’(p1), x’(p2), ..., x’(pn)] : o próximoestado, após o disparo da j-ésima transição;
Definindo: u = [0, 0, ...,0 , 1, 0, ...,0]
j-ésima posição
Então:
x’ = x + uA
onde: A = [aji] ; aji = w(tj, pi) - w(pi, tj)
A é chamada matriz de incidência
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Redes de Petri 8
No exemplo anterior:
−−
− − −
1 1 1 00 0 1 11 0 1 1
A =
A equação correspondente à primeira transição é:
[2 0 0 1] + [1 0 0].A = [1 1 1 1]
Para a segunda transição:
[1 1 1 1] = [0 1 0].A = [1 1 0 2]
De uma maneira geral pode-se descrever atrajetória de um RP através da equação recur-siva:
xk+1 = f(xk,tk) = xk + uk.A
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Redes de Petri 9
Modelos para uma fila:
chegada de clientes partida de clientes
a (chegada)
s
c
Q I
B
(inicio)
(fim)
a
s
c
Q I
B
A
d(partida)
F
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Redes de Petri 10
a
s
c
Q I
B
A
d
F
Db(quebra)
r (conserto)
Modelo que considera quebras no servidor
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Redes de Petri 11
Problemas de Análise em RP
Os problemas a seguir, concernem qual-quer modelo para SED’s
Em geral, as definições buscam caracte-rizar propriedades “desejáveis” ou “inde-sejáveis” nos sistemas em estudo.
Limitação: Um lugar pi ∈ P numa Redede Petri com uma cond. inicial xo é ditok-limitado ou k-seguro, se x(pI) ≤ k paraqualquer estado em qualquer trajetóriapossível.
•Um lugar 1-seguro é dito seguro•Um lugar k-limitado é dito limitado•Se numa RP todos os lugares são limi-tado então a rede é dita limitada.
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Redes de Petri 12
Conservação: Uma RP com um dado esta-do inicial xo é dita ser conservativa em relaçãoa um vetor γ = [γ1, γ2, ...,γn] se:
γ ii
n
ix p const=∑ =
1
( ) .
para qualquer estado em qualquer trajetóriapossível.
Em geral, numa RP o número de fichas nãose conserva, entretanto a definição acimapermite a análise de situações em que algodeve ser conservado.
Uma rede conservativa pode representarum sistema no qual recursos não são cri-ados nem destruídos.
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Redes de Petri 13
Vivacidade e bloqueio (deadlock):São características opostas, de grande impor-tância na análise de um sistema.
Uma RP com um dado estado inicial xo édita viva se, a partir de qualquer estado al-cançado a partir de xo, existir alguma trajetó-ria na qual uma transição qualquer possa dis-parar.
Esta definição é de difícil verificação, levando adistinções relativas a uma transição dada:
•L0-viva ou morta, se a transição nunca dispa-rará a partir do estado inicial;•L1-viva, se existir alguma sequência de dispa-ros tal que a transição possa disparar pelo menosuma vez;•L2-viva se a transição pode disparar pelo me-nos k- vezes para algum número positivo k;•L3-viva se existir alguma sequência infinita dedisparos na qual a transição aparece infinitas vezes•L4-viva ou viva se a transição for L1-viva paraqualquer estado alcançado a partir do estado inicial.
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Redes de Petri 14
Exemplo:
a
aA aR
s
cr cd
d
r
rf
A
Q QI
B
R D
Sistema de fila com retraballho
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Redes de Petri 15
t1
t2
t3
p1
p2
Exemplo: Níveis de vivacidade
t2 - mortat1 - L1-vivat3 - L3-viva mas não L4-viva, poispode tornar-se morta no estado re-sultante de um disparo de t1.
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Redes de Petri 16
Alcançabilidade: Um estado x numa RPé dito alcançável a partir de um estado xose existir uma sequência de transições ini-ciando-se em xo e tal que o estado pode setornar x.
(conceito muito próximo ao de L1-vivacidade)
“Coverabilidade”: Dada uma RP com estadoinicial xo, um estado y pode ser coberto se exis-tir uma sequência de transições inicando-se emxo e tal que o estado pode se tornar x e x(pi) ≥ y(pi), para todo i = 1, ..., n.
