RecuperaçãO 9o. Ano 2009
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Recuperaçãode Geometria
9º ano - Escola NovaProf. Andréa Thees
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Teorema de Tales
Retas paralelas (r, s e t) Retas transversais (m e n) Segmentos proporcionais
EF
DE
BC
AB
EF
DF
BC
ACou ou
EF
BC
DE
AB
EF
BC
DF
ACou
É possível estabelecer outras proporções?
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90 m
180 m
1. Se um bastão de 1 metro produz uma sombra de 1,50 m e a sombra de uma árvore mede 18 metros, qual a altura da árvore?
2. Na figura ao lado, as retas r // s // t são cortadas pelas transversais a e b. Descubra o valor de x.
3.
Exercícios
12185,1
1 x
x
2114420
)32(7)15(47
15
4
32
xx
xx
xx
6
25
256
4211420
x
x
xx
40
60
804090
18040203040
180
z
y
x
x
x
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Teorema de Tales nos triângulos
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Teorema de Tales nos triângulos
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Teorema de Tales nos triângulos
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Teorema de Tales nos triângulos
Valem as mesmas relações de proporção do Teorema de Tales, e além disso...
O que mais é proporcional?
CF
AC
BE
AB
Exercício4. Qual a medida de no
lago da figura?AB
245
120120
1
5120
15
75
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Teorema da bissetriz interna
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Teorema da bissetriz interna
NC
AM
BN
BA
ACAM
Traçamos CM // NA.Pelo Teorema de Tales,
Como o ΔACM é isósceles,
Logo,
NC
AC
BN
BA
Exercício5. Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 18 m, 27 m e 30 m.
Calcule a medida dos segmentos que a bissetriz interna determina sobre o maior lado.
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Teorema da bissetriz interna
27 m18 m
30 m
x 30 - x
xx 30
2718
)30.(1827 xx
xx 1830.1827
30.181827 xx
30.1845 x
122.63
2.1845
30.18
x
x
x
Resposta: 12 m e 18 m.
)(2
3
2
3
18
27
12
18V
Conferindo:
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Teorema da bissetriz externa
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Teorema da bissetriz externa
Exercício6. Num Δ ABC, as medidas dos lados são AB = 6 cm, BC = 4 cm e AC = 5 cm.
Calcule quanto é preciso prolongar o lado , para que ele encontre a bissetriz externa do ângulo Â.
BC
CA
CD
BA
BD
ou
b
n
c
m
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Teorema da bissetriz externa
5 cm4 cm
6 cmA B
C
x
46
5 xx
)5(46 xx
2046 xx
202 x
10x
Resposta: 10 m.
)(4
10
6
15
4
10
6
510V
Conferindo:
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Figuras e polígonos semelhantes
Figuras semelhantes têm formas iguais e tamanhos diferentes.
Essas figuras são semelhantes? Por que?
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Figuras e polígonos semelhantesDois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).
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Figuras e polígonos semelhantesDois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. E a razão entre seus perímetros é igual à razão entre dois lados correspondentes (ou homólogos).
Exercício7. As pétalas da flor pentágono são congruentes e medem 3 cm
aproximadamente. Ao ampliar a foto, as pétalas passaram a medir 5 cm. Calcule a razão de semelhança. O que você pode concluir em relação aos perímetros das duas flores?
3
5k k
p
P
P
p
3
5
15
25
2
2
252
152
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Triângulos semelhantesTeorema fundamental de semelhançaToda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro.
Exercício8. Determine x e y, sendo .MNBC //
6
122
12330
12
10
x
x
xx
xx
24
12
2
1
12
12
6
y
y
y
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Casos de semelhança
Caso AA: (Ângulo – Ângulo)
Caso LAL: (Lado – Ângulo – Lado)
Caso LLL: (Lado – Lado – Lado)
Exercício9. Ver livro página .......
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Relações métricas (Δ Retângulo)
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Relações métricas (Δ Retângulo)
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Relações métricas (Δ Retângulo)
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Relações métricas (Δ Retângulo)
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Relações métricas (Δ Retângulo)
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Relações métricas (Δ Retângulo)
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Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo Maior ? Triângulo Médio ? Triângulo Menor ?
Maior lado ?
