RAZÃO SURPREENDENTE

Os círculos w1 e w2 se interceptam nos pontos A e B. O segmento PQ é tangente à w1 em P, e tangente à w2 em Q, e o ponto A está mais perto de PQ do que B. O ponto X está em w1, tal que PX é paralelo a QB, e o ponto Y está em w2, tal que QY é paralelo a PB.

Considerando APQ =30º e PQA = 15º, calcule a razão AX

AY .

RESOLUÇÃO

Inicialmente, com os dados do enunciado, construímos a figura auxiliar abaixo.

As medidas dos ângulos que aparecem nesta figura são obtidas a partir de APQ =30º , PQA = 15º , QY// PB e PX// QB

[enunciado] ,e as bem conhecidas propriedades de ângulos na circunferência.

Aplicando o teorema dos senos, aos triângulos AXC e ACY, tem-se respectivamente:

o

o

AX sen

AC sen

15

30 e

o

o

AC sen

AY sen

15

30

Multiplicando-se , membro a membro, as equações acima, obtém-se

obtém-se o

o

AX AX AC sen

AY AC AY sen.

215

30 o o. .

cos cos

2

1 1 1 12 3

2 22 15 1 30

Portanto, de AX

AY 2 3 .

RESPOSTA : 2 3

AUTOR: LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO

Notas:

1. Problema proposto por um aluno do anglo de ITU [15-08-2015]