Diz-se que o estado x cobre o estado y.Se y é o estado que garante minimamenteo disparo de uma transição tj, então, se y nãopuder ser coberto a partir do estado corrente,pode-se afirmar que tj está morta.
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Redes de Petri 17
Persistência: Uma RP é dita persistente se,para cada duas transições habilitadas, o dis-paro de uma delas não desabilita a outra.
No exemplo anterior, se t1 ocorre, t3 é desabi-litada, sendo que ambas estavam habilitadas
Em RP’s temporizadas, em que uma transi-ção habilitada só é disparada após um de-terminado atraso, este conceito é equivalenteao de não-interruptibilidade. A interruptibili-dade permite uma analogia com sistemas não-lineares.
Em RP’s também é possível estabelecer oproblema de reconhecimento de linguagens,onde uma sequência de transições pode ounão acontecer numa determinada rede.
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Redes de Petri 18
Árvore de Coverabilidade
•Técnica de Análise•Representação Finita•Alguma perda de informação
Motivação: Exemplo
p1 p2
t1
p3
t2
[1,1,0]
[0,0,1]
[1,1,0]
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Redes de Petri 19
Exemplo: Motivação
[1,0,0,0]
[0,1,1,0]
[0,0,1,1][1,0,1,0]
[0,1,2,0]
[1,0,2,0] [0,0,2,1]
t1
t2 t3
t1
t2t3
p1
p2
p3
p4
t1
t2t3
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Redes de Petri 20
Terminologia:
Nó Raiz: Corresponde à marcação inicialda rede;
Nó Terminal: Nó a partir do qual nenhumatransição pode ocorrer;
Nó Duplicado: Nó idêntico a um nó já pre-sente na rede;
Dominância de Nós: Se x e y são dois esta-dos de uma RP (nós da árvore), diz-se quex domina y (notação: x >d y) se:a) x(pi) ≥ y(pi) para todo i = 1, ..., nb) x(pi) > y(pi) para algum i = 1, ..., n;
Símbolo ω: Usado para indicar que uma marcação é ilimitada. Na árvore de covera-bilidade é utilizado para identificar domi-nância de nós.
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Redes de Petri 21
Algoritimo para Construção daÁrvore de Coverabilidade
1) Inicializar com a marcação inicial (xo);
2) Para cada novo nó construído, x, avaliar a funçãof(x,tj) para todo tj ∈ T:
2.1) Se f(x,tj) é indefinida, então x é um nó terminal;
2.2) Se f(x,tj) é definida, para algum tj ∈ T, criar umnovo nó x’= f(x,tj):
2.2.1) Se x(pi) = ω para algum i, fazer x’(pi) = ω;
2.2.2) Se existir um nó y, no caminho de xoaté x (inclusive), tal que x’>d y, fazerx’(pi) = ω para todo pi tal quex’(pi) > y(pi);
2.2.3) Senão, fazer x’= f(x,tj);
3) Se todos os nós forem duplicados ou terminais, parar.
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Redes de Petri 22
Exemplo: Árvore de coverabilidade daRede de Petri anterior:
[1,0,0,0]
[0,1,1,0]
[0,0,1,1][1,0,1,0]
[0,1,2,0]
[1,0,2,0] [0,0,2,1]
t1
t2 t3
t1
t2t3
[1,0,0,0]
[0,1,1,0]
[0,0,1,1][1,0,ω,0]
[0,1,ω,0]
[1,0,ω,0] [0,0,ω,1]
t1
t2 t3
t1
t2t3
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Redes de Petri 23
Exemplo: Sistema de Fila:
a
s
c
Q I
B
[0,1,0]
[ω,1,0]
[ω,1,0] [ω,0,1]
[ω,0,1] [ω,1,0]
a
a s
a c
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Redes de Petri 24
Aplicações da Árvore de Coverabilidade
Problemas de Limitação:
Uma condição necessária e suficiente paraque uma RP seja limitada é que o símboloω nunca apareça em sua árvore de covera-bilidade.
Neste caso, a árvore de coverabilidade coincide com a árvore de alcançabilidade.
Além disso, o maior valor observado parax(pi) na árvore é um limitante para pi.
Se a árvore de coverabilidade de uma RPsó contem 0’s e 1’s então todos os seus lu-gares são seguros e a rede é segura.
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Redes de Petri 25
Problemas de Conservação:
γ ii
n
ix p const=∑ =
1
( ) .