Lado médio ?
Menor lado?
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Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC
Hipotenusa aCatetão bCatetinho c
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Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC
Hipotenusa aCatetão bCatetinho c
![Page 28: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/28.jpg)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC
Hipotenusa a bCatetão b mCatetinho c h
![Page 29: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/29.jpg)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC
Hipotenusa a bCatetão b mCatetinho c h
![Page 30: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/30.jpg)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
![Page 31: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/31.jpg)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
![Page 32: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/32.jpg)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
ambmabbm
b
b
a 2..
![Page 33: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/33.jpg)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
ancnaccn
c
c
a 2..
![Page 34: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/34.jpg)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
mnhnmhhn
h
h
m 2..
![Page 35: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/35.jpg)
Relações métricas (Δ Retângulo)
Triângulo ABC Triângulo ADC Triângulo ABD
Hipotenusa a b cCatetão b m hCatetinho c h n
cbhah
b
c
a..
![Page 36: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/36.jpg)
Relações métricas - RESUMO
Teorema de Pitágoras
Cateto ao quadrado é igual ao produto da sua projeção pela hipotenusa.
Altura ao quadrado é igual ao produto das projeções dos catetos.
O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura.
Lembre-se que cateto, hipotenusa, altura e projeções são medidas!
![Page 37: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/37.jpg)
Exercícios10. Determine as incógnitas indicadas na figura:
11. Num mapa, as cidades A, B e C são os vértices de um triângulo retângulo, e o ângulo reto está em A. A estrada tem 80 km e a estrada tem 100 km. Montanhas impedem a construção de uma estrada que ligue diretamente a cidade A com a cidade B. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada , para que ela seja a mais curta possível. Calcule o comprimento da estrada que será construída.
AC BC
80
100
(3, 4, 5) => (60, 80, 100); temos que AB = 60 km.a . h = b . c => 100.h = 80.60Logo h = 48A estrada medirá 48 km.
![Page 38: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/38.jpg)
TrigonometriaEla está em todo lugar!
![Page 39: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/39.jpg)
Trigonometria – seno, cosseno e tangente
Ângulo θ -> ângulo theta (letra do alfabeto grego)
Exercícios14. O triângulo ABC é retângulo. Determine suas razões trigonométricas.
...923,013
12ˆ h
cobsen
...384,013
5ˆcos h
cab
...384,013
5ˆ
h
cocsen
...923,013
12ˆcos
h
cac
4,25
12ˆ ca
cobtg ...416,0
12
5ˆ
ca
coctg
![Page 40: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/40.jpg)
Exercícios15. Sabendo o valor do seno, consulte a tabela trigonométrica e
determine a medida dos ângulos em graus.
16. Determine o ângulo de elevação do Sol, sabendo que o comprimento da sombra projetada por uma torre com 36 m é de 200 m.
º67ˆ...923,0ˆ bbsen
º67ˆ...384,0ˆcos bb
º67ˆ4,2ˆ bbtg º23ˆc
º10ˆ18,0200
36ˆ
ca
cotg
![Page 41: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/41.jpg)
17. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo, sob um ângulo de 30º. A que altura encontra-se esse foguete após percorrer 8 km em linha reta?
18. Uma escada de 4,8 m está apoiada na parede de um muro, fazendo um ângulo de 76° com o chão. Qual a distância entre o muro e o primeiro degrau da escada?
4
5,0.88
5,0
8º30
x
x
x
xsen
Resposta: O foguete está a 4 km de altura.
1616,1
242,0.8,4
8,4242,0
8,4º76cos
x
x
x
x
Resposta: Aproximadamente 1 m.
![Page 42: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/42.jpg)
6,5
07,0.8080
07,0
80º4
x
x
x
xtg
2,52
48,3.1515
48,3
15º74
x
x
x
xtg
Resposta: A altura das nuvens é de 5,6 km.
Resposta: O ponta A está a 52,2 m do solo.
19.
20.
x
![Page 43: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/43.jpg)
Razões trigonométricas de 30°, 45° e 60°
x sen x cos x tg x
30°
45°
60°
2
1
2
2
2
3
2
3
3
3
1
32
1
2
2
![Page 44: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/44.jpg)
21. De um ponto A um observador vê o topo da Torre Eiffel sob um ângulo de 45°. Se avançar 20 m em direção à torre, o ângulo passa a ser de 60°. Qual a altura da torre?
