Rectas e planos

Dois pontos distintos do plano ou do espaço definem uma recta

Modos de definir um plano

Um plano fica definido por:

• Um ponto e uma recta que não o contenha

• Duas rectas paralelas mas não coincidentes

• Duas rectas concorrentes

Definições (rectas):

Paralelismo:

No espaço duas rectas são paralelas se satisfazem as seguintes condições:

- são complanares

- não têm nenhum ponto comum, ou são coincidentes

Definições (rectas):

Perpendicularidade:

No espaço duas rectas são perpendiculares se por um ponto qualquer é possível traçar duas rectas perpendiculares, paralelas às duas rectas dadas

Perpendicularidade:No espaço duas rectas são perpendiculares se por um ponto qualquer é possível traçar duas rectas perpendiculares paralelas às duas rectas dadas

AB

E F

D C

GH

Definição de perpendicularidade entre rectas: 2 rectas são _|_s se por um ponto qualquer (B) forpossível traçar 2 rectas _|_s (BC_|_BA) paralelas àsrectas dadas( BC//FG e BA//DC)

Propriedades:1- Duas rectas paralelas (//s)a uma terceira são

paralelas entre si

2- Dadas duas rectas //s, todo o plano que intersecta uma, intersecta a outra

3- Se duas rectas são _|_s, toda a recta paralela a uma é _|_ à outra

4- Se duas rectas são //s, toda a recta _|_ a uma é _|_ à outra

1- Duas rectas paralelas (//s)a uma terceira são paralelas entre si

AB

E F

D C

GH

2 rectas paralelas a uma terceira são paralelas entre si

DC // EF porqueDC // AB EF // AB

2- Dadas duas rectas //s, todo o plano que intersecta uma, intersecta a outra

AB

E F

D C

GH

Dadas 2 rectas paralelas, todo o plano que intersecta uma intersecta outra

DC // EF o plano BCGFintersecta DC em C e EFem F

3- Se duas rectas são _|_s, toda a recta paralela a uma é _|_ à outra

AB

E F

D C

GH

Se 2 rectas são _|_ s, toda a recta paralela a uma é _|_ à outra

DC_|_ FG , então

HG // DC e HG_|_FG ouBC // FG e BC _|_DC

Paralelismo:

4- Se duas rectas são //s, toda a recta _|_ a uma é _|_ à outra

BA

E F

D C

GH

DC // EF entãoBC _|_ DC e BC _|_ EF

Se 2 rectas são paralelas, todo a recta _|_ a uma é _|_ à outra

Definições (recta e plano):

• Uma recta é paralela a um plano se não é secante ao plano

Perpendicularidade:

• Uma recta é perpendicular a um plano se é perpendicular a todas as rectas do plano

Perpendicularidade:Uma recta é perpendicular a um plano se é perpendicular a todas as rectas do plano

AB

E F

D C

GH

Definição de perpendicularidade entre recta e plano: 1 recta é _|_ a um plano se é _|_ a todas as rectas doplano

DC _|_ ao plano BCGF pqé _|_ a todas rectas doplano (CG, FG,FB e BC)

Propriedades:1- Critério de paralelismo entre recta e plano: Se existir, num plano, uma recta paralela a uma recta dada, que não está contida nesse plano, a recta e o plano são paralelos

2- Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só plano que contém uma e é paralelo à outra

3- Critério de perpendicularidade entre recta e plano: Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então a recta é perpendicular ao plano.

Critério de paralelismo entre recta e plano:1- Se existir, num plano, uma recta paralela a uma recta dada, que não está contida nesse plano, a recta e o plano são paralelos

AB

E F

D C

GH

Critério de paralelismo entre recta e plano:Uma recta exterior a um plano é paralela a esse plano, se for paralela auma recta contida no plano

AD não pertence ao plano BCFmas BC // AD, logo AD// BCF

2- Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só plano que contém uma e é paralelo à outra

BA

E F

D C

GH

AD e CG são não complanares,existe o plano BCF que contémCG e é // AD

Dadas duas rectas não complanares, existe um e um só planoque contém uma e é paralelo à outra

3- Critério de perpendicularidade entre recta e plano: Se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano, então a recta é perpendicular ao plano.

BA

E F

D C

GH

Se uma recta é _|_ a duas rectas concorrentes de um plano,então a recta é _|_ ao plano

Critério de perpendicularidade entre recta e plano:

Se DC _|_CG e DC_|_BC

então DC _|_BCGF

Definições (planos):

Paralelismo:

Dois planos são paralelos se não são secantes

Perpendicularidade:

Dois planos e são perpendiculares se em existe uma recta perpendicular a e se em existe uma recta perpendicular a

Perpendicularidade: Dois planos e são perpendiculares se em existe uma recta perpendicular a e se em existe uma recta perpendicular a

AB

E F

D C

GH

ABD _|_ BCF porque DC _|_ BCF e BF_|_ABD

Definição de perpendicularidade entre dois planos:Dois planos são _|_s se em cada um deles existir umarecta _|_ ao outro plano

Propriedades:

Critério de paralelismo entre planos

1- Se duas rectas concorrentes de um plano são paralelas a outro plano, então os planos são paralelos

2- Existe um só plano que passa por um ponto dado e é paralelo a um plano dado

Critério de paralelismo entre planos1- Se duas rectas concorrentes de um plano são paralelas a outro plano, então os planos são paralelos

BA

E F

D C

GH

Critério de paralelismo entre planos:

Se duas rectas concorrentes de um plano são //s a outro plano,então os planos são //s.

Se AD e DC são concorrentes e //s a EFGHentão ABCD//EFGH

2- Existe um só plano que passa por um ponto dado e é paralelo a um plano dado

AB

E F

D C

GH

Pelo ponto dado D só passa o plano ADEque é paralelo ao plano BCF

Existe um só plano que passa por um ponto dado eé paralelo a um plano dado.

Propriedades (cont.):

3- Se um plano intersecta dois planos, as rectas de intersecção são paralelas

4- Critério de perpendicularidade entre planos:

Se num plano existe uma recta perpendicular a outro plano, então os planos são perpendiculares

3- Se um plano intersecta dois planos, as rectas de intersecção são paralelas

AB

E F

D C

GH

Se um plano (amarelo) intersecta dois planosparalelos (azuis) então as rectas de intersecçãosão paralelas.

4- Critério de perpendicularidade entre planos:Se num plano existe uma recta perpendicular a outro plano, então os planos são perpendiculares

BA

E F

D C

GH

Se num plano existe uma recta _|_ a outro plano,então os planos são _|_ s.

Critério de perpendicularidade entre planos:

Se DC _|_CG e DC_|_BC

então DC _|_BCGF, logoo plano ABCD_|_BCGF