Uma RP é conservativa se existir um vetorγ = [γ1, ..., γn] tal que:
Se x(pi) = ω para algum nó da árvore, então,para que a RP seja conservativa, deve-se ter:
γi = 0
Seja b ≤ n o número de lugares limitados er o número de nós da árvore de coverabilidade
Tem-se então um sistema de equações linearescom r equações e b+1 incógnitas da forma:
γ ii
n
ix p C=∑ =
1
( )
obs.: C também é uma incógnita.
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Redes de Petri 26
Exemplo: Sistema de Filas[0,1,0]
[ω,1,0]
[ω,1,0] [ω,0,1]
[ω,0,1] [ω,1,0]
a
a s
a c
6 equações (na realidade 2)3 incógnitas γ2, γ3 e C
γ2 . 0 + γ3 .1 = Cγ2 . 1 + γ3 .0 = C{
Solução: γ2, γ3 = 1 e C = 1
Em geral, a solução pode não ser única ounão existir.
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Redes de Petri 27
Problemas de Coverabilidade:
Seja y(pi), i = 1, ..., n um estado que sedeseja cobrir.
Se existir um nó na árvore de coverabilidadetal que x(pi) ≥ y(pi), i = 1, ..., n, então o esta-do y é coberto por x
O caminho na árvore de xo até x indica a se-quência de transições necessárias para alcan-çar o estado x
Se o estado x contem o símbolo ω o caminhodeve incluir um laço. Pode-se então determi-nar o número de vezes que se percorre o laçopara cobrir y.
No exemplo anterior, o estado [3,1,0] podeser coberto pois [ω,1,0] pertence à árvore.
Sequências de disparos para cobrir y:{a,a,a} ou {a,s,a,c,s,a,c,a,a}
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Redes de Petri 28
Limitações da Árvore de Coverabilidade
O símbolo ω representa um conjunto de valoresalcançáveis por um lugar. Portanto, a menos queeste símbolo não apareça (espaço de estados fi-nito), alguns problemas não podem ser resolvi-dos utilizando-se a árvore de coverabilidade.
Alguns destes problemas:
•impedimento de bloqueio;
•alcançabilidade de estados;
•reconhecimento de linguagens.
Alterntivas de Análise:
Por exemplo, uma ferramenta algébrica, co-mo a equação de estado: x’ = x + uA
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Redes de Petri 29
p1
t1
p2
t2
p3
p1
t1
p2
t2
p3
[1,0,0]
[0,1,0]
[1,0,ω]
[0,1,ω]
[1,0,ω]
t1
t2
t1
t2
[1,0,0]
[0,1,0]
[1,0,ω]
[0,1,ω]
[1,0,ω]
t1
t2
t1
t2
ω = {1,2,3,...} ω = {2,4,6,...}
Exemplo: Impossibilidade de análise daalcançabilidade de estados:
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Redes de Petri 30
Comparação entre Geradores e Redes de Petri
Não há “melhor” modelo; a escolha depen-de do problema tratado e de preferências pessoais. Contudo, alguma comparação épossível.
Dado um gerador (E, X, f, xo) é possível cons-truir uma rede de Petri (P, T, A, w, xo) da se-guinte maneira:
P = XT = {(x,x’): x ∈ X, x’ = f(x,e) onde f(x,e)!}A = {(x,t): x ∈ X, t ∈ T e t = (x, x’)}
∪ {(t,x): x ∈ X, t ∈ T e t = (x’, x)}w(a) = 1 para todo a ∈ A
O estado inicial xo é representado pela marca-ção do lugar correspondente no conjunto P.
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Redes de Petri 31
Exemplo: Protocolo de Comunicação
I M T
r
a t
τa a
I
M
T
IM=aTI=r
TM=τ MT=t
MM=a
TT=a
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Redes de Petri 32
Observações:
•Este método não é único, podendo haveroutras RP’s que melhor representem o sis-tema.
•Uma vantagem das redes de Petri ocorrequando se faz a associação de sistemas,correspondendo à associação assíncrona:
Rede de Petri: pequeno esforço adicionalpara modelagem.
Gerador: novo sistema muito mais com-plexo (explosão combinacional no nú-mero de estados)
•A abordagem baseada em geradores con-tudo, apresenta melhores resultados no quediz respeito a decidabilidade.
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