22. Qual a altura do prédio da figura ao lado?
Exercícios
xh
x
hx
htg
T
T
T
3
3
º60
x
20 + x3,2710310)13(
)13(.)13(
20
20)13(
203
320
x
x
xx
xx
3,473,272020 xhT
30602
160
º30
P
P
P
h
h
htg
Resposta: A altura da torre é 47,3 maproximadamente.
Resposta: A altura do prédio é 30 m.
![Page 45: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/45.jpg)
Circunferência e arcos
rCdCd
C..2.
dCd
C.14,3...14,3 rd .2 ...14,3
a
r
a
C º3602º360
![Page 46: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/46.jpg)
Relações métricas na circunferência
![Page 47: RecuperaçãO 9o. Ano 2009](https://reader036.fdocumentos.tips/reader036/viewer/2022081421/5588c7d8d8b42a631d8b46b6/html5/thumbnails/47.jpg)
Exercícios23. O sino do relógio mais preciso do mundo, o Big
Ben, fica na Torre de Santo Estéfano, em Londres, na Inglaterra. Os ponteiros desse relógio são enormes e medem dois metros e setenta centímetros, o das horas, e quatro metros e trinta centímetros, o dos minutos. Qual é a distância que a ponta de cada ponteiro percorre num intervalo de tempo de 6 horas?
4,5
7,2..2
.2
H
H
HH
C
C
rC
6,8
3,4..2
.2
M
M
MM
C
C
rC
5,87,22
4,5
HP 1626,516.6,8 MP
Resposta: Aproximadamente 8,5 m o ponteiro das horas e 162m o ponteiro dos minutos.
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Exercícios24. Calcule o valor de x nas figuras.
4
4
334
3).1().14(
2
22
x
xx
xxxx
xxxx
2
80)2).(8(
0166
032122
8.4)122(
)44.(4)12.(
2
2
x
xxx
xx
xx
xx
xxx
4
80)4).(8(
0324
06482
64)82(
8)8.(
2
2
2
x
xxx
xx
xx
xx
xxx
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Relações métricas polígonos regulares
Apótema Lado
Triângulo
Quadrado
Hexágono
23
ra
224
ra
326
ra
33 r
24 r
r6
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Exercícios25. Na figura temos um quadrado inscrito e outro circunscrito a uma
circunferência de raio 5 cm. Determine:
a medida do lado do quadrado inscrito;
a medida do lado do quadrado circunscrito;
o apótema do quadrado inscrito;
o apótema do quadrado circunscrito.
254
104 L
22
54 a
54 A
10 cm
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Área das figuras planas
Polígono regular: S = p.a
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Exercícioso lado do pentágono regular mede 8 cm e seu apótema mede 2,8 cm; as diagonais do losango medem 12 e 18 cm; o lado do triângulo isósceles mede 5 cm e sua base mede 6; os lados do retângulo e do paralelogramo medem 3 e 10 cm; o ângulo agudo do paralelogramo mede 45°; e o raio da circunferência mede 3 cm.
26. Calcule, em centímetros, a área das figuras, sabendo que:
Reptiles – M.C. Escher
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2568,2.20
20
405.82
cmS
p
p
1- Pentágono regular
2- Losango
21082
12.18cmS
3- Triângulo isósceles
2
222
122
4.6
453
cmS
hh
4- Retângulo2303.10 cmS
5- Paralelogramo
2
22222
2
230
2
23.10
2
23
2
33
cmS
xxxx
6- Círculo22 93. cmS
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27. Qual a área da região colorida de cinza na figura, em metros quadrados?
28. Qual a área da região colorida de cinza na figura, se ABCD é um quadrado cuja diagonal mede 12 cm?
04,1134
4.36.14,3)26.(14,3.
4
1.
º360
º90 22 rSSC
56,124.14,3222 rSC
26
212
2
d
362
26.26
2
.
hbS ABD
04,773604,113 ABDSCT SSS
Resposta: 12,56 m2
Resposta: 77,04 m2
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FIM
Feliz 